מתמטיקה וקטורית: סוגים, פעולות, תחזיות אורתוגונליות, סימונים, בעיות

וקטור מתמטי הוא כמות שיש לה כיוון, ניתן לתאר את הווקטור עצמו באמצעות חץ שכיוונו יכוון לכיוון הווקטור. ואורך השורה מכונה בדרך כלל גודל הווקטור.

אם הווקטור מתחיל בנקודה A ומסתיים בנקודה B, אז ניתן לכתוב את הווקטור באמצעות אות קטנה עם מקף או חץ מעליו (

אוֹ ). או שזה יכול להיעשות גם בצורה כמו בתמונה למטה:

לדוגמא, וקטור הוא וקטור המתחיל מנקודה A (x₁. y₁) עובר לנקודה B (x₂. y₂) נוכל לצייר את הקואורדינטות הקרטזיות למטה.

אורך הקו המקביל לציר ה- x הוא v₁ = x₂ - איקס₁ ואורך הקו המקביל לציר y הוא v₂ = y₂ - y₁ הם כמה רכיבים וקטוריים .

רכיבים וקטוריים  אנו יכולים לכתוב כדי להביע וקטורים באופן אלגברי כ:

סוג וקטורי

ישנם מספר סוגים של וקטורים מיוחדים הקיימים במתמטיקה, כולל:

• מיקום וקטור
  וקטור שנקודת ההתחלה שלו היא 0 (0,0) ונקודת הסיום היא A
• אפס וקטור
  וקטור שאורכו אפס ומסומן על ידי . לווקטור האפס אין כיוון וקטורי ברור.
• וקטור יחידה
  וקטור שאורכו יחידה אחת. וקטור היחידה של זה:
  
• וקטור בסיס
  וקטור בסיס הוא וקטור יחידה הניצב זה לזה. במרחב וקטורי דו מימדי (R
  instagram viewer
  ²) יש שני וקטורי בסיס כלומר ו . בעוד שהוא בתלת מימד (R³) יש שלושה וקטורים בסיסיים כלומר , , וגם .

סוגים שונים של פעולות וקטור

וקטורים מתמטיים לא מורכבים רק מכמה סוגים, אלא גם וקטורים מתמטיים מורכבים מכמה סוגים.

לכן, בהמשך, אנו נספק וקטורים שונים יחד עם פעולותיהם בבת אחת, נסתכל עליהם היטב:

וקטור ב- R2 

אורכו של קטע קו המייצג וקטור מסומן באמצעות או ניתן גם לסמן באמצעות הסמל ||

הנה אורך הווקטור, שהוא כדלקמן:

אורך הווקטור עצמו הוא צורה שיכולה להיות קשורה לזווית אשר הווקטור יכול להיווצר בקלות כמו גם את הציר החיובי.

הפעלת וקטור ב- R2 

תהליך חיבור וחיסור וקטורי ב- R2 

תוצאה הוא שם התוצאה של תוספת של שני וקטורים או יותר.

תוספת של הווקטור הזה עצמה יכולה להיעשות גם באופן אלגברי וניתן לעשות זאת על ידי הוספת הרכיבים הנמצאים באותו המיקום או הבא.

אם:

לאחר מכן:

אז נוכל לראות את הסיכום הגרפי עצמו בתמונת הדוגמה למטה:

חיסור וקטורי זה מטופל זהה לזה של חיבור, כולל הדברים הבאים, ראה הדוגמה שלהלן:

המאפיינים בתוספת וקטורית זו הם להלן, עיין בנוסחה:

⇒ כפל וקטורי ב- R² עם Scalar 

ניתן להכפיל וקטור עצמו גם בסקלר או במספר אמיתי שייצור וקטור חדש אם הוא וקטור ו- k הוא סקלרי.

כך שניתן לסמן את הכפל הווקטורי להלן:

להלן מספר פרטים נוספים:

• אם k> 0, אז וקטור יהיה באותו כיוון כמו הווקטור .
• אם k <0, אז וקטור יהיה בכיוון ההפוך לווקטור .
• אם k = 0, אז וקטור הוא וקטור הזהות .

מבחינה גרפית, מכפל זה יכול לשנות את אורך הווקטור וניתן לראות אותו בטבלה שלהלן:

אם באופן אלגברי, מוצר וקטורי בעזרת ה- scalar k נוכל לנסח באמצעות נוסחה כמו זו שלמטה:

כפל סקלרי של שני וקטורים ב- R.²

במוצר הסקלרי של שני וקטורים זה יכול להיקרא גם מוצר נקודה של שני וקטורים שאותם נוכל לכתוב להלן:

וקטור ב- R.³

וקטור הממוקם בחלל תלת מימדי (x, y, z) כאשר המרחק בין שתי נקודות הווקטור הוא ב- R.³ אתה יכול לברר על ידי פיתוח הנוסחה הפיתגוראית.

אם הנקודה של A (x₂. y₂. z₂) ו- B (x₂. y₂. z₂) הם:

או אם , אז זה:

וֶקטוֹר ניתן לציין בשתי צורות, כלומר בטור

או בשורה להיות

ניתן לייצג וקטורים גם כשילובים לינאריים של וקטורי בסיס כגון אוֹ ואו

את הדברים הבאים במלואם:

מבצע וקטורי ב- R.³

פעולות וקטוריות ב- R.³ באופן כללי, יש את אותו המושג כמו הפעולות על הווקטור R² בנוסף, חיסור וכפל.

הוספה וחיסור של וקטורים ב- R³

חיבור וחיסור של וקטורים ב- R³ זהה לזה שבווקטור R² כלומר:

כפל וקטורים ב- R³ עם סקלר

אם הוא וקטור ו- k הוא סקלרי. ואז הכפל הווקטורי הופך ל:

התוצר הסקלרי של שני וקטורים

בנוסף לנוסחה ב- R³, יש נוסחה נוספת לתוצר הסקלרי של שני וקטורים. אם ו לאחר מכן הוא:

הקרנה אורתוגונאלית וקטורית

אם הווקטור ā מוקרן לווקטור עוֹקֶץ ונתנו שם  כמו התמונה למטה:

ידוע:

כך:

כדי להשיג את הווקטור:

סימון וקטורי

כפי שהוסבר לעיל, הווקטור כאן מיוצג על ידי שימוש באותיות המקבלות את כיוון הקו שמעליו.

וקטורים יכולים לבוא לידי ביטוי בשני ממדים או אפילו בתלת מימד ומעלה. כאשר הוא בא לידי ביטוי בתלת מימד, יש לווקטור וקטור יחידה המתבטא במונחים של i, j ו- k.

וקטור יחידה הוא וקטור שגודלו הוא יחידה אחת וכיוונו לאורך הציר העיקרי, כלומר:

אני הוא וקטור יחידה בכיוון הציר איקס (אבסיסה)

j הוא וקטור יחידה בכיוון הציר y (לסדר)

k הוא וקטור יחידה בכיוון הציר z (יישום)

עם גַרזֶן כמרכיב כיוון ה- x, ו- a_y רכיבים של כיוון ציר y ו- a_z הוא המרכיב של כיוון ה- z.

טופס כתיבה וקטורי:

במתמטיקה נכתב לעתים קרובות יותר בצורה:

כאשר הרכיב בצורת אינדקס מספרי הוא:

אורך הווקטור (גדול, ערך) כתוב כסימן מוחלט באלגברה

או באינדקס מספרי

אם הווקטור מוגדר על ידי הקואורדינטות

ואז הווקטור AB מיוצג על ידי

אורך וקטורי AB

בינתיים, עבור וקטור היחידה של וקטור המתבטא כ-

מתבטא עם

שאלות לדוגמא ודיון

בעיה 1.

אם ידוע שיש נקודה A (2,4,6), נקודה B (6,6,2), ונקודה C (p, q, -6). אם נקודות A, B ונקודה C נמצאות בשורה, גלה מה הערך של p + q!

תשובה:

אם הנקודות A, B ו- C הן בשורה, אז הווקטור ווקטור זה יכול להיות גם חד כיווני או לכיוונים שונים.

אז יהיה מספר m שהוא מכפיל ויכול ליצור משוואה כמו זו שלמטה:

• M. =

אם B נמצא בין הנקודות A ו- C, זה יתקבל כמוצג להלן:

כדי שתוכל להשיג:

אז ניתן לקבוע מכפילים של m במשוואה:

אז התוצאות שנקבל הן:

כדי שנוכל להסיק מסקנות כדלקמן:

p + q = 10 + 14 = 24

שאלה 2.

אם ידוע שהווקטור בנקודה A ונקודה B והווקטור בנקודה C שנמצא בין קו Ab כפי שמוצג באיור למטה. מצא את המשוואה של וקטור C.

תשובה:

מהתמונה לעיל אנו יכולים לראות כי:

כך:

כך סקירה קצרה של מתמטיקה וקטורית שנוכל להעביר. אני מקווה שהסקירה לעיל של מתמטיקה וקטורית יכולה לשמש כחומר הלימוד שלך.