שלוש מערכות משתנות של משוואות לינאריות: תכונות, רכיבים
שלוש משוואות ליניאריות משתנות: מאפיינים, רכיבים, שיטות פתרון ובעיות דוגמא – מה הכוונה במערכת משוואות תלת משתנה? בהזדמנות זו אודות Knowledge.co.id ידון בו וכמובן גם בדברים המקיפים אותו. בואו נסתכל על הדיון במאמר למטה כדי להבין אותו טוב יותר.
תוכן עניינים
-
שלוש משוואות ליניאריות משתנות: מאפיינים, רכיבים, שיטות פתרון ובעיות דוגמא
- מאפיינים של מערכת של שלוש משוואות לינאריות משתנות
-
רכיבים של מערכת משוואה לינארית משתנה
- שֶׁבֶט
- מִשְׁתַנֶה
- מְקַדֵם
- קָבוּעַ
-
שיטת פתרון שלוש משוואות לינאריות משתנות
- שיטה משולבת או מעורבת
- דוגמה לבעיות
- שתף זאת:
- פוסטים קשורים:
שלוש משוואות ליניאריות משתנות: מאפיינים, רכיבים, שיטות פתרון ובעיות דוגמא
מערכת משוואות תלת משתנות או בקיצור מקוצר כ- SPLTV היא אוסף של משוואות ליניאריות הכוללות שלושה משתנים. משוואה לינארית מאופיינת בכוח הגבוה ביותר של המשתנה במשוואה הוא אחד. בנוסף, הסימן המחבר את המשוואה הוא סימן שווה.
בארכיטקטורה קיימים חישובים מתמטיים לבניית מבנים, אחד מהם הוא מערכת משוואות ליניאריות. מערכת המשוואות הלינאריות שימושית לקביעת הקואורדינטות של נקודת החיתוך. קואורדינטות מדויקות חיוניות להפקת בניין התואם לשרטוט. במאמר זה נדון במערכת השלושה משתנה של משוואות ליניאריות (SPLTV).
מערכת משוואות ליניאריות תלת משתנות - היא צורה מורחבת של מערכת המשוואה הליניארית דו-משתנה (SPLDV). אשר במערכת משוואה ליניארית תלת משתנה מורכבת משלוש משוואות, שלכל אחת מהן שלושה משתנים (למשל x, y ו- z).
מערכת המשוואות לינאריות שלוש המשתנות מורכבת מכמה משוואות ליניאריות עם שלושה משתנים. הצורה הכללית של משוואה ליניארית תלת משתנה היא כדלקמן.
ax + על + cz = d
a, b, c ו- d הם מספרים אמיתיים, אך a, b ו- c לא יכולים להיות כולם 0. למשוואה יש פתרונות רבים. ניתן להשיג פיתרון אחד על ידי הנחת ערך כלשהו בשני משתנים לקביעת הערך של המשתנה השלישי.
מאפיינים של מערכת של שלוש משוואות לינאריות משתנות
משוואה נקראת מערכת של שלוש משתנות של משוואות ליניאריות אם יש לה את המאפיינים הבאים:
- שימוש ביחס סימן השווה (=)
- יש שלושה משתנים
- לשלושת המשתנים יש מידה של אחד (בכוחו של אחד)
רכיבים של מערכת משוואה לינארית משתנה
מכיל שלושה מרכיבים או אלמנטים שקשורים תמיד למערכת משוואה ליניארית תלת משתנה.
שלושת המרכיבים הם: מונחים, משתנים, מקדמים וקבועים. להלן הסבר על כל אחד ממרכיבי ה- SPLTV.
שֶׁבֶט
המונח הוא חלק מצורה אלגברית המורכבת ממשתנים, מקדמים וקבועים. כל מונח מופרד באמצעות פיסוק חיבור וחיסור.
דוגמא:
6x - y + 4z + 7 = 0, אז תנאי המשוואה הם 6x, -y, 4z ו- 7.
מִשְׁתַנֶה
משתנה הוא משתנה או תחליף למספר המסומן בדרך כלל על ידי שימוש באותיות כמו x, y ו- z.
דוגמא:
ביוליסה יש 2 תפוחים, 5 מנגו ו -6 תפוזים. אם נכתוב את זה בצורה משוואת אז:
דוגמה: תפוח = x, מנגו = y ותפוז = z, ולכן המשוואה היא 2x + 5y + 6z.
מְקַדֵם
המקדם הוא מספר המבטא את מספרם של מספר משתנים דומים.
מקדמים מכונים גם מספרים מול המשתנה, מכיוון שכתיבת משוואה של המקדם נמצאת מול המשתנה.
דוגמא:
בגילנג יש 2 תפוחים, 5 מנגו ו -6 תפוזים. אם נכתוב את זה בצורה משוואת אז:
דוגמה: תפוח = x, מנגו = y ותפוז = z, ולכן המשוואה היא 2x + 5y + 6z.
ממשוואות אלה ניתן לראות ש -2, 5 ו -6 הם מקדמים כאשר 2 הוא המקדם של x, 5 הוא המקדם של y ו- 6 הוא המקדם של z.
קָבוּעַ
קבוע הוא מספר שלא אחריו משתנה, כך שיהיה לו ערך קבוע או קבוע ללא קשר לערך המשתנה או המשתנה.
דוגמא:
2x + 5y + 6z + 7 = 0, מהמשוואה הקבוע הוא 7. מכיוון ש- 7 הערך קבוע ואינו מושפע מאף משתנה.
שיטת פתרון שלוש משוואות לינאריות משתנות
ערך (x, y, z) הוא פתרון שנקבע למערכת משוואה ליניארית תלת משתנה אם הערך (x, y, z) עונה על שלוש המשוואות ב- SPLTV. ניתן לקבוע את מערך הפתרונות של SPLTV בשתי דרכים, כלומר שיטת ההחלפה ושיטת החיסול.
- שיטת החלפה
שיטת ההחלפה היא שיטה לפתרון מערכת משוואות ליניאריות על ידי החלפת הערך של אחד המשתנים ממשוואה אחת לאחרת. שיטה זו מתבצעת עד לקבלת כל הערכים המשתנים במערכת משוואה ליניארית תלת משתנה.
קל יותר להשתמש בשיטת ההחלפה ב- SPLTV המכילה משוואה עם מקדם 0 או 1. להלן השלבים לפתרון שיטת ההחלפה.
- מצא משוואה בעלת הצורה הפשוטה ביותר. למשוואות עם הצורה הפשוטה ביותר יש מקדמים של 1 או 0.
- ביטא את אחד המשתנים במונחים של שני המשתנים האחרים. לדוגמא, המשתנה x מתבטא במשתנה y או z.
- החלף את הערכים המשתנים שהושגו בשלב השני למשוואות אחרות ב- SPLTV, כך שמתקבלת מערכת של משוואות ליניאריות דו-משתנות (SPLDV).
- קבע את פתרון SPLDV שהושג בשלב השלישי.
- קבע את הערך של כל המשתנים הלא ידועים.
בואו ננסה את שאלות הדוגמה הבאות. קבע את פתרונות ההגדרה של המערכת המשולשת השלושה משתנה ליניארי להלן.
x + y + z = -6... (1)
x - 2y + z = 3... (2)
-2x + y + z = 9... (3)
ראשית נוכל להמיר משוואה (1) ל-, z = -x - y - 6 למשוואה (4). לאחר מכן נוכל להחליף משוואה (4) למשוואה (2) באופן הבא.
x - 2y + z = 3
x - 2y + (-x - y - 6) = 3
x - 2y - x - y - 6 = 3
-3y = 9
y = -3
לאחר מכן נוכל להחליף משוואה (4) למשוואה (3) באופן הבא.
-2x + y + (-x - y - 6) = 9
-2x + y - x - y - 6 = 9
-3x = 15
x = -5
יש לנו את הערכים של x = -5 ו- y = -3. אנו יכולים לחבר אותו למשוואה (4) כדי לקבל את ערך z הבא.
קרא גם:הנוסחה לחישוב שטח הפנים של צינור ללא מכסה
z = -x - y - 6
z = - (- 5) - (-3) - 6
z = 5 + 3 - 6
z = 2
אז נקבל את סט הפתרונות (x, y, z) = (-5, -3, 2)
- שיטת חיסול
שיטת החיסול היא שיטה לפתרון מערכת משוואות ליניאריות על ידי ביטול אחד המשתנים בשתי משוואות. שיטה זו מתבצעת עד שנשאר משתנה אחד.
ניתן להשתמש בשיטת החיסול בכל המערכות של משוואות לינאריות תלת משתנות. אך שיטה זו דורשת צעדים ארוכים מכיוון שכל שלב יכול לבטל רק משתנה אחד. נדרשת מינימום פי 3 משיטת החיסול כדי לקבוע את מערך פתרונות SPLTV. שיטה זו קלה יותר בשילוב עם שיטת ההחלפה.
שלבי ההשלמה בשיטת החיסול הם כדלקמן.
- שימו לב לשלוש המשוואות ב- SPLTV. אם יש שתי משוואות שמקדם זהה לאותו משתנה, חיסר או הוסף את שתי המשוואות כך שלמשתנה יהיה מקדם 0.
- אם אין משתנים עם אותו מקדם, הכפל את שתי המשוואות במספר שהופך את המקדמים של המשתנה בשתי המשוואות זהים. מחסרים או מוסיפים את שתי המשוואות כך שלמשתנה יהיה מקדם 0.
- חזור על שלב 2 עבור זוגות המשוואות האחרים. המשתנה שהושמט בשלב זה חייב להיות זהה למשתנה שהושמט בשלב 2.
- לאחר השגת שתי משוואות חדשות בשלב הקודם, קבעו את פתרונות הערכה לשתי המשוואות בשיטת הפתרון עבור מערכת המשוואות הליניארית דו-משתנה (SPLDV).
- החלף את הערכים של שני המשתנים שהושגו בשלב 4 באחת ממשוואות SPLTV כך שיתקבל הערך של המשתנה השלישי.
ננסה להשתמש בשיטת החיסול בבעיה הבאה. קבע את מערך הפתרונות SPLTV!
2x + 3y - z = 20... (1)
3x + 2y + z = 20... (2)
X + 4y + 2z = 15... (3)
SPLTV ניתן לקבוע את הפתרון שנקבע על ידי ביטול המשתנה z. ראשית, הוסף משוואות (1) ו- (2) כדי לקבל:
2x + 3y - z = 20
3x + 2y + z = 20 +
5x + 5y = 40
x + y = 8... (4)
לאחר מכן הכפל 2 במשוואה (2) והכפל 1 במשוואה (1) כדי לקבל:
3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15 | x1 x + 4y + 2z = 15 –
5x = 25
x = 5
לאחר הכרת הערך של x, החלף אותו למשוואה (4) כדלקמן.
x + y = 8
5 + y = 8
y = 3
החלף את הערכים של x ו- y במשוואה (2) כדלקמן.
3x + 2y + z = 20
3 (5) + 2 (3) + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -1
כך שהפתרון שהוגדר עבור SPLTV (x, y, z) הוא (5, 3, -1).
שיטה משולבת או מעורבת
פתרון למערכת משוואות ליניאריות בשיטה משולבת או מעורבת הוא פיתרון על ידי שילוב של שתי שיטות בבת אחת.
השיטות המדוברות הן שיטת החיסול ושיטת ההחלפה.
ניתן להשתמש בשיטה זו על ידי שימוש בשיטת ההחלפה תחילה או על ידי חיסול תחילה.
והפעם ננסה שיטה משולבת או מעורבת עם שתי טכניקות, כלומר:
חסל תחילה ואז השתמש בשיטת ההחלפה.
החלף תחילה ואז השתמש בשיטת החיסול.
התהליך כמעט זהה לזה שבהסדר SPLTV בשיטת החיסול ובשיטת ההחלפה.
על מנת שתבין יותר כיצד לפתור SPLTV באמצעות שילוב זה או תערובת זו, אנו מספקים כמה דוגמאות לשאלות ולדיונן.
דוגמה לבעיות
בעיה 1.
קבע את פתרון SPLTV שנקבע להלן בשיטת ההחלפה:
x - 2y + z = 6
3x + y - 2z = 4
7x - 6y - z = 10
תשובה:
השלב הראשון הוא לקבוע תחילה את המשוואה הפשוטה ביותר.
מבין שלוש המשוואות, המשוואה הראשונה היא הפשוטה ביותר. מהמשוואה הראשונה, ציין את המשתנה x כפונקציה של y ו- z באופן הבא:
x - 2y + z = 6
x = 2y - z + 6
החלף את המשתנה או המשתנה x למשוואה השנייה
3x + y - 2z = 4
3 (2y - z + 6) + y - 2z = 4
6y - 3z + 18 + y - 2z = 4
7y - 5z + 18 = 4
7y - 5z = 4 - 18
7y - 5z = –14 ...………… שווי (1)
החלף את המשתנה x למשוואה השלישית
7x - 6y - z = 10
7 (2y - z + 6) - 6y - z = 10
14y - 7z + 42 - 6y - z = 10
8y - 8z + 42 = 10
8y - 8z = 10 - 42
8y - 8z = –32
y - z = –4 ……………… שווי (2)
המשוואות (1) ו- (2) יוצרות את SPLDV y ו- z:
7y - 5z = –14
y - z = –4
ואז פתר את ה- SPLDV הנ"ל באמצעות שיטת ההחלפה. בחר אחת המשוואות הפשוטות ביותר. במקרה זה המשוואה השנייה היא המשוואה הפשוטה ביותר.
מהמשוואה השנייה, אנו מקבלים:
y - z = –4
y = z - 4
החלף את המשתנה y למשוואה הראשונה
7y - 5z = –14
7 (z - 4) - 5z = –14
7z - 28 - 5z = –14
2z = –14 + 28
2z = 14
z = 14/2
z = 7
החלף את הערך של z = 7 לאחד מה- SPLDV, למשל y - z = –4 כך שנקבל:
y - z = –4
y - 7 = –4
y = –4 + 7
y = 3
לאחר מכן, החלף את הערכים של y = 3 ו- z = 7 באחד מה- SPLTV, למשל x - 2y + z = 6 כך שנקבל:
x - 2y + z = 6
x - 2 (3) + 7 = 6
x - 6 + 7 = 6
x + 1 = 6
x = 6 - 1
x = 5
בדרך זו נקבל x = 5, y = 3 ו- z = 7. כך שהפתרון שנקבע לבעיית SPLTV הוא {(5, 3, 7)}.
על מנת להבטיח שהערכים של x, y ו- z המתקבלים נכונים, אנו יכולים לברר זאת על ידי החלפת הערכים של x, y ו- z בשלושת ה- SPLTV לעיל. בין היתר:
משוואה I:
x - 2y + z = 6
⇒ 5 – 2(3) + 7 = 6
⇒ 5 – 6 + 7 = 6
6 = 6 (נכון)
משוואה II:
3x + y - 2z = 4
⇒ 3(5) + 3 – 2(7) = 4
⇒ 15 + 3 – 14 = 4
קרא גם:סדרות גיאומטריות: הגדרה, נוסחאות, מאפיינים ובעיות דוגמא
4 = 4 (נכון)
משוואה III:
7x - 6y - z = 10
⇒ 7(5) – 6(3) – 7 = 10
⇒ 35 – 18 – 7 = 10
10 = 10 (נכון)
מהנתונים לעיל ניתן לוודא כי הערכים של x, y ו- z שאנו מקבלים נכונים ומילאו את מערכת המשוואות הליניאריות של שלושת המשתנים המדוברים.
שאלה 2.
ניתנת מערכת משוואות ליניאריות:
(i) x -3y + z = 8
(ii) 2x = 3y-z = 1
(iii) 3x -2y -2z = 7
הערך של x + y + z הוא
א -1
ב. 2
ג. 3
ד. 4
דִיוּן:
ממשוואה (i) x - 3y + z = 8 → x = 3y - z + 8…. (iv)
החלפת משוואה (iv) למשוואה (ii):
2x + 3y - z = 1
2 (3y - z + 8) + 3y - z = 1
6y - 2z + 16 + 3y - z = 1
9y - 3z + 16 = 1
3z = 9y + 15
z = 3y + 5…. (v)
תחליף משוואה (iv) למשוואה (iii):
3x - 2y - 2z = 7
3 (3y - z + 8) - 2y - 2z = 7
9y - 3z + 24 - 2y - 2z = 7
7y - 5z + 24 = 7
5z = 7y + 24 - 7
5z = 7y + 17…. (vi)
תחליף משוואה (v) למשוואה (vi):
5z = 7y + 17
5 (3y + 5) = 7y + 17
15y + 25 = 7y + 17
15 y - 7y = -25 + 17
8y = -8 → y = - 1 …. (vii)
החלף את הערך של y = - 1 במשוואה (vi) כדי לקבל את הערך של z.
5z = 7y + 17
5z = 7 (- 1) + 17
5z = - 7 + 17
5z = 10 → z = 2... (viii)
החלף את הערך של y = - 1 ו- z = 2 במשוואה (i) כדי לקבל את הערך של x.
x - 3y + z = 8
x - 3 (- 1) + 2 = 8
x + 3 + 2 = 8
x + 5 = 8
x = 8 - 5 → x = 3
מתקבלים הערכים של שלושת המשתנים העומדים במערכת המשוואות, כלומר x = 3, y = - 1 ו- z = 2.
אז הערך של x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4.
תשובה: ד
ניתנת מערכת משוואות לינאריות
(i) = x - 3y +
דִיוּן:
ממשוואה (i) x - 3y + z = 8 → x = 3y - z + 8…. (iv)
החלפת משוואה (iv) למשוואה (ii):
2x + 3y - z = 1
2 (3y - z + 8) + 3y - z = 1
6y - 2z + 16 + 3y - z = 1
9y - 3z + 16 = 1
3z = 9y + 15
z = 3y + 5…. (v)
תחליף משוואה (iv) למשוואה (iii):
3x - 2y - 2z = 7
3 (3y - z + 8) - 2y - 2z = 7
9y - 3z + 24 - 2y - 2z = 7
7y - 5z + 24 = 7
5z = 7y + 24 - 7
5z = 7y + 17…. (vi)
תחליף משוואה (v) למשוואה (vi):
5z = 7y + 17
5 (3y + 5) = 7y + 17
15y + 25 = 7y + 17
15 y - 7y = -25 + 17
8y = -8 → y = - 1…. (vii)
החלף את הערך של y = - 1 במשוואה (vi) כדי לקבל את הערך של z.
5z = 7y + 17
5z = 7 (- 1) + 17
5z = - 7 + 17
5z = 10 → z = 2... (viii)
החלף את הערך של y = - 1 ו- z = 2 במשוואה (i) כדי לקבל את הערך של x.
x - 3y + z = 8
x - 3 (- 1) + 2 = 8
x + 3 + 2 = 8
x + 5 = 8
x = 8 - 5 → x = 3
מתקבלים הערכים של שלושת המשתנים העומדים במערכת המשוואות, כלומר x = 3, y = - 1 ו- z = 2.
אז הערך של x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4.
תשובה: ד
בעיה 3.
קבע את מערך הפתרונות של מערכת המשוואה הליניארית תלת המשתנה להלן בשיטה המשולבת.
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y - 2z = 12
x + y + 4z = 20
תשובה:
שיטת החלפה (SPLTV)
השלב הראשון הוא קביעת המשוואה הפשוטה ביותר. משלוש המשוואות לעיל אנו יכולים לראות כי המשוואה השלישית היא המשוואה הפשוטה ביותר.
מהמשוואה השלישית, ציין את המשתנה z כפונקציה של y ו- z באופן הבא:
x + y + 4z = 20
x = 20 - y - 4z ...……… שווה ערך (1)
לאחר מכן, החלף משוואה (1) לעיל ל- SPLTV הראשון.
x + 3y + 2z = 16
(20 - y - 4z) + 3y + 2z = 16
2y - 2z + 20 = 16
2y - 2z = 16 - 20
2y - 2z = –4
y - z = –2 …………. פרס. (2)
לאחר מכן, החלף משוואה (1) לעיל ל- SPLTV השני.
2x + 4y - 2z = 12
2 (20 - y - 4z) + 4y - 2z = 12
40 - 2y - 8z + 4y - 2z = 12
2y - 10z + 40 = 12
2y - 10z = 12 - 40
2y - 10z = –28 ...……… שווי (3)
ממשוואה (2) ומשוואה (3) אנו מקבלים את SPLDV y ו- z כדלקמן:
y - z = –2
2y - 10z = –28
שיטת חיסול (SPLDV)
כדי לחסל או לחסל את y, הכפל את ה- SPLDV הראשון ב- 2 כך שמקדם y של שתי המשוואות יהיה זהה.
לאחר מכן אנו מבדילים את שתי המשוואות כך שנקבל את ערך z באופן הבא:
y - z = -2 | × 2 | → 2y - 2z = -4
2y - 10z = -28 | × 1 | → 2y - 10z = -28
__________ –
8z = 24
z = 3
כדי לחסל את z, הכפל את ה- SPLDV הראשון ב- 10 כך שמקדם z בשתי המשוואות יהיה זהה.
ואז נפחית את שתי המשוואות כך שנקבל את ערך y באופן הבא:
y - z = -2 | × 10 | → 10y - 10z = -20
2y - 10z = -28 | × 1 | → 2y - 10z = -28
__________ –
8y = 8
z = 1
עד לנקודה זו, אנו מקבלים את הערכים של y = 1 ו- z = 3.
השלב האחרון הוא קביעת הערך של x. הדרך לקבוע את הערך של x היא על ידי הזנת הערכים של y ו- z לאחד מה- SPLTV. לדוגמא x + 3y + 2z = 16 כך שנקבל:
x + 3y + 2z = 16
x + 3 (1) + 2 (3) = 16
x + 3 + 6 = 16
x + 9 = 16
x = 16 - 9
x = 7
בדרך זו, אנו מקבלים את הערך של x = 7, y = 1 ו- z = 3 כך שמערך פתרונות SPLTV לבעיה הנ"ל הוא {(7, 1, 3)}.
זו הסקירה של אודות Knowledge.co.id על אודותשלוש מערכות משתנות של משוואות לינאריות, אני מקווה שזה יכול להוסיף לתובנה והידע שלך. תודה שביקרת ואל תשכח לקרוא מאמרים אחרים