לוגריתמים: מאפיינים, משוואות לוגריתמיות, תנאים, גבעות, בעיות

לוֹגָרִיתְם היא פעולה מתמטית כאשר פעולה זו היא פעולת ההפך (או ההפוך) של המעריך או הכוח. הבסיס או העקרון בנוסחה לוגריתמית זו הם בדרך כלל בצורת האות א.

או שיש גם אזכור אם לוגריתם זה הוא הפוך או הפוך של הכוח (אקספוננט) המשמש לקבוע את המעריך של מספר בסיס.

באנגלית קוראים לוגריתם לוֹגָרִיתְם.

אז בעצם, על ידי לימוד לוגריתמים, אנו יכולים למצוא את כוחו של מספר בעל אקספוננט ידוע.

לוֹגָרִיתְם

אחרי שאתה יודע מה זה לוגריתם, אתה גם מחויב לדעת את הצורה הכללית של לוגריתם זה.

הנה הצורה הכללית של הלוגריתם:

הצורה הכללית של הלוגריתם:

אם^נ = x אז ^אlogx = n

מֵידָע:

a: הוא הבסיס שיש לו את התנאים הבאים: a> 0 ו- 1.

x: הוא המספר שהאלגוריתם מחפש (numerus), התנאים הם: x> 1

n: הוא כוחו של הלוגריתם.

עכשיו זה הזמן לבדוק את שאלות הדוגמה שלמטה כדי שתוכלו להבין טוב יותר את התיאור שלמעלה:

1. מתי 3² = 9, ואז בצורה לוגריתמית זה ישתנה ל ³יומן 9 = 2
2. מתי 2³ = 8, ואז בצורה לוגריתמית זה ישתנה ל ²יומן 8 = 3
3. מתי 5³ = 125, ואז בצורה לוגריתמית זה ישתנה ל ⁵יומן 125 = 3

מה שלומך? עכשיו אני מתחיל להבין ימין?

נו, בדרך כלל פה, עדיין תיתקל בלבול בקביעת איזה מספר הוא הבסיס ואיזה מספר הוא המספר.

לוֹגָרִיתְם היא פעולה מתמטית שבה ההפך של המעריך או הכוח.

הנוסחה הבסיסית של הלוגריתם: ב^ג = a כתוב כ ^בlog a = c (b נקרא לוגריתם הבסיס).

לא כך?

תירגעו חבר'ה, המפתח שאתם רק צריכים לזכור הוא אם מספר בסיס זה בסיס, ממוקם בחלק העליון לפני השלט 'יומן'. וגם מספרתוצאת דרגה זה נקרא בשם נומרוס, ממוקם בתחתית אחרי המילה 'יומן'. קַל ימין?

משוואות לוגריתמיות

משוואה לוגריתמיתא היא משוואה בה המשתנה הוא בסיס הלוגריתם.

ניתן להגדיר לוגריתם זה גם כפעולה מתמטית שהיא ההפוכה (או ההפוכה) של המעריך או כוח.

דוגמא מספר 

כאן נביא כמה דוגמאות למספרים לוגריתמיים, כולל הבאים:

לאחר מכן, ללוגריתמים יש גם כמה מאפיינים ש נדרש שתבינו, פה. מדוע חובה?

הסיבה לכך היא שמאפיינים אלה יהפכו בהמשך לספק לך בעבודה על בעיות לוגריתמיות בקלות.

מבלי להבין את המאפיינים של לוגריתמים, לא תוכל לעבוד על בעיות לוגריתם, אתה יודע!

ואז, כל דבר לעזאזל מהם התכונות של הלוגריתם? בחייך, שימו לב לביקורות למטה.

מאפיינים לוגריתמיים

להלן כמה מהתכונות של לוגריתמים שעליך להבין, כולל:

בנוסף לחלק מהמאפיינים לעיל, ישנם גם מאפיינים של משוואות לוגריתמיות, כולל:

מאפייני משוואות לוגריתמיות

למשוואה הלוגריתמית יש גם כמה מאפיינים מיוחדים, מאפיינים אלה הם כדלקמן:

1. מאפיינים לוגריתמיים של כפל 

המאפיין הלוגריתמי של הכפל הוא תוצאה של תוספת של שני לוגריתמים אחרים שבהם ערך שתי הספרות הוא גורם לערך המספרי הראשוני.

^איומני עמ '. q = ^איומן p + ^איומן ש

ישנם כמה תנאים לתכונה אחת זו, כלומר: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

2. כפל לוגריתמי

כפל לוגריתמים הוא מאפיין של לוגריתם a שניתן להכפיל בלוגריתם b אם הערך המספרי של לוגריתם a שווה למספר הבסיס של הלוגריתם b.

תוצאת הכפל היא לוגריתם חדש עם מספר הבסיס השווה ללוגריתם א. ויש לו אותו ערך מספרי כמו לוגריתם ב '.

^איומן b x ^בlogc = ^איומן ג

לתכונה אחת זו ישנם כמה תנאים, כלומר: a> 0, a \ ne 1.

3. אופי החלוקה 

המאפיין הלוגריתמי של החלוקה הוא תוצאה של חיסור שני לוגריתמים אחרים כאשר הערך של שתי הספרות הוא שבר או חלוקה של הערך המספרי הראשוני של הלוגריתם.

^איומן p / q: ^איומן p - ^איומן ש

ישנם כמה תנאים לתכונה אחת זו, כלומר: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

4. הפוך תכונות השוואה

מאפיין הלוגריתם הפרופורציונלי הפוך הוא מאפיין עם לוגריתמים אחרים בעלי ערך המספר הבסיסי והמספר להחלפה.

^אlogb = 1 /^ביומן א

לתכונה אחת זו ישנם כמה תנאים, כלומר: a> 0, a \ ne 1.

5. שלט ממול 

המאפיין הלוגריתמי של סימן הנגדי הוא מאפיין עם לוגריתם שהמספרה שלו היא חלק הפוך מהערך המספרי הראשוני של הלוגריתם.

^איומן p / q = - ^איומן p / q

ישנם כמה תנאים לתכונה אחת זו, כלומר: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

6. טבע הכוחות 

המאפיין הלוגריתמי של סמכויות הוא נכס שערכו המספרי הוא אקספוננט. ויכול לשמש לוגריתם חדש על ידי הנפקת הכוח למכפיל.

^איומן ב^{עמ '} = עמ ' ^איומן ב

ישנם כמה תנאים לתכונה אחת זו, כלומר: a> 0, a \ ne 1, b> 0

7. כוחם של המספרים העיקריים הלוגריתמיים 

כוחו של עוצמה לוגריתמית של מספר בסיס הוא מאפיין בו ערך מספר הבסיס הוא a אקספוננט (כוח) שיכול לשמש לוגריתם חדש על ידי הסרת הכוח למספר מחיצה.

א^{עמ '}logb = 1 / עמ '^איומן ב

לתכונה אחת זו ישנם כמה תנאים, כלומר: a> 0, a \ ne 1.

8. מספרים עיקריים לוגריתמיים המשתווים למעצמות מספריות 

המאפיין של מספר בסיס שהוא פרופורציונאלי לעוצמת המספרה הוא מאפיין שערכו המספרי הוא a המעריך (כוח) של ערך מספר הבסיס בעל ערך התוצאה זהה לערך הכוח של המספר זֶה.

^איומן א^{עמ '} = עמ '

ישנם מספר תנאים לתכונה אחת זו, כלומר: a> 0 ו- a \ ne 1.

9. דַרגָה 

כוחם של לוגריתמים הוא אחד המאפיינים של מספרים שכוחותיהם הם בצורת לוגריתמים. התוצאה של ערך ההספק היא הערך שבו המספר מגיע מהלוגריתם.

א ^איומן m = m

ישנם מספר תנאים לתכונה אחת זו, כלומר: a> 0, a \ ne 1, m> 0.

10. שינוי הבסיס הלוגריתמי 

את אופי שינוי בסיס הלוגריתם הזה ניתן לפרק גם להשוואה בין שני לוגריתמים.

^{עמ '}יומן q = ^איומן p /^א יומן ש

לתכונה אחת זו יש כמה תנאים, כלומר: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0

נוסחת משוואה לוגריתמית

בהתבסס על התיאור לעיל, לוגריתם הוא פעולה מתמטית שהיא הפוכה של המעריך או הכוח.

דוגמה ללוגריתם של הצורה האקספוננציאלית בין lian: א^ב = c אם יתבטא בסימון לוגריתמי זה יהיה ^אlogc = ב.

ההצהרה היא כדלקמן:

• a הוא הבסיס או מספר הבסיס.
• b היא התוצאה או טווח הלוגריתמים.
• c הוא המספר או תחום הלוגריתם.

עם הערות:

עליך להבין לפני שנדון בהמשך בנוסחת הלוגריתם אם יש כתיבה ^איומן ב פירושו זהה ליומן_א ב.

הנוסחה למשוואה הלוגריתמית, בין היתר, היא:

נוסחת משוואה לוגריתמית:

אם יש לנו ^אlogf (x) = ^איומן g (x), ואז f (x) = g (x).
עם כמה תנאים כגון: a> 0, a 1, f (x)> 0, g (x)> 0.

אי-שוויון לוגריתמי:

אם יש לנו יומן f (x)> ^אlog g (x) ואז יש לנו שתי מצבים, כלומר:

ראשית, כאשר a> 0 פירושו: f (x)> g (x)
שנית, בזמן 0

שאלות לדוגמא ודיון

בהמשך נביא כמה דוגמאות לשאלות וכן את הדיון בהן. תקשיב טוב, כן.

שאלות לדוגמא 1-3

1. ²יומני 4 + ²יומן 8 =

2. ²יומן 32 =

3. מתי זה ידוע ²יומן 8 = m ו- ²log 7 = n, ואז מצא את הערך של ¹⁶בולי עץ 14!

תשובה:

בעיה 1.

הצעד הראשון שעלינו לעשות הוא לבדוק הבסיס.

שתי המשוואות של הלוגריתם שלמעלה, כנראה בעלות ערך בסיס זהה, שהוא 2.

לכן, אנו יכולים להשתמש במאפיין השני של הלוגריתם כדי למצוא את התוצאה.

אז זה, ²יומני 4 + ²יומן 8 = ²יומן (4 × 8) = ²יומני 32 = 5. זכור! מטרת הלוגריתם היא למצוא את הכוח.

אז מה 2 לכוח 32? התשובה היא לא אחרת מאשר 5. קל לא?

שאלה 2.

נעבור לשאלה מספר 2.

בשאלה מספר 2 אנחנו לא יכולים לעשות את זה מיד, כי אתה בהחלט תחווה בלבול במציאת ערך הכוח של 8 שמביא 32. אז איך?

אם אנו בוחנים את הבעיה מקרוב, 8 היא תוצאה של העוצמה של 2³ וגם 32 שהוא תוצאה של העוצמה של 2⁵.

לכן, אנו יכולים לשנות את הצורה הלוגריתמית ל:

⁸יומן 32 = ²³יומן 2

= 5/3 ²יומן 2 (השתמש במאפיין מספר 6)

= 5/3(1) = 5/3

בעיה 3.

מה שלומכם? התחלתם כבר להתרגש?

נו, בדיון בשאלה מספר 3 זה ירגש אותך עוד יותר!

עליכם לדעת כי המודל משאלה מספר 3 נמצא לרוב בשאלות בחינה לאומית או בשאלות בחירה באוניברסיטאות אתה יודע.

במבט ראשון זה נראה די מורכב, כן, אבל אם אתה כבר מבין את הרעיון, הבעיה הזו תהיה קלה מאוד לביצוע.

אם אתה מוצא מודל בעייתי כזה, תוכל למצוא את הערך שלו באמצעות המאפיין הלוגריתמי של מספר 4.

אז התהליך יהיה:

²יומן 8 = m ו- ²יומן 7 = n, ¹⁶בולי עץ 14?

¹⁶יומן 14 = ²יומן 14 / ²יומן 16

הערה:

כדי לבחור באיזה בסיס נוכל להסתכל ישירות על המספר המופיע לרוב בבעיה. כדי שנדע שהמספר 2 מופיע פעמיים, 8 עד פעם אחת ו -7 פעם אחת.

המספר שנראה הכי הרבה הוא לא אחר מאשר 2, ולכן אנו בוחרים 2 כבסיס. הבנת?

= ²יומני (7 x 2) / ²יומני (8 x 2)

אז אנחנו לתאר את המספר.

בואו ננסה לשנות את זה לטופס שכבר נמצא בבעיה. למה את מתכוונת?

פה חבר'ה, על השאלה הידועה ²יומן 8 וגם ²יומני 7. מכיוון שהמספרים הם גם 8 וגם 7, אנו מחלקים 14 ל 7 × 2 ו 16 ל 8 × 2 כדי שנוכל לראות את התוצאה הסופית.

= ²יומן 7 + ²יומן 2 / ²יומן 8 + ²יומן 2 (השתמש במאפיין מספר 2)

= n + 1 / מ '+ 1

שאלה נוספת לדוגמא.

בעיה 1. (EBTANAS '98)

ידוע ³יומן 5 = x ו- ³יומן 7 = y. חשב את הערך של ³245 ^1/2! (EBTANAS '98)

תשובה:

³245 ^½ = ³בולי עץ (5 x 49) ^½

³245 ^½ = ³יומני ((5) ^½ x (49) ^½)

³245 ^½ = ³בולי עץ (5) ^½ + ³יומני (7²) ^½

³245 ^½ = ½( ³יומן 5 + ³יומני 7)

³245 ^½ = (x + y)

אז הערך של ³245 ^½ כלומר (x + y).

שאלה 2. (UMPTN '97)

אם b = a⁴, הערכים של a ו- b הם חיוביים, ואז הערך של ^איומן ב - ^בלרשום קרי ???

תשובה:

ידוע אם b = a⁴ואז נוכל להחליף אותו בחישוב כך:

^איומן ב - ^בלוגה = ^איומן א⁴ - א⁴ יומן א

^איומן ב - ^בלוגה = 4 (^אלוגה) - 1/4 ( ^איומני א)

^איומן ב - ^בלוגה = 4 - 1/4

^איומן ב - ^בלוגה = 3^3/4

אז הערך של ^איומן ב - ^בכניסה לשאלה מספר 2 היא 3^3/4.

בעיה 3. (UMPTN '97)

אם ^איומנים (1- ³log 1/27) = 2, ואז חשב את הערך של a.

תשובה:

אם אנו הופכים את הערך 2 ללוגריתם שבו מספר הבסיס של הלוגריתם הוא a הופך להיות ^איומן א²= 2, ואז נקבל:

^איומנים (1- ³יומן 1/27) = 2

^איומנים (1- ³יומני 1/27) = ^איומן א²

הערך המספרי של שני הלוגריתמים יכול להיות משוואה, כלומר:

1- ³יומן 1/27 = א²

³יומני 3 - ³יומן 1/27 = א²

³יומני 3 - ³יומן 3^(-3) = א²

³בולי עץ 3/3^-3 = א²

³יומן 3⁴ = א²

4 = א²

אז נקבל את הערך a = 2.

בעיה 4.

אם ידוע ש- 2log 8 = a ו- 2log 4 = b. ואז חשב את הערך של 6log 14

א. 1 /2
ב. (1+2) / (2+1)
ג. (a + 1) / (b + 2)
ד. (1 + a) / (1 + b)

תשובה:

עבור 2 יומן 8 = א

= (יומן 8 / יומן 2) = א
= יומן 8 = יומן 2

עבור 2 יומן 4 = b

= (יומן 4 / יומן 2) = ב
= יומן 4 = ב יומן 2

אז, 16 יומן 8 = (יומן 16) / (log68)
= (יומן 2.8) / (יומן 2.4)
= (יומן 2 + יומן 8) / (יומן 2 + יומן 4)
= (יומן 2 + יומן a) / (יומן 2 + b יומן b)
= log2 (1+ a) / log 2 (1+ b)
= (1 + a) / (1 + b)

אז הערך של 6 log 14 בבעיית הדוגמה לעיל הוא (1 + a) / (1 + b). (ד)

שאלה 5.

הערך של (3log 5 - 3 log 15 + 3log 9) הוא?

א. 2
ב. 1
ג. 4
ד. 5

תשובה:

(3log 5 - 3log 15 + 3log 9
= 3 בלוגים (5. 9) / 15
= 3log 45/15
= 3 לוג 3
=1

אז הערך של 3log 5 - 3log 15 + 3log 9 הוא 1. (ב)

שאלה 6.

חשב את הערך בבעיית הלוגריתם להלן:

1. (2log 4) + (2log 8)
2. (2log 2√2) + (2log 4√2)

תשובה:

1. (2log 4 + 2log 8) = (2log 4) x 8 = 2log 3 בהספק 2 = 5

2. (2log 2√2 + 2log 4√2) = (2log 2√2) x (4√2) = 2log 16 = 4

אז הערך של כל בעיית לוגריתם לעיל הוא 5 ו -4.

שאלה 7.

חשב את הערך בבעיית הלוגריתם להלן:

1. 2 בלוג 5 x 5 בלוג 64
2. 2 יומני 25 x 5 בלוגים 3 x 3 לוגים 32

תשובה:

1. (2log 5) x (5log 64) = 2log 64 = 2log 26 = 6

2. (2log 25) x (5log 3) x (3log 32) = (2log 52) x (5log 3) x (3log 25)
= 2. (2log 5) x (5log 3) x 5. (3 בלוגים 2)
= 2 x 5 x (2log 5) x (5log 3) x (3log 2)
= 10 x (2log 2) = 10 x 1 = 10

אז הערך של השאלה לעיל הוא 6 ו -10.

שאלה 8.

חשב את הערך של יומן 25 + יומן 5 + יומן 80 הוא ...

תשובה:

יומן 25 + יומן 5 + יומן 80
= יומן (25 x 5 x 80)
= יומני 10000
= יומן 104
= 4

בעיה 9.

ידוע כי לוג 3 = 0.332 ולוג 2 = 0.225. ואז יומן 18 של השאלה הוא ...

א. 0,889
ב. 0,556
ג. 0,677
ד. 0,876

תשובה:

ידוע:

• יומן 3 = 0.332
• יומן 2 = 0.225

נשאל:

• יומן 18 = ???

תשובה:

יומני 18 = יומני 9. יומן 2
יומן 18 = (יומן 3. לוג 3). יומן 2
יומני 18 = 2. (0,332) + (0,225)
יומן 18 = 0.664 + 0.225
יומן 18 = 0.889

אז הערך של יומן 18 בשאלה שלעיל הוא 0.889. (א)

שאלה 10.

המירו את המעריכים הבאים לצורה לוגריתמית:

1.  24 = 16
2.  58 = 675
3.  27 = 48

תשובה:

* הפוך את האקספוננטים לצורה לוגריתמית כדלקמן:

אם הערך של ba = c, הערך עבור הבלוג c = a.

1.  24 = 16 → 2log 16 = 4
2.  58 = 675 → 5log 675 = 8
3.  27 = 48 → 2 בלוג 48 = 7

כך סקירה קצרה הפעם שנוכל להעביר. אני מקווה שהסקירה לעיל יכולה לשמש כחומר הלימוד שלך.