קואורדינטות קרטזיות: חומר, מערכת, בעיות דוגמה, דיון

קואורדינטות קרטזיות מכונות לעיתים קרובות קואורדינטות מרובעות. המונח מהמילה הקרטזית בה משתמשים הוא להנציח מתמטיקאי ופילוסוף מצרפת בשם רנה דקארט.

הוא היה מומחה שהיה לו תפקיד נהדר בשילוב אלגברה וגיאומטריה.

תוצאות התגלית של דקארט, הקואורדינטות הקרטזיות השפיעו מאוד על התפתחות הגיאומטריה האנליטית, החשבון והקרטוגרפיה.

ראשית הרעיון הבסיסי לשימוש במערכת זו פותחה בשנת 1637 בשני כתבי יצירתו של דקארט.

בשיחת ה- Descartes שלו על השיטה הוא הציג הצעה חדשה להראות את מצבו או המיקום הנקודתי של אובייקט על פני השטח.

השיטה או השיטה היא על ידי שימוש בשני צירים בניצב זה לזה.

בעבודתו הבאה, La Géométrie, הוא גם מעמיק את המושגים שפיתח.

לאחר מכן, הוא הוצג למערכות קואורדינטות אחרות כגון מערכת הקואורדינטות הקוטביות.

פונקציית קואורדינטות קרטזית

במתמטיקה, מערכת הקואורדינטות הקרטזית משמשת לקביעת כל נקודה ב מישור באמצעות שני מספרים המכונים בדרך כלל קואורדינטה x וגם קואורדינטה y של הנקודה.

קואורדינטה x מכונה לעתים קרובות abscissa, ואילו קואורדינטה y מכונה לעתים קרובות ordina.

כדי לפרש את הקואורדינטות, נדרשים שני קווים מכוונים הניצבים זה בזה [ציר x וציר y]. כמו גם אורך היחידה, שמסמן סימנים על שני הצירים.

התבונן היטב בתמונה למטה:

מהתמונה לעיל אנו יכולים לראות כי ישנן 4 נקודות שסומנו. אלה כוללים: [-3,1], [2,3], [-1.5, -2.5] ו- [0,0]. הנקודה [0,0] נקראת גם המקור.

מהתמונה לעיל אנו יכולים גם לראות כי:

מכיוון ששני הצירים מאונכים זה לזה, מישור ה- xy יחולק לארבעה חלקים הנקראים רביעים. ניתן לראות זאת באיור לעיל, מסומן בנקודות [-3,1], בנקודות [2,3], בנקודות [-1.5, -2.5].

על פי האמנה הרלוונטית, ארבעת אזורי הרבע מוזמנים החל מימין למעלה [רביע I], כשהם סובבים נגד כיוון השעון.

ברבע I, שני הקואורדינטות (x ו- y) יהיו חיוביות.

ברבע השני, הקואורדינטה x תהיה שלילית וה- y יהיה חיובי.

ברבע השלישי, שני הקואורדינטות יהיו שליליות.

גם ברבע הרביעי, הקואורדינטה x חיובית וקואורדינטה y תהיה שלילית.

נקודה [2,3] נמצאת ברבע I, נקודה [-3,1] נמצאת ברבע II ונקודה [-1.5, -2.5] נמצאת ברבע III.

או באופן כללי, ארבעת אזורי הרביע ממוינים החל מימין למעלה [רביע I], ומסתובבים נגד כיוון השעון.

ברבע I, שני הקואורדינטות [x ו- y] יהיו חיוביות.

ברבע השני, הקואורדינטה x תהיה שלילית ו- y תהיה חיובית.

ברבע השלישי שתי הקואורדינטות יהיו שליליות, וברביע הרביעי הקואורדינטות x יהיו חיוביות ו- y שליליות [הסתכל אחורה על התמונה למעלה].

מערכת הקואורדינטות הקרטזיות בשני ממדים מוגדרת בדרך כלל על ידי שימוש בשני צירים בניצב זה לזה.

איפה ששני הצירים ממוקמים במישור אחד, כלומר מישור ה- xy. הציר האופקי יתויג כ- x, ואילו הציר האנכי יתויג כ- y.

הנקודה שבה שני הצירים נפגשים, המקור, תסומן בדרך כלל כ- 0.

לכל ציר יש גם אורך יחידה, וכל אורך יסומן כך שהוא יהווה מעין רשת.

כדי לתאר נקודה מסוימת במערכת קואורדינטות דו ממדית, הערך של x נכתב [abscis], ואחריו הערך של y [ordinate].

בדרך זו, הפורמט המשמש תמיד יהיה [x, y] והסדר לא יתהפך.

ניתן להשתמש במערכת הקואורדינטות הקרטזית גם בממדים גבוהים יותר.

לדוגמא: 3 [שלוש] מידות, תוך שימוש בשלושה צירים כלומר ציר ה- x, ציר ה- y וציר ה- z.

אם בשני מימדים הקו הוא במישור ה- xy, אז במערכת הקואורדינטות התלת מימדיות, יתווסף ציר נוסף שלעתים קרובות מסומן כ z.

כאשר ציר ה- z ניצב לציר ה- X ולציר ה- Y [במילים אחרות, ציר ה- x, ציר ה- y וציר ה- z הם בניצב או מאונך זה לזה.].

הטבות קרטזיות

על ידי שימוש במערכת הקואורדינטות הקרטזית ניתן לתאר צורות גיאומטריות כגון עקומות באמצעות משוואות אלגבריות.

בעידן מודרני זה נעשה שימוש נרחב בקואורדינטות הקרטזיות.

להלן כמה מהיתרונות של הקואורדינטות הקרטזיות, כולל:

ראשון:

בחיי היומיום, לעתים קרובות אנו מוצאים תכניות קומה ותמונות מפה.

היכן תפקיד המפה עצמה להקל עלינו במציאת מיקום או מקום או אזור.

כמו כן כשאנחנו רוצים לשלוח מכתב למישהו. בשליחת מכתב למישהו עלינו לדעת את כתובת היעד המלאה והנכונה.

זה נועד להקל על מסירת המכתב עצמו.

לכן, אם נכלול את הכתובת בצורה נכונה ומלאה, המכתב יגיע מהר יותר. במפה יש גם קו רוחב ואורך.

שְׁנִיָה:

בחיי היומיום, מישור הקואורדינטות הקרטזיאני הוא הכרחי בהחלט.

אחד מהם הוא בעניין התעופה.

טייס יכול להטיס את מטוסו מבלי להתנגש זה בזה ויכול לדעת גם אם המטוס הגיע ליעדו.

הסיבה לכך היא שהמטוס צויד בכלים מתוחכמים כמו מכ"ם ככלי זיהוי, מצפן כמדריך, ורדיו ככלי תקשורת.

לכן, על טייס להבין כיצד לקרוא ולקבוע את מיקומו של מקום במישור הקואורדינטות הקרטזיאני.

שְׁלִישִׁי:

בשיעורי מדעי החברה אנו נתקלים לעתים קרובות במפה של פרובינציה או אפילו במפה של מדינה.

את המיקום של עיר, הר, אגם, שדה תעופה, אנו יכולים לחשוב על עמדה. כדי להקל על קריאת מפות, המפה צוידה בקווי הדרכה אופקיים ואנכיים או בקווי רוחב ואורך.

הבסיס להכנת הקו שהוא הבסיס למישור הקואורדינטות.

קביעת נקודה במערכת קואורדינטות קרטזית

המטוס שלמעלה מכונה מישור הקואורדינטות שנוצר על ידי הקו האנכי Y (ציר Y) וקו האופקי X (ציר X).

הנקודה תצטלב בין קו Y לקו X הנקרא מרכז הקואורדינטות (נקודה O).

קואורדינטות אלה ידועות כמישור הקואורדינטות הקרטזיאני. כפי שהוסבר לעיל, נעשה שימוש במישור הקואורדינטות הקרטזיאני לקביעת מיקום הנקודה המתבטאת בזוגות מספרים.

שקול את הנקודות A, B, C ו- D במישור. כדי לקבוע את מיקומו, התחל בנקודה O. לאחר מכן, זז אופקית ימינה (ציר X) ואז העבר למעלה (ציר Y).

המיקום של נקודה במישור הקואורדינטות הקרטזיאני נכתב כצמד מספרים (x, y), כאשר:

• x נקרא abscissa, ו-
• y נקרא סמיכה.

במישור הקואורדינטות, ואז:

• נקודה A נמצאת בקואורדינטות (1,0), כתובה כ- A (1,0).
• נקודה B נמצאת בקואורדינטות (2,4), כתובה כ- B (2,4).
• נקודה C נמצאת בקואורדינטות (5,7), כתובה כ- C (5,7).
• ונקודה D נמצאת בקואורדינטות (6,4) שנכתבות עם D (6,4).

במישור הקואורדינטות הקרטזיאני נוכל להרחיב אותו כך שיהיה כמו בתמונה למטה:

לדוגמא:

• הקואורדינטות של נקודה E הן (2,2)
• הקואורדינטות של נקודה F, כלומר (-2.1), מתקבלות על ידי מעבר אופקי שמאלה החל מנקודה O עד שתי יחידות ואז אנכית למעלה על ידי יחידה אחת.
• הקואורדינטות של נקודה G, כלומר (-3, -3), מתקבלות על ידי מעבר אופקי שמאלה החל מנקודה O עד שלוש יחידות ואז אנכית כלפי מטה על ידי שלוש יחידות.

שאלות לדוגמא ודיון

בעיה 1.

התיאום של נקודה A (9, 21) הוא ...

א. -9
ב. 9
ג. -21
ד. 21

תשובה:

באופן כללי, כתיבת נקודה = (abscis, ordinate). בבעיה שלמעלה נקודה A (9, 21) מראה אם:

Abscis = 9

סמיכה = 21

התשובה הנכונה היא ד.

שאלה 2.

בהתחשב בנקודות P (3, 2) ו- Q (15, 13). הקואורדינטות היחסיות של נקודה Q עד P הן ...

א. (12, 11)
ב. (12, 9)
ג. (18, 11)
ד. (18, 13)

תשובה:

אנו יכולים למצוא את הקואורדינטות היחסיות של נקודה Q לנקודה P על ידי חיסור:

א. Abscissa Q מינוס abscissa P

ב. Q סמיכה מינוס P סמיכה

לפיכך, הקואורדינטות היחסיות של Q ביחס ל- P הן:

(15 – 3, 13 – 2) = (12, 11)

אז התשובה הנכונה היא A.

בעיה 3.

נקודות A (3, 2), B (0, 2) ו- C (-5, 2) הן הנקודות שעוברות על ידי הקו p. אם קו q הוא קו מקביל לשורה p, אז קו q יהיה ...

א. במקביל לציר ה- X
ב. במקביל לציר ה- y
ג. מאונך לציר ה- X
ד. מאונך לציר ה- y

תשובה:

כדי להקל עלינו לענות על השאלות לעיל, בואו נצייר על מישור קרטזי:

בתמונה לעיל ניתן לראות כי הקו p מקביל לציר ה- X. מכיוון שקו q מקביל לקו p, קו q מקביל גם לציר x.

אז התשובה הנכונה היא A.

בעיה 4.

ידוע שהקווים p ו- q הם שני קווים ישרים שלא מצטלבים למרות שהוארכו עד אינסוף.

מיקומי השורות p ו- q הם ...

א. לְהִצְטוֹפֵף
ב. מַקְבִּיל
ג. לַחֲצוֹת
ד. לְהִצְטָלֵב

תשובה:

שני קווים שלא מצטלבים למרות שהם מורחבים הם שני קווים מקבילים.

אז התשובה הנכונה היא B.

שאלה 5.

בהתבסס על האיור שלהלן, ניתן לקבוע כי:

(i) AB מקביל ל- EF.
(ii) BC חוצה GC
(iii) לספירה חופפת לפנה"ס.
(iv) EF מצטלב עם GF.

מההצהרה לעיל, הנכון הוא ...
א. (i) ו- (ii)
ב. (ii) ו- (iii)
ג. (iii) ו- (iv)
ד. (i) ו- (iv)

תשובה:

תסתכל על התמונה של הקורה למעלה:

א. AB מקביל ל- EF, ואז (i) נכון
ב. BC מצטלב עם GC בנקודה C, ואז (ii) הוא שקר
ג. AD מקביל לפנה"ס, ואז (iii) הוא שקר
ד. EF מצטלב ב- GF בנקודה F, ואז (iv) נכון

אז התשובה הנכונה היא ד.

שאלה 6.

גָדוֹל

א. רֶפלֶקס
ב. לְהַקְהוֹת
ג. מרפקים
ד. לְהִתְחַדֵד

תשובה:

זווית P מודדת 113 מעלות, כלומר זווית P היא זווית עמומה.

זווית קהה היא זווית שנמצאת בטווח של 90 מעלות עד 180 מעלות.

אז התשובה הנכונה היא B.

שאלה 7.

מדד הזווית על שעון השעה כשהוא מראה 03.00 הוא ...

א. 180°
ב. 90°
ג. 60°
ד. 30°

תשובה:

בשעה 03.00, היד הקצרה תצביע על המספר 3 ואילו היד הארוכה תצביע על המספר 12, ולכן הזווית שנוצרה היא 90 מעלות.

אז התשובה הנכונה היא B.

שאלה 8.

הבט בתמונה שלמטה!

זוגות הזוויות הנגדיות הם ...

א. ב. ג. ד.

תשובה:

בואו נדון אחת אחת מהאפשרויות לעיל:

א. אפשרות A שגויה, כי היא צריכה להיות ב. אפשרות ב 'שגויה, כי היא צריכה להיות ג. אפשרות ג 'נכונה, כלומר ד. אפשרות ד 'שגויה, כי היא צריכה להיות

אז התשובה הנכונה היא ג.

בעיה 9.

צמד הזוויות הפנימיות הנגדיות בתמונה לעיל הם ...

א. 2 ו 8
ב. 4 ו -6
ג. 3 ו -8
ד. 1 ו -5

תשובה:

בואו נדון אחת אחת מהאפשרויות לעיל:

א. 2 ו- 8 הם זוגות של זוויות פנים מנוגדות.
ב. 4 ו -6 הם זוגות של זוויות חיצוניות מנוגדות.
ג. 3 ו- 8 הם זוגות של זוויות פנים חד צדדיות.
ד. 1 ו- 5 הם זוגות של זוויות מנוגדות.

אז התשובה הנכונה היא A.

שאלה 10.

השלמת הזווית של 48 מעלות היא ...

א. 42°
ב. 52°
ג. 68°
ד. 138°

תשובה:

השלמה = 90 - 48 = 42

אז התשובה הנכונה היא A.

קרא גם: תבנית מספרים

זו סקירה קצרה הפעם על הקואורדינטות הקרטזיות שנוכל להעביר. יש לקוות שהסקירה הנ"ל של הקואורדינטות הקרטזיות יכולה לשמש כחומר הלימוד שלך.