אינטגרל בלתי מוגדר: הגדרה, נוסחאות, מאפיינים והמשך

אינטגרל בלתי מוגדר: הגדרה, נוסחאות, מאפיינים ובעיות דוגמא - מה הכוונה באינטגרל בלתי מוגדר וכיצד לחשב את הפעולות המתמטיות? בשלב זה אודות Knowledge.co.id ידון במה אינטגרל בלתי מוגדר ובדברים המקיפים אותו. בואו נסתכל על הדיון במאמר למטה כדי להבין אותו טוב יותר.

אינטגרל בלתי מוגדר: הגדרה, נוסחאות, מאפיינים ובעיות דוגמא

---

אינטגרל הוא צורה של פעולה מתמטית שהופכת להיות הפוכה או המכונה בדרך כלל הפוכה של הפעולה הנגזרת. כמו גם מגבלת המספר והשטח של אזור מסוים.

ישנם שני סוגים של דברים שחייבים להתבצע בפעולות אינטגרליות, שניהם סווגו לשני סוגים של אינטגרלים. בין היתר: אינטגרל כהפוך או הפוך מהנגזרת או המכונה גם האינטגרל הבלתי מוגדר. ושנית, אינטגרל כגבול של מספר או אזור מסוים הנקרא אינטגרל מוגדר.

אינטגרל בלתי מוגדר (באנגלית: indefinite integral) או נוגד-נטיב הוא סוג של פעולת אינטגרציה של פונקציה המייצרת פונקציה חדשה. לפונקציה זו אין ערך מוגדר (בצורה של משתנה) כך שדרך האינטגרציה שמייצרת פונקציה בלתי מוגדרת נקראת "אינטגרל לא מוגדר".

אם f הוא אינטגרל בלתי מוגדר של פונקציה F, אז F '= f. התהליך לפתרון תרופות אנטי-תרופות הוא אנטי-דיפרנציאציה אינטגרלים באמצעות "משפטים בסיסיים של חשבון", ומספק דרך קלה לחישוב אינטגרלים של שונים פוּנקצִיָה.

כאמור, אינטגרל בלתי מוגדר או באנגלית מכונה בדרך כלל אינטגרל בלתי מוגדר או שיש גם מי שקורא לזה אנטיבירטיב הוא סוג של פעולת אינטגרציה על פונקציה שמייצרת פונקציה חָדָשׁ.

לפונקציה זו אין ערך מוגדר עד שדרך האינטגרציה המייצרת פונקציה בלתי מוגדרת נקראת אינטגרל בלתי מוגדר. אם f הוא אינטגרל בלתי מוגדר של פונקציה F, אז F '= f.

תהליך פיתרון אנטי-תרבויות הוא אנטי-דיפרנציאציה. אנטי-אנטי-אנטיווטיבים קשורים לאינטגרלים באמצעות "משפט בסיסי של חשבון". זה גם מספק דרך קלה לחישוב אינטגרלים של פונקציות שונות.

כפי שהוסבר קודם, אינטגרלים בלתי מוגדרים במתמטיקה הם ההפך מהנגזרת. הנגזרת של פונקציה, כשהיא משולבת, תייצר את הפונקציה עצמה.

בואו נסתכל היטב על הדוגמאות של חלק מהנגזרות בפונקציה האלגברית להלן:

• הנגזרת של הפונקציה האלגברית y = x³ הוא y^אני = פי 3²
• הנגזרת של הפונקציה האלגברית y = x³ + 8 הוא y^אני = פי 3²
• הנגזרת של הפונקציה האלגברית y = x³ +17 הוא y^אני = פי 3²
• הנגזרת של הפונקציה האלגברית y = x³ - 6 הוא y^אני = פי 3²

כפי שלמדנו בחומר הגזירה, המשתנים בפונקציה מנווונים.

בהתבסס על הדוגמה לעיל, אנו יכולים לראות שאם יש פונקציות רבות שיש להן נגזרת זהה, y^אני = פי 3².

פונקציה של משתנה x³ כמו גם פונקציה של המשתנה x³ מופחתים או מתווספים למספר (לדוגמא: +8, +17 או -6) יש נגזרת זהה.

אם אנו משלבים את הנגזרת, אז זה צריך להיות הפונקציות הראשוניות לפני שנגזרות.

עם זאת, במקרה בו לא ידוע על הפונקציה הראשונית של נגזרת, אנו יכולים לכתוב את התוצאה האינטגרלית של הנגזרת כ:

f (x) = y = x³ + ג

עם ערך C יכול להיות כל דבר. סימון C זה מכונה גם קבוע אינטגרלי. האינטגרל הבלתי מוגדר של פונקציה מסומן כדלקמן:

בסימון הנ"ל אנו יכולים לקרוא את האינטגרל ביחס ל- x ". סימון נקרא אינטגרל. באופן כללי, האינטגרל של הפונקציה f (x) הוא סכום ה- F (x) עם C או:

מכיוון שהאינטגרל וגם הנגזרת קשורים, ניתן להשיג את הנוסחה האינטגרלית מנוסחת הנגזרת. אם נגזרת:

ואז מתקבלת הנוסחה האינטגרלית האלגברית:

בתנאי שאם n 1

לדוגמה, שקול חלק מהאינטגרלים האלגבריים של הפונקציות הבאות:

• כיצד לקרוא אינטגרלים בלתי מוגדרים

לאחר קריאת התיאור למעלה, האם אתה יודע לקרוא משפטים אינטגרליים? האינטגרל קורא כך:

מה שקוראים אינטגרל בלתי מוגדר של הפונקציה f (x) כנגד משתנה X.

---

נוסחה כללית אינטגרלית

להלן נוסחה כללית לאינטגרלים:

• פיתוח פורמולה אינטגרלית

בואו נסתכל היטב על הדוגמאות של חלק מהנגזרות בפונקציה האלגברית להלן:

• הנגזרת של הפונקציה האלגברית y = x³ הוא y^אני = פי 3²
• הנגזרת של הפונקציה האלגברית y = x³ + 8 הוא y^אני = פי 3²
• הנגזרת של הפונקציה האלגברית y = x³ +17 הוא y^אני = פי 3²
• הנגזרת של הפונקציה האלגברית y = x³ - 6 הוא y^אני = פי 3²

---

מאפיינים אינטגרליים

המאפיינים של האינטגרל כוללים:

• k. f (x) dx = k. f (x) dx (כאשר k הוא קבוע)
• f (x) + g (x) dx = (x) dx + g (x) dx
• f (x) - g (x) dx = f (x) dx - g (x) dx

---

קביעת משוואת העקומה

שיפוע ומשוואת המשיק לעקומה בנקודה.

אם y = f (x), שיפוע המשיק לעקומה בכל נקודה בעקומה הוא y '= = f' (x).

לכן, אם ידוע על שיפוע המשיק, ניתן לקבוע את משוואת העקומה באופן הבא:

y = f '(x) dx = f (x) + c

אם ידועה אחת הנקודות שעוברות דרך העקומה, ניתן לדעת את הערך של c כך שניתן לקבוע את משוואת העקומה.

---

דוגמאות לבעיות אינטגרליות

---

בעיה 1

שאלה 2.

ידוע שהנגזרת של y = f (x) היא = f '(x) = 2x + 3

אם העקומה y = f (x) עוברת דרך הנקודה (1, 6), ואז קבע את משוואת העקומה.

תשובה:

f '(x) = 2x + 3.
y = f (x) = (2x + 3) dx = x2 + 3x + c.

עקומת הנקודה (1, 6) פירושה ש f (1) = 6 כך שניתן לקבוע את הערך של c, כלומר 1 + 3 + c = 6 c = 2.

אז משוואת העקומה המדוברת היא:

y = f (x) = x2 + 3x + 2.

בעיה 3.

חפש תוצאות מ²₁ 6x² dx!

שאלה 4

שיפוע המשיק לעקומה בנקודה (x, y) הוא 2x - 7. אם העקומה עוברת בנקודה (4, -2), קבע את משוואת העקומה.

תשובה:

f '(x) = = 2x - 7
y = f (x) = (2x - 7) dx = x2 - 7x + c.

מכיוון שהעקומה עוברת דרך הנקודה (4, -2)
לאחר מכן:

f (4) = –2 42 - 7 (4) + c = -2
–12 + c = –2
c = 10

אז משוואת העקומה היא:

y = x2 - 7x + 10.

מה הערך האינטגרלי המובהק של^-2_-2 3x² - 2x + 1dx?

חשב את האינטגרל המובהק של⁹₄ 1 / √x dx!