משוואות ריבועיות: הגדרה, סוגים, מאפיינים, נוסחאות

משוואות ריבועיות: הגדרה, סוגים, מאפיינים, נוסחאות ובעיות דוגמא - מהי משוואה ריבועית ונוסחת השורש שלה? בהזדמנות זו אודות Knowledge.co.id ידון האם זו משוואה ריבועית, נוסחת השורש ודברים אחרים הסובבים אותה. בואו נסתכל על הדיון במאמר למטה כדי להבין אותו טוב יותר.

משוואות ריבועיות: הגדרה, סוגים, מאפיינים, נוסחאות ובעיות דוגמא

---

במתמטיקה, ריבוע פירושו שהשורש הריבועי של המספר x שווה למספר r כך ש- r2 = x, או, במילים אחרות, המספר r אשר בריבוע (תוצר המספר עצמו) שווה איקס.

המשוואה הריבועית היא משוואה של המשתנה בעל הכוח הגבוה ביותר של שניים. הצורה הכללית היא: כאשר a, b, הם מקדמים, ו- c הוא קבוע, ו- 0. הפתרון או הפתרון של משוואה נקראים שורשי המשוואה הריבועית.

---

מיני שורשים של משוואות ריבועיות

כדי לקבוע את סוגי השורשים של משוואה ריבועית, נוכל גם להשתמש בנוסחה D = b2 - 4ac. אם נוצר הערך של D אז נמצא את השורשים בקלות. להלן מספר סוגים נפוצים של משוואות ריבועיות:

• שורש אמיתי (D 0)
  

»שורשים אמיתיים נבדלים כאשר = D> 0

דוגמא:

קבע את סוג השורש של המשוואה הבאה:

x2 + 4x + 2 = 0!

פִּתָרוֹן:
מהמשוואה = x2 + 4x + 2 = 0

ידוע :

a = 1
b = 4
c = 2

תשובה:

D = b2 - 4ac
D = 42 - 4 (1) (2)
D = 16 - 8
D = 8 (D> 8, אז גם השורש הוא שורש אמיתי אך שונה)

»שורשים אמיתיים שווים x1 = x2 אם D = 0

דוגמא:
הוכיח שלמשוואה הבאה יש שורשים אמיתיים תאומים:

2 × 2 + 4x + 2 = 0

פִּתָרוֹן:
מהמשוואה = 2 × 2 + 4x + 2 = 0

ידוע :

a = 2
b = 4
c = 2

תשובה:

D = b2 - 4ac
D = 42 - 4 (2) (2)
D = 16 - 16
D = 0 (D = 0, הוכח שהשורשים אמיתיים ותאומים)

• שורש דמיוני / לא אמיתי (D <0)

דוגמא:
קבע את סוג השורש של המשוואה הבאה:

x2 + 2x + 4 = 0!

פִּתָרוֹן:
מהמשוואה = x2 + 2x + 4 = 0

ידוע :

a = 1
b = 2
c = 4

תשובה:

D = b2 - 4ac
D = 22 - 4 (1) (4)
D = 4 - 16
D = -12 (D <0, אז השורשים אינם אמיתיים)

•  שורש רציונלי (D = k2)

דוגמא:
קבע את סוג השורש של המשוואה הבאה:

x2 + 4x + 3 = 0

פִּתָרוֹן:

ממשוואה = x2 + 4x + 3 = 0

ידוע :

a = 1
b = 4
c = 3

תשובה:

D = b2 - 4ac
D = 42 - 4 (1) (3)
D = 16 - 12
D = 4 = 22 = k2 (מכיוון ש- D = k2 = 4 אז שורש המשוואה הוא שורש רציונלי)

---

נוסחת שיטה לקביעת שורש משוואה ריבועית

הצורה הכללית של משוואה ריבועית: ax2 + bx + c = 0 כאשר 0. ניתן לקבוע את המפלה על ידי D = b2 - 4ac.

• אם הערך של D> 0, אז למשוואה הריבועית יש שני שורשים אמיתיים.
• אם הערך D = 0, אז למשוואה הריבועית יש שני שורשים שווים (תאומים).
• אם לערך D <0, אז למשוואה הריבועית אין שורשים אמיתיים (יש לה שורשים דמיוניים).

ישנן שלוש שיטות לקביעת שורשיה של משוואה ריבועית:

• שיטת פקטורינג

הצורה הכללית של משוואה ריבועית היא ax2 + bx + c = 0 כאשר 0.

קביעת שורשי המשוואה הריבועית בשיטת פקטורינג, התוצאה הסופית של פקטורינג היא בצורה של (x - x1) (x - x2) = 0.

בצורה זו, x1 ו- x2 הם שורשי המשוואה הריבועית.

• שיטת השלמת ריבועים מושלמים

פתרון שורשי משוואה ריבועית של הצורה ax2 + bx + c על ידי השלמת ריבוע מושלם יכול להיעשות על ידי המרתו לצורה (x + p) 2 = q.

לאחר מכן, ניתן לפתור אותה על ידי (x + p) = q ו- - (x + p) = q.

• שיטת הנוסחה ABC

נוסחת ABC נכתבת באופן הבא.

הצורה הכללית של משוואה ריבועית: ax2 + bx + c = 0 כאשר 0.

---

מאפייני שורשי משוואה ריבועית

למשוואות ריבועיות יש גם כמה סוגים, שהם כדלקמן:

שורשי המשוואה הריבועית נקבעים במידה רבה על ידי הערך המבדיל (D = b2 - 4ac) המבדיל את סוגי השורשים של המשוואה הריבועית ל- 3, כלומר:

• אם D> 0, אז למשוואה הריבועית יש שני שורשים אמיתיים מובחנים.
  • אם D הוא ריבוע מושלם, אז שני השורשים הם רציונליים.
  • אם D אינו ריבוע מושלם, הרי ששני השורשים אינם רציונליים.
• אם D = 0, אז למשוואה הריבועית יש שני שורשים שווים (שורשים תאומים), אמיתיים ורציונליים.
• אם D

טופס הרחבה לשורשים אמיתיים:

• שני השורשים החיוביים:
  • D 0
  • x1 + x2> 0
  • x1 x2> 0
• שני שורשים שליליים:
  • D 0
  • x1 + x2 <0
  • x1 x2> 0
• שני השורשים הם סימנים שונים:
  • D> 0
  • x1 x2 <0
• שני שורשים חתומים שווים:
  • D 0
  • x1 x2> 0
• שני השורשים זה מול זה:
  • D> 0
  • x1 + x2 = 0 (b = 0)
  • x1 x2 <0
• שני השורשים קשורים הפוך:
  • D> 0
  • x1 + x2 = 1 (c = a)

דוגמאות לשורשים של משוואות ריבועיות

1. קבע את סוג השורש של המשוואה הבאה:

x2 + 4x + 2 = 0!

פִּתָרוֹן:
מהמשוואה = x2 + 4x + 2 = 0

ידוע :

a = 1
b = 4
c = 2

תשובה:

D = b2 - 4ac
D = 42 - 4 (1) (2)
D = 16 - 8
D = 8 (D> 8, אז גם השורש הוא שורש אמיתי אך שונה)

2. יש משוואה ריבועית 2 × 2 - 2x - 12 = 0. קבעו את שורשי המשוואה הריבועית בשיטת הפקטורינג, בשיטת השלמת הריבוע ובנוסחת ABC.
דִיוּן

• שיטת פקטורינג

2 × 2 - 2x - 12 = 0

2 (x2 - x - 6) = 0

2 × 2 - 2x - 12 = 0

2 (x - 3) (x + 2) = 0

x - 3 = 0 או x + 2 = 0

x = 3 או x = -2

שורשי המשוואה הריבועית: 3 ו- -2

• שיטת השלמת ריבועים מושלמים

• באמצעות נוסחת ABC

שורשי המשוואה הריבועית: 3 ו- -2.

זו הסקירה של אודות Knowledge.co.id על אודות משוואה ריבועית, אני מקווה שזה יכול להוסיף לתובנה והידע שלך. תודה שביקרת ואל תשכח לקרוא מאמרים אחרים.