סגור
תַפרִיט

נגזרות של פונקציות אלגבריות: נוסחאות, יישומים, סימון, פ

  • הנוסחה הנגזרת של הכוח של הפונקציה pangkat

f (x) = (u (x)) ^ n

זכרו אם f (x) = x ^ n, לאחר מכן:

f '(x) = \ frac {df (x)} {dx} = \ frac {dx ^ n} {dx} = nx ^ n-1

כי f (x) = (u (x)) ^ n = u ^ n, לאחר מכן:

f '(x) = \ frac {df (x)} {dx} = \ frac {du ^ n} {dx} \ cdot \ frac {du} {du}

אוֹ

f '(x) = \ frac {du ^ n} {du} \ cdot \ frac {du} {dx} = nu ^ {n-1} \ cdot u'

אז הנוסחה לנגזרת של הפונקציה היא:

f '(x) = nu ^ (n-1) \ cdot u'

נוסחאות נגזרות טריגונומטריות

בהתבסס על הגדרת הנגזרת, אנו יכולים לקבל מספר נוסחאות נגזרת טריגונומטריות, כלומר כדלקמן: (עם פונקציות u ו- v בהתאמה של x), כולל: y '=

  1. y = sin x → y '= cos x
  2. y = cos x → y '= -sin x
  3. y = שזוף x → y ’= שניות2 איקס
  4. y = מיטת תינוק x → y ’= -csc2 איקס
  5. y = שניות x → y '
  6. y = csc x → y ’= csc × cot x
  7. y = חטאנ xy '= n חטאn-1 × cos x
  8. y = cosנ x → y '= -n cosn-1 × חטא x
  9. y = sin u → y '= u' cos u
  10. y = cos u → y '= u' sin u
  11. y = tan u → y ’= ui sec2 u
  12. y = עריסה u → y '= -u' csc2 u
  13. y = sec u → y ’= u’ sec u tan u
  14. y = csc u → y ’= u’ csc u cot u
  15. y = חטאנ u → y '= n.u' חטאn-1 בגלל שאתה
  16. y = cosנ u → y '= -n.u' cosn-1 . חטא

אפליקציות נגזרות

  • קבעו את שיפוע המשיק לעקומה

שיפוע קו המשיק (m) בעקומה y = f (x) מנוסח כך:

m = y '= f' (x)

משוואת המשיק לעקומה y = f (x) בנקודת המישוש (x_1, y_1) מנוסח כ:

y - y_1 = m (x - x_1) \ rightarrow m = f '(x_1)

  • קבע את מרווח הזמן של פונקציה עולה ויורדת

    • התנאי לפונקציית המרווח עולה \ rightarrow f '(x)> 0
    • תנאים למרווח הפונקציה היורד \ rightarrow f '(x) <0

  • קבע את הערך הנייח של פונקציה וסוגה

instagram viewer

אם הפונקציה y = f (x) רציפה ומובחנת ב- x = a ו- f '(x) = 0, אז לפונקציה יש ערך סטטיסטי ב- x = a. סוג הערך הנייח של הפונקציה y = f (x) יכול להיות ערך החזר מינימלי, ערך החזר מרבי או ערך הפוך. ניתן לקבוע סוג זה של נייח באמצעות הנגזרת השנייה של הפונקציה.

    • ערך מקסימלי \ rightarrow f '(x) = 0 ו \ rightarrow f "(x) <0

אם f '(x_1) = 0 ו f '(x_1) <0, לאחר מכן f '(x_1) הוא ערך ההחזרה המרבי של הפונקציה y = f (x) והנקודה (x_1 f (x)) היא נקודת המפנה המרבית של העקומה y = f (x).

    • ערך מינימלי \ rightarrow f '(x) = 0 ו f "(x)> 0

אם f '(x_1) = 0 ו f '(x_1)> 0 , לאחר מכן f (x_1) הוא ערך ההחזר המינימלי של הפונקציה y = f (x) ונקודה (x_1f (x)) היא נקודת המפנה המינימלית של העקומה y = f (x).

    • הפוך ערך \ rightarrow f '(x) = 0 ו f "(x) = 0

אם f '(x_1) = 0 ו f '' (x_1 = 0), לאחר מכן f (x_1) הוא ערך הטיה של הפונקציה y = f (x) והנקודה (x_1f (x)) היא נקודת הטיה של העקומה y = f (x).

  • לפתור בעיות מגבלה בלתי מוגבלות \ frac {0} {0} אוֹ \ frac {\ infty} {\ infty}

אם \ lim \ limits_ {x \ to a} \ frac {f (x)} {g (x)} הוא גבול של צורה בלתי מוגבלת \ frac {0} {0} אוֹ \ frac {\ infty} {\ infty}, אז הפתרון יכול להשתמש בנגזרות, כלומר f (x) ו- g (x) נגזרים בהתאמה.

\ lim \ limits_ {x \ to a} \ frac {f (x)} {g (x)} = \ lim \ limits_ {x \ to a} \ frac {f '(x)} {g' (x) } = \ frac {f '(a)} {g' (a)}

אם עם הנגזרת הראשונה נוצרה צורה מסוימת, אז הצורה המסוימת הזו היא הפיתרון. עם זאת, אם הנגזרת הראשונה עדיין מייצרת צורה בלתי מוגדרת, אזי f (x) ו- f (x) מצטמצמים עוד יותר עד לקבלת צורה מסוימת. שיטת פתרון זו נקראת משפט ל'הופיטל.

  • קבע את הנוסחה למהירות ולהאצה

אם ידועה הנוסחה או המשוואה למיקום התנועה של אובייקט כפונקציה של זמן, כלומר s = f (t), ניתן לקבוע את הנוסחה למהירות ומהירות, כלומר:

    • נוסחת מהירות \ rightarrow v = s '= f' (t)
    • נוסחת תאוצה \ rightarrow a = s

סימון נגזר

הנגזרת של הפונקציה f (x) ביחס ל- x מוגדרת על ידי:

נוסחה נגזרת של פונקציית כוח

בתנאי שהמגבלה קיימת.

את הנגזרת הראשונה של הפונקציה y = f (x) ב- x ניתן לכתוב באופן הבא:

  • y '= f'x lagrange
  • סימון נגזר לייבניץ
  • דאיקסy = Dאיקס[f (x)] ⇒ אוילר

מההגדרה לעיל, אנו יכולים לגזור כמה נוסחאות נגזרות להלן:

  • f (x) = k f '(x) = 0
  • f (x) = k x f '(x) = k
  • f (x) = xנ f '(x) = nxn-1
  • f (x) = k u (x) f '(x) = k u' (x)
  • f (x) = u (x) ± v (x) f '(x) = u' (x) ± v '(x)

עם k = קבוע

שקול את הדוגמאות הבאות:

  • f (x) = 5 f '(x) = 0
  • f (x) = 2x f '(x) = 2
  • f (x) = x2 f '(x) = 2x2-1 = 2x
  • y = 2x4 y '= 2. 4x4-1 = 8x3
  • y = 2x4 + x2 2x y '= 8x3 + 2x 2

קרא גם:נוסחאות קונוס, מאפיינים, מאפיינים, אלמנטים ודוגמאות

כדי למצוא את הנגזרת של פונקציה המכילה שורש או שבר, הצעד הראשון שעלינו לעשות הוא להמיר את הפונקציה למעריכים.

להלן מספר מאפיינים של שורשים ומעריכים המשמשים לעתים קרובות, בין היתר:

  • איקסM. איקסנ = xm + n
  • איקסM/איקסנ = xM N
  • 1 / xנ = x-נ
  • x = x1/2
  • נxm = xM N

דוגמא:

בעיה 1.

מצא את הנגזרת של f (x) = x√x

תשובה:

f (x) = x√x = x. איקס1/2 = x3/2

f (x) = x3/2 →

דוגמה 1

שאלה 2.

קבע את הנגזרת של 2

תשובה:

תשובה 2
נגזרות של פונקציות אלגבריות: נוסחאות, יישומים, סימון, כפל, חלוקה של שתי פונקציות ובעיות דוגמה

כפל וחלוקה של שתי פונקציות

נניח y = uv, אז הנגזרת של y יכולה לבוא לידי ביטוי כ:

y '= u'v + uv'

נניח y = u / v, אז הנגזרת של y יכולה להתבטא כ:

נגזר

דוגמה לבעיות.

בעיה 1.

הנגזרת של f (x) = (2x + 3) (x2 + 2) כלומר:

תשובה:

לדוגמה:

u = 2x + 3 u '= 2
v = x2 + 2 v '= 2x

f '(x) = u' v + u v '
f '(x) = 2 (x2 + 2) + (2x + 3) 2x
f '(x) = 2x2 + 4 + 4x2 + 6x
f '(x) = 6x2 + 6x + 4

כלל שרשרת

אם y = f (u), כאשר u היא פונקציה שניתן לגזור ביחס ל- x, אז הנגזרת של y ביחס ל- x יכולה לבוא לידי ביטוי בצורה: דyדאיקס=דyדu×דuדאיקס

מתפיסת כלל השרשרת לעיל, אז עבור y = uנ, יקבל: דyדאיקס=ד(uנ)דu×דuדאיקס

y′=נuנ−1.u′

באופן כללי ניתן לומר כדלקמן:

אם f (x) = [u (x)]נ כאשר u (x) היא פונקציה שניתן לגזור ביחס ל- x, ואז: f′(איקס)=נ[u(איקס)]נ−1.u′(איקס)

מתפיסת כלל השרשרת לעיל, אז עבור y = uנ, יקבל:

באופן כללי ניתן לומר כדלקמן:

אם f (x) = [u (x)]נ כאשר u (x) היא פונקציה שניתן לגזור על x, ואז:

f '(x) = n [u (x)]n-1. u '(x)

דוגמה לבעיות.בעיה 1.

מצא את הנגזרת של f (x) = (2x + 1)4

תשובה:

לדוגמה:

u (x) = 2x + 1 u '(x) = 2
n = 4
f '(x) = n [u (x)]n-1. u '(x)
f '(x) = 4 (2x + 1)4-1 . 2
f '(x) = 8 (2x + 1)3 

שאלה 2.

מצא את הנגזרת של y = (x2 3x)7

תשובה:

y '= 7 (x2 3x)7-1 . (2x 3)
y '= (14x 21). (איקס2 3x)6

שאלות לדוגמא ודיון

בעיה 1

הנגזרת הראשונה של f (x) = 4 \ sqrt {2x ^ 3 - 1} הוא

דיון 1:

בעיה זו היא פונקציה של הצורה y = או ^ ן שניתן לפתור באמצעות הנוסחה y '= n \ cdot a \ cdot u ^ {n-1} \ cdot u'. לאחר מכן:

f (x) = 4 \ sqrt {2x ^ 3-1} = 4 (2x ^ 3-1) ^ {\ frac {1} {2}}

אז הנגזרת:

f '(x) = \ frac {1} {2} \ cdot 4 (2x ^ 3-1) ^ {- \ frac {1} {2}} \ cdot 6x ^ 2
= 2 (2x ^ 3-1) \ cdot 6x ^ 2
= 12x ^ 2 (2x ^ 3-1) ^ {- \ frac {1} {2}}
= \ frac {12x ^ 2} {(2x ^ 3-1) ^ {\ frac {1} {2}}}
= \ frac {12 ^ 2} {\ sqrt {2x ^ 3-1}}

בעיה 2

מצא את הנגזרת הראשונה של

f (x) = \ frac {6} {\ sqrt [3] {\ sin (3x- \ frac {\ pi} {5})}}

דיון 2:

כדי לפתור בעיה זו, השתמש בנוסחה המעורבת: f '(x) = \ frac {u'v-uv'} {v ^ 2} וגם y '= n \ cdot u' \ sin ^ {n-1} u \ cdot \ cos u . כך:

f (x) = \ frac {6} {\ sqrt [3] {sin (3x- \ frac {\ pi} {5})}}
f (x) = \ frac {6} {(sin (3x- \ frac {\ pi} {5})) ^ {\ frac {1} {2}}}
f '(x) = \ frac {0 - 6 \ cdot 3 \ cdot \ frac {1} {3} (\ sin (3x - \ frac {\ pi} {5})) ^ {- \ frac {2} {3}} \ cdot \ cos (3x - \ frac {\ pi} {5})} {(\ sin (3x - \ frac {\ pi} {5})) ^ \ frac {2} {3}}
f '(x) = \ frac {-6 (sin (3x- \ frac {\ pi} {5})) ^ {- \ frac {2} {3}}. cos (3x- \ frac {\ pi} {5})} {(sin (3x- \ frac {\ pi} {5})) ^ {\ frac {2} {3}}}. \ frac {(sin (3x- \ frac {\ pi} {5})) ^ {\ frac {1} {3}}} {(sin (3x- \ frac {\ pi} {5})) ^ { - \ frac {1} {3}}}
f '(x) = \ frac {-6 (sin (3x- \ frac {\ pi} {5})) ^ {- 1} cos (3x- \ frac {\ pi} {5})} {\ sqrt [3] {sin (3x- \ frac {\ pi} {5}})}
f '(x) = \ frac {-6cot (3x- \ frac {\ pi} {5})} {\ sqrt [3] {sin (3x- \ frac {\ pi} {5})}}

בעיה 3

קבע את הערך המקסימלי של f (x) = x ^ 3 - 6x ^ 2 + 9x במרווח -1 x 3.

דיון 3:

זכור שהתנאי לערך המרבי של הפונקציה f (x) הוא f '(x) = 0 ו f "(x) <0 לאחר מכן:

  • f_ {מקס} אם f '(x) = 0
3x ^ 2 - 12x + 9 = 0
x ^ 2 - 4x + 3 = 0
(x - 1) (x - 3) = 0

ו x_1 = 1 ו x_2 = 3

f_ {max} = f (1) = 1 ^ 3 - 6.1 ^ 2 + 9.1
f_ {max} = 4

בעיה 4.

נגזרת של f (x) = (x - 1)2(2x + 3) הוא ...

תשובה:

לדוגמה:

u = (x 1)2 u '= 2x 2
v = 2x + 3 v '= 2

f '(x) = u'v + uv'
f '(x) = (2x 2) (2x + 3) + (x 1)2. 2
f '(x) = 4x2 + 2x 6 + 2 (x2 2x + 1)
f '(x) = 4x2 + 2x 6 + 2x2 4x + 2
f '(x) = 6x2 2x 4
f '(x) = (x 1) (6x + 4) או
f '(x) = (2x 2) (3x + 2)

שאלה 5.

אם f (x) = x² - (1 / x) + 1, אז f '(x) =... .

א. x - x²
ב. x + x²
ג. 2x - x-2 + 1
ד. 2x - x2 – 1
ה 2x + x-2

תשובה:

f (x) = x2 - (1 / x) + 1

= x2 - איקס-1 + 1

f '(x) = 2x - (- 1) x-1-1

= 2x + x-2

תשובה: ה

זו הסקירה של אודות Knowledge.co.id על אודות נגזרות של פונקציות אלגבריות, אני מקווה שזה יכול להוסיף לתובנה והידע שלך. תודה שביקרת ואל תשכח לקרוא מאמרים אחרים