Logaritmalar: Özellikler, Logaritmik Denklemler, Terimler, Tepeler, Problemler

logaritma bu işlemin üs veya kuvvetin tersinin (veya tersinin) işlemi olduğu matematiksel bir işlemdir. Bu logaritmik formüldeki taban veya esas genellikle a harfi şeklindedir.

Veya bu logaritmanın, kullanılan gücün (üs) tersi mi yoksa tersi mi olduğundan söz edilir. bir temel sayının üssünü belirlemek.

İngilizce'de logaritma denir logaritma.

Yani özünde, logaritmaları inceleyerek, üssü bilinen bir sayının gücünü bulabiliriz.

logaritma

Logaritmanın ne olduğunu öğrendikten sonra, bu logaritmanın genel şeklini de bilmek zorundasınız.

Logaritmanın genel formu şöyledir:

Logaritmanın genel formu:

Eğer birⁿ = x o zaman ^birlogx = n

Bilgi:

a: aşağıdaki koşullara sahip temeldir: a > 0 ve a 1.

x: algoritmanın aradığı sayıdır (sayı), koşullar: x > 1

n: logaritmanın gücüdür.

Şimdi yukarıdaki açıklamayı daha iyi anlayabilmeniz için aşağıdaki örnek sorulara bakmanızın zamanı geldi:

1. ne zaman 3² = 9, sonra logaritmik biçimde değişecektir ³günlük 9 = 2
2. ne zaman 2³ = 8, sonra logaritmik biçimde değişecektir ²günlük 8 = 3
3. ne zaman 5³ = 125, daha sonra logaritmik biçimde değişecektir ⁵günlük 125 = 3

Nasılsın? şimdi anlamaya başladım sağ?

İyi, genelde İşte, hangi sayının taban ve hangi sayının sayı olduğunu belirleme konusunda hala kafa karışıklığı yaşayacaksınız.

logaritma üs veya gücün tersi olan matematiksel bir işlemdir.

Logaritmanın temel formülü: b^c = a olarak yazılır ^blog a = c (b, temel logaritma olarak adlandırılır).

Değil mi?

Sakin olun beyler, hatırlamanız gereken anahtar şudur: baz numarası Bu baz, 'log' işaretinden önce en üstte bulunur. Ve numarasıralama sonucu buna denir sayı, 'log' kelimesinden sonra altta bulunur. Kolay sağ?

Logaritmik Denklemler

Logaritmik denklembir değişkenin logaritmanın tabanı olduğu bir denklemdir.

Bu logaritma, üs veya bir kuvvetin tersi (veya tersi) olan matematiksel bir işlem olarak da tanımlanabilir.

Misal Numara 

Burada, aşağıdakiler de dahil olmak üzere bazı logaritmik sayı örnekleri vereceğiz:

Daha sonra, logaritmaların da bazı özellikleri vardır. gereklidir anlaman için, İşte. Neden zorunlu?

Bunun nedeni, bu özelliklerin daha sonra logaritmik problemler üzerinde kolaylıkla çalışmanızın hükmü haline gelmesidir.

Logaritmaların özelliklerini anlamadan logaritma problemleri üzerinde çalışamazsınız, Bilirsin!

Sonra, herhangi bir şey cehennem Logaritmanın özellikleri nelerdir? Haydi, aşağıdaki incelemelere dikkat edin.

Logaritmik Özellikler

Aşağıdakiler, aşağıdakiler dahil, anlamanız gereken logaritma özelliklerinden bazılarıdır:

Yukarıdaki bazı özelliklere ek olarak, logaritmik denklemlerin aşağıdakiler gibi bazı özellikleri de vardır:

Logaritmik Denklemlerin Özellikleri

Logaritmik denklem ayrıca bazı özel özelliklere de sahiptir, bu özellikler aşağıdaki gibidir:

1. Çarpmanın Logaritmik Özellikleri 

Çarpmanın logaritmik özelliği, iki sayının değerinin ilk sayısal değerin bir faktörü olduğu diğer iki logaritmanın eklenmesinin bir sonucudur.

^birgünlükler s. q = ^birgünlük p + ^birgünlük q

Bu özellik için birkaç koşul vardır, yani: a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

2. Logaritmik Çarpma

Logaritmaların çarpımı, logaritma a'nın sayısal değeri, logaritma b'nin taban sayısına eşitse logaritma b ile çarpılabilen bir logaritma a özelliğidir.

Çarpmanın sonucu, taban sayısı logaritma a'ya eşit olan yeni bir logaritmadır. Ve logaritma b ile aynı sayısal değere sahiptir.

^birgünlük bx ^blogc = ^birc günlüğü

Bu özellik için birkaç koşul vardır, yani: a > 0, a \ne 1.

3. Bölünmenin Niteliği 

Bölmenin logaritmik özelliği, iki sayının değerinin ilk logaritma sayısal değerinin bir kesri veya bölümü olduğu diğer iki logaritmanın çıkarılmasının sonucudur.

^birgünlük p/q: ^birgünlük p – ^birgünlük q

Bu özellik için birkaç koşul vardır, yani: a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

4. Ters Karşılaştırılabilir Özellikler

Ters orantılı logaritma özelliği, taban sayı değerine ve değiştirilebilir sayıya sahip diğer logaritmalara sahip bir özelliktir.

^birgünlük = 1/^bbir günlüğe kaydet

Bu özellik için birkaç koşul vardır, yani: a > 0, a \ne 1.

5. Zıt işaret 

Zıt işaretin logaritmik özelliği, sayısal değeri ilk logaritma sayısal değerinin ters bir kesri olan bir logaritmaya sahip bir özelliktir.

^birgünlük p/q = – ^birgünlük p/q

Bu özellik için birkaç koşul vardır, yani: a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0.

6. Güçlerin Doğası 

Güçlerin logaritmik özelliği, sayısal değeri bir üs olan bir özelliktir. Ve bir çarpana güç vererek yeni bir logaritma olarak kullanılabilir.

^birgünlük b^p = s. ^birgünlük b

Bu özellik için birkaç koşul vardır, yani: a > 0, a \ne 1, b > 0

7. Logaritmik Asal Sayıların Gücü 

Bir taban sayısının logaritmik kuvvetinin kuvveti, taban sayısının değerinin bir olduğu bir özelliktir. bir sayının gücünü kaldırarak yeni bir logaritma olarak kullanılabilen üs (kuvvet) bölücü.

bir^pgünlük = 1/p^birgünlük b

Bu özellik için birkaç koşul vardır, yani: a > 0, a \ne 1.

8. Sayısal Güçlerle Karşılaştırılabilen Logaritmik Asal Sayılar 

Sayının kuvvetiyle orantılı olan bir taban sayının özelliği, sayısal değeri a olan bir özelliktir. sayının kuvvetinin değeri ile aynı sonuç değerine sahip taban sayı değerinin üssü (kuvveti) bu.

^birbir günlüğe kaydet^p = p

Bu özellik için birkaç koşul vardır, yani: a > 0 ve a \ne 1.

9. rütbe 

Logaritmaların gücü, güçleri logaritma biçiminde olan sayıların özelliklerinden biridir. Güç değerinin sonucu, sayının logaritmadan geldiği değerdir.

bir ^birgünlük m = m

Bu özellik için birkaç koşul vardır, yani: a > 0, a \ne 1, m > 0.

10. Logaritmik Tabanı Değiştirme 

Bu logaritmanın tabanını değiştirmenin doğası, iki logaritmanın karşılaştırmasına da bölünebilir.

^pgünlük q = ^birgünlük s/^bir günlük q

Bu özellik için birkaç koşul vardır, yani: a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0

Logaritmik Denklem Formülü

Yukarıdaki açıklamaya dayanarak, logaritma, üssün veya gücün tersi olan matematiksel bir işlemdir.

lian arasındaki üstel formun logaritmasına bir örnek: a^b = c logaritmik gösterimde ifade edilirse ^birlogc = b.

Açıklama şu şekilde:

• a, taban veya taban numarasıdır.
• b, logaritmaların sonucu veya aralığıdır.
• c, logaritmanın sayısı veya alanıdır.

Notlarla birlikte:

Logaritma formülü hakkında daha fazla tartışmadan önce şunu anlamanız gerekir: ^birlog b, log ile aynı anlama gelir_bir b.

Diğerlerinin yanı sıra logaritmik denklemin formülü şöyledir:

Logaritmik denklem formülü:

Eğer sahipsek ^birlogf(x) = ^birlog g(x), sonra f(x) = g(x) .
a > 0, a 1, f (x) > 0, g (x) > 0 gibi bazı koşullarla.

Logaritmik eşitsizlikler:

f(x) logumuz varsa > ^birlog g(x) o zaman iki durumumuz var, yani:

İlk olarak, a>0 şu anlama geldiğinde: f (x) > g (x)
İkincisi, 0 zamanında

Örnek Sorular ve Tartışma

Aşağıda, bazı soru örneklerinin yanı sıra tartışmalarını da sağlayacağız. Dikkatle dinleyin, evet.

Örnek Sorular 1-3

1. ²günlükler 4 + ²günlük 8 =

2. ²günlük 32 =

3. bilindiği zaman ²kütük 8 = m ve ²log 7 = n, sonra değerini bulun ¹⁶günlükler 14!

Cevap:

Sorun 1.

Yapmamız gereken ilk adım kontrol etmek baz.

Yukarıdaki logaritmanın iki denklemi, görünüşe göre, 2 olan aynı taban değerine sahiptir.

Bu nedenle, sonucu bulmak için logaritmanın ikinci özelliğini kullanabiliriz.

Böylece, ²günlükler 4 + ²günlük 8 = ²günlük (4 × 8) = ²günlükler 32 = 5. Hatırlamak! Logaritmanın amacı gücü bulmaktır.

Peki 2 üzeri 32'nin kuvveti kaçtır? Cevap 5'ten başkası değil. Kolay değil mi?

Soru 2.

2 numaralı soruya geçelim.

2. soruda hemen yapamıyoruz çünkü 8'in kuvvetinin değerini bulmada kesinlikle kafa karışıklığı yaşayacaksınız ki bu da 32 ile sonuçlanır. Öyleyse nasıl?

Probleme daha dikkatli bakarsak, 8, 2'nin kuvvetinin sonucudur.³ ve ayrıca 2'nin kuvvetinin sonucu olan 32⁵.

Bu nedenle, logaritmik formu şu şekilde değiştirebiliriz:

⁸günlük 32 = ²³günlük 2

= 5/3 ²günlük 2 (özellik numarası 6'yı kullanın)

= 5/3(1) = 5/3

Sorun 3.

Nasılsınız beyler? Henüz heyecanlanmaya başlamadınız mı?

İyi, 3. soru tartışmasında bu sizi daha da heyecanlandıracak!

3. sorudaki modelin genellikle Ulusal Sınav sorularında veya üniversite seçme sorularında bulunacağını bilmelisiniz. Bilirsin.

İlk bakışta oldukça karmaşık görünüyor, evet, ancak kavramı zaten anladıysanız, bu sorunu yapmak çok kolay olacaktır.

Bunun gibi bir problem modeli bulursanız, 4 sayısının logaritmik özelliğini kullanarak değerini bulabilirsiniz.

Yani, süreç olacak:

²kütük 8 = m ve ²günlük 7 = n, ¹⁶günlükler 14?

¹⁶günlük 14 = ²günlük 14/ ²kayıt 16

Not:

Hangi tabanı seçmek için doğrudan problemde en sık görünen sayıya bakabiliriz. Yani 2 sayısının 2 kez, 8'in 1 kez ve 7'nin 1 kez göründüğünü biliyoruz.

En çok görünen sayı 2'den başkası değildir, bu yüzden temel olarak 2'yi seçiyoruz. Anladım?

= ²günlükler (7 x 2)/ ²günlükler (8 x 2)

Bizden sonra rakamı tanımla.

Bunu zaten problemde olan forma çevirmeye çalışalım. Ne demek istiyorsun?

İşte beyler, bilinen soru üzerine ²günlük 8 ve ayrıca ²günlükler 7. Sayılar hem 8 hem de 7 olduğundan, nihai sonucu görebilmek için 14'ü 7 × 2'ye ve 16'yı 8 × 2'ye bölüyoruz.

= ²günlük 7 + ²günlükler 2/ ²kayıt 8 + ²günlük 2 (özellik numarası 2'yi kullanın)

= n + 1/m + 1

Başka bir örnek soru.

Problem 1.(EBTANAS '98)

Bilinen ³günlük 5 = x ve ³günlük 7 = y. değerini hesapla ³günlükler 245 ^1/2! (EBTANAS '98)

Cevap:

³günlükler 245 ^½ = ³günlükler (5 x 49) ^½

³günlükler 245 ^½ = ³günlükler((5) ^½ x(49) ^½)

³günlükler 245 ^½ = ³günlükler (5) ^½ + ³günlükler (7²) ^½

³günlükler 245 ^½ = ½( ³günlük 5 + ³günlükler 7)

³günlükler 245 ^½ = (x + y)

Yani, değeri ³günlükler 245 ^½ yani (x + y).

Soru 2. (UMPTN '97)

eğer b = bir⁴, a ve b değerleri pozitif, sonra değeri ^birgünlük b – ^bbir ör…?

Cevap:

b = a olduğu bilinir⁴, sonra bunu hesaplamanın yerine koyabiliriz:

^birgünlük b – ^bloga = ^birbir günlüğe kaydet⁴ - bir⁴ bir günlüğe kaydet

^birgünlük b – ^bloga = 4 (^birloga) – 1/4( ^birgünlükler a)

^birgünlük b – ^bloga = 4 – 1/4

^birgünlük b – ^bloga = 3^3/4

Yani, değeri ^birgünlük b – ^bbir soru numarası 2'yi 3'e kaydedin^3/4.

Sorun 3. (UMPTN '97)

Eğer ^birgünlükler (1- ³log 1/27) = 2, sonra a'nın değerini hesaplayın.

Cevap:

2 değerini logaritmanın taban sayısının a olduğu bir logaritmaya dönüştürürsek ^birbir günlüğe kaydet²= 2, o zaman şunu elde ederiz:

^birgünlükler (1- ³günlük 1/27) = 2

^birgünlükler (1- ³1/27) = ^birbir günlüğe kaydet²

İki logaritmanın sayısal değeri bir denklem olabilir, yani:

1- ³günlük 1/27 = bir²

³günlükler 3 – ³günlük 1/27 = bir²

³günlükler 3 – ³günlük 3^(-3) = bir²

³günlükler 3/3^-3 = bir²

³günlük 3⁴ = bir²

4 = bir²

Böylece a = 2 değerini elde ederiz.

Sorun 4.

2log 8 = a ve 2log 4 = b olduğu biliniyorsa. Ardından 6log 14 değerini hesaplayın

bir. 1 /2
b. (1+2) / (2+1)
c. (a+1) / (b+2)
d. (1+a) / (1+b)

Cevap:

2 günlük 8 için = bir

= (günlük 8 / günlük 2) = bir
= günlük 8 = bir günlük 2

2 günlük 4 = b için

= (log 4 / log 2) = b
= günlük 4 = b günlük 2

Yani ,16 log 8 = (log 16) / (log68)
= (log 2.8) / (log 2.4)
= (log 2 + log 8) / (log 2 + log 4)
= (log 2 + a log a) / (log 2 + b log b)
= log2 (1+ a) / log 2( 1+ b)
= (1+a) / (1+b)

Yani yukarıdaki örnek problemde 6 log 14'ün değeri (1+a) / (1+b)'dir. (D)

Soru 5.

(3log 5 – 3 log 15 + 3log 9) değeri nedir?

bir. 2
b. 1
c. 4
d. 5

Cevap:

(3log 5 – 3log 15 + 3log 9
= 3 günlük ( 5. 9) / 15
= 3log 45/15
= 3log3
=1

Yani 3log 5 – 3log 15 + 3log 9'un değeri 1'dir. (B)

Soru 6.

Aşağıdaki logaritma problemindeki değeri hesaplayın:

1. (2log 4) + (2log 8)
2. (2log 2√2) + (2log 4√2)

Cevap:

1. (2log 4 + 2log 8) = (2log 4) x 8 = 2log 3 üzeri 2 = 5

2. (2log 2√2 + 2log 4√2) = (2log 2√2) x (4√2) = 2log 16 = 4

Yani yukarıdaki her logaritma probleminin değeri 5 ve 4'tür.

7. soru

Aşağıdaki logaritma problemindeki değeri hesaplayın:

1. 2 günlük 5 x 5 günlük 64
2. 2 günlük 25 x 5 günlük 3 x 3 günlük 32

Cevap:

1. (2log 5) x (5log 64) = 2log 64 = 2log 26 = 6

2. (2log 25) x (5log 3) x (3log 32) =(2log 52) x (5log 3) x (3log 25)
= 2. (2log 5) x (5log 3) x 5. (3 günlük 2)
= 2 x 5 x (2log 5) x (5log 3) x (3log 2)
= 10 x (2log 2) = 10 x 1 = 10

Yani yukarıdaki sorunun değeri 6 ve 10'dur.

Soru 8.

log 25 + log 5 + log 80 is değerini hesaplayın...

Cevap:

günlük 25 + günlük 5 + günlük 80
= günlük(25 x 5 x 80)
= günlük 10000
= günlük 104
= 4

Sorun 9.

log 3 = 0.332 ve log 2 = 0.225 olduğu bilinmektedir. O zaman sorunun günlüğü 18….

bir. 0,889
b. 0,556
c. 0,677
d. 0,876

Cevap:

Bilinen:

• Günlük 3 = 0.332
• Günlük 2 = 0.225

Diye sordu:

• günlük 18 = ….?

Cevap:

Günlükler 18 = günlükler 9. günlük 2
Günlük 18 = (günlük 3.log 3). günlük 2
Günlükler 18 = 2. (0,332) + (0,225)
Günlük 18 = 0.664 + 0.225
Günlük 18 = 0.889

Yani yukarıdaki soruda log 18'in değeri 0.889'dur. (A)

Soru 10.

Aşağıdaki üsleri logaritmik forma dönüştürün:

1.  24 = 16
2.  58 = 675
3.  27 = 48

Cevap:

*Üsleri aşağıdaki gibi logaritmik forma dönüştürün:

ba = c değeri ise, blog c = a değeridir.

1.  24 = 16 → 2log 16 = 4
2.  58 = 675 → 5log 675 = 8
3.  27 = 48 → 2log 48 = 7

Böylece bu sefer iletebileceğimiz kısa bir inceleme. Umarım yukarıdaki inceleme çalışma materyaliniz olarak kullanılabilir.