Cebirsel Türev Fonksiyonlar: Formüller, Uygulamalar, Gösterim, İki Fonksiyonla Bölmenin Çarpılması ve Örnek Problemler

August 30, 2023
İçindeBağlantı Politikası Temas Etmek

Bir fonksiyonun türevinin formülü

Eğer hatırla f(x)x^n , Bu yüzden:

$f'(x)\frac{df (x)}{dx} \frac{dx^n}{dx} nx^n-1$

Çünkü f (x) (u (x))^nu^n , Bu yüzden:

$f'(x) \frac{df (x)}{dx} \frac{du^n}{dx} \cdot \frac{du}{du}$

Veya

$f'(x) \frac{du^n}{du} \cdot \frac{du}{dx} nu^{n-1} \cdot u'$

Yani fonksiyonun türevinin formülü şöyledir:

$f'(x) nu^(n-1) \cdot u'$

Trigonometri Türev Formülleri

Türevin tanımına dayanarak, trigonometri türevleri için aşağıdaki gibi çeşitli formüller elde edebiliriz: (x'in her fonksiyonu u ve v ile birlikte), aşağıdakiler dahil: y' =

y = sin x→ y' = çünkü x
y = çünkü x → y' = -sin x
y = tan x → y' = sn²X
y = karyola x → y' = -csc²X
y = sn x → y'
y = csc x → y' = csc × karyola x
y = günah^Nxy' = n günah^n-1× çünkü x
y = çünkü^Nx → y' = -n çünkü^n-1× günah x
y = sin u → y' = u' çünkü sen
y = çünkü sen → y' = u' sin u
y = tan u → y' = ui sn²sen
y = karyola u → y' = -u' csc²sen
y = sn u → y' = u' sn u tan u
y = csc u → y' = u' csc u bebek u
y = günah^Nu → y' = n.u' günah^n-1çünkü sen
y = çünkü^N u → y' = -n.u' çünkü^n-1. günah sana

Türev Uygulamalar

Bir eğriye teğetin eğimini belirler

Teğetin (m) y = f(x) eğrisine olan gradyanı şu şekilde formüle edilir:

Teğet noktasındaki y = f(x) eğrisine teğetin denklemi (x_1, y_1) şu şekilde formüle edilmiştir:

instagram viewer

$y - y_1 m (x - x_1) \rightarrow m f'(x_1)$

Artan ve azalan fonksiyonların aralığını belirleyin
- Artan fonksiyon aralığının koşulu $\rightarrow f'(x) 0$
- Azalan fonksiyon aralığı terimi $\rightarrow f'(x) 0$
Bir fonksiyonun durağan değerini ve türünü belirler

Eğer y = f(x) fonksiyonu x = a ve f'(x) = 0'da sürekli ve türevlenebilirse, bu durumda fonksiyon x = a'da durağan bir değere sahiptir. y = f(x) fonksiyonunun durağan değer türü, minimum dönüş değeri, maksimum dönüş değeri veya bükülme değeri olabilir. Bu tür durağan değer, fonksiyonun ikinci türevi kullanılarak belirlenebilir.

- Maksimum değer $\rightarrow f'(x) 0$ Ve $\rightarrow f$

Eğer f'(x_1) 0 Ve , Bu yüzden f'(x_1) y = f(x) fonksiyonunun maksimum dönüş değeridir ve nokta (x_1f(x)) y = f(x) eğrisinin maksimum dönüm noktasıdır.

- Minimum değer $\rightarrow f'(x) 0$ Ve

Eğer f'(x_1) 0 Ve , Bu yüzden f(x_1) fonksiyonun minimum dönüş değeridir yf(x) ve nokta (x_1f(x)) y = f(x) eğrisinin minimum dönüm noktasıdır.

- Dönüş değeri $\rightarrow f'(x) 0$ Ve

Eğer f'(x_1) 0 Ve f''(x_1 0) , Bu yüzden f(x_1) y = f(x) fonksiyonunun bükülme değeri ve nokta (x_1f(x)) y = f(x) eğrisinin dönüm noktasıdır.

Belirsiz formdaki limit problemlerini çözme $\frac{0}{0}$ veya $\frac{\infty}{\infty}$

Eğer $\lim \limits_{x\to a}\frac{f (x)}{g (x)}$ belirsiz formun bir limitidir $\frac{0}{0}$ veya $\frac{\infty}{\infty}$ ise çözüm türevleri kullanabilir, yani sırasıyla f(x) ve g(x) türetilir.

$\lim\limits_{x\to a}\frac{f (x)}{g (x)} \lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \frac{f'(a)}{g'(a)}$

Eğer birinci türev belirli bir form vermişse, o zaman bu özel form çözümdür. Ancak birinci türev hala belirsiz bir form üretiyorsa, o zaman sırasıyla f(x) ve f(x) belirli bir şeklin sonucu elde edilene kadar tekrar düşürülür. Bu çözüm yöntemine L'hopital Teoremi denir.

Hız ve ivmenin formülünü belirleyin

Bir nesnenin hareket konumunun zamanın bir fonksiyonu olarak formülü veya denklemi biliniyorsa, yani s = f(t), o zaman hız ve hız formülü belirlenebilir:

- Hız formülü $\rightarrow v s' f'(t)$
- Hızlanma formülü $\rightarrow a s' f$

Türev Gösterimi

Bir f(x) fonksiyonunun x'e göre türevi şu şekilde tanımlanır:

sınırın mevcut olması şartıyla.

y = f(x) fonksiyonunun x'teki birinci türevini şu şekilde gösterebiliriz:

y' = f'x ⇒ lagrange
⇒ leibniz
D_Xy = D_X[f(x)]⇒ euler

Yukarıdaki tanımdan aşağıdaki gibi çeşitli türev formülleri türetebiliriz:

f(x) = k ⇒ f'(x) = 0
f(x) = k x ⇒ f'(x) = k
f(x) = x^N ⇒ f'(x) = nx^n-1
f (x) = k sen (x) ⇒ f '(x) = k sen'(x)
f (x) = u (x) ± v (x) ⇒ f '(x) = u'(x) ± v'(x)

k = sabit ile

Aşağıdaki örneklerden bazılarını düşünün:

f(x) = 5 ⇒ f'(x) = 0
f(x) = 2x ⇒ f'(x) = 2
f(x) = x² ⇒ f'(x) = 2x^2-1= 2x
y = 2x⁴ ⇒ y' = 2. 4x^4-1= 8x³
y = 2x⁴ +x² − 2x ⇒ y' = 8x³ +2x−2

Kökleri veya kesirleri içeren bir fonksiyonun türevini bulmak için yapmamız gereken ilk adım, önce fonksiyonu üstel forma dönüştürmektir.

Köklerin ve üslerin sıklıkla kullanılan özelliklerinden bazıları şunlardır:

X^M. X^N =x^m+n
X^M/X^N =x^MN
1/x^N =x^-N
√x = x^1/2
^N√xm = x^MN

Örnek:

Sorun 1.

f(x) = x√x'in türevini bulun

Cevap:

f(x) = x√x = x. X^1/2=x^3/2

f(x) = x^3/2 →

Sorun 2.

Türevini belirleyin

Cevap:

Cebirsel Türev Fonksiyonlar: Formüller, Uygulamalar, Gösterim, İki Fonksiyonla Bölmenin Çarpılması ve Örnek Problemler

İki Fonksiyonun Çarpmasının ve Bölmesinin Türevleri

Diyelim ki y = uv, o zaman y'nin türevi şu şekilde ifade edilebilir:

y' = u'v + uv'

Diyelim ki y = u/v, o zaman y'nin türevi şu şekilde ifade edilebilir:

Sorunlar örneği.

Sorun 1.

f (x) = (2x + 3)(x)'in türevi² + 2) yani:

Cevap:

Örneğin:

sen = 2x + 3 ⇒ sen' = 2
v = x² + 2 ⇒ v' = 2x

f'(x) = u' v + sen v'
f'(x) = 2(x)² + 2) + (2x + 3) 2x
f'(x) = 2x² +4 +4x² +6x
f'(x) = 6x² +6x +4

Zincir Kuralı

Eğer y = f(u) ise, burada u x'e göre türetilebilen bir fonksiyondur, bu durumda y'nin x'e göre türevi şu şekilde ifade edilebilir: DsenDX=DsenDsen×DsenDX

Yukarıdaki zincir kuralı kavramından, y = u için^N, elde edilecek: DsenDX=D(senN)Dsen×DsenDX

sen′=NsenN−1.sen′

Genel olarak şu şekilde ifade edilebilir:

Eğer f(x) = [u(x)]^N burada u(x), x'e göre türetilebilen bir fonksiyondur, o zaman: F′(X)=N[sen(X)]N−1.sen′(X)

Yukarıdaki zincir kuralı kavramından, y = u için^N, alacak:

Genel olarak şu şekilde ifade edilebilir:

Eğer f(x) = [u(x)]^N burada u(x), x'ten türetilebilen bir fonksiyondur, o zaman:

f'(x) = n[u (x)]^n-1. sen'(x)

Sorunlar örneği.Sorun 1.

f (x) = (2x + 1)'in türevini bulun⁴

Cevap:

Örneğin:

u(x) = 2x + 1 ⇒ u'(x) = 2
n = 4
f '(x) = n[u (x)]^n-1. sen'(x)
f'(x) = 4(2x + 1)^4-1. 2
f'(x) = 8(2x + 1)³

Sorun 2.

y = (x)'in türevini bulun²− 3x)⁷

Cevap :

y' = 7(x²− 3x)^7-1. (2x - 3)
y' = (14x - 21). (X²− 3x)⁶

Örnek Sorular ve Tartışma

Sorun 1

Birinci türevi $f (x) 4 \sqrt{2x^3 - 1}$ dır-dir

Tartışma 1:

Bu problem y = formunun bir fonksiyonudur. a^n formülü kullanılarak çözülebilir $y' n \cdot a \cdot u^{n-1} \cdot u'$ . Bu yüzden:

$f (x) 4 \sqrt{2x^3-1} 4(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}$

Böylece türev:

$f'(x) \frac{1}{2} \cdot 4(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 6x^2$

$2(2x^3-1) \cdot 6x^2$

$12x^2(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{12x^2}{(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{12^2}{\sqrt{2x^3-1}}$

Sorun 2

Birinci türevini bulun

$f (x) \frac{6}{\sqrt[3]{\sin (3x-\frac{\pi}{5})}}$

Tartışma 2:

Bu sorunu çözmek için karma formülü kullanın: $f'(x) \frac{u'v-uv'}{v^2}$ ve ayrıca $y' n \cdot u' \sin^{n-1}u \cdot \cos u$ . Böylece:

$f (x) \frac{6}{\sqrt[3]{sin (3x-\frac{\pi}{5})}}$

$f (x) \frac{6}{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{2}}}$

$f'(x) \frac{0 - 6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3}(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^{- \frac{2}{ 3}} \cdot \cos (3x - \frac{\pi}{5})}{(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^\frac{2}{3}}$

$f'(x) \frac{-6(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{-\frac{2}{3}}.cos (3x-\frac{\pi}{ 5})}{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{2}{3}}}. \frac{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{3}}}{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{ -\frac{1}{3}}}$

$f'(x) \frac{-6(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{-1} cos (3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[ 3]{sin (3x-\frac{\pi}{5}})}$

$f'(x) \frac{-6cot (3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[3]{sin (3x-\frac{\frac{\pi}{5})}}$

Sorun 3

Maksimum değerini belirleyin f (x) x^3 - 6x^2 + 9x -1 ≤ x ≤ 3 aralığında.

Tartışma 3:

Maksimum fonksiyon değerinin f(x) olduğunu unutmayın. f'(x) 0 Ve Bu yüzden:

$f_{maks}$ Eğer

Ve x_1 1 Ve x_2 3

$f_{maks} f (1) 1^3 - 6,1^2 + 9,1$

$f_{maks} 4$

Sorun 4.

f(x) = (x – 1)’in türevi²(2x + 3)…

Cevap:

Örneğin:

sen = (x - 1)² ⇒ sen' = 2x − 2
v = 2x + 3 ⇒ v' = 2

f'(x) = u'v + uv'
f '(x) = (2x − 2)(2x + 3) + (x − 1)². 2
f'(x) = 4x² + 2x − 6 + 2(x² − 2x + 1)
f'(x) = 4x² + 2x − 6 + 2x² − 4x + 2
f'(x) = 6x² − 2x − 4
f '(x) = (x − 1)(6x + 4) veya
f '(x) = (2x − 2)(3x + 2)

Sorun 5.

Eğer f(x) = x² – (1/x) + 1 ise f'(x) =... .

A x – x²
B. x + x²
C. 2x – x^-2 + 1
D. 2x – x² – 1
E. 2x + x^-2

Cevap:

f(x) = x² – (1/x) + 1

=x² - X^-1 + 1

f'(x) = 2x -(-1)x^-1-1

= 2x + x^-2

Cevap: E

Böylece inceleme Knowledge.co.id hakkında hakkında Cebirsel Fonksiyonların Türevi, umarım içgörü ve bilginize katkıda bulunabilir. Ziyaretiniz için teşekkür ederiz ve diğer makaleleri okumayı unutmayın

Cebirsel Türev Fonksiyonlar: Formüller, Uygulamalar, Gösterim, İki Fonksiyonla Bölmenin Çarpılması ve Örnek Problemler

Bir fonksiyonun türevinin formülü

Trigonometri Türev Formülleri

Türev Uygulamalar

Bir eğriye teğetin eğimini belirler

Artan ve azalan fonksiyonların aralığını belirleyin

Bir fonksiyonun durağan değerini ve türünü belirler

Belirsiz formdaki limit problemlerini çözme veya

Hız ve ivmenin formülünü belirleyin

Türev Gösterimi

İki Fonksiyonun Çarpmasının ve Bölmesinin Türevleri

Zincir Kuralı

Örnek Sorular ve Tartışma

Belirsiz formdaki limit problemlerini çözme $\frac{0}{0}$ veya $\frac{\infty}{\infty}$