פונקציות הפוכות: הגדרה, נוסחאות ובעיות דוגמא

פונקציות הפוכות: הגדרה, נוסחאות ובעיות דוגמא - מה הכוונה בפונקציה ההפוכה? הפעם אודות Knowledge.co.id ידון אודות הפונקציה ההפוכה והדברים המקיפים אותה. בואו נסתכל על הדיון במאמר למטה כדי להבין אותו טוב יותר.

פונקציות הפוכות: הגדרה, נוסחאות ובעיות דוגמא

---

הפונקציה ההפוכה מתרחשת מכיוון שיש פונקציה המסומנת על ידי f (x) ויש לה יחס על כל קבוצה A לכל קבוצה B.

כך שזו תהיה פונקציה הפוכה המסומנת על ידי f-1 (x) שאין לה אלא יחס מקבוצת B לכל קבוצה A.

לכן, הפונקציה ההפוכה מתקבלת מ f: A → B המשתנה ל- f-1 B → A כך שהמקור או תחום f (x), הופך לאזור חבר או קודום הופך לאזור התוצאה או לטווח f-1 (x), כלומר הסט A. ההפך הוא הנכון עבור סט ב '.

הפונקציה ההפוכה, המכונה גם הפונקציה ההפוכה, היא פונקציה הפוכה מהפונקציה המקורית.

לפונקציה f יש פונקציה הפוכה f^-1 אם f היא פונקציה אחת לאחת ופונקציה on (bijective). קשר זה יכול לבוא לידי ביטוי באופן הבא:

(ו^-1)^-1 = f

במילים פשוטות, פונקציה bijective מתרחשת כאשר מספר חברי הדומיין שווה למספר חברי codomain.

אין שתיים או יותר תחומים שונים ממופים לאותו קוד קוד. ולכל קודמין יש שותף בתחום. התבונן בתמונה למטה:

בהתבסס על התמונה מהמיפוי לעיל, המיפוי הראשון מציג פונקציה ביגטיבית.

המיפוי השני איננו פונקציה bijective מכיוון שהמיפוי מתבצע רק על פונקציה.

תחומים d ו- e ממופים לחברים באותו קוד קוד. המיפוי השלישי אינו פונקציה bijective מכיוון שהמיפוי מתבצע רק על פונקציות אחד לאחד. ל- Codomain 9 אין שותף לחברים בתחום.

לדוגמא, f היא פונקציה הממפה x ל- y, כך שנוכל לכתוב אותה כ- y = f (x), ואז f-1 היא פונקציה הממפה את y ל- x, כתוב x = f^-1(y).

לדוגמא f: A → B היא פונקציה bijective. ההפוך של הפונקציה f הוא פונקציה שמקצה לכל יסוד של B בדיוק אלמנט אחד של A.

ההופכי של הפונקציה f מתבטא גם ב- f^-1 כדלהלן:

ישנם 3 שלבים לקביעת הפונקציה ההפוכה, בין היתר:

1. המירו את הטופס y = f (x) לצורה x = f (y).
2. כתוב x כ- f^-1(y) כך ש- f^-1(y) = f (y).
3. שנה את המשתנה y עם x כך שתקבל את הנוסחה לפונקציה ההפוכה f^-1(איקס).

בפונקציה ההפוכה יש נוסחה מיוחדת כמו הבאה:

---

כיצד למצוא את ההפך מפונקציה

כדי למצוא את ההפך של פונקציה, למשל, ניתן למצוא את הפונקציה y = f (x) באופן הבא:

• שנה את המשוואה y = f (x) לצורה x = f (y).
• ואז שנה x עם f^-1(y) כך שזה הופך להיות f(y) = f^-1(y).
• אם תשנה את y עם x, תמצא את ההפך של f (x) בצורה של f^-1.

---

פונקציות הפוכות בחיים

כאן נביא דוגמאות לפונקציות הפוכות הקיימות בחיי היומיום, כולל:

• בכלכלה
  הפונקציה ההפוכה משמשת לחישוב וחיזוי של משהו, למשל פונקציות ההיצע והביקוש.
• בכימיה
  הפונקציה ההפוכה משמשת לקביעת זמן הריקבון של אלמנט.
• בתחום הגיאוגרפיה והסוציולוגיה
  הפונקציה ההפוכה משמשת לאופטימיזציה בתעשייה ובצפיפות האוכלוסייה.
• בפיזיקה
  הפונקציה ההפוכה משמשת למשוואה של פונקציה ריבועית להסבר תופעת תנועה.

---

דוגמאות לבעיות בתפקוד הפוך

בעיה 1

מיפוי f: R → R עם (g f) (x) = 2 × 2 + 4 x + 5 ו- g (x) = 2x + 3. ואז f (x) = ...

x2 + 2x + 1
x2 + 2x + 2
2 × 2 + x + 2
2 × 2 + 4x + 2
2 × 2 + 4x + 1

תשובה:

קבע f (x)

(g f) (x) = 2 × 2 + 4x + 5
g (f (x)) = 2 × 2 + 4x + 5
2 (f (x)) + 3 = 2 × 2 + 4x + 5
f (x) = x2 + 2x + 1

תשובה: א

• בעיה 2
  

אם g (x - 2) = 2x - 3 ו- (f g) (x - 2) = 4 × 2 - 8x + 3, אז f (-3) = ...

-3
3
12
15

תשובה:

g (x - 2) = 2x - 3
(f g) (x - 2) = 4 × 2 - 8x + 3
f (g (x - 2)) = 4 × 2 - 8x + 3
f (2x - 3) = 4 × 2 - 8x + 3

קבע f (-3)
אם -3 = 2x - 3 אז x = 0
כך:
f (-3) = 4 (0) 2 - 8 (0) + 3 = 3

תשובה: א

בעיה 3.

תן ל- f: R → R ו- g: R → R, f (x) = x + 2 ו- (g f) (x) = 2 × 2 + 4x - 6, בואו גם x1 ו- x2 יהיו שורשי g (x) = 0 ואז x1 + 2 × 2 = ...

1
3
4
5

תשובה:

קבע g (x).

(g f) (x) = 2 × 2 + 4x - 6
g (f (x)) = 2 × 2 + 4x - 6
g (x + 2) = 2 × 2 + 4x -6
g (x) = 2 (x - 2) 2 + 4 (x - 2) - 6 = 2 × 2 - 8x + 8 + 4x - 8 - 6 = 2 × 2 - 4x - 6

קבע x1 + 2 × 2

g (x) = 0
2 × 2 - 4x - 6 = 0
x2 - 2x - 3 = 0
(x-3) (x + 1) = 0
x1 = 3 → x2 = -1, אז 3
x1 = 2 × 2 = 3 + 2 (-1) = 1

אוֹ

x1 = -1 → x2 = 3, כך
x1 + 2 × 2 = (-1) + 2 (3) = 5

תשובה: ה

• שאלה 4
  

מצא את ההפך של הפונקציה F (x) = (2x + 2) 2 - 5?

דרך רגילה
תן F (x) = y
y = (2x + 2) 2 - 5
y + 5 = (2x + 2) 2
(y + 5) 1/2 = 2x + 2
(y + 5) 1/2 - 2 = 2x
[(y +5) 1/2 - 2] / 2 = x

ואז f-1 (x) = [(x + 5) 1/2 - 2] / 2

דרך חלופית
פעולה x על הפונקציה F (x) = (2x + 2) 2 - 5:

הכפל ב -2
פלוס 2
בריבוע
מינוס 5

בצע את הפעולות הפוכות ובסדר:

בנוסף 5
שורש לעוצמה של 2
מינוס 2
מחולק ב -2

התוצאה של ההופכי היא f-1 (x) = [(x + 5) 1/2 - 2] / 2

זו הסקירה של אודות Knowledge.co.id על אודות פונקציה הפוכה, אני מקווה שזה יכול להוסיף לתובנה והידע שלך. תודה שביקרת ואל תשכח לקרוא מאמרים אחרים