Matematiksel Tümevarım: İlkeler, Serilerin İspatı, Bölünebilirlik, Denklemler ve Örnek Problemler

August 13, 2023
İçindeBağlantı Politikası Temas Etmek

Matematiksel Tümevarım: İlkeler, Serilerin İspatı, Bölünebilirlik, Denklemler ve Örnek Problemler – Matematiksel Tümevarım Nedir? Knowledge.co.id hakkında Kasti Balosu ve onu çevreleyen şeyler hakkında tartışacaklar. Daha iyi anlamak için aşağıdaki makaledeki tartışmaya bakalım.

Matematiksel Tümevarım: İlkeler, Serilerin İspatı, Bölünebilirlik, Denklemler ve Örnek Problemler

Matematiksel tümevarım, düzenli bir şekilde sıralanan bir dizi sayıyla ilgili matematiksel ifadeleri kanıtlamak için kullanılan tümdengelimli bir ispat yöntemidir.

Bu sayılar, örneğin doğal sayılar veya sayıların boş olmayan alt kümeleridir. Matematiksel tümevarım yalnızca bir ifadenin doğruluğunu kontrol etmek veya kanıtlamak için kullanılır. veya formül. Ve matematiksel tümevarım, formül türetmek için değildir. Matematiksel tümevarım, formülleri türetmek veya bulmak için kullanılamaz.

Aşağıdakiler, matematiksel tümevarımla doğruluğu kanıtlanabilen bazı matematiksel ifade örnekleridir:

P(n): 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1), n bir doğal sayıdır

instagram viewer

P(n): 6^N + 4, n doğal sayı için 5'e bölünebilir.
P(n): 4n < 2^N, her doğal sayı için n ≥ 4

Matematiksel Tümevarım İlkelerinin Genişletilmesi

Örneğin, P(n), n'ye bağlı bir ifadedir. P(n), aşağıdaki 2 koşulu sağlıyorsa her n ≥ m doğal sayısı için doğrudur:

P(m) doğrudur, yani n = m için P(n) doğrudur
Her k ≥ m doğal sayısı için, eğer P(k) doğruysa, P(k + 1) de doğrudur.

P(1)'in doğru olduğunu göstermek için, P(n) yerine n = 1 koymak yeterlidir.

P(n) denklem biçiminde sunulursa, bu, n = 1'de sol tarafın sağ tarafa eşit olması gerektiği anlamına gelir ve sonra P(1)'in doğru olduğu sonucuna varırız.

P(m)'nin doğru olduğunu göstermek için aynı yöntemi uygulayabiliriz.

Yukarıdaki domino örneğine dönersek, domino taşının (k + 1) düşmesi için en erken domino k'nin düşmesi gerekir.

Ve ardından "domino k düşerse, o zaman domino (k + 1) düşer" iması oluşabilir.

Dolayısıyla, "P(k) doğruysa P(k + 1) doğrudur" çıkarımını göstermek için ilk adımımız P(k)'nin doğru olduğunu varsaymak olmalıdır.

Sonra bu varsayımlara bakarak P(k + 1)'in de doğru olduğunu gösteririz.

P(k)'nin doğru olduğunu varsayma sürecine tümevarım hipotezi denir.

P(k + 1)'in doğru olduğunu göstermek için hipotezden başlayabiliriz. Yani, P(k)'nin doğru olduğu varsayımından veya sonuçtan, yani P(k + 1)'in kendisinden.

Matematiksel tümevarımın ispatı aşağıdaki sırayla yapılabilir:

Başlangıç adımı: P(1)'in doğru olduğunu gösterin.
Tümevarım adımı: P(k)'nin herhangi bir k doğal sayı için doğru olduğunu varsayın, ardından bu varsayıma dayanarak P(k+ 1)'in de doğru olduğunu gösterin.
Sonuç: P(n) her n doğal sayısı için doğrudur.

Seri Kanıtı

Dizinin ispatına girmeden önce dizi ile ilgili dikkat edilmesi gereken birkaç nokta var. Diğerleri arasında:

Eğer

P(n): sen₁ +u₂ +u₃ + … + sen_N = S_N, Bu yüzden
P(1): sen₁ = S₁
P(k): sen₁ +u₂ +u₃ + … + sen_k = S_k
P(k + 1): sen₁ +u₂ +u₃ + … + sen_k +u_k+1 = S_k+1

Örnek 1:

n doğal sayının her biri için 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1) olduğunu kanıtlayın.

Cevap:
P(n): 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1)

Her n ∈ N için P(n)'nin doğru olduğu kanıtlanacaktır.

İlk adım:

P(1)'in doğru olduğunu gösterir
2 = 1(1 + 1)

Böylece elde edilir, P(1) doğrudur

İndüksiyon adımı:

P(k) doğru olsun, yani:
2 + 4 + 6 + … + 2k = k (k + 1), k ∈ N

P(k + 1)'in de doğru olduğunu gösterecek, yani:
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Yukarıdaki varsayımlardan o zaman:
2 + 4 + 6 + … + 2k = k (k + 1)

her iki tarafı u ile topla_k+1 :
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = k (k + 1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Yani, P(k + 1) doğrudur

Matematiksel tümevarım ilkesine dayanarak, P(n)'nin her n doğal sayı için doğru olduğu kanıtlanmıştır.

Örnek 2:

Kanıtla 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n² bu doğru, her n doğal sayı için.

Cevap:
P(n): 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n²

O zaman P(n)'nin her n ∈ N için doğru olduğunu gösterecektir.

İlk adım:
P(1)'in doğru olduğunu gösterecek
1 = 1²

Yani, P(1) doğrudur

İndüksiyon adımı:
P(k)'nin doğru olduğunu hayal edin, yani:
1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) = k², k ∈ N

Bu, P(k + 1)'in de doğru olduğunu gösterecektir, yani:
1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)²

Yukarıdaki varsayımlardan o zaman:
1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) = k²

her iki tarafı u ile topla_k+1 :
1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) = k² + (2(k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) = k² +2k+1
1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)²

Yani, P(k + 1) de doğrudur

Matematiksel tümevarım ilkesine dayanarak, P(n)'nin her n doğal sayı için doğru olduğu kanıtlanmıştır.

Bölünme Kanıtı

"a, b'ye bölünebilir" ifadesi şu ifadeyle eş anlamlıdır:

bir katı b
a'nın b faktörü
b böl a

p, a'ya ve q, a'ya bölünebiliyorsa, o zaman (p + q) da a'ya bölünebilir.

Örneğin, 4, 2'ye bölünebilir ve 6, 2'ye bölünebilir, bu durumda (4 + 6) da 2'ye bölünür.

Örnek 1:

6 kanıtla^N + 4, her n doğal sayısı için 5'e bölünebilir.

Cevap:

P(n): 6^N +4 5'e tam bölünür

P(n)'nin her n ∈ N için doğru olduğu kanıtlanacaktır.

İlk adım:

P(1)'in doğru olduğunu gösterecek
6¹ + 4 = 10 5 ile bölünebilir

Yani, P(1) doğrudur

İndüksiyon adımı:

P(k)'nin doğru olduğunu hayal edin, yani:
6^k + 4, 5'e bölünebilir, k ∈ N

Bu, P(k + 1)'in de doğru olduğunu gösterecektir, yani:
6^k+1 +4 5'e tam bölünür.

6^k+1 + 4 = 6(6^k)+ 4
6^k+1 + 4 = 5(6^k) + 6^k + 4

Neden 5(6^k) 5 ve 6 ile bölünebilir^k +4 5'e tam bölünür yani 5(6)^k) + 6^k +4 de 5'e tam bölünür.

Yani, P(k + 1) doğrudur.

Matematiksel tümevarım ilkesine dayanarak, 6 olduğu kanıtlanmıştır.^N + 4, her n doğal sayısı için 5'e bölünebilir.

m tamsayısı bulunduğunda a tamsayısı b tamsayısına bölünebilir, böylece a = bm geçerli olur.

Örneğin, "10 5'e bölünebilir" doğrudur çünkü m = 2 tamsayıları vardır, yani 10 = 5.2.

Dolayısıyla "10 5'e tam bölünür" ifadesi "m tamsayılar için 10 = 5m" şeklinde yazılabilir.

Yukarıdaki konsepte dayanarak, bölme ispatı aşağıdaki yöntem kullanılarak da çözülebilir.

Örnek 2:

Kanıtlanmış³ + 2n, her n doğal sayısı için 3'e bölünebilir

Cevap:

P(n): n³ + 2n = 3m, m ∈ ile ZZ

Her n ∈ için P(n)'nin doğru olduğu kanıtlanacaktır. NN

İlk adım:

P(1)'in doğru olduğu gösterilecektir.
1³ + 2.1 = 3 = 3.1

Yani, P(1) doğrudur

İndüksiyon adımı:

P(k)'nin doğru olduğunu hayal edin, yani:
k³ + 2k = 3m, k ∈ NN

Bu, P(k + 1)'in de doğru olduğunu gösterecektir, yani:
(bin + 1)³ + 2(k + 1) = 3p, p ∈ ZZ

(bin + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ +3k² + 3k + 1) + (2k + 2)
(bin + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ +2k) + (3k² +3k+3)
(bin + 1)³ + 2(k + 1) = 3m + 3(k² + k + 1)
(bin + 1)³ + 2(k + 1) = 3(m + k² + k + 1)

m bir tam sayı ve k bir doğal sayı olduğundan, o zaman (m + k² + k + 1) bir tamsayıdır.

Örneğin p = (m + k² + k + 1), yani:
(bin + 1)³ + 2(k + 1) = 3p, p ∈ ile ZZ

Yani, P(k + 1) doğrudur

Yukarıdaki matematiksel tümevarım kavramına dayanarak, kanıtlanmıştır ki n³ + 2n, her n doğal sayısı için 3'e bölünebilir.

Eşitsizliğin Kanıtı

Aşağıdakiler, eşitsizliklerin sıklıkla kullanılan özelliklerinden bazılarıdır:

1. geçişli doğa
a > b > c ⇒ a > c veya
bir < b < c ⇒ bir < c

2. a < b ve c > 0 ⇒ ac < bc veya
a > b ve c > 0 ⇒ ac > bc

3. a < b ⇒ a + c < b + c veya
a > b ⇒ a + c > b + c

Örnek sorulara geçmeden önce, "P(k) doğruysa P(k + 1) de doğrudur" çıkarımını göstermek için yukarıdaki özellikleri kullanarak alıştırma yapmak iyi bir fikirdir.

Örnek

P(k): 4k < 2^k
P(k+1): 4(k+1) < 2^k+1

P(k)'nin k ≥ 5 için doğru olduğu varsayılırsa, P(k + 1)'in de doğru olduğunu gösterin!

Hedefimizin göstermek olduğunu unutmayın, yani:
4(k + 1) < 2^k+1 = 2(2^k) = 2^k + 2^k (HEDEF)

Yukarıdaki eşitsizliğin sol tarafından başlayarak:
4(k + 1) = 4k + 4
4(k + 1) < 2^k + 4 (çünkü 4k < 2^k)
4(k + 1) < 2^k + 2^k (çünkü 4 < 4k < 2^k)
4(k + 1) = 2(2^k)
4(k + 1) = 2^k+1

Geçişli doğaya dayanarak, 4(k + 1) < 2 olduğu sonucuna varabiliriz.^k+1

4k neden 2'ye dönüşebilir?^k ?

Çünkü 3. özelliğe göre bir eşitsizliğin her iki tarafını da aynı sayıyla toplamamıza izin veriliyor.

Çünkü eşitsizliğin doğruluk değerini değiştirmeyecektir. Çünkü 4k < 2^k doğru, bu da 4k + 4 < 2 ile sonuçlanır^k +4 de doğrudur.

4'ün 2 olarak değiştirilmesi gerektiğini nasıl biliyoruz?^k ?

Hedefleri izleyin.

Aldığımız geçici sonuç 2^k +4 iken hedefimiz 2^k + 2^k.

k ≥ 5 için 4 < 4k ve 4k < 2^k bu doğru, öyleyse 4 < 2^k da doğrudur (geçişli özellik). Bu 2 ile sonuçlanır^k + 4 < 2^k + 2^k doğru (özellik 3).

Matematiksel Tümevarım: İlkeler, Serilerin İspatı, Bölünebilirlik, Denklemler ve Örnek Problemler

Sorun örneği

Sorun1

Her doğal sayı için n ≥ 4 olduğunu ve geçerli olduğunu kanıtlayın
3n < 2^N

Cevap:

P(n): 3n < 2^N

P(n)'nin n ≥ 4, n ∈ için geçerli olduğu kanıtlanacaktır. NN

P(4)'ün doğru olduğunu gösterecek
3.4 = 12 < 2⁴ = 16

Yani, P(4) doğrudur

P(k)'nin doğru olduğunu hayal edin, yani:
3k < 2^k, k ≥ 4

Bu, P(k + 1)'in de doğru olduğunu gösterecektir, yani:
3(k + 1) < 2^k+1

3(k+1) = 3k+3
3(k + 1) < 2^k + 3 (çünkü 3k < 2^k)
3(k + 1) < 2^k + 2^k (çünkü 3 < 3k < 2^k)
3(k + 1) = 2(2^k)
3(k + 1) = 2^k+1

Yani, P(k + 1) de doğrudur.

Matematiksel tümevarım kavramına dayanarak, P(n)'nin her n ≥ 4 doğal sayısı için geçerli olduğu kanıtlanmıştır.

Sorun 2

Kanıtla $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2$ .

Tartışma:

Aşama 1

$1^3 \frac{1}{4}(1)^2(1 + 1)^2 \frac{2^2}{4}$

1 1 (kanıtlanmış)

Adım 2 (n = k)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2$

Adım 3 (n = k + 1)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3(k + 1)^3 \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k + 2)^3$ .

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1 )^3 + (k + 1)^3 \frac{1}{4}k^2(k + 1) ^2 + (k + 1)^3$ (her iki alan da eklendi .

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + (k + 1)^3 (k + 1)^2 (\frac{1}{4}k^2 + (k + 1))$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k +1)^3 (k + 1)$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k^2 + 4k + 4)$

$1^3 + 2^3 +3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)(k + 2 )$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)^2$ {kanıtlanmış).

Sorun 3

Her doğal sayı için n ≥ 2 olduğunu ve 3'ü tuttuğunu kanıtlayın^N > 1 + 2n

Cevap:

P(n): 3^N > 1 + 2n

P(n)'nin n ≥ 2, n ∈ için geçerli olduğu kanıtlanacaktır. NN

P(2)'nin doğru olduğunu gösterecek, yani:
3² = 9 > 1 + 2.2 = 5

Yani, P(1) doğrudur

P(k)'nin doğru olduğunu hayal edin, yani:
3^k > 1 + 2k, k ≥ 2

P(k + 1)'in de doğru olduğunu bulacaktır, yani
3^k+1 > 1 + 2(k + 1)

3^k+1 = 3(3^k)
3^k+1 > 3(1 + 2k) (çünkü 3^k >1+2k)
3^k+1 = 3 + 6k
3^k+1 > 3 + 2k (çünkü 6k > 2k)
3^k+1 = 1 + 2k + 2
3^k+1 = 1 + 2(k + 1)

Yani, P(k + 1) de doğrudur

Matematiksel tümevarım kavramına dayanarak, P(n)'nin her n ≥ 2 doğal sayısı için geçerli olduğu kanıtlanmıştır.

Kanıtla

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{n}{2^n} 2 - \frac{n + 2}{2^n}$

Tartışma:

Aşama 1

$\frac{1}{2} 2 - \frac{(1)+2}{2^1} 2 - \frac{3}{2}$

$\frac{1}{2} \frac{1}{2}$ (kanıtlanmış)

Adım 2 (n = k)

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \cdots + \frac{2}{2^k} 2 - \frac{k + 2}{2^k}$

Adım 3 (n = k + 1)

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} 2 - \frac{k + 3}{2 ^{k +1}}$

Kanıtlayan:

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} 2 - \frac{k + 2}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}}$ (her iki taraf da çarpılır $\frac{k+1}{2^{k+1}}$ )

$2 - \frac{2(k + 2)}{2^{(k + 1)}} + \frac{k + 1}{2^{k +1}}$ (2^k 2 olarak değiştirildi^k+1)

$2 -\frac{2k + 4}{2^{(k + 1)}} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}}$

$2 + \frac{k + 1 - (2k + 4))}{2^{(k + 1)}}$

$2 - \frac{k + 3}{2^{(k + 1)}}$ (kanıtlanmış)

Sorun 4

Her n ≥ 5 doğal sayısı için 2n − 3 < 2 olacağını kanıtlayın^n-2

Cevap:

P(n): 2n - 3 < 2^n-2

P(n)'nin n ≥ 5, n ∈ için geçerli olduğu kanıtlanacaktır. NN

P(5)'in doğru olduğu gösterilecektir.
2.5 − 3 = 7 < 2^5-2 = 8

Yani, P(1) doğrudur

P(k)'nin doğru olduğunu hayal edin, yani:
2k - 3 < 2^k-2, k ≥ 5

Bu, P(k + 1)'in de doğru olduğunu gösterecektir, yani:
2(k + 1) - 3 < 2^k+1-2

2(k + 1) - 3 = 2k + 2 - 3
2(k + 1) - 3 = 2k - 3 + 2
2(k + 1) - 3 < 2^k-2 + 2 (çünkü 2k − 3 < 2^k-2)
2(k + 1) - 3 < 2^k-2 + 2^k-2 (çünkü 2 < 2k - 3 < 2^k-2)
2(k + 1) - 3 = 2(2^k-2)
2(k + 1) - 3 = 2^k+1-2

Yani, P(k + 1) de doğrudur

Matematiksel tümevarım kavramına dayanarak, P(n)'nin her n ≥ 5 doğal sayısı için geçerli olduğu kanıtlanmıştır.

Sorun 5:

Her doğal sayı için n ≥ 4 olduğunu kanıtlayın ve (n + 1) tutun! > 3^N

Cevap:

P(n): (n + 1)! > 3^N

P(n)'nin n ≥ 4, n ∈ için geçerli olduğu kanıtlanacaktır. NN

P(4)'ün doğru olduğunu gösterecek
(4 + 1)! > 3⁴
sol taraf: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
sağ taraf: 3⁴ = 81

Yani, P(1) doğrudur

P(k)'nin doğru olduğunu hayal edin, yani:

(k+1)! > 3^k, k ≥ 4

P(k + 1)'in de doğru olduğu gösterilecektir, yani
(k+1+1)! > 3^k+1

(k+1+1)! = (k + 2)!
(k+1+1)! = (k + 2)(k + 1)!
(k+1+1)! > (k + 2)(3^k) (çünkü (k + 1)! > 3^k)
(k+1+1)! > 3(3^k) (çünkü k + 2 > 3)
(k+1+1)! = 3^k+1

Yani, P(k + 1) de doğrudur.

Matematiksel tümevarım kavramına dayanarak, P(n)'nin her n ≥ 4 doğal sayısı için geçerli olduğu kanıtlanmıştır.

Böylece incelemeden Knowledge.co.id hakkında hakkında Matematiksel Tümevarım , umarım anlayışınıza ve bilginize katkıda bulunabilir. Ziyaret ettiğiniz için teşekkür ederiz ve diğer makaleleri okumayı unutmayın

içindekiler listesi

Öneri:

Açıklayıcı Metnin Dilsel Öğeleri: Özellikleri, Yapısı, Türleri,… Açıklayıcı Metnin Dilsel Öğeleri: Tanımı, Özellikleri, Yapısı, Türleri ve Örnekleri - Açıklayıcı metin nedir Seputarknowledge.co.id bu vesileyle açıklayıcı metnin ne olduğunu tartışacak ve eleman…
Mutlak Değer Denklemi: Açıklama ve Örnek Problemler Mutlak Değer Denklemleri: Açıklama ve Örnek Problemler - Mutlak değer denklemlerinin özellikleri nelerdir?, On Bu vesileyle, Seputarknowledge.co.id bunu ve tabii ki diğer şeyleri de tartışacaktır. kapladı. Görelim…
Şeriat Muhasebesi: Uzmanlara Göre Anlamak, Temel… Syari'ah Muhasebesi: Uzmanlara Göre Anlayış, Yasal Dayanak, Özellikler, Amaç, İlkeler, Özellikler Ve Avantajları - Şeriat muhasebesi nedir ve avantajları nelerdir? tartışın ve...
Kaza ve Kadere İman: Anlayış, Delil, Hikmet ve… Kaza ve Kadere İman: Tanımı, Önermesi, Hikmeti ve İşlevleri - Kaza ve Kadere İman Ne Demektir?
Noktalama İşaretleri: Tanım, İşlevler, Türler ve Örnekler Noktalama İşaretleri: Tanım, İşlevler, Türler ve Örnekler - Bu tartışmada Noktalama hakkında açıklayacağız. Noktalama işaretlerinin anlamını, işlevini, türlerini ve örneklerini içeren…
Uzmanlara Göre Futbolun 12 Tanımı Uzmanlara Göre Futbolun 12 Tanımı - Bu vesileyle futbolla ilgili materyalleri tartışacağız. Futbol, tüm dünyada en yaygın olarak oynanan spor oyunudur…
10.Sınıf (X) SMA/MA/SMK 1.Dönem için Kültürel Sanatlar Sorularına Örnek… SMA/MA/SMK 1. ve 2. Dönem (2019 ve 2020) için 10. Sınıf (X) Kültürel Sanatlar Sorularına Örnekler - Bu vesileyle, Seputarknowledge.co.id, Çoktan Seçmeli 10. Sınıf Kültürel Sanatlar Sorularını ve Kompozisyonunu tartışacak…
İnce Bağırsak İşlevi: Tanım, Yapı, Parçalar, Enzimler ve… İnce Bağırsak Fonksiyonları: Tanımı, Yapısı, Bölümleri, Enzimleri ve Açıklamaları - İnce bağırsağın görevleri nelerdir??, Bu vesileyle, Knowledge.co.id Etrafında, yapı, enzimler ve tabii ki şeyler dahil olmak üzere bunu tartışacak diğerleri…
Çevresel Konuşma: Tanım, Amaç, Özellikler ve… Çevresel Konuşma: Tanım, Amaç, Özellikler ve Örnekler - Çevresel konuşma metni nasıl yapılandırılır? iyi ve doğru nedir?, Bu vesileyle Seputarknowledge.co.id bunu ve tabii ki bazı şeyleri tartışacak Hangisi…
Atalet Momenti: Tanım, Faktörler, Form Denklemleri… Atalet Momenti: Tanımı, Faktörleri, Nesne Formlarındaki Denklemler ve Örnek Problemler - Ne anlama geliyor? Eylemsizlik Momenti ile mi?, Bu vesileyle Se, Knowledge.co.id ile ilgili olarak bunu ve elbette konu…
√ Basketbol Oyun Teknikleri ve Kuralları (Tamamlandı) Basketbol Oyun Teknikleri ve Kuralları (Tamamlandı) - Bu vesileyle basketbol oyunlarını ele alacağız. Hangisi bu tartışmada basketbol oyununun nasıl başladığını açıklıyor...
Manipülatif Hareketler: Örnekler ve Açıklamalar Manipülatif Hareketler Şunlardır: Örnekler ve Açıklamalar - Manipülatif Hareketler ile kastedilen nedir? Bu vesileyle, Seputarknowledge.co.id bunu ve tabii ki onu da kapsayan şeyleri tartışacak. İzin vermek…
Optik Aletler: Tanım, İşlevler, Tipler ve Parçalar Optik Aletler: Tanımı, İşlevleri, Tipleri ve Parçaları - Optik cihazlar nedir ve türleri nelerdir? Bu vesileyle, Seputarknowledge.co.id bunu ve tabii ki diğer şeyleri tartışacak...
Pazarlama Yönetimi Görevleri: Önemli Aşamalar ve Faktörler… Pazarlama Yönetimi Görevleri: Temel Yönetim Aşamaları ve Faktörleri - Pazarlama yönetimi görevleri nelerdir? Bu kez bilgi.co.id pazarlama yönetiminin görevlerinin neler olduğunu ve diğer faktörleri tartışacak...
√ Türevlerin Tanımı, Türler, Formüller ve Örnek Problemler Türev tartışmasının incelenmesi gerekir. Öğrendiğiniz limit kavramını kullanarak aşağıdaki türev materyali kolayca öğreneceksiniz. Türevin Tanımı Türev, ...'deki değişikliklerin hesaplanmasıdır.
Futbol Malzemesi: Tanımı, Faydaları, Hedefleri, Teknikleri,… Futbol Malzemesi: Tanımı, Faydaları, Hedefleri, Teknikleri, Futbol Kuralları - Elbette hepimiz futbolun ne olduğunu biliyoruz, değil mi? Futbol çok popüler bir spor ve çok…
Grafik Sanatlar: Tanım, Tarihçe, Türler, Özellikler, Karşılaştırma… Grafik Sanatlar: Grafik Sanatların Tanımı, Tarihçesi, Çeşitleri, Özellikleri, Karşılaştırmaları ve Örnekleri - Merhaba arkadaşlar, Grafik Sanatları biliyor musunuz? Bu vesileyle Seputarknowledge.co.id sanatın ne olduğunu tartışacak…
Kısa Öykü Metni: Tanımı, Özellikleri, Yapısı, Unsurları ve Örnekleri Kısa Öykü Metni: Tanımı, Özellikleri, Yapısı, Unsurları ve Örnekleri - Kısa Öykü Metni Nedir Bu vesileyle Seputarknowledge.co.id kısa öykü metinlerini ve onları çevreleyen şeyleri tartışacaktır. Hadi…
11. Sınıf (XI) SMA/MA/SMK 1. ve 2. Dönem için Örnek Beden Eğitimi Soruları SMA/MA/SMK 1. ve 2. Dönem (2019 ve 2020) için 11. Sınıf (XI) Beden Eğitimi Sorularına Örnekler - Bu vesileyle, Seputarknowledge.co.id 11. Sınıf Çoktan Seçmeli ve Kompozisyon için Beden Eğitimi Soruları örneklerini tartışacaktır. ...
Öğrenme Yöntemlerinin Tanımı: Özellikler, Amaç, Türler ve… Öğrenme Yöntemlerinin Tanımı: Özellikleri, Amacı, Türleri ve Tartışma - Yöntem ile ne kastedilmektedir? Öğreniyor musunuz?, Bu vesileyle Seputarknowledge.co.id bunu ve tabii ki başka şeyleri tartışacak. Ayrıca…
Sayı Kalıpları: Sayı Kalıplarının Tanımı ve Çeşitleri Sayı Kalıpları: Sayı Kalıplarının Tanımı ve Çeşitleri - Sayı Kalıpları Nedir? Bu vesileyle sayı örüntülerinin ne anlama geldiğini ve çeşitlerini gözden geçirmek istiyoruz ve...
Açıklayıcı Metnin Amacı: Tanımı, Yapısı, Özellikleri, Kuralları,… Açıklayıcı Metnin Amacı: Tanımı, Yapısı, Özellikleri, Kuralları, Örnekleri - Bu tartışmada açıklayıcı metin hakkında bilgi vereceğiz. Açıklayıcı metnin anlaşılmasını, açıklayıcı metnin amacını, metnin yapısını içeren...
Futbol Tarihi Endonezya'ya Giriyor Endonezya'ya Giren Futbolun Tarihi - Spor oyunları oynamak ve izlemek çok ilginç. Bu spor oyunu, vücudu sağlıklı kılmanın ve vücudu güzelleştirmenin yanı sıra…
Kort Tenisi: Tarihçesi, Teknikleri, Vuruş Çeşitleri, Özellikleri… Kort Tenisi: Tarihçesi, Teknikleri, Vuruş Çeşitleri, Maç Özellikleri ve Sistemleri - Tenis Sporu Nedir? Bu vesileyle Seputarknowledge.co.id, Kort Tenisinin ne olduğunu ve diğer şeyleri tartışacaktır. Hangisi…
Romen Rakamları: Tarih, Temel Sayılar, Nasıl Yazılır, Formüller… Romen Rakamları: Tarih, Temel Sayılar, Nasıl Yazılır, Formüller ve Dezavantajlar - Ne olduklarını biliyor musunuz? Romen rakamları ve nasıl okunur? kapsar…
√ Tek Değişkenli Doğrusal Eşitsizliğin (PtLSV) Tanımı,… Tek Değişkenli Doğrusal Eşitsizliğin (PtLSV) Tanımı, Özellikleri, Problem Örnekleri ve Nasıl Çözülür - Bu tartışmada tek değişkenli doğrusal eşitsizliği açıklayacağız. Doğrusal eşitsizlik kavramını içeren bir…
Background Is: Tanım, İçerik, Nasıl Oluşturulur ve… Arkaplan: Tanımı, İçeriği, Yapılışı ve Örnekleri - Ne demek arka plan?, Bu vesileyle Seputarknowledge.co.id bunu ve tabii ki başka şeyleri tartışacak Hangisi…
Tam Sayıları Sayma İşlemleri ve Örnekler (Tartışma… Tamsayıları sayma işlemleri ve tam örnekler - Tamsayıları bilmemiz gerekiyor Toplama, çıkarma, çarpma, bölme gibi çeşitli aritmetik işlemlere sahiptir. rütbe. Tamsayı Sayma İşlemleri &…
√ Aritmetik Dizi Formülleri, Diziler, Formlar, Örnek Problemler &… Aritmetik Dizi Formüller, Diziler, Formlar, Soru-Cevap Örnekleri - Bu vesileyle Bilgi Çevresinde, Aritmetik Dizileri ele alacağız. Hangisi bu tartışmada ilgili çeşitli konuları açıklıyor…
Sergileme Amacı: Tanımı, İşlevleri, Faydaları, Çeşitleri, Unsurları… Serginin Amacı: Serginin Tanımı, İşlevleri, Yararları, Türleri, Unsurları ve İlkeleri - Sergi veya sergi ne demektir? Bu vesileyle Seputarknowledge.co.id serginin ne olduğunu ve ne olduğunu tartışacak…