גבולות הפונקציות המתמטיות: טריגונומטריה, אינסוף, בעיות לדוגמא

מגבלה במתמטיקה היא מושג בתחום המתמטיקה המשמש בדרך כלל לתיאור מאפיין של פונקציה.

כאשר הוויכוח מתקרב לנקודה באינסוף או לאופי של רצף כאשר האינדקס מתקרב לאינסוף.

מגבלות משמשות בדרך כלל בחשבון ובענפים אחרים של ניתוח מתמטי המשמשים למציאת נגזרות והרחבות.

במתמטיקה, בדרך כלל יתחילו ללמוד גבולות כאשר מבוא לחשבון.

גבולות של פונקציה

אם f(איקס) היא פונקציה אמיתית ו ג הוא מספר ממשי ואז הנוסחה היא:

ואז, שווה ל- f(איקסאנחנו יכולים לעשות כך שיהיה לו ערך קרוב ככל האפשר ל על ידי יצירת ערך איקס קרוב ל ג.

בדוגמה שלעיל, הגבול של f(איקס) אם איקס מִתקַרֵב ג, זה ל. עלינו לזכור, אם המשפט הקודם חל, למרות זאת f(ג) ≠ ל. למעשה, הפונקציה ב f(איקס) לא צריך להיות מוגדר שוב בנקודה ג.

הנה דוגמה שנייה הממחישה את התכונה.

לדוגמא:

מתי איקס קרוב לערך 2. בדוגמה זו, f(איקס) יש הגדרה ברורה בנקודה 2 והערך זהה לגבול, שהוא 0.4:

אם איקס ככל שקרוב ל -2, הערך של f(איקס) יהיה קרוב ל 0.4, לכן,

במקרה כזה f המכונה רציף ב איקס = ג. עם זאת, במקרה זה זה לא תמיד המקרה.

לדוגמא:

לְהַגבִּיל ז(איקס) בזמן איקס קרוב יותר ל -2 שהוא 0.4 (זהה ל- f(איקס), אבל : ז לא רציף בנקודה איקס = 2.

או שניתן לקחת דוגמה היכן f(איקס) לא מוגדר בנקודה איקס = ג:

בדוגמה זו, בזמן איקס קרוב ל -1, f(איקס) לא מוגדר בנקודה איקס = 1 אבל הגבול נשאר זהה ל -2, מכיוון שככל שיותר איקס קרוב ל -1, אם כן f(איקס) מתקרב ל -2:

אז נוכל להסיק ש:

לאחר מכן איקס ניתן לעשות כמה שיותר קרוב ל 1, כל עוד זה לא בדיוק כמו 1לכן הגבול שלf (x)} f (איקס) הוא 2.

הגדרה רשמית של מגבלה

הגדרה רשמית לְהַגבִּיל מוגדר אם f היא פונקציה המוגדרת במרווח פתוח המכיל נקודה  (למעט נקודה אפשרית ) בנוסף ל ל הוא מספר ממשי. אז זה;

זה אומר אם לכל אחד אנחנו מקבלים> 0 שזה לכל איקס איפה 0 x - c | , אז זה ייכנס לתוקף | f (x) - L | <

מגבלת פונקציה באינסוף

מושג הגבול מתי איקס מתקרב לאינסוף, חיובי ושלילי כאחד הוא מושג הקשור לגבול מתי איקס קרוב למספר.

זה לא אומר ההבדל בין איקס באינסוף הופך לקטן, כי האינסוף הוא לא מספר.

במקום זאת זה אומר איקס להיות גדול מאוד עד אינסוף או קטן מאוד עד אינסוף.

לדוגמה, שקול את הפונקציה להלן:

1. f(100) = 1.9802
2. f(1000) = 1.9980
3. f(10000) = 1.9998

כלומר, יותר איקס עולה, ואז הערך של f(איקס) יהיה קרוב ל -2. בדוגמה לעיל אנו יכולים לומר כי:

מגבלת קו

שקול את הרצפים הבאים: 1.79, 1.799, 1.7999... ..

אנו יכולים לראות אם המעליות השונות לעיל מתקרבות למספר 1.8 שהוא גבול הקו.

רשמית, למשל איקס₁, איקס₂,... הוא רצף של מספרים אמיתיים. אנו אומרים מספרים אמיתיים (L) כפי ש לְהַגבִּיל שורה זו וכתוב אותה כ:

שפירושו: לכל מספר ממשי> 0 יש מספר טבעי נ אז לכל דבר: נ > נ, |איקס_נ − ל| < ε.

על ידי אינטואיטיבי כלומר שאם בסופו של דבר כל האלמנטים של הרצף יתקרבו כמו שאנחנו רוצים לגבול, כי הערך המוחלט |איקס_נ − ל| הוא המרחק בין איקס וגם ל.

לא לכל הרצפים יש מגבלות. אם כבר, אנחנו קוראים לזה מִתכַּנֵס. ואם לא, זה נקרא מִסתַעֵף.

ניתן להראות רצף מתכנס שיש לו גבול אחד בלבד.

מגבלות רצף ומגבלות פונקציה קשורות זה לזה. מצד אחד, גבול הרצף הוא פשוט הגבול באינסוף פונקציה המוגדרת ביחס למספרים הטבעיים.

אך מצד שני, הגבול של פונקציה f עַל איקס, אם בכלל, שווה לגבול הרצף איקס_נ = f(איקס + 1/נ).

גבולות פונקציות אלגבריות

הגבול של פונקציה אלגברית הוא אחד המושגים הבסיסיים בחשבון וניתוח, הנוגע להתנהגות של פונקציה המתקרבת לנקודת קלט מסוימת.

פלט מיפוי פונקציות f (x) עבור כל קלט איקס. לפונקציה זו יש מגבלה ל בנקודת הקלט עמ ' מתי f (x) "קרוב" ל- L כאשר איקס קרוב ל עמ '.

אז במילים אחרות, f (x) יתקרב ל ל מתי איקס מתקרב גם לקראת עמ '.

יתר על כן, אם f מוחל על כל קלט מספיק קרוב ל עמ ', התוצאה היא פלט שקרוב (באופן שרירותי) ל.

האם אתה יודע?
אף על פי שהוא משתמע בפיתוח החשבון במאות ה -17 וה -18, הרעיון המודרני של גבול הפונקציה החדשה נדונה על ידי בולצאנו בשנת 1817 שהציג את היסודות של טכניקת אפסילון-דלתא. אך עבודתו לא ידועה במהלך חייו. –sc: ויקיפדיה

אם הקלט הוא סגור עַל עמ ' מתגלה כמופה לתפוקות שונות מאוד ואז לפונקציה f ייאמר שאין לו גבול.

הגדרת הגבול התגבשה רשמית מאז המאה ה -19.

מושג מגבלות הפונקציות האלגבריות

ניתן להגדיר מגבלה שהולכת עד גבול, דבר שקרוב אך לא ניתן להשיג.

בשפה מתמטית ניתן לכנות מצב זה לְהַגבִּיל.

גבול הוא מושג מתמטי שבו נאמר שמשהו "קרוב" או "קרוב" לערך של מספר מסוים. גבולות יכולים להיות בצורה של פונקציה שהקודן שלה הוא "כמעט" או "קרוב" לערך של מספר טבעי מסוים.

מדוע שתהיה מגבלה? מכיוון שגבול מבטא פונקציה כשמתקרבים לגבול מסוים.

למה כדאי לגשת לזה? מכיוון שבדרך כלל פונקציה אינה מוגדרת בנקודות מסוימות.

למרות שפונקציה לרוב אינה מוגדרת בשלב מסוים, עדיין ניתן לגלות אותה איזה ערך ניגש לפונקציה אם נקודה מסוימת ניגשת, כלומר לְהַגבִּיל.

בשפה מתמטית, גבולות נכתבים כדלקמן:

כלומר, אם x מתקרב ל- a אבל x אינו שווה ל- a אז f (x) יתקרב ל- L. אנו יכולים לראות את הגישה של x ל- a משני צדדים, כלומר צד שמאל וגם צד ימין או עם המילה אחרת x יכול להתקרב משמאל וכיוון ימין כך שייצור גבול שמאלי וגבול ימין.

לכן, מהתיאור לעיל נקבל את דוגמת הנוסחה הבאה:

עבור ערכי x הקרובים ל -1:

הנה תמונה גרפית:

כשמסתכלים על הגרפיקה שלמעלה, ניתן לחלק אותה ל:

• אם x מתקרב 1 משמאל, אז הערך של f (x) מתקרב ל -2
  
• אם x מתקרב 1 מימין, אז הערך של f (x) מתקרב ל -2
  
• לכן, אם x מתקרב ל -1, אז הערך של f (x) יתקרב ל -2
  

משפט או הצהרה

נאמר כי לפונקציה יש מגבלה אם לגבולות שמאל וימין אותו ערך. לכן, אם הגבול השמאלי והגבול הימני אינם זהים, אז ערך הגבול אינו קיים.

משפט הגדרה וגבול. כמתואר לעיל, גבול בשפה משותפת פירושו גבול.

כשאנחנו לומדים מתמטיקה יש כמה מורים שאומרים שהגבול הוא גישה.

המשמעות של מגבלה זו קובעת שפונקציה f (x) תתקרב לערך מסוים אם x מתקרב לערך מסוים.

קירוב זה מוגבל בין שני מספרים חיוביים קטנים מאוד הנקראים אפסילון ודלתא.

הקשר בין שני המספרים החיוביים הקטנים הללו יסוכם בהגדרת הגבול.

מאפייני גבולות של פונקציות אלגבריות

אם נ הוא מספר שלם חיובי, k קָבוּעַ, f ו ז היא פונקציה שיש לה גבול ב ג, אז חלק מהמאפיינים הבאים יחולו.

סוגים של שיטות לפתרון מגבלות אלגבריות

ישנן מספר שיטות או דרכים לפתור מגבלות אלגבריות, כולל:

• שיטת החלפה
• שיטת פקטורינג
• שיטת חלוקה לפי המעריך הגבוה ביותר של המכנה
• שיטת ההכפלה בגורם משותף

כאן נסביר את השיטות אחת אחת. תקשיב טוב, כן.

קביעת ערך הגבול של פונקציה אלגברית

ישנם שני סוגים לקביעת הגבול של פונקציה אלגברית, כולל:

הצורה הראשונה:

והצורה השנייה היא:

1. שיטת החלפה

שיטת ההחלפה תחליף רק את המשתנים הקרובים לערך מסוים בפונקציות האלגבריות שלהם.

לדוגמא:

אז הערך של פונקציית הגבול האלגברי הוא:

2. שיטת פקטורינג

נעשה שימוש בשיטת הפקטורינג אם לא ניתן להגדיר את השיטה או שיטת ההחלפה המייצרת ערך גבול.

לדוגמא:

שיטת הפקטורינג משמשת על ידי קביעת הגורם המשותף בין המונה למכנה.

ביחס לטופס הגבול השני, ישנן מספר שיטות לקביעת ערך הגבול של מגבלת הפונקציה אלגברה היא שיטה או שיטת חלוקה בכוח הגבוה ביותר של המכנה ושיטת הכפלת בגורם חברים.

3. שיטת חלוקת הכוח הגבוה ביותר של המכנה

לדוגמא:

קבע את ערך הגבול של הפונקציה האלגברית של המגבלה למטה:

כוחו של המונה והמכנה בבעיה הוא 2, אז,

אז זה, ערך הגבול של הפונקציה האלגברית הוא

שאלה 2 לדוגמא.

קבע את ערך הגבול של הפונקציה האלגברית של המגבלה למטה:

כוחו של המונה והמכנה בבעיה הוא 3, אז,

לכן, ערך הגבול של הפונקציה האלגברית הוא:

4. שיטת הכפלה עם גורמים מורכבים

משתמשים בשיטה זו אם שיטת ההחלפה תייצר באופן מיידי ערך גבול לא רציונלי.

הפונקציה מוכפלת בשורש המשותף שלה כך שצורת הגבול לא תהיה רציונלית, כך שניתן יהיה לבצע החלפה ישירה של ערכים שוב. x → ג .

לדוגמא:

גבולות פונקציות אלגבריות אינסופיות

בהפעלת גבול הפונקציות האלגבריות, לעיתים יש גם ערך של x שמתקרב לאינסוף (∞).

לכן, אם תוחלף הפונקציה היא תייצר ערך לא בטוח.

בהפעלת המגבלה ישנם מספר חוקים או משפטי הגבלה שעליכם לשים לב אליהם. אם n הוא מספר שלם, k הוא קבוע, פונקציה f ופונקציה g הן פונקציות בעלות ערך גבול שקרוב למספר c, ואז:

וישנן שתי שיטות לפתרון הגבול של פונקציה אלגברית בצורה אינסופית, כולל:

1. חלקו לפי הדרגה הגבוהה ביותר

משתמשים בשיטה זו בפונקציית הגבול של הטופס .

ניתן לעשות שיטה זו על ידי חלוקת המונה f (x) והמכנה g (x) במשתנה x^נ הכוח הגבוה ביותר הכלול בפונקציות f (x) ו- g (x). ואז, רק אז נוכל להחליף את זה ב x → ∞.

לדוגמא:

2. הכפלת צורות מורכבות

שיטה זו מוחלת על פונקציית הגבול של הטופס . ניתן לפתור שיטה או שיטה זו על ידי הכפלת הצורה המורכבת, כלומר:

ואז המשך עם החלוקה בשיטה הראשונה, כלומר חלוקה בכוח הגבוה ביותר.

לדוגמא:

לאחר מכן, חלק את המונה והמכנה לעוצמה הגבוהה ביותר של x, שהיא x¹:

גבולות פונקציות טריגונומטריות

ניתן להשתמש במגבלות בפונקציות טריגונומטריות. הפתרון זהה לפונקציית הגבול האלגברי. עם זאת, על מנת להבין את ההסבר הבא עליכם להבין תחילה את המושג טריגונומטריה.

ניתן להשתמש בפתרון לגבול פונקציה זו בטריגונומטריה על ידי ביצוע שינויים מסוימים בצורת הסינוס, הקוסינוס והמשיק.

ישנן שלוש צורות כלליות בגבול הפונקציות הטריגונומטריות, כולל:

1. טופס

בצורה זו, גבול הפונקציה הטריגונומטרית f (x) הוא תוצאה של החלפת הערך c ל- x מהטריגונומטריה.

לדוגמא:

אם c = 0, הנוסחה לגבולות הטריגונומטריה היא כדלקמן:

2. טופס

בצורה זו, הגבול יתקבל מיחס של 2 טריגונומטריה שונה.

אם שתי הטריגונומטריה הללו מוחלפות ישירות בערך c, היא תייצר f (c) = 0 ו- g (c) = 0.

לכן, הערך של הגבול הטריגונומטרי הופך למספר בלתי מוגדר . הפתרון זהה לזה של הפונקציה האלגברית המגבילה, כלומר פקטורינג.

דוגמאות לטופס זה הן:

3. טופס

בצורה זו, הגבול מתקבל מההשוואה בין פונקציות טריגונומטריות לפונקציות אלגבריות.

אם הוא מוחלף ישירות הוא יפיק מספר לא מוגדר. בצורה זו זה נעשה עם המושג נגזרים. הנוסחה הבסיסית למגבלה זו היא:

בהתבסס על הנוסחה הבסיסית לעיל, אם היא מפותחת יותר היא תהפוך לנוסחאות הבאות:

דוגמה לבעיות ודיון

כיצד לעבוד על פונקציות לא מוגדרות מגביל את הפונגי

ישנם מקרים בהם החלפת x על ידי a ב- lim f (x) x → a הופכת f (x) לערך לא מוגדר, או f (a) מייצרת את הטופס 0/0, / ∞ או 0.∞.

אם זה המקרה, הפיתרון הוא בצורה f (x). נסו לפשט כך שניתן לקבוע את ערך הגבול.

מגבלת טופס 0/0

הטופס 0/0 עשוי להופיע ב:

כאשר אנו נתקלים בצורה כזו, נסה לצבוט את הפונקציה עד שנמצא חלק שנוכל לחצות אותו.

אם זה בצורה של משוואה ריבועית אנחנו יכולים לנסות פקטורינג או בדרך של אסוציאציה ולא לשכוח שיש כלל a²-ב² = (a + b) (a-b).

כאן נביא דוגמה:

/ טופס

צורת הגבול / ∞ מתרחשת בפונקציה פולינומית כדלקמן:

דוגמה לבעיות:

נסה לקבוע את ערך הגבול שלמטה:

תשובה:

לפניכם סיכום מהיר של נוסחת הגבול המתמטית עבור הטופס / ∞

• כאשר מ
• אם m = n אז L = a / p
• אם m> n אז L =

טופס הגבלה (∞-∞)

הטופס (∞-∞) מופיע לעתים קרובות במהלך בחינות לאומיות.

צורת השאלה היא מאוד שיש כמה סוגים. אך הפיתרון אינו רחוק מפישוט. כאן נביא דוגמאות לשאלות שלקחנו מהבחינה הלאומית 2013.

שאלות בחינה ארציות 2013.

הגדר הגבלה

אם תזין x -> 1, הטופס יהיה (∞-∞). וכדי להסיר את הטופס -∞, עלינו לפשט את הטופס כדי להפוך,

נוסחה מהירה פותרת מגבלת אינסוף

הנוסחה המהירה לפתרון מגבלת האינסוף הראשונה יכולה לשמש ליצירת בעיות מגבלה אינסופיות בצורת שבר.

כדי למצוא את גבול האינסוף בצורה של שבר, עלינו רק להתחשב בכוח הגבוה ביותר של כל מניין ומכנה.

ישנן 3 אפשרויות שיכולות לקרות.

• ראשית, הכוח הגבוה ביותר של המונה הוא פחות מהדרגה הגבוהה ביותר של המכנה.
• שנית, הדרגה הגבוהה ביותר של המונה זהה לדרגה הגבוהה ביותר של המכנה.
• שלישית, הדרגה הגבוהה ביותר של המונה גבוהה יותר מהדרגה הגבוהה ביותר של המכנה.

את הנוסחה השלישית לערך הגבול האינסופי בצורת שבר ניתן לראות במשוואה למטה.

דוגמה לבעיות:

ערך הגבול של: הוא... ..

א. – ∞

ב. – 5

ג. 0

ד. 5

ה ∞

דִיוּן:

ערך הדרגה הגבוה ביותר במונה הוא 3 וערך הדרגה הגבוה ביותר במכנה הוא 2 (m> n). אז, ערך הגבול הוא.

תשובה: ה

לכן סקירה קצרה הפעם שנוכל להעביר על גבולות מתמטיים. אני מקווה שהסקירה לעיל של המגבלה המתמטית יכולה לשמש כחומר הלימוד שלך.