סגור
תַפרִיט

קואורדינטות קרטזיות: הגדרה, מערכות, דיאגרמות ו

קואורדינטות קרטזיות: הגדרה, מערכות, דיאגרמות ובעיות דוגמא - מה הכוונה בקואורדינטות קרטזיות? בהזדמנות זו אודות Knowledge.co.id ידון אודות הקואורדינטה הקרטזית והדברים המקיפים אותה. בואו נסתכל על הדיון במאמר למטה כדי להבין אותו טוב יותר.

תוכן עניינים

  • קואורדינטות קרטזיות: הגדרה, מערכות, דיאגרמות ובעיות דוגמא
    • מערכת קואורדינטות
    • פונקציית קואורדינטות קרטזית
    • קביעת נקודה במערכת קואורדינטות קרטזית
    • הטבות קרטזיות
    • שדה קואורדינטות קרטזי
    • בעיות לדוגמא ודיון בקואורדינטות הקרטזיאניות
    • שתף זאת:
    • פוסטים קשורים:

קואורדינטות קרטזיות: הגדרה, מערכות, דיאגרמות ובעיות דוגמא

הקרטזיה מרכזת נוסחה במתמטיקה הממלאת תפקיד חשוב בשילוב של אלגברה וגיאומטריה כך שזה יניב את דקארט, הקואורדינטות הקרטזיות, והייתה להם השפעה רבה על התפתחות הגיאומטריה אֲנַאלִיטִי. השימוש במערכת זו פותח בשנת 1637 בשני כתביו שהציגו הצעות חדשות להצגת המצב או המיקום של נקודות החפץ על פני השטח.

קואורדינטות קרטזיות מכונות לעיתים קרובות קואורדינטות מרובעות. המונח מהמילה הקרטזית בה משתמשים הוא להנציח מתמטיקאי ופילוסוף מצרפת בשם רנה דקארט. הוא היה מומחה שהיה לו תפקיד נהדר בשילוב אלגברה וגיאומטריה.

instagram viewer

תוצאות התגלית של דקארט, הקואורדינטות הקרטזיות השפיעו מאוד על התפתחות הגיאומטריה האנליטית, החשבון והקרטוגרפיה. ראשיתו של הרעיון הבסיסי לשימוש במערכת זו פותחה בשנת 1637 בשני כתבי יצירתו של דקארט.

בשיחת ה- Descartes שלו על השיטה הוא הציג הצעה חדשה להראות את מצבו או המיקום הנקודתי של אובייקט על פני השטח. שיטה זו משתמשת בשני צירים בניצב זה לזה ביצירה של La Géométrie, שהקונספט שלה יפותח.

כך שבקואורדינטות קרטזיות ניתן לקפוץ מהנקודה העליונה אם הנקודות סומנו ביניהן

[-3.1], [2.3], [-1.5, -2.5] ו- [0.0]. כנקודה [0,0] נקראת גם מקור המשפט.

מכיוון ששני הצירים מאונכים זה לזה במישור ה- xy המחולק לארבעה חלקים הוא נקרא רבע וניתן לראות בנקודות המסומנות [-3.1], נקודה [2.3], נקודה [-1.5, -2.5] .

לפי מוסכמות ניתן להזמין בכיוונים מנוגדים החל מימין למעלה ברבע I, ושני הקואורדינטות (x ו- y) הן תוצאות חיוביות.

קואורדינטות-קרטזיות

מערכת קואורדינטות

תמונה דו ממדית

מערכת קואורדינטות קרטזית בשני ממדים תמצא בדרך כלל מוגדרת על ידי שני צירים הניצבים זה לזה ושניהם שוכנים באותו מישור (מישור xy).

בציר האופקי המשולב שכותרתו x והציר האנכי שיש לתייג y עם מערכת קואורדינטות תלת מימדית כצירים אורתוגונליים זה לזה.

בצומת שני הצירים המקור יוגדר בדרך כלל כ- 0 ויש לו סולם אורך יחידה המסומן בצורת רשת.

משמש לתיאור נקודה מסוימת במערכת קואורדינטות דו מימדית עם ערך x (abscissa) ואחריו ערך y (ordinate) כפורמט המשמש (x, y).

הצירים הניצבים הדדית במישור ה- xy מסומנים במספרים I, II, III ו- IV ויחולו על נקודת הקואורדינטות עם סימן שלילי ו- y יהיה חיובי.

המיקום של הקואורדינטות הקרטזיות, שנכתב בזוגות על המספר (x, y) הוא.

  • x נקרא abscissa, ו-
  • y נקרא סמיכה

בקואורדינטות להיות.

  • נקודה A נמצאת בקואורדינטות (1,0), כאשר A (1,0)
  • נקודה B נמצאת בקואורדינטות (2,4), כאשר B (2,4)
  • נקודה C נמצאת בקואורדינטות (5,7), כאשר C (5,7)
  • ונקודה D נמצאת בקואורדינטות (6,4) עם D (6,4)

פונקציית קואורדינטות קרטזית

במתמטיקה, מערכת הקואורדינטות הקרטזית משמשת לקביעת כל נקודה ב מישור באמצעות שני מספרים המכונים בדרך כלל קואורדינטה x וגם קואורדינטה y של הנקודה.

קואורדינטה x מכונה לעתים קרובות abscissa, ואילו קואורדינטה y מכונה לעתים קרובות ordina.

כדי לפרש את הקואורדינטות, נדרשים שני קווים מכוונים הניצבים זה בזה [ציר x וציר y]. כמו גם אורך היחידה, שמסמן סימנים על שני הצירים.

התבונן היטב בתמונה למטה:

מהתמונה לעיל אנו יכולים לראות כי ישנן 4 נקודות שסומנו. אלה כוללים: [-3,1], [2,3], [-1.5, -2.5] ו- [0,0]. הנקודה [0,0] נקראת גם המקור.

מהתמונה לעיל אנו יכולים גם לראות כי:

מכיוון ששני הצירים מאונכים זה לזה, מישור ה- xy יחולק לארבעה חלקים הנקראים רביעים. ניתן לראות זאת באיור לעיל, מסומן בנקודות [-3,1], בנקודות [2,3], בנקודות [-1.5, -2.5].

על פי האמנה הרלוונטית, ארבעת אזורי הרבע מסודרים מהצד הימני העליון [הרביע הראשון], כשהם סובבים נגד כיוון השעון.

קרא גם:הנוסחה לחישוב שטח הפנים של צינור ללא מכסה

ברבע I, שני הקואורדינטות (x ו- y) יהיו חיוביות.

ברבע השני, הקואורדינטה x תהיה שלילית וה- y יהיה חיובי.

ברבע השלישי, שני הקואורדינטות יהיו שליליות.

גם ברבע הרביעי, הקואורדינטה x חיובית וקואורדינטה y תהיה שלילית.

נקודה [2,3] נמצאת ברבע I, נקודה [-3,1] נמצאת ברבע II ונקודה [-1.5, -2.5] נמצאת ברבע III.

או באופן כללי, ארבעת אזורי הרבע ממוינים החל מימין למעלה [רביע I], כשהם סובבים נגד כיוון השעון.

ברבע I, שניהם [x ו- y] הקואורדינטות יהיו חיוביות.

ברבע השני, הקואורדינטה x תהיה שלילית וה- y יהיה חיובי.

ברבע השלישי שתי הקואורדינטות יהיו שליליות, וברביע הרביעי הקואורדינטות יהיו חיוביות ו- y- שליליות [חזור לתמונה למעלה].
ערך רביע x ערך y
אני חיובי [> 0] הוא חיובי [> 0]
II הוא שלילי [<0] הוא חיובי [> 0]
II הוא שלילי [<0] הוא שלילי [<0]
IV חיובי [> 0] הוא שלילי [<0]

מערכת הקואורדינטות הקרטזיאניות בשני ממדים מוגדרת בדרך כלל על ידי שימוש בשני צירים בניצב זה לזה.

איפה ששני הצירים ממוקמים במישור אחד, כלומר מישור ה- xy. הציר האופקי יתויג כ- x, ואילו הציר האנכי יתויג כ- y.

הנקודה שבה שני הצירים נפגשים, המקור, תסומן בדרך כלל כ- 0.

לכל ציר יש גם אורך יחידה, וכל אורך יסומן כך שהוא יהווה מעין רשת.

כדי לתאר נקודה מסוימת במערכת קואורדינטות דו מימדית, הערך של x נכתב [abscis], ואחריו הערך של y [ordinate].

בדרך זו, הפורמט המשמש תמיד יהיה [x, y] והסדר לא יתהפך.

ניתן להשתמש במערכת הקואורדינטות הקרטזית גם בממדים גבוהים יותר.

לדוגמא: 3 [שלוש] מידות, המשתמשות בשלושה צירים כלומר ציר ה- x, ציר ה- y וציר ה- z.

אם בשני מימדים הקו הוא במישור xy, אז במערכת הקואורדינטות התלת מימדיות, יתווסף ציר נוסף שלעתים קרובות מסומן כ z.

כאשר ציר ה- z מאונך לציר ה- X ולציר ה- Y [במילים אחרות, ציר ה- X, ציר ה- Y וציר ה- Z הם בניצב זה בזה או מאונך).

קביעת נקודה במערכת קואורדינטות קרטזית

המישור שלמעלה מכונה מישור הקואורדינטות שנוצר על ידי הקו האנכי Y (ציר Y) וקו האופקי X (ציר X).

הנקודה תצטלב בין קו Y לקו X הנקרא מרכז הקואורדינטות (נקודה O).

קואורדינטות אלה מכונות מישור הקואורדינטות הקרטזיאני. כפי שהוסבר לעיל, נעשה שימוש במישור הקואורדינטות הקרטזיאני לקביעת מיקום הנקודה המתבטאת בזוגות מספרים.

שקול את הנקודות A, B, C ו- D במישור. כדי לקבוע את מיקומו, התחל בנקודה O. לאחר מכן, זז אופקי ימינה (ציר X) ואז העבר למעלה (ציר Y).

המיקום של נקודה במישור הקואורדינטות הקרטזיאני כתוב בצורת זוג מספרים (x, y), כאשר:

x נקרא abscissa, ו-
y נקרא סמיכה.

במישור הקואורדינטות, ואז:

נקודה A נמצאת בקואורדינטות (1,0), כתובה כ- A (1,0).
נקודה B נמצאת בקואורדינטות (2,4), כתובה כ- B (2,4).
נקודה C נמצאת בקואורדינטות (5,7), כתובה כ- C (5,7).
ונקודה D נמצאת בקואורדינטות (6,4) שנכתבות עם D (6,4).

במישור הקואורדינטות הקרטזיאני נוכל להרחיב אותו כך שיהיה כמו בתמונה למטה:

לדוגמא:

הקואורדינטות של נקודה E הן (2,2)
הקואורדינטות של נקודה F, כלומר (-2.1), מתקבלות על ידי מעבר אופקי שמאלה החל מנקודה O עד שתי יחידות ואז אנכית למעלה על ידי יחידה אחת.
הקואורדינטות של נקודה G, כלומר (-3, -3), מתקבלות על ידי מעבר אופקי שמאלה החל מנקודה O עד שלוש יחידות ואז אנכית כלפי מטה על ידי שלוש יחידות.

הטבות קרטזיות

על ידי שימוש במערכת הקואורדינטות הקרטזית ניתן לתאר צורות גיאומטריות כגון עקומות באמצעות משוואות אלגבריות. בעידן מודרני זה נעשה שימוש נרחב בקואורדינטות הקרטזיות. להלן כמה מהיתרונות של הקואורדינטות הקרטזיות, כולל:

ראשון:

בחיי היומיום, לעתים קרובות אנו מוצאים תכניות קומה ותמונות מפה. היכן תפקיד המפה עצמה להקל עלינו במציאת מיקום או מקום או אזור. כמו כן כשאנחנו רוצים לשלוח מכתב למישהו. בשליחת מכתב למישהו עלינו לדעת את כתובת היעד המלאה והנכונה.

זה נועד להקל על מסירת המכתב עצמו. לכן, אם נכלול את הכתובת בצורה נכונה ומלאה, המכתב יגיע מהר יותר. במפה יש גם קו רוחב ואורך.

קרא גם:כללי ספירה: כללי מילוי מקום, תמורות, שילובים

שְׁנִיָה:

בחיי היומיום, מישור הקואורדינטות הקרטזיאני הוא הכרחי בהחלט. אחד מהם הוא בעניין התעופה. טייס יכול להטיס את מטוסו מבלי להתנגש זה בזה ויכול לדעת גם אם המטוס הגיע ליעדו.

הסיבה לכך היא שהמטוס צויד בכלים מתוחכמים כמו מכ"ם ככלי זיהוי, מצפן כמדריך, ורדיו ככלי תקשורת. לכן, על טייס להבין כיצד לקרוא ולקבוע את מיקומו של מקום במישור הקואורדינטות הקרטזיאני.

שְׁלִישִׁי:

בשיעורי מדעי החברה אנו נתקלים לעתים קרובות במפה של מחוז או אפילו במפה של מדינה. את המיקום של עיר, הר, אגם, שדה תעופה, אנו יכולים לחשוב על עמדה. כדי להקל על קריאת מפות, המפה צוידה בקווי הדרכה אופקיים ואנכיים או בקווי רוחב ואורך. הבסיס להכנת הקו שהוא הבסיס למישור הקואורדינטות.

שדה קואורדינטות קרטזי

במישור קל יותר לצייר תחושה במישור קואורדינטות קרטזיאני עם מטוס שטוח במישור הקואורדינטות על Y האנכי (המכונה ציר Y) וה- X האופקי (המכונה הציר) איקס).

הצומת של צירי X ו- Y נקרא קואורדינטות מרכזיות או קואורדינטות בסיס, ולכן מישורי קואורדינטות אלה נקראים מישורי קואורדינטות קרטזיות.

ניתן להשתמש במישורי קואורדינטות לקביעת מיקומים עם נקודות שצוינו בזוג מספרים, למשל הצירים x ו- y מחולקים לציר x. ויקבל תוצאה חיובית וציר y שלילי.

ריבוע I של תוצאות ציר ה- X וציר ה- Y חיובי
ריבוע II של תוצאות ציר ה- X וציר ה- Y חיובי
הרבע השלישי של תוצאות ציר ה- X וציר ה- Y שלילי
הרבע הרביעי של תוצאות ציר ה- X וציר ה- Y שלילי

קבל את הדוגמה הבאה!

נקודה B ממוקמת I עם ערך x - y חיובי
הגיע לנקודה II בערכי x חיוביים ושליליים
נקודה D ברבע השלישי בערכי x ו- y שליליים
נקודה A ברבע IV בערכים חיוביים x ושליליים

בעיות לדוגמא ודיון בקואורדינטות הקרטזיאניות

  • בעיה 1

הסמיכה של נקודה A (9, 21) היא.

א. -9
ב. 9
ג. -21
ד. 21

תשובה:

באופן כללי כתוב נקודה = (abscis, ordain), בבעיה הנ"ל, נקודה A (9, 21) היא.

אבסיסה = 9

סמיכה = 21

התשובה הנכונה היא ד.

  • בעיה 2

באיזה רבע הנקודות הבאות?

(2,3)
(3,3)
(-4,7)
(85,-77)
(-54,2)

תשובה

(2,3) ממוקם ברבע I
(3,3) ממוקם ברבע I
(-4.7) ממוקם ברבע השני
(85, -77) ממוקם ברבע הרביעי
(-54.2) ממוקם ברבע השלישי

  • בעיה 3

הנקודות הידועות P (3, 2) ו- Q (15, 13) שיהיו יחסית מהנקודה Q ביחס ל- P נקראות.

א. (12, 11)
ב. (12, 9)
ג. (18, 11)
ד. (18, 13)

תשובה:

אנו יכולים למצוא את הקואורדינטות היחסיות מנקודה Q לנקודה P על ידי חיסור המספרים.

א. Abscissa Q מינוס abscissa P

ב. Q סמיכה מינוס P סמיכה

ג. אז הקואורדינטות של Q הן יחסית ל- P

ד. (15-3, 13-2) = (12, 11)

התשובה הנכונה. א

  • בעיה 4.

התיאום של נקודה A (9, 21) הוא ...

א. -9
ב. 9
ג. -21
ד. 21

תשובה:

באופן כללי, כתיבת נקודה = (abscis, ordinate). בבעיה שלמעלה נקודה A (9, 21) מראה אם:

Abscis = 9

סמיכה = 21

התשובה הנכונה היא ד.

קואורדינטות קרטזיות: הגדרה, מערכות, דיאגרמות ובעיות דוגמא
  • שאלה 5.

בהתחשב בנקודות P (3, 2) ו- Q (15, 13). הקואורדינטות היחסיות של נקודה Q עד P הן ...

א. (12, 11)
ב. (12, 9)
ג. (18, 11)
ד. (18, 13)

תשובה:

אנו יכולים למצוא את הקואורדינטות היחסיות של נקודה Q לנקודה P על ידי חיסור:

א. Abscissa Q מינוס abscissa P

ב. Q סמיכה מינוס P סמיכה

לפיכך, הקואורדינטות היחסיות של Q ביחס ל- P הן:

(15 – 3, 13 – 2) = (12, 11)

אז התשובה הנכונה היא A.

  • שאלה 6.

השלמת הזווית של 48 מעלות היא ...

א. 42°
ב. 52°
ג. 68°
ד. 138°

תשובה:

השלמה = 90 - 48 = 42

אז התשובה הנכונה היא A.

  • שאלה 7.

נקודות A (3, 2), B (0, 2) ו- C (-5, 2) כנקודות שחוצה קו p המקביל לקו p, קו q

א. במקביל לציר ה- X
ב. במקביל לציר y
ג. מאונך לציר ה- x
ד. מאונך לציר ה- y

תשובה: ד

זו הסקירה של אודות Knowledge.co.id על אודות קואורדינטות קרטזיות, אני מקווה שיכול להוסיף לתובנה והידע שלך. תודה שביקרת ואל תשכח לקרוא מאמרים אחרים