Одна змінна лінійна нерівність

Одна змінна лінійна нерівність - Одна змінна лінійна нерівність - це відкрите речення, яке має лише одну змінну, має ступінь один і містить відношення ( > або < ).

Наприклад, подивіться на такі речення, як наведене нижче:

1. X> 9
2. 3x - 3 <8
3. 3b > b + 6
4. 5n - 3 < 3n + 2

Деякі з відкритих речень, наведених вище, використовують дефіси, такі як , > або <. Що вказує на те, що речення є нерівністю.

Кожна з цих нерівностей має лише одну змінну, а саме x, a та n. Цю нерівність називають нерівністю з однією змінною. Змінна (змінна) вищезазначеної нерівності до ступеня одиниці або її також називають ступенем один називається лінійною нерівністю.

Одна змінна лінійна нерівність є відкритим реченням, яке має лише одну змінну та ступінь одиниці, і існує зв’язок ( або £).

Загальну форму PtLSV у змінній можна виразити, як показано нижче:

ax + b <0, ax + b> 0, або ax + b > 0, або ax + b < 0, з a < 0, a і b - дійсні числа.

Нижче наведено кілька прикладів PtLSV із використанням змінної x, зокрема:

1. 3x - 2 <0
2. 3x - 2 <0
3. 5x - 1> 8
4. 3x + 1 > 2x - 4
5. 10 < 2 (x + 1)

Властивості однієї змінної лінійної нерівності

Подібно до цього в лінійному рівнянні з однією змінною, пошук рішення лінійної нерівності з однією змінною може бути здійснено за допомогою методу підстановки.

Однак це можна зробити також шляхом віднімання, додавання, множення або ділення обох сторін нерівності на одне і те ж число.

Нерівність в математиці - це речення або математичне твердження, яке показує порівняння розмірів двох або більше предметів.

Як і в A

Нерівність A

1. A + C
2. A - C
3. A x C 0 для всіх x
4. A x C> B x C, якщо C <0 для всіх x
5. A / C 0 для всіх x
6. A / C> B / C, якщо C <0 для всіх x

Потрібно зауважити, деякі властивості, наведені вище, також стосуються символу ">"або"<”.

Приклади запитань PtLSV та способи їх вирішення

Нижче ми наведемо приклад проблеми, а також способи її вирішення, а також відповідь на проблему лінійної нерівності з однією змінною. Ось повний огляд.

1. Одне змінне лінійне додавання та віднімання нерівності (PtLSV)

Зверніть увагу на нерівності нижче:

x + 3 <8, де x - змінна з цілого числа.

Для:

x = 1, отже 1 + 3 <8, є правдою
x = 2, отже 2 + 3 <8, є правдою
x = 3, отже 3 + 3 <8, є правдою
x = 4, отже 4 + 3 <8, є хибним

Підставивши x на 1,2 та 3 так, щоб нерівність x + 3 <8 була істинною, називається рішенням нерівності.

2. Множення або ділення однієї змінної лінійної нерівності (PtLSV)

Погляньте на такі нерівності:

Для натуральних x чисел менше 10 рішення є x = 7, x = 8 або x = 9

Виходячи з наведеного вище опису, можна зробити висновок, що:

 "Кожна нерівність залишається рівноцінною, при цьому знак нерівності залишається незмінним, хоча обидві сторони множаться на одне і те ж додатне число"

Приклад проблем:

Тепер розглянемо такі нерівності:

а. –X> - 5, де x - натуральне число менше 8. Замінник x, який задовольняє, є x = 1, x = 2, x = 3 або x = 4.

Іншим способом вирішення наведеної вище проблеми нерівності є множення обох сторін на одне і те ж від’ємне число.

* –X> –5

–1 (–x)> - 1 (–5), (обидві сторони множаться на –1 і знак нерівності залишається)

x> 5

Рішення - з x = 6 або x = 7.

* –X> –5

–1 (–x) на

х <5

Рішення x = 1, x = 2, x = 3 або x = 4.

Виходячи з цього рішення, виявляється, що нерівності, що мають однаковий розв’язок, такі:

–X> –5 та –1 (–x)

отже, –x> –5 <=> –1 (–x)

b. –4x <–8, де x - натуральне число менше 4. Підходящою заміною x є x = 2 або x = 3. Отже, рішення x = 2 або x = 3.

Виходячи з пояснення вище, ми можемо зробити висновок, що:

"Нерівність, коли обидві сторони множаться на одне і те ж від'ємне число, тоді знак нерівності змінюється"

Приклад:

3. Про історію 

Питання 1.

Сума двох чисел не більше 120. Якщо друге число на 10 більше, ніж перше, то визначте граничне значення для першого числа.

Відповідь:

З наведеної вище проблеми ми бачимо, що існує дві невідомі величини. Це перше число, а також друге число.

Отже, ми зробимо ці дві величини змінними.

Як приклад:

Ми називаємо перше число х, в той час як 

Ми називаємо друге число y.

З цієї проблеми ми також знаємо, що друге число - "на 10 більше, ніж перше число", тому застосовуватимуться такі співвідношення:

y = x + 10

У задачі також відомо, що сума двох чисел "не більше" 120.

Речення "не більше" є ознакою того, що нерівність менше рівної (≤). Отже, форма нерівності, яка відповідає проблемі, полягає в тому, що нерівність менше, ніж дорівнює.

Тоді ми будуємо нерівності так:

⇒ x + y ≤ 120

Оскільки y = x + 10, то нерівність стає:

⇒ x + x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 – 10 ≤ 120 – 10

⇒ 2x ≤ 110

⇒ х ≤ 55

так що, граничне значення для першого числа не більше 55.

Сюжетне питання 2.

Модель балочної рами з дроту довжиною (х + 5) см, шириною (х – 2) см, а висота х см.

• Визначте математичну модель рівняння необхідної довжини дроту в х.
• Якщо довжина використовуваного дроту не більше 132 см, то визначте розмір максимального значення променя.

Відповідь:

Щоб нам було легше зрозуміти проблему вище, тоді розгляньте ілюстрацію блоку нижче:

• Визначте математичну модель задачі вище.

Наприклад, K являє собою загальну довжину дроту, необхідну для виготовлення каркаса балки, тоді загальна довжина необхідного дроту - це сума всіх країв.

Отже, довжина K така.

K = 4p (довжина) + 4l (ширина) + 4t (висота)

K = 4 (x + 5) + 4 (x – 2) + 4x

К = 4х + 20 + 4х – 8 + 4х

K = 12x + 12

Отже, ми отримуємо математичну модель сюжетної задачі номер два для загальної довжини дроту, яка дорівнює K = 12x + 12.

• Визначте максимальний розмір блоку з наведеної вище проблеми.

Довжина дроту не повинна перевищувати довжини 132 см, тому ми можемо записати модель нерівності таким чином:

К ≤ 132

12x + 12 ≤ 132

Тоді ми вирішуємо лінійну нерівність однієї змінної, використовуючи таке рішення:

12x + 12 ≤ 132

⇒ 12x ≤ 132 – 12

⇒ 12x ≤ 120

⇒ х ≤ 10

З розчину х ≤ 10, тоді максимальне значення x дорівнює 10. Таким чином, розмір балки для довжини, ширини та висоти такий:

Довжина = x + 5 ⇔ 10 + 5 = 15 см

Ширина = x – 2 ⇔ 10 – 2 = 8 см

Висота = x ⇔ 10 см

Отже, ми отримуємо максимум для блоку (15 × 8 × 10) см.

Сюжетні запитання 3.

Сума двох чисел менше 80. Друге число втричі перевищує перше число.

Визначте межі двох чисел.

Відповідь:

Припустимо, ми називаємо перше число як x, тоді друге число дорівнює 3x.

Сума цих двох чисел менше 80. Отже, математична модель така:

x + 3x <80 ⇔ 4x <80

Рішення цієї математичної моделі дорівнює 4x <80 ⇔ х <20.

Отже, межа першого числа - не більше 20, тоді як другого - не більше 60.

Сюжетні запитання 4.

Поверхня прямокутного столу має довжину 16 х см і ширину 10 х см.

Якщо площа не менше 40 дм2, потім визначте мінімальний розмір поверхні столу.

Відповідь:

Довжина поверхні столу:

• (p) = 16x
• ширина (l) = 10 x
• площа = L.

Математична модель площі прямокутника така:

L = p × l

L = 16x × 10x

L = 160x2

З проблеми вказується, що площа не менше 40 дм2 = 4000 см2 тому ми можемо записати нерівність наступним чином:

L = 160x2≥ 4.000

160x2≥ 4.000

Тоді ми вирішуємо нерівність за допомогою наступного рішення:

160x2≥ 4.000

⇒ х2≥ 25

⇒ х ≥ ±5

Тому що розмір не може бути від’ємним, тоді мінімальне значення для х = 5 см, тож отримаємо:

p = 16x см = 16 (5) см = 80 см

l = 10x см = 10 (5) см = 50 см

Таким чином, мінімальний розмір поверхні столу становить (80 × 50) см.

Сюжетні запитання 5.

Велосипед їде дорогою з рівнянням s (t) = t2– 10т + 39.

Якщо х - у метрах, а t - у секундах, визначте інтервал часу, коли велосипед проїхав щонайменше 15 метрів.

Відповідь:

Велосипед може подолати відстань щонайменше 15 метрів, що означає s (t) ≥ 15.

Отже, математичною моделлю є t2– 10т + 39 ≥ 15. Ми можемо вирішити цю модель наступним чином:

т2– 10т + 39 ≥ 15

⇒ т2– 10т + 39 – 15 ≥ 0

⇒ т2– 10т + 24 ≥ 0

⇒ (т – 6) (т – 4) ≥ 0

⇒ т ≤ 4 або т ≥ 6

Таким чином, інтервал часу, коли велосипед повинен подолати відстань не менше 15 метрів, дорівнює t ≤ 4 секунди або t ≥ 6 секунд.

Сюжетні запитання 6.

Пан Ірван має вагон-фургон із вантажем вантажопідйомністю не більше 500 кг.

Вага Пака Ірвана - 60 кг, і він буде перевозити ящики з товарами, кожна коробка яких важить 20 кг. Тоді:

• Визначте максимальну кількість ящиків, які міг перевезти пан Ірван за один транспорт!
• Якщо пан Ірван збирається перевезти 115 міст, принаймні скільки разів ящики зможуть перевезти всі?

Відповідь:

З задачі ми отримуємо кілька математичних моделей наступним чином:

1. Наприклад, x являє собою кількість міст, які автомобіль може перевезти в один бік.
2. Кожна коробка важить 20 кг, тому x коробки важать 20x кг.
3. Загальна вага в один бік - це вага коробки плюс вага пана Ірвана, який становить 20x + 60.
4. Вантажопідйомність автомобіля не більше, тоді ми використовуємо знак "≤”.
5. Вантажопідйомність не більше 500 кг, тому з положення (3) ми отримуємо таку модель нерівності =
   20x + 60 ≤ 500

• Вказує максимальну кількість ящиків, які можна транспортувати за один прийом.

Визначення кількості квадратів те саме, що і значення x, а саме шляхом вирішення нерівностей нижче:

20x + 60 ≤ 500

⇒ 20x ≤ 500 – 60

⇒ 20x ≤ 440

⇒ х ≤ 22

З цього рішення ми отримуємо максимальне значення x, яке дорівнює 22. Таким чином, кожного разу вагон-візок може перевозити максимум 22 ящики.