ระบบสมการเชิงเส้น: หนึ่ง สอง สามตัวแปร วัสดุ ปัญหาตัวอย่าง

คล้ายกับสมการพีชคณิต ระบบสมการเชิงเส้นยังเป็นระบบเลขคณิตในคณิตศาสตร์ที่สามารถอธิบายได้ในรูปของเส้นตรงบนกราฟ

ระบบสมการเชิงเส้นยังมีอีกชื่อหนึ่งคือระบบสมการเชิงเส้น อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับระบบสมการเชิงเส้นอย่างละเอียดในการทบทวนต่อไปนี้

ระบบสมการเชิงเส้น

ดังที่อธิบายข้างต้น สมการเชิงเส้นเกือบจะเหมือนกับสมการพีชคณิต

โดยที่สมการเชิงเส้นนี้คือระบบเลขคณิตในสาขาคณิตศาสตร์ที่สามารถอธิบายได้โดยใช้รูปแบบของเส้นตรงบนภาพกราฟิก

และระบบสมการเชิงเส้นนี้เรียกอีกอย่างว่าระบบสมการเส้นตรง

อย่างไรก็ตาม ก่อนที่เราจะเรียนรู้วิธีการหรือวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ดังนั้นก่อนอื่นเราต้องเข้าใจเกี่ยวกับคำจำกัดความของประโยคเปิดและคำจำกัดความของสมการและเกี่ยวกับระบบของสมการเชิงเส้นด้วย

ดังนั้น เมื่อเราแก้สมการเชิงเส้น เราจะไม่พบความสับสน

1. เปิดประโยค

ประโยคเปิดคือประโยคที่มีตัวแปรหรือมีตัวแปรอยู่ในนั้น

2. สมการ

สมการเป็นประโยคเปิดที่กล่าวถึงความสัมพันธ์เท่ากับ (=)

3. สมการเชิงเส้น

สมการของสมการเชิงเส้นคือสมการที่แต่ละเทอมมีค่าคงที่ที่มีค่าตัวแปรหนึ่งหรือดีกรีหนึ่ง

เช่นเดียวกับสมการนี้ เราสามารถอธิบายได้โดยใช้ภาพกราฟิกในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

และสมการจะยังคงเป็นจริงหรือ เอกวิกาเลนต์ (< = >) เพื่อเพิ่มหรือลบด้านซ้ายและขวาด้วยตัวเลขเดียวกัน

สูตรสมการเชิงเส้น

สูตรทั่วไปสำหรับสมการเชิงเส้นคือ:

y = mx + b

ตัวอย่างรูปแบบของสมการเชิงเส้น:

y = -x+5

y = -05x+2

ตัวอย่างของสมการเชิงเส้นในรูปแบบกราฟิก:

ดี, จากตัวอย่างข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่า ม หรือการไล่ระดับสีคือ = 0.5 และ ข เส้นสีแดงหรือที่เรียกว่าจุดตัดแกน y คือ =2

ระบบสมการเชิงเส้นสามารถประกอบด้วยตัวแปรหนึ่งตัว ตัวแปรสองตัวหรือมากกว่า

และในบทความนี้ เราจะพูดถึงระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรหนึ่ง สอง และสามตัวแปร นี่คือคำอธิบายเพิ่มเติม

ระบบสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว (SPLSV)

ระบบสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวเป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ในการแก้กรณีต่างๆ ในชีวิตประจำวันที่มีตัวแปรเดียวเท่านั้น

สมการเชิงเส้นหนึ่งตัวแปร (SPLSV) คือ ประโยคเปิดที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายเท่ากับ (=) และมีตัวแปรเดียวยกกำลังหนึ่งตัว

รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงเส้นหนึ่งตัวแปรคือ:

ขวาน + ข = 0

คำอธิบาย: โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นศูนย์

วิธีแก้ SPLSV

ขั้นตอนในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นแบบตัวแปรเดียว:

1. ขั้นตอนแรกคือการทำให้การดำเนินการที่มีอยู่ง่ายขึ้น สิ่งนี้ใช้กับการดำเนินการแฟคตอริ่งด้วย (ในวงเล็บ)
2. รวมเงื่อนไขที่มีตัวแปรเข้าด้านเดียว
3. ถ้าสมการมีการดำเนินการบวก ทั้งสองข้างจะต้องดำเนินการโดยใช้การลบที่มีขนาดเท่ากัน ในทางกลับกัน
4. หากสมการมีการดำเนินการคูณ เราจะต้องดำเนินการทั้งสองข้างโดยใช้การดำเนินการหารที่มีขนาดเท่ากันและไม่ใช่ศูนย์ ในทางกลับกัน
5. ใส่การดำเนินการบวกหรือลบก่อนดำเนินการคูณหรือหาร

ตัวอย่างคำถาม SPLSV

ปัญหาที่ 1

Gilang ซื้อการ์ตูน 5 เล่ม ดินสอ 1 เล่ม ราคารวม 52,000

จากนั้นเพื่อนของ Gilang ที่โรงเรียนถามว่าหนังสือการ์ตูนเล่มหนึ่งราคาเท่าไหร่ อย่างไรก็ตาม Gilang ไม่ทราบราคาของการ์ตูนเรื่องใดเรื่องหนึ่ง

และกิลังจำราคาปากกาได้เพียงด้ามเดียว ซึ่งก็คือ 2,000 แล้ว Gilang รู้ราคาของการ์ตูนเรื่องเดียวได้อย่างไร? นี่คือคำอธิบาย:

ขั้นตอนแรก สิ่งที่คุณต้องทำคือ ก่อนอื่นให้กำหนดตัวแปร determine.

ถามว่าการ์ตูนเรื่องหนึ่งราคาเท่าไหร่

ดังนั้น เราจะใช้สัญลักษณ์ x เป็นราคาของการ์ตูนหนึ่งเรื่อง แล้วก็ เขียนลงในประโยคคณิตศาสตร์.

"กิลังซื้อการ์ตูน 5 เล่ม ดินสอ 1 เล่ม ราคารวม 52,000 โดยราคาดินสอหนึ่งแท่ง 2000" เปลี่ยนเป็น 5x + 2000 = 52,000.

หลังจากนั้นคุณสามารถทันที แก้ได้หลายขั้นตอน ระบบสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

อย่างไรก็ตาม ในกรณีของเขาข้างต้น ก้าวแรกและก้าวที่สอง เราละเลยได้ไหม คุณรู้, ทำไม?

เนื่องจากในตัวอย่างนี้ สมการอยู่ในรูปแบบง่าย ๆ จึงไม่มีส่วนที่ต้องแยกตัวประกอบ (ไม่มีวงเล็บ)

ไม่เพียงเท่านั้น ในสมการนี้ ตัวแปรไม่ได้อยู่ด้านต่างๆ กัน มีเพียงส่วนเดียวเท่านั้น

อย่างไรก็ตาม หากคุณพบสมการที่มีวงเล็บและตัวแปรอยู่คนละด้าน จากนั้นคุณต้องทำตามขั้นตอนแรกและขั้นตอนที่สองใช่

ขั้นตอนที่สามคุณต้องดูว่าสมการมีการดำเนินการบวกหรือลบหรือไม่

ดี, ในตัวอย่างนี้ มีการดำเนินการที่เพิ่มขึ้น ดังนั้น คุณต้องทำกระบวนการลบ

คุณทำได้โดยดำเนินการลบด้วยค่าที่เท่ากับมูลค่าเพิ่มก่อนหน้าทั้งสองด้าน

ซึ่งหมายความว่าในตัวอย่างปัญหาหมายเลข 1 เราลบทั้งสองข้างด้วย 2000 เท่านั้น

ขั้นตอนที่สี่ดูการทำงานของสมการอีกครั้ง

ในสมการมีการดำเนินการคูณ ดังนั้นเราต้องทำการหารทั้งสองข้าง

เราก็หารด้วยค่าเดียวกับสินค้า ใช่!

ในตัวอย่างปัญหาหมายเลข 1 เราสามารถหารทั้งสองข้างด้วย 5

ในที่สุดเราก็ได้ตัวแปรมาเอง แค่นั้นแหละมันเขียนว่า x เท่ากับ 10,000

เราก็รู้คำตอบอยู่แล้วว่าราคาของการ์ตูนหนึ่งเรื่องคือ 10,000

ต้องใส่ใจและจำไว้ พวก, พวกเราต้อง เพิ่มหรือลบการดำเนินการก่อน (เพื่อให้เราสามารถหาตัวแปรได้) จากนั้นดำเนินการคูณหรือหาร.

คำถามที่ 2

ไซดันและลาราสเป็นพี่น้องกัน วันนี้ Laras กำลังฉลองวันเกิดครบรอบ 6 ปีของเธอ ปัจจุบัน Zaidan มีอายุมากกว่า Laras 10 ปี ไซดานอายุเท่าไหร่แล้ว?

ในการตอบกรณีข้างต้น เราสามารถใช้หลักการของสมการเชิงเส้นหนึ่งตัวแปรได้

อภิปรายผล!

โปรดทราบว่า Zaidan มีอายุมากกว่า Laras น้องสาวของเขา 10 ปี ปัจจุบันลาราสอายุได้ 6 ขวบ

สมมติว่าอายุปัจจุบันของ Ziadan คือ x ปี ดังนั้นเราจึงได้ผลลัพธ์:

เป็นที่รู้จัก:

X = อายุปัจจุบันของไซดัน
X – 10 = อายุปัจจุบันของบาร์เรล
6 = Laras อายุปัจจุบัน usia

ดังนั้นวิธีแก้ไขจึงเป็นดังนี้:

X – 10 = 6 (แต่ละด้านบวกด้วย 10)
X – 10 + 10 = 6 + 10
X = 16

ดังนั้น Zaidan อายุปัจจุบันคือ 16 ปี

ก่อนที่เราจะพูดถึงในบทที่ 2 ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (SPLDV) และระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปร (SPLTV) คุณต้องรู้เกี่ยวกับส่วนประกอบที่เกี่ยวข้องบางอย่างในวัสดุย่อยก่อน ท่ามกลางคนอื่น ๆ ได้แก่ :

1. เผ่า

คำนี้เป็นส่วนหนึ่งของรูปแบบพีชคณิตที่ประกอบด้วยตัวแปร สัมประสิทธิ์และค่าคงที่ แต่ละคำจะถูกคั่นโดยใช้เครื่องหมายวรรคตอนการบวกและการลบ

ตัวอย่าง:

6x – y + 4z + 7 = 0 จากนั้นเทอม–เงื่อนไขของสมการคือ 6x, -y, 4z และ 7

2. ตัวแปร

ตัวแปรคือตัวแปรหรือแทนที่ตัวเลขซึ่งโดยทั่วไปจะแสดงด้วยการใช้ตัวอักษร เช่น x, y และ z

ตัวอย่าง:

ยูลิสามีแอปเปิ้ล 2 ผล มะม่วง 5 ผล และส้ม 6 ผล ถ้าเราเขียนในรูปสมการแล้ว:

ตัวอย่าง: apple = x, mango = y และ orange = z ดังนั้นสมการคือ 2x + 5y + 6z

3. ค่าสัมประสิทธิ์

สัมประสิทธิ์คือตัวเลขที่แสดงจำนวนของตัวแปรที่คล้ายคลึงกันจำนวนหนึ่ง

ค่าสัมประสิทธิ์เรียกอีกอย่างว่าตัวเลขหน้าตัวแปร เพราะการเขียนสมการสัมประสิทธิ์อยู่หน้าตัวแปร

ตัวอย่าง:

กิลังมีแอปเปิ้ล 2 ผล มะม่วง 5 ผล และส้ม 6 ผล ถ้าเราเขียนในรูปสมการแล้ว:

ตัวอย่าง: apple = x, mango = y และ orange = z ดังนั้นสมการคือ 2x + 5y + 6z

จากสมการเหล่านี้จะเห็นได้ว่า 2, 5 และ 6 เป็นสัมประสิทธิ์โดยที่ 2 คือสัมประสิทธิ์ของ x, 5 คือสัมประสิทธิ์ของ y และ 6 คือสัมประสิทธิ์ของ z

4. ค่าคงที่

ค่าคงที่คือตัวเลขที่ไม่ได้ตามด้วยตัวแปร ดังนั้นจะมีค่าคงที่หรือค่าคงที่โดยไม่คำนึงถึงค่าของตัวแปรหรือตัวแปร

ตัวอย่าง:

2x + 5y + 6z + 7 = 0 จากสมการ ค่าคงที่คือ 7 เพราะค่า 7 นั้นคงที่และไม่ได้รับผลกระทบจากตัวแปรใดๆ

หลังจากทราบส่วนประกอบข้างต้นแล้ว ไปต่อกันที่การสนทนาถัดไป ฟังอย่างระมัดระวังใช่

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (SPLDV)

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรหรือสิ่งที่เรามักเรียกว่า SPLDV เป็นสมการเชิงเส้นสองสมการของตัวแปรสองตัวที่มีความสัมพันธ์ระหว่างพวกมันและมีคำตอบเดียว

รูปแบบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรคือ:ขวาน + โดย = c
px + qy = d

ข้อมูล:

• x และ y เรียกว่าเป็นตัวแปร
• a, b, p และ q เรียกว่าสัมประสิทธิ์
• c และ r เรียกว่าค่าคงที่

SPLDV โดยทั่วไปใช้เพื่อแก้ปัญหาในชีวิตประจำวันที่ต้องใช้คณิตศาสตร์

ตัวอย่างเช่น เมื่อคุณต้องการกำหนดราคาของสินค้า ให้มองหากำไรจากการขาย เพื่อกำหนดขนาดของวัตถุ

มีขั้นตอนบางอย่างในการแก้ปัญหาโดยใช้ SPLDV ได้แก่:

1. การแทนที่แต่ละปริมาณในปัญหาด้วยตัวแปร (ปกติจะแสดงด้วยตัวอักษรหรือสัญลักษณ์)
2. สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหา จากนั้นจึงสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และเป็นไปตามรูปแบบทั่วไปของ SPLDV
3. ค้นหาวิธีแก้ปัญหาจากแบบจำลองปัญหาโดยใช้วิธีการแก้ปัญหา SPLDV

ทาง สารละลาย SPLDV

1. วิธีการกำจัด

วิธีการกำจัดใช้เพื่อกำหนดชุดคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

การันกันคือการกำจัดหรือกำจัดตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งออกจากระบบสมการ

หากตัวแปรถูกประกาศด้วย x และ y เพื่อกำหนดตัวแปร x อันดับแรก เราต้องกำจัดตัวแปร y และในทางกลับกัน

ลองสังเกตว่าถ้าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งเท่ากัน เราก็สามารถกำจัดหรือกำจัดตัวแปรเหล่านี้ตัวใดตัวหนึ่งได้

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม เรามีตัวอย่างปัญหาด้านล่าง:

ตัวอย่าง:

ใช้วิธีการกำจัดกำหนดชุดคำตอบสำหรับระบบสมการ 2x + 3y = 6 และ x – y = 3 !

สารละลาย:

2x + 3y = 6 และ x – y = 3

ขั้นตอนแรกที่เราต้องทำคือกำจัดตัวแปร y

ในการกำจัดตัวแปร y ค่าสัมประสิทธิ์ y จะต้องเท่ากัน ดังนั้นสมการคือ: 2x + 3y = 6 คูณ 1 และสมการ

x – y = 3 คูณ 3
2x + 3y = 6 × 1 2x + 3y = 6
x – y = 3 × 3 3x – 3y = 9
5x = 15
x = 15/5
x = 3

ขั้นตอนที่สองที่เราต้องทำคือกำจัดตัวแปร x

ในทำนองเดียวกันในขั้นแรก ในการขจัดตัวแปร x สัมประสิทธิ์ของ x จะต้องเท่ากัน ดังนั้นสมการที่เราได้รับคือ 2x + 3y = 6 คูณ 1 และ
x – y = 3 คูณ 2
2x + 3y = 6 ×1 2x + 3y = 6
x – y = 3 ×2 2x – 2y = 6
5y = 0
y = 0/5
y = 0

ดังนั้น ชุดโซลูชันคือ {(3,0)}

2. วิธีการทดแทน

วิธีการแทนค่าเป็นวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวโดยใช้วิธีการแทนค่า

ซึ่งเราจะใช้โดยการกล่าวถึงตัวแปรตัวหนึ่งไปยังตัวแปรอื่นของสมการก่อน

จากนั้นแทนที่ (แทนที่) ตัวแปรลงในสมการอื่น

ตัวอย่าง:

ใช้วิธีการแทนค่า หาชุดคำตอบของสมการต่อไปนี้ 2x +3y = 6 และ x – y = 3

การแก้ไขปัญหา:

สมการ x – y = 3 เท่ากับ x = y + 3

โดยการแทนที่สมการ x = y + 3 ลงในสมการ 2x + 3y = 6 เราจะได้ข้อมูลต่อไปนี้:

2x + 3y = 6
ó 2 (y + 3) + 3y = 6
ó 2y + 6 + 3y = 6
ó 5y + 6 = 6
ó 5y + 6 – 6 = 6 – 6
ó 5y = 0

y = 0

จากนั้นเพื่อให้ได้ค่า x จากนั้นแทนที่ค่าของ y ลงในสมการ x = y + 3 เราจะได้
x = y + 3
ó x = 0 + 3
ó x = 3

ดังนั้น ชุดคำตอบคือ {(3,0)}

3. วิธีผสมผสาน

วิธีรวมเป็นวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นของตัวแปรสองตัวด้วยวิธีรวม โดยเราจะรวมวิธีการกำจัดและการทดแทน

ตัวอย่าง:

ใช้วิธีการรวมกันข้างต้น กำหนดชุดคำตอบของระบบสมการ 2x – 5y = 2 และ x + 5y = 6 !

การแก้ไขปัญหา:

ขั้นตอนแรกที่เราต้องทำคือใช้วิธีคัดออก เราจะได้:

2x – 5y = 2 ×1 2x – 5y = 2
x + 5y = 6 ×2 2x +10y = 12
-15y = -10
y = (-10)/(-15)
y = 2/3

จากนั้นแทนที่ค่าของ y ลงในสมการ x + 5y = 6 เราจะได้:
x + 5y = 6
ó x + 5 (2/3) = 6
ó x + 10/15 = 6
ó x = 6 – 10/15
ó x = 22/3

ดังนั้น ชุดคำตอบคือ {(2 2/3,2/3)}

4.วิธีการกราฟฟิค

การแก้ปัญหา SPLDV โดยใช้วิธีการแบบกราฟิกทำได้โดยการกำหนดพิกัดของจุดตัดของสองเส้นที่แสดงสมการเชิงเส้นสองสมการ

อย่างไรก็ตาม ก่อนที่จะใช้วิธีสร้างกราฟนี้ คุณต้องเรียนรู้วิธีวาดเส้นในสมการเชิงเส้นเสียก่อน

ต่อไปนี้เป็นขั้นตอนในการแก้ปัญหา SPLDV โดยใช้วิธีการกำจัด:

1. ลากเส้นแทนสมการทั้งสองในระนาบคาร์ทีเซียน
2.  กำหนดจุดตัดของกราฟทั้งสอง
3. คำตอบคือจุดบน (x, y)

ปัญหาใน SPLDV:

• สมการแรก: 2x + 3y = 8
• สมการที่สอง: 3x + y = 5

โซลูชัน SPLDV โดยใช้วิธีการแบบกราฟิก

ขั้นตอนที่ 1: วาดทั้งสองกราฟ

กำหนดจุดตัดของทั้งแกน x และ y ของสมการทั้งสอง

การแทนสมการทั้งสองในระนาบคาร์ทีเซียน

ขั้นตอนที่ 2: หาจุดตัดของกราฟทั้งสอง

ขั้นตอนที่ 3: วิธีแก้ปัญหาคือ (x, y)

จากภาพจะเห็นว่าจุดตัดอยู่ที่ x = 1 และ y = 2

จากนั้นพื้นที่สารละลายคือ (1, 2)

ตัวอย่างคำถาม SPLDV

ปัญหาที่ 1

ลูกชายอยากกระโดดเชือก ตัวอย่างเช่น เชือกที่พระบุตรใช้นั้นมีความยาวสั้นกว่าความสูงของพระบุตร 70 ซม.

เพื่อไม่ให้เชือกไปติดอยู่ในร่างกายของ Son อย่างน้อยเชือกที่ใช้ต้องมีความยาวเป็นสองเท่าของขนาดก่อนหน้า

ดังนั้นถ้าวัดอีกครั้งขนาดความยาวของเชือกสองเท่าจะยาวกว่าความสูงของลูกชาย 30 ซม.

กำหนด ความยาวของเชือกที่ใช้และความสูงของลูกชายคืออะไร! และ กำหนด เชือกใช้ยาวแค่ไหนก็ไม่ติดศพลูกชาย!

ตอบ:

• ขั้นตอนแรกที่เราสามารถทำได้คือการแทนที่ปริมาณทั้งหมดที่มีอยู่ในปัญหาด้วยตัวแปร ที่นี่เราใช้ตัวอย่างเช่น:
  x = ความยาวของเชือก (ซม.) และ y = ความสูง (ซม.)

• สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหา

ความยาวของเชือกสั้นกว่าความสูงของคุมะมง 70 ซม. → x = y – 70 หรือ -x + y = 70

ความยาวของเชือกยาวกว่าความสูงของคุมะมง 30 ซม. ถึง 2 เท่า → 2x = 30 + y หรือ 2x – y = 30

ดังนั้น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาข้างต้นคือ:

1. สมการที่ 1: -x + y = 70
2. สมการที่สอง: 2x – y = 30

จนมาถึงตรงนี้เธอคงเข้าใจ ขวา? ดี, หลังจากนี้เราจะกำหนดค่าของ x และ y โดยใช้วิธีการแก้ปัญหา SPLDV สี่วิธี ฟังอย่างระมัดระวังใช่

1. วิธีกราฟ

เราจะได้จุดตัดของสองเส้น คือ (x, y) = (100,170)

ก่อนหน้านี้ เราได้เปรียบเทียบความยาวของเชือกกับตัวแปร x และความสูงของ Son กับตัวแปร y

จึงสามารถกำหนดได้ ที่นี่ ความยาวของเชือกและความสูงของลูกชายคืออะไร ใช่ Yu! คำตอบคือ 100 ซม. สำหรับความยาวของเชือก และ 170 ซม. สำหรับความสูงของเด็กผู้ชาย

มันเป็นเรื่องง่าย? วิธีกราฟ นี้มักจะ มีประโยชน์ถ้าสัมประสิทธิ์และค่าคงที่ของสมการไม่ใช่จำนวนเต็มดังนั้นจะดีกว่าถ้าวาดเพื่อให้หาค่าของ x และ y ได้ง่ายขึ้น

2. วิธีการกำจัด

เป็นที่รู้จัก:

1. สมการที่ 1: -x + y = 70
2. สมการที่สอง: 2x – y = 30

ในการหาค่าของ x ให้เท่ากับสัมประสิทธิ์ y

-x + y = 70

2x – y = 30

เนื่องจากสัมประสิทธิ์ y ของสมการทั้งสองมีค่าเท่ากัน เราจึงสามารถแก้สมการได้โดยตรงโดยใช้การดำเนินการบวกเพื่อลบค่า y

-x + y = 70

2x – y = 30
________ +
x = 100

ในการหาค่าของ y ให้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x

-x + y = 70 |x2|

2x – y = 30 |x1|

หากสัมประสิทธิ์ x ของสมการทั้งสองเท่ากัน ให้คูณสมการ I ด้วย 2 และคูณสมการ II ด้วย 1

จากนั้นให้แก้โดยใช้การดำเนินการบวกลบค่าของ x

-2x + 2y = 140

2x – y = 30
_________ +
y = 170

3. วิธีการทดแทน

เป็นที่รู้จัก:

1. สมการที่ 1: -x + y = 70
2. สมการที่สอง: 2x – y = 30

ในการหาค่าของ x ให้หาค่าของ y ก่อน

จากสมการ I: -x + y = 70 → y = 70 + x

จากนั้นแทนที่ค่าของ y เป็นสมการ II:

2x – y = 30

→ 2x-(70+x) = 30

→ 2x-70-x = 30

→ x-70 = 30

→ x= 100

หลังจากนั้นแทนค่า x ลงในสมการ y = 70 + x

y = 70 + x

→ y = 70 + 100

→ y= 170

จากวิธีการทดแทน เราได้ค่าสำหรับ x = 100 และ y = 170 ดังนั้นเราสามารถรู้ได้ว่าความสูงของลูกชายคือ 170 ซม. และเชือกที่ลูกชายใช้ในการเล่นกระโดดเชือกนั้นยาว 100 ซม.

4. วิธีผสมผสาน

เป็นที่รู้จัก:

1. สมการที่ 1: -x + y = 70
2. สมการที่สอง: 2x – y = 30

ตัวอย่างเช่น เราจะหาค่าของ x ก่อนโดยใช้วิธีการคัดออก ดังนั้น เพื่อกำหนดค่าของ x เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ y

-x + y = 70

2x – y = 30

เนื่องจากสัมประสิทธิ์ y ของสมการทั้งสองมีอยู่แล้ว จึงสามารถแก้ไขได้โดยตรงโดยใช้การดำเนินการบวกเพื่อลบค่า y

x + y = 70

2x – y = 30
________ +
x = 100

หลังจากได้รับค่า x แล้ว ให้แทนที่ค่าของ x เป็นสมการใดสมการหนึ่งเพื่อให้ได้ค่า y

ตัวอย่างเช่น การแทนที่ค่าของ x เป็นสมการ I แล้ว:

-x + y = 70

→ 100 + y = 70

→ y = 70 + 100

→ y = 170

จากวิธีการรวมกันจะได้ค่า x = 100 และ y = 170 จะได้รู้ว่าความยาวของเชือกคือ 100 ซม. และความสูงของวงกลมคือ 170 ซม.

ต้องรู้ว่า วิธีการแบบผสมผสาน นี่คือ วิธีการที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้ปัญหา SPLDV masalah.

จากนั้นเราจะหาว่าต้องใช้เชือกยาวแค่ไหนเพื่อให้ปุตราเล่นกระโดดเชือกได้โดยไม่โดนจับ

หากคุณอ่านคำถามตัวอย่างข้างต้นซ้ำ เราจะรู้ว่าอย่างน้อยเชือกจะต้องเป็น นานเป็นสองเท่า จากขนาดก่อนหน้า (2x)

เราจึงทราบแล้วว่าความยาวของเชือกที่ต้องใช้เพื่อไม่ให้ไปติดอยู่ในร่างกายของลูกชายคือ 2x = 2(100) = 200 ซม.

แม้จะดูยาวและซับซ้อน แต่ถ้าฝึกทำโจทย์ก็จะง่าย ทำไม. รักษาจิตวิญญาณ

คำถามที่ 2 (UN 2015)

ในกรงมีแพะและไก่ 13 ตัว ถ้าจำนวนขาของสัตว์คือ 32 2ก แสดงว่าจำนวนแพะและไก่ตามลำดับ….

ก. 3 และ 10

ข. 4 และ 9

ค. 5 และ 8

ง. 10 และ 3

ตอบ:

ตัวอย่างเช่น:

แพะ = x และ ไก่ = y

จำนวนขาแพะ = 4 และขาไก่ = 2

ถาม: จำนวนแพะและไก่ = …?

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์:
x + y = 13 ……(1)
4x + 2y = 32 ……(2)

การขจัดสมการ (1) และ (2) เราจะได้รับ:
x + y = 13 | x4 | 4x + 4y = 52
4x + 2y = 32 | x1 | 4x + 2y = 32 –
2y = 20
y = 20/2
y = 10
แทนค่าของ y = 10 ลงในสมการใดสมการหนึ่ง:
x + y = 13
x + 10 = 13
x = 13 – 10
x = 3

ดังนั้นจำนวนแพะ = 3 และไก่ = 10

(คำตอบ: A)

ระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปร (SPLTV)

สมการเชิงเส้นสามตัวแปร เป็นรูปแบบเพิ่มเติมของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (SPLDV) ซึ่งในระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปรประกอบด้วยสามสมการ ซึ่งแต่ละสมการมีสามตัวแปร (เช่น x, y และ z)

ดังนั้น รูปแบบทั่วไปของระบบสามตัวแปรของสมการเชิงเส้นใน x, y และ z สามารถเขียนได้ดังนี้:

ด้วย a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, และ l หรือ a1, ข1, ค1, ด1, แ2, ข2, ค2, ด2, แ3, ข3, ค3, และ ดี3 เป็นตัวเลขจริง

ข้อมูล:

• ก, อี, ฉัน, อ1, แ2, แ3 = สัมประสิทธิ์ของ x
• ข, ฉ, เจ, ข1, ข2, ข3 = สัมประสิทธิ์ของ y
• ค, ก, k, ค1, ค2, ค3 = สัมประสิทธิ์ของ z
• d, h, ผม, d1, ด2, ด3 = ค่าคงที่
• x, y, z = ตัวแปรหรือตัวแปร

ลักษณะ-คอิจฉา SPLTV

สมการเรียกว่าระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปร หากมีลักษณะดังต่อไปนี้

• การใช้ความสัมพันธ์เครื่องหมายเท่ากับ (=)
• มีสามตัวแปร
• ตัวแปรทั้งสามมีดีกรีหนึ่ง (ยกกำลังหนึ่ง)

ข้อกำหนด SPLTV มีทางออกเดียว

ระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร 3 ตัวจะมีคำตอบหรือชุดของคำตอบอย่างแน่นอน หากเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้

มีมากกว่าหนึ่งหรือมีสามสมการเชิงเส้นของตัวแปรที่คล้ายกันสามตัว

ตัวอย่าง:

• x + y + z = 5
• x + 2y + 3z = 6
• 2x + 4y + 5z = 9

สมการเชิงเส้นสามตัวแปรที่ประกอบเป็นระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปรนั้นไม่ใช่สมการเชิงเส้นสามตัวแปรเดียวกัน

ตัวอย่าง:

• 2x − 3y + z = −5
• 2x + z − 3y + 5 = 0
• 4x – 6y + 2z = −10

สมการทั้งสามข้างต้นเป็นระบบสมการเชิงเส้นของตัวแปรสามตัวเดียวกัน เพื่อไม่ให้มีคำตอบชุดเดียว

วิธีชำระ SPLTV

รูปแบบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปรสามารถเขียนได้ดังนี้:

ถ้าค่าของ x = x0, y = y0, และ z = z0, เขียนเป็นคู่เรียงลำดับ (x0, y0, z0) ตรงตาม SPLTV ด้านบน จากนั้นจึงต้องใช้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้

ในกรณีเช่นนี้ (x0, y0, z0) เรียกว่า คำตอบของระบบสมการเชิงเส้น และ ชุดสารละลาย เขียนเป็น {(x0, y0, z0)}.

ตัวอย่างเช่น การมีอยู่ของ SPLTV ดังนี้:

• 2x + y + z = 12
• x + 2 ปี – z = 3
• 3x – y + z = 11

SPLTV ด้านบนมีวิธีแก้ปัญหา (3, 2, 4) พร้อมชุดโซลูชันคือ {(2, 3, 4)}

เพื่อพิสูจน์ความจริงว่า (3, 2, 4) เป็นคำตอบของ SPLTV จากนั้นแทนที่ค่าของ x = 3, y = 2 และ z = 4 ลงในสมการ 2x + y + z = 12, x + 2ปี– z = 3 และ 3x – y + z = 11 ดังนั้นเราจึงได้:

⇔ 2(3) + 2 + 4 = 6 + 2 + 4 = 12, จริง

⇔ 3 + 2(2) – 4 = 3 + 4 – 4 = 3 จริง

⇔ 3(3) – 2 + 4 = 9 – 2 + 4 = 11 ถูกต้อง

คําตอบหรือชุดคําตอบของระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปร (SPLTV) สามารถค้นหาได้โดยใช้วิธีการหรือวิธีการต่างๆ รวมถึงการใช้:

• วิธีการทดแทน
• วิธีการกำจัด
• วิธีผสมหรือผสม
• วิธีการกำหนด
• เมทริกซ์ผกผันวิธี

ที่นี่เราจะให้การทบทวนวิธีการ การทดแทน การคัดออก และการรวมกัน บน ระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปร (SPLTV)

1. วิธีการทดแทน

ต่อไปนี้คือขั้นตอนที่ใช้เพื่อทำให้ SPLTV สมบูรณ์ด้วยวิธีการทดแทน ซึ่งรวมถึง:

ขั้นที่ 1:

เลือกสมการที่ง่ายที่สุด จากนั้นแสดง x เป็นฟังก์ชันของ y และ z หรือ y เป็นฟังก์ชันของ x และ z หรือ z เป็นฟังก์ชันของ x และ y

ขั้นตอนที่ 2:

แทน x หรือ y หรือ z ที่เราได้ในขั้นตอนแรกในสมการอีกสองสมการ เราก็จะได้ ระบบสมการเชิงเส้นของตัวแปรสองตัว (SPLDV).

ขั้นที่ 3:

กรอก SPLDV ที่มีอยู่ในขั้นตอนที่สอง

เพื่อให้คุณเข้าใจมากขึ้นเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหา SPLTV โดยใช้วิธีทดแทน เราจึงให้ตัวอย่างคำถามและการอภิปรายในคำถามเหล่านี้

ปัญหาที่ 1

กำหนดโซลูชัน SPLTV ที่ตั้งค่าด้านล่างโดยใช้วิธีการทดแทน:

x – 2y + z = 6

3x + y – 2z = 4

7x – 6ปี – z = 10

ตอบ:

ขั้นตอนแรกคือการกำหนดสมการที่ง่ายที่สุดก่อน

จากสมการทั้งสาม สมการแรกนั้นง่ายที่สุด จากสมการแรก ให้ระบุตัวแปร x เป็นฟังก์ชันของ y และ z ดังนี้

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ x = 2 ปี – z + 6

แทนที่ตัวแปรหรือตัวแปร x ลงในสมการที่สอง

⇒ 3x + y – 2z = 4

⇒ 3(2ปี – z + 6) + y – 2z = 4

⇒ 6ปี – 3z + 18 + y – 2z = 4

⇒ 7ปี – 5z + 18 = 4

⇒ 7ปี – 5z = 4 – 18

⇒ 7ปี – 5z = –14 ………………………… กด (1)

แทนที่ตัวแปร x ลงในสมการที่สาม

⇒ 7x – 6ปี – z = 10

⇒ 7(2ปี – z+6) – 6ปี – z = 10

⇒ 14ปี – 7z + 42 – 6ปี – z = 10

⇒ 8ปี – 8z + 42 = 10

⇒ 8ปี – 8z = 10 – 42

⇒ 8ปี – 8z = –32

⇒ y – z = –4 …………………… สมการ (2)

สมการ (1) และ (2) จาก SPLDV y และ z:

7ปี – 5z = –14

y – z = –4

จากนั้นแก้ SPLDV ด้านบนโดยใช้วิธีการทดแทน เลือกหนึ่งในสมการที่ง่ายที่สุด ในกรณีนี้ สมการที่สองคือสมการที่ง่ายที่สุด

จากสมการที่สอง เราได้:

⇒ y – z = –4

⇒ y = z – 4

แทนตัวแปร y ลงในสมการแรก

⇒ 7ปี – 5z = –14

⇒ 7(z – 4) – 5z = –14

⇒ 7z – 28 – 5z = –14

⇒ 2z = –14 + 28

⇒ 2z = 14

⇒ z = 14/2

⇒ z = 7

แทนที่ค่าของ z = 7 ลงใน SPLDV ตัวใดตัวหนึ่ง เช่น y – z = –4 ดังนั้นเราจะได้รับ:

⇒ y – z = –4

⇒ y – 7 = –4

⇒ y = –4 + 7

⇒ y = 3

จากนั้นแทนที่ค่าของ y = 3 และ z = 7 ลงใน SPLTV ตัวใดตัวหนึ่งเช่น x – 2y + z = 6 ดังนั้นเราจะได้:

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ x – 2(3) + 7 = 6

⇒ x – 6 + 7 = 6

⇒ x + 1 = 6

⇒ x = 6 – 1

⇒ x = 5

ด้วยวิธีนี้เราจะได้ x = 5, y = 3 และ z = 7 เพื่อให้วิธีแก้ปัญหาที่กำหนดไว้สำหรับปัญหา SPLTV คือ {(5, 3, 7)}

เพื่อให้แน่ใจว่าค่าของ x, y และ z ที่ได้รับนั้นถูกต้อง เราสามารถค้นหาได้โดยการแทนที่ค่าของ x, y และ z ลงใน SPLTV สามตัวด้านบน ท่ามกลางคนอื่น ๆ:

สมการที่ 1:

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ 5 – 2(3) + 7 = 6

⇒ 5 – 6 + 7 = 6

⇒ 6 = 6 (จริง)

สมการที่สอง:

⇒ 3x + y – 2z = 4

⇒ 3(5) + 3 – 2(7) = 4

⇒ 15 + 3 – 14 = 4

⇒ 4 = 4 (จริง)

สมการที่สาม:

⇒ 7x – 6ปี – z = 10

⇒ 7(5) – 6(3) – 7 = 10

⇒ 35 – 18 – 7 = 10

⇒ 10 = 10 (จริง)

จากข้อมูลข้างต้นสามารถยืนยันได้ว่าค่าของ x, y และ z ที่เราได้รับนั้นถูกต้องและเป็นไปตามระบบสมการเชิงเส้นของตัวแปรทั้งสามที่เป็นปัญหา