פיתגורס: היסטוריה, משפט נוסחאות ובעיות דוגמא

פיתגורס: היסטוריה, נוסחאות משפט ובעיות דוגמא - מיהו פיתגורס עם משפטו? בהזדמנות זו אודות Knowledge.co.id ידון מהי פיתגורס עם נוסחאות ודוגמאות לבעיות. בואו נסתכל על הדיון במאמר למטה כדי להבין אותו טוב יותר.

פיתגורס: היסטוריה, משפט נוסחאות ובעיות דוגמא

---

משפט פיתגורס הוא אחד התרומות של פיתגורס, מתמטיקאי ופילוסוף יווני שנולד בשנת 570 לפני הספירה באי סאמוס. הוא ידוע גם בשם "אבי המספרים". הוא ערך טיולים רבים במהלך חייו.

בגיל צעיר למדי הוא נסע לעיר מילטוס לפגוש מתמטיקאי ואסטרונום בשם תאלס. הוא גם נסע למצרים וחזר לאי מולדתו סאמוס והקים בית ספר בשם "חצי עיגול".

תרומתו המפורסמת ביותר של פיתגורס היא משפט פיתגורס הקובע כי "ריבוע ההיפוטנוזה (היפוטנוזה) של משולש ימני שווה לסכום ריבוע הרגליים (דפנות הזוויות הנכונות). למרות שהמשפט שהתייחס אליו התגלה על ידי הבבלים, פיתגורס היה הראשון הוכח זאת.

הנוסחה הפיתגוראית היא נוסחה המשמשת למציאת אורכי הצד של משולש ימני. ממציא הנוסחה הזו היה מתמטיקאי מיוון בשם פיתגורס.

משפט פיתגורס, המכונה גם משפט פיתגורס, הוא משפט המראה את הקשר בין צדי משולש ימין. על פי משפט פיתגורס, ריבוע ההיפוטנוזה של משולש ימני הוא סכום הריבועים של שני הצדדים האחרים.

אז הנוסחה הפיתגוראית היא כדלקמן:

א² + ב² = ג²

---

משפט פיתגורס

על בסיס נוסחה זו ניכר כי ההיפוטנוזה של משולש ימני היא שורש סכום הריבועים של הצדדים האחרים.

a הוא הצד של הבסיס (אופקי)
b הוא הגובה (אנכי)
ג הוא ההיפוטנוזה

לפרטים נוספים ראו בתמונה למטה:

המשולש שלמעלה הוא משולש ימני שיש לו צד אחד ישר (AB), צד אופקי אחד (BC) והיפוטנוזה אחד (AC). משפט פיתגורס או הנוסחה הפיתגורית שימושיים למציאת צד אחד עם שני הצדדים ידועים.

נוסחת פיתגורס:

 ג² = א² + ב² 

אז כדי לחשב את הצדדים האנכיים והאופקיים, הנוסחה הבאה חלה:

א² = ג² - ב²

ב² = ג² - א²

---

כיצד להשתמש בנוסחת פיתגורס

נוסחת פיתגורס א² + ב² = ג² בעיקרון זה יכול לבוא לידי ביטוי בכמה צורות, כלומר:

א² + ב² = ג²

ג² = א² + ב²

א² = ג²– ב²

ב² = ג²- א²

כדי לפתור כל אחת מהנוסחאות הללו, תוכלו להשתמש בערך השורש של הנוסחה הפיתגוראית לעיל.

הנוסחה הפיתגוראית היא בצורת שורשים, אם:

הצד האלכסוני ג
הצדדים האנכיים והאופקיים הם a ו- b

הערה: הנוסחה הפיתגוראית חלה רק על משולשים ימניים.

---

שלשות פיתגורס

עיין בכמה דוגמאות של מספרים למטה:

• 3, 4 ו -5
• 6, 8 ו -10
• 5, 12 ו -13

חלק מהמספרים שהוזכרו לעיל הם מספרים המצייתים לכללי הנוסחה הפיתגוראית.

מספר זה ידוע כמשולש פיתגורס. ניתן להגדיר את מספר המשולש הפיתגוראי כדלקמן.

שלשות פיתגוריות הן מספרים שלמים חיוביים שהריבוע של המספר הגדול ביותר שלו זהה לסכום הריבועים של המספרים האחרים.

באופן כללי, שלשות פיתגוראיות מחולקות לשני סוגים, כלומר שלשות פיתגוריות פרימיטיביות ושלשות פיתגוראיות פרימיטיביות.

שלשות פיתגוריות פרימיטיביות הוא משולש פיתגוראי בו לכל המספרים GCF שווה ל- 1.

לדוגמא, מהמספרים המשולשים הפיתגוריים הפרימיטיביים, כלומר: 3, 4, 5 ו- 5, 12, 13.

תוך כדי שלשות פיתגורסיות לא פרימיטיביות הוא משולש פיתגוראי שבו למספר יש GCF שאינו שווה רק לאחד.

לדוגמא, כלומר: 6, 8 ו -10; 9, 12 ו- 15; 12, 16 ו -20; וגם 15, 20 ו -25.

תבנית המספרים הפיתגוראית (משולש פיתגוראי) משמשת לפיתרון בעיות פיתגוריות בקלות, דפוס המספרים הבא (משולש פיתגוראי) הוא:

• א ב ג
• 3 – 4 – 5
• 5 – 12 – 13
• 6 – 8 – 10
• 7 – 24 – 25
• 8 – 15 – 17
• 9 – 12 – 15
• 10 – 24 – 26
• 12 – 16 – 20
• 12 – 35 – 37
• 13 – 84 – 85
• 14 – 48 – 50
• 15 – 20 – 25
• 15 – 36 – 39
• 16 – 30 – 34
• 17 – 144 – 145
• 19 – 180 – 181
• 20 – 21 – 29
• 20 – 99 – 101

ורבים אחרים.

מֵידָע:

a = גובה המשולש
b = בסיס המשולש
c = היפוטנוזה

כיצד לקבוע שלשות פיתגוריות:

אם a ו- b הם מספרים שלמים חיוביים ו-> b, נוכל למצוא את המשולש הפיתגוראי באמצעות הנוסחה הבאה:

2ab, א² - ב², א² + ב²

---

דוגמא לבעיה פיתגוראית

בעיה 1.

למשולש ימין צלע אנכית (AB) באורך 15 ס"מ, וצד אופקי (BC) 8 ס"מ. כמה ס"מ הוא ההיפוטנוז (AC)?

פִּתָרוֹן:

ידוע :

• AB = 15
• לפני הספירה = 8

נשאל: אורך זרם חילופין ???

תשובה:

צעד ראשון :
AC² = AB² + BC²
AC² = 152² + 82²
AC² = 225 + 64
AC² = 289
AC = 289
AC = 17

דרך שניה:
AC = √ AB² + BC²
AC = √ 152 + 82
AC = √ 255 + 64
AC = √ 289
AC = 17

אז, אורך ה- AC הוא 17 ס"מ

בעיה 2.

למשולש צד אורך לפני הספירה 6 ס"מ, וצד AC 8 ס"מ, כמה ס"מ הוא ההיפוטנוזה של המשולש (AB)?

פִּתָרוֹן:

ידוע :

• BC = 6 ס"מ
• AC = 8 ס"מ

נשאל: אורך AB?

תשובה:

א.ב.² = לפני הספירה² + AC²
= 6² + 8²
= 36 + 64
= 100

AB = √100
= 10

אז, אורך הצד AB (משופע) הוא 10 ס"מ.

בעיה 3.

יש משולש ABC, זווית ישרה ב B, אם אורך AB = 16 ס"מ ו- BC = 30, אז מה אורך ההיפוטנוזה של המשולש (AC)?

פִּתָרוֹן:

ידוע :

• AB = 16
• לפני הספירה = 30

נשאל: AC = ???

תשובה:

AC = √ AB² + BC²
AC = √ 16 2 + 302
AC = 256 + 900
AC = √ 1156
AC = 34

שאלה 4.

מה אורכו של הצד הניצב של משולש אם אתה יודע את אורך ההיפוטנוזה של המשולש? 20 ס"מ, ולצד השטוח אורך 16 ס"מ.

פִּתָרוֹן:

ידוע: ראשית אנו יוצרים דוגמא וערכה

• c = hypotenuse, b = צד שטוח, a = צד זקוף
• c = 20 ס"מ, b = 16 ס"מ

נשאל: אורך הצד האנכי (א)?

תשובה:

א² = ג² - ב²
= 20² – 16²
= 400 – 256
= 144

a = 144
= 12 ס"מ

מכאן, אנו מקבלים את אורך צלע המשולש הימני 12 ס"מ.

שאלה 5.

ידוע שלמשולש יש היפוטנוזה שאורכו הוא 25 ס"מ, ולצד הניצב של המשולש אורך 20 ס"מ. מה אורכו של הצד השטוח?

פִּתָרוֹן:

ידוע: אנו עושים דוגמא, כדי להקל עליה

• c = hypotenuse, b = צד שטוח, a = צד זקוף
• c = 25 ס"מ, a = 20 ס"מ

נשאל: אורך הצד השטוח (ב)?

תשובה:

ב² = ג² - א²
= 25² – 20²
= 625 – 400
= 225

b = 225
= 15 ס"מ

אז אורך צלע המשולש הוא 15 ס"מ.

זו הסקירה של אודות Knowledge.co.id על אודות פיתגורס, אני מקווה שזה יכול להוסיף לתובנה והידע שלך. תודה שביקרת ואל תשכח לקרוא מאמרים אחרים.