אי שוויון לינארי משתנה אחד

אי שוויון לינארי משתנה אחד- אי שוויון לינארי משתנה אחד הוא משפט פתוח שיש בו משתנה אחד בלבד ויש לו דרגה אחת והוא מכיל קשר ( > אוֹ < ).

לדוגמה, עיין בכמה משפטים כמו המשפט הבא:

1. X> 9
2. 3x - 3 <8
3. 3 ב > b + 6
4. 5n - 3 < 3n + 2

חלק מהמשפטים הפתוחים לעיל משתמשים במקפים כגון , > אוֹ <. מה שמעיד על המשפט הוא אי שוויון.

לכל אי שוויון יש משתנה אחד בלבד, כלומר x, a ו- n. אי שוויון זה נקרא אי שוויון משתנה. המשתנה (המשתנה) של אי השוויון הנ"ל לעוצמתו של אחד או המכונה גם דרגה אחת נקרא אי שוויון לינארי.

אי שוויון לינארי משתנה אחד הוא משפט פתוח שיש בו רק משתנה אחד ומעלה ויש קשר ( או £).

הצורה הכללית של PtLSV במשתנה יכולה לבוא לידי ביטוי להלן:

ax + b <0, ax + b> 0, או ax + b > 0, או ax + b < 0, עם a < 0, a ו- b הם מספרים ממשיים.

להלן מספר דוגמאות ל- PtLSV המשתמשות במשתנה x, כולל:

1. 3x - 2 <0
2. 3x - 2 <0
3. 5x - 1> 8
4. 3x + 1 > 2x - 4
5. 10 < 2 (x + 1)

מאפיינים של אי-שוויון לינארי משתנה אחד

בדומה לזה במשוואה ליניארית משתנה אחד, מציאת פיתרון לאי שוויון לינארי משתנה אחד יכולה להיעשות בשיטת ההחלפה.

עם זאת, תוכלו לעשות זאת גם על ידי חיסור, הוספה, הכפלת או חלוקת שני צידי האי-שוויון באותו מספר.

אי שיוויון במתמטיקה הוא משפט או משפט מתמטי המציג השוואה בין הגדלים של שני אובייקטים או יותר.

כמו ב- A

אי השוויון A

1. A + C
2. A - C
3. A x C 0 לכל x
4. A x C> B x C, אם C <0 לכל x
5. A / C 0 לכל x
6. A / C> B / C, אם C <0 לכל x

עליכם לציין, חלק מהמאפיינים שלמעלה חלים גם על הסמל ">"או"<”.

דוגמאות לשאלות PtLSV וכיצד לפתור אותן

להלן נביא דוגמה לבעיה וכן כיצד לפתור אותה וכן את התשובה לבעיית אי-שוויון לינארית משתנה אחד. הנה הסקירה המלאה.

1. הוספה וחיסור של אי-שוויון לינארי משתנה אחד (PtLSV)

אנא שימו לב לאי השוויון שלהלן:

x + 3 <8, כאשר x הוא משתנה ממספר שלם.

ל:

x = 1, אז 1 + 3 <8, נכון
x = 2, אז 2 + 3 <8, נכון
x = 3, אז 3 + 3 <8, נכון
x = 4, אז 4 + 3 <8, הוא שקר

החלפת x ב- 1,2 ו- 3 כך שאי-השוויון x + 3 <8 אמיתי מכונה פיתרון לאי-השוויון.

2. כפל או חלוקה של אי-שוויון לינארי משתנה אחד (PtLSV)

בדוק את אי השוויון הבא:

עבור מספרים טבעיים של x פחות מ -10, הפתרון הוא x = 7, x = 8 או x = 9

בהתבסס על התיאור לעיל, אנו יכולים להסיק כי:

 "כל אי-שוויון נותר שווה ערך, עם סימן האי-שוויון ללא שינוי, למרות ששני הצדדים מוכפלים באותו מספר חיובי".

דוגמה לבעיות:

שקול כעת את אי השוויון הבא:

א. –X> - 5, כאשר x הוא מספר טבעי הקטן מ- 8. החלף ל- x העונה על x = 1, x = 2, x = 3 או x = 4.

דרך נוספת לפתור את בעיית האי-שוויון לעיל היא להכפיל את שני הצדדים באותו מספר שלילי.

* –X> –5

–1 (–x)> - 1 (–5), (שני הצדדים מוכפלים ב- -1 וסימן האי-שוויון נשאר)

x> 5

הפתרון הוא עם x = 6 או x = 7.

* –X> –5

–1 (–x) ל-

x <5

הפתרון הוא x = 1, x = 2, x = 3 או x = 4.

בהתבסס על פתרון זה, מתברר כי אי-השוויון שיש לו את אותו הפתרון הוא:

–X> –5 ו- –1 (–x)

אז, –x> –5 <=> –1 (–x)

ב. –4x <–8, כאשר x הוא מספר טבעי הקטן מ -4. תחליף מתאים ל- x הוא x = 2, או x = 3. לכן, הפתרון הוא x = 2 או x = 3.

על סמך ההסבר לעיל, אנו יכולים להסיק כי:

"אי שוויון כששני הצדדים מוכפלים באותו מספר שלילי אז סימן האי-שוויון משתנה"

דוגמא:

3. על הסיפור 

שאלה 1.

הסכום של שני מספרים הוא לא יותר מ -120. אם המספר השני הוא 10 יותר מהמספר הראשון, קבע את ערך הגבול עבור המספר הראשון.

תשובה:

מהבעיה לעיל אנו יכולים לראות כי ישנם שני כמויות לא ידועות. זה המספר הראשון וגם המספר השני.

אז הבא נכין את שתי הכמויות האלה כמשתנה.

לדוגמא:

אנו קוראים למספר הראשון x ואילו 

אנו קוראים למספר השני y.

מבעיה זו אנו גם יודעים שהמספר השני הוא "10 יותר מהמספר הראשון", ולכן יחול הקשר הבא:

y = x + 10

בבעיה ידוע גם שסכום שני המספרים הוא "לא יותר" מ -120.

המשפט "לא יותר" הוא אינדיקציה לכך שאי השוויון הוא פחות משווה (≤). לכן, צורת האי-שוויון המתאימה לבעיה היא שאי-השוויון פחות משווה ל.

ואז אנו בונים את אי-השוויון כך:

⇒ x + y ≤ 120

מכיוון ש- y = x + 10, כך אי השוויון הופך להיות:

⇒ x + x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 – 10 ≤ 120 – 10

⇒ 2x ≤ 110

⇒ איקס ≤ 55

אז זה, ערך הגבול למספר הראשון אינו עולה על 55.

שאלת סיפור 2.

דגם של מסגרת קורה העשויה חוט באורך (x + 5) ס"מ, רוחב (x – 2) ס"מ, וגובה x ס"מ.

• קבע את המודל המתמטי של משוואת אורך החוט הנדרשת ב- x.
• אם אורך החוט בו משתמשים אינו עולה על 132 ס"מ, קבע את גודל הערך המרבי של הקורה.

תשובה:

כדי שיהיה לנו קל יותר להבין את הבעיה שלעיל, שקול את האיור של הבלוק להלן:

• קבע את המודל המתמטי של הבעיה לעיל.

לדוגמא, K מייצג את אורך החוט הכולל הדרוש ליצירת מסגרת הקורה, ואז אורך החוט הכולל הנדרש הוא סכום כל הקצוות.

אז, אורכו של K הוא כדלקמן.

K = 4p (אורך) + 4l (רוחב) + 4t (גובה)

K = 4 (x + 5) + 4 (x – 2) + 4x

K = 4x + 20 + 4x – 8 + 4x

K = 12x + 12

לכן, אנו מקבלים את המודל המתמטי של בעיית הסיפור מספר שתיים עבור האורך הכולל של החוט, שהוא K = 12x + 12.

• קבע את הגודל המרבי של הבלוק מתוך הבעיה שלעיל.

אורך החוט לא יעלה על אורך של 132 ס"מ, ולכן נוכל לכתוב את מודל האי-שוויון באופן הבא:

ק ≤ 132

12x + 12 ≤ 132

לאחר מכן נפתור את האי-שוויון הליניארי של משתנה אחד באמצעות פיתרון כדלקמן:

12x + 12 ≤ 132

⇒ 12x ≤ 132 – 12

⇒ 12x ≤ 120

⇒ איקס ≤ 10

מהפתרון x ≤ 10, אז הערך המרבי של x הוא 10. לפיכך, גודל הקורה לאורך, רוחב וגובה הוא כדלקמן:

אורך = x + 5 ⇔ 10 + 5 = 15 ס"מ

רוחב = x – 2 ⇔ 10 – 2 = 8 ס"מ

גובה = x ⇔ 10 ס"מ

אז אנו מקבלים את המקסימום עבור הבלוק הוא (15 × 8 × 10) ס"מ.

שאלות סיפור 3.

הסכום של שני מספרים הוא פחות מ 80. המספר השני הוא פי שלוש מהמספר הראשון.

קבעו את גבולות שני המספרים.

תשובה:

נניח ונקרא למספר הראשון כ- x, ואז המספר השני שווה ל- 3x.

סכום שני המספרים הללו הוא פחות מ 80. לכן, המודל המתמטי הוא כדלקמן:

x + 3x <80 ⇔ 4x <80

הפתרון למודל מתמטי זה הוא 4x <80 ⇔ x <20.

לכן הגבול של המספר הראשון הוא לא יותר מ -20 ואילו המספר השני לא יותר מ- 60.

שאלות סיפור 4.

המשטח של שולחן מלבני אורכו 16X ס"מ ורוחבו 10 X ס"מ.

אם השטח הוא לא פחות מ 40 ד"מ2ואז קבע את הגודל המינימלי של משטח השולחן.

תשובה:

אורכו של משטח השולחן הוא:

• (p) = 16x
• רוחב (l) = 10 x
• שטח = L.

המודל המתמטי של שטח המלבן הוא כדלקמן:

L = p × l

L = 16x × 10x

L = 160x2

מהבעיה נאמר כי השטח הוא לא פחות מ 40 ד"מ2 = 4,000 ס"מ2 כדי שנוכל לכתוב את אי השוויון באופן הבא:

L = 160x2≥ 4.000

160x2≥ 4.000

ואז אנו פותרים את האי-שוויון, עם הפיתרון הבא:

160x2≥ 4.000

⇒ איקס2≥ 25

⇒ איקס ≥ ±5

כי הגודל לא יכול להיות שליליואז הערך המינימלי ל- x = 5 ס"מ, כך נקבל:

p = 16x ס"מ = 16 (5) ס"מ = 80 ס"מ

l = 10x ס"מ = 10 (5) ס"מ = 50 ס"מ

לפיכך, הגודל המינימלי של משטח השולחן הוא (80 × 50) ס"מ.

שאלות סיפור 5.

אופניים נוסעים בכביש עם המשוואה s (t) = t2– 10t + 39.

אם x הוא במטר ו- t הוא בשניות, קבע את מרווח הזמן כך שהאופניים עברו לפחות 15 מטרים.

תשובה:

האופניים יכולים להעביר מרחק של 15 מטר לפחות, כלומר s (t) ≥ 15.

אז המודל המתמטי הוא t2– 10t + 39 ≥ 15. אנו יכולים לפתור מודל זה באופן הבא:

t2– 10t + 39 ≥ 15

⇒ t2– 10t + 39 – 15 ≥ 0

⇒ t2– 10t + 24 ≥ 0

⇒ (t – 6) (t – 4) ≥ 0

⇒ t ≤ 4 או t ≥ 6

לפיכך, מרווח הזמן של האופניים למרחק של 15 מטר לפחות הוא t ≤ 4 שניות או t ≥ 6 שניות.

שאלות סיפור 6.

למר אירוואן מכונית ארגז המובילה סחורות עם יכולת נשיאה של לא יותר מ -500 ק"ג.

משקלו של פאק אירוואן הוא 60 ק"ג והוא יישא קופסאות סחורות שמשקלן של כל קופסה הוא 20 ק"ג. לאחר מכן:

• קבע את מספר התיבות המקסימלי שניתן להעביר על ידי מר אירוואן בהובלה אחת!
• אם מר אירוואן יוביל 115 ערים, כמה פעמים לפחות ניתן יהיה להעביר את התיבות?

תשובה:

מהבעיה אנו מקבלים כמה מודלים מתמטיים כדלקמן:

1. לדוגמא, x מייצג את מספר הערים שמכונית יכולה להעביר לכיוון אחד.
2. משקל כל קופסה 20 ק"ג, כך שקופסאות x שוקלות 20 ק"ג.
3. המשקל הכולל לכיוון אחד הוא משקל התיבה בתוספת המשקל של מר אירוואן שהוא 20x + 60.
4. יכולת הנשיאה של המכונית אינה יותר מ, ואז אנו משתמשים בשלט "≤”.
5. כושר הנשיאה אינו עולה על 500 ק"ג ולכן מההוראה (3) אנו מקבלים את מודל האי-שוויון הבא =
   20x + 60 ≤ 500

• מציין את המספר המרבי של תיבות שניתן להעביר בבת אחת.

קביעת מספר הריבועים זהה לקביעת הערך של x, כלומר על ידי פתרון האי-שוויון להלן:

20x + 60 ≤ 500

⇒ פי 20 ≤ 500 – 60

⇒ פי 20 ≤ 440

⇒ איקס ≤ 22

מפתרון זה, אנו מקבלים את הערך המרבי של x שהוא 22. כך, בכל פעם שמכונית התיבה יכולה לשאת מקסימום 22 תיבות.