อนุพันธ์ทางคณิตศาสตร์: วัสดุ, พีชคณิต, ตรีโกณมิติ, แอพอนุพันธ์

ดังที่เราได้กล่าวไว้ข้างต้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันหรือสิ่งที่เรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลเป็นฟังก์ชันอื่นที่ไม่ใช่ฟังก์ชันก่อนหน้า

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน f กลายเป็น f' ซึ่งมีค่าไม่ปกติ

แนวคิดของอนุพันธ์เป็นส่วนสำคัญของสสารแคลคูลัสคิดขึ้นพร้อมๆ กันโดย นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวอังกฤษชื่อเซอร์ ไอแซก นิวตัน (ค.ศ. 1642 – 1727). และโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

อนุพันธ์หรือดิฟเฟอเรนเชียลถูกใช้เป็นเครื่องมือในการแก้ปัญหาต่าง ๆ ที่พบในด้านเรขาคณิตและกลศาสตร์

แนวคิดของอนุพันธ์ของฟังก์ชันสากลหรือฟังก์ชันครอบคลุมมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านวิทยาศาสตร์ต่างๆ

เรียกในสาขาเศรษฐศาสตร์: ซึ่งใช้ในการคำนวณรูปแบบค่าใช้จ่ายทั้งหมดหรือรายได้ทั้งหมด

ในสาขาชีววิทยา: ใช้ในการคำนวณอัตราการเจริญเติบโตของสิ่งมีชีวิต

ในวิชาฟิสิกส์: ใช้ในการคำนวณความหนาแน่นของเส้นลวด

ในวิชาเคมี: ใช้ในการคำนวณอัตราการแยก

เช่นเดียวกับในสาขาภูมิศาสตร์และสังคมวิทยา: ซึ่งใช้ในการคำนวณอัตราการเติบโตของประชากรและอื่น ๆ อีกมากมาย

2. กฎการกำหนดอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์

เราสามารถหาอนุพันธ์ได้โดยไม่มีขีดจำกัด

เพื่อการนี้ ทฤษฎีบทหรือข้อความเกี่ยวกับอนุพันธ์พื้นฐาน อนุพันธ์ของการดำเนินการ ได้รับการออกแบบ พีชคณิตเกี่ยวกับสองหน้าที่ กฎลูกโซ่สำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันองค์ประกอบ และอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ผกผัน

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม ดูการสนทนาต่อไปนี้:

1. อนุพันธ์ทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐาน

กฎบางอย่างในฟังก์ชันอนุพันธ์ เป็นต้น:

1. f(x) กลายเป็น f'(x) = 0
2. ถ้า f(x) = x แล้ว f'(x) = 1
3. กฎกำลังใช้ถ้า f(x) = x^นจากนั้น f'(x) = n X ^{น – 1}
4. กฎของตัวคูณคงที่จะใช้ถ้า (kf)(x) = k ฉ'(x)
5. กฎลูกโซ่จะใช้ถ้า ( f o g ) (x) = f' (g (x)) กรัม'(x))

2. อนุพันธ์ของผลรวม ผลต่าง ผลหาร ของสองฟังก์ชัน

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน f และ g สามารถหาอนุพันธ์ได้ในช่วง I จากนั้นฟังก์ชัน f + g, f – g, fg, f/g, ( g (x) 0 บน I ) จะแยกความแตกต่างได้กับ I โดยมีกฎดังต่อไปนี้:

1. ( f + g )' (x) = f' (x) + g' (x)
2. ( f – g )' (x) = f' (x) – g' (x)
3. (fg)' (x) = f'(x) g(x) + g'(x) f(x)
4. ((f)/g )' (x) = (g (x) f' (x)- f (x) g' (x))/((g (x)²)

3. อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน

(f^-1)(y) = 1/(f' (x)) หรือ dy/dx 1/(dx/dy)

3. สูตรพื้นฐานสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

กฎบางข้อที่มีอยู่ในฟังก์ชันอนุพันธ์ ได้แก่

1. f(x) กลายเป็น f'(x) = 0
2. ถ้า f(x) = x แล้ว f'(x) = 1
3. กฎกำลังใช้ถ้า f(x) = x^นจากนั้น f'(x) = n X ^{น – 1}
4. กฎของตัวคูณคงที่จะใช้ถ้า (kf)(x) = k ฉ'(x)
5. กฎลูกโซ่จะใช้ถ้า ( f o g ) (x) = f' (g (x)) กรัม'(x))

สูตรพื้นฐานสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีความสำคัญมากที่คุณต้องจำไว้

เพราะคุณจะใช้สูตรนี้แก้ปัญหาจากอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต

4. สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต

ต่อไปนี้เป็นสูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต ได้แก่ :

1. สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง

อนุพันธ์ของฟังก์ชันอยู่ในรูปของกำลัง อนุพันธ์สามารถใช้สูตรได้ดังนี้ ดังนี้

ดังนั้น สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังคือ

2. สูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชัน

สูตรสำหรับฟังก์ชันอนุพันธ์ f (x) ซึ่งเกิดจากการคูณของฟังก์ชัน u (x) และ v (x) มีดังนี้

ดังนั้น สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ

f'(x) = u'v +uv'

3. สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันหาร

ดังนั้น สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ

4. สูตรอนุพันธ์กำลังของฟังก์ชันปังกัต

จำไว้ว่า ถ้า f(x) = x^นดังนั้น:

ดังนั้น สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ

f'(x) = nu(n – 1) ยู'

5. อนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต

คำจำกัดความของอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เทียบกับ x ถูกกำหนดโดย:

โดยมีเงื่อนไขว่า

สัญกรณ์อนุพันธ์

อนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชัน y = f(x) บน x สามารถแสดงได้ดังนี้

• y' = f'x ลากรองจ์
• ไลบนิซ
• ด_xy = ด_x[f(x)]⇒ ออยเลอร์

จากคำจำกัดความข้างต้น เราสามารถหาสูตรอนุพันธ์บางสูตรได้ดังนี้

1. f(x) = k f'(x) = 0
2. f(x) = k x f '(x) = k
3. ฉ(x) = x^น f '(x) = nx^n-1
4. f(x) = k ยู(x) f '(x) = k ยู'(x)
5. f(x) = u(x) ± v(x) f '(x) = u'(x) ± v'(x)

ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่มีรากหรือเศษส่วน ขั้นตอนแรกที่เราต้องทำคือการแปลงฟังก์ชันเป็นเลขชี้กำลัง

นี่คือคุณสมบัติบางอย่างของรากและเลขชี้กำลังที่มักใช้ ได้แก่:

• x^ม. x^น = x^m+n
• x^ม/x^น = x^{เอ็ม นู๋}
• 1/x^น = x^-น
• x = x^1/2
• ^นxm = x^{เอ็ม นู๋}

ตัวอย่าง:

ปัญหาที่ 1

หาอนุพันธ์ของ f(x) = x√x

ตอบ:

f(x) = x√x = x. x^1/2 = x^3/2

ฉ(x) = x^3/2 →

คำถามที่ 2

หาอนุพันธ์ของ

ตอบ:

4. การคูณและการหารของสองฟังก์ชัน

สมมติว่า y = uv ดังนั้นอนุพันธ์ของ y สามารถแสดงเป็น:

y' = u'v + uv'

สมมติว่า y = u/v อนุพันธ์ของ y สามารถแสดงเป็น:

ตัวอย่างปัญหา

ปัญหาที่ 1

อนุพันธ์ของ f(x) = (2x + 3)(x² + 2) กล่าวคือ:

ตอบ:

ตัวอย่างเช่น:

ยู = 2x + 3 ยู' = 2
วี = x² + 2 v' = 2x

f '(x) = u' v + u v'
ฉ '(x) = 2(x² + 2) + (2x + 3) 2x
f'(x) = 2x² +4+4x² + 6x
f'(x) = 6x² + 6x + 4

5. กฎลูกโซ่

ถ้า y = f(u) โดยที่ u เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาได้จาก x ดังนั้นอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x สามารถแสดงได้ในรูปแบบ:

จากแนวคิดของกฎลูกโซ่ข้างต้น สำหรับ y = u^น, จะได้รับ:

โดยทั่วไปสามารถระบุได้ดังนี้:

ถ้า f(x) = [u(x)]^น โดยที่ u(x) เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาได้จาก x ดังนั้น:

f'(x) = n[u(x)]^n-1. คุณ(x)

ตัวอย่างปัญหา

ปัญหาที่ 1

หาอนุพันธ์ของ f(x) = (2x + 1)⁴

ตอบ:

ตัวอย่างเช่น:

ยู(x) = 2x + 1 ยู'(x) = 2
n = 4
f '(x) = n[u(x)]^n-1. คุณ(x)
f'(x) = 4(2x + 1)^4-1 . 2
f'(x) = 8(2x + 1)³ 

คำถามที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของ y = (x² 3x)⁷

ตอบ:

y' = 7(x² 3x)^7-1 . (2x 3)
y' = (14x 21) (x² 3x)⁶

6. อนุพันธ์ตรีโกณมิติ

จากคำจำกัดความของอนุพันธ์ เราสามารถหาสูตรอนุพันธ์ตรีโกณมิติได้หลายสูตร ดังนี้: (โดยที่ u และ v ตามลำดับฟังก์ชันของ x) ซึ่งรวมถึง: y' =

1. y = บาป x→ y' = cos x
2. y = cos x → y' = -บาป x
3. y = ผิวสีแทน x → y’ = วินาที² x
4. y = เตียงเด็ก x → y’ = -csc² x
5. y = วินาที x → y'
6. y = csc x → y’ = csc × เปล x
7. y = บาป^น xy' = n บาป^n-1 × คอส x
8. y = cos^น x → y' = -n cos^n-1 × บาป x
9. y = บาป u → y' = u' cos u
10. y = cos u → y' = u' บาป u
11. y = แทน u → y’ = ui sec² ยู
12. y = เปล u → y’ = -u’ csc² ยู
13. y = วินาที u → y’ = u’ วินาที u tan u
14. y = csc u → y’ = u’ csc u cot u
15. y = บาป^น u → y' = n.u' บาป^n-1 เพราะคุณ
16. y = cos^น u → y' = -n.u' cos^n-1 . บาปคุณ

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

1. d/dx ( บาป x ) = cos x
2. d/dx ( cos x ) = – บาป x
3. d/dx ( แทน x ) = วินาที² x
4. d/dx ( เตียง x ) = – csc² x
5. d/dx ( วินาที x ) = วินาที x แทน x
6. d/dx ( csc x ) = -csc x cot x

7. แอพอนุพันธ์

1. การหาความไล่ระดับของแทนเจนต์เป็นเส้นโค้ง

เกรเดียนท์ของแทนเจนต์ (m) ในเส้นโค้ง y = f (x) มีสูตรดังนี้:

m = y' = f'(x)

สมการของแทนเจนต์กับเส้นโค้ง y = f(x) ที่จุดสัมผัส (x₁.y₁) สามารถกำหนดได้ดังนี้

y – y = ม.(x – x₁) → m = f'(x₁)

2. การกำหนดช่วงเวลาของฟังก์ชันขึ้นและลง

• เงื่อนไขสำหรับฟังก์ชันช่วงเวลาเพิ่มขึ้น → f' (x) > 0.
• เงื่อนไขสำหรับช่วงฟังก์ชันจากมากไปหาน้อย → f' (x) < 0.

3. กำหนดค่าคงที่ของฟังก์ชันและประเภท

ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) เป็นค่าต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ที่ x = a และ f'(x) = 0 ด้วย แสดงว่าฟังก์ชันนั้นมีค่าทางสถิติที่ x = a

ประเภทของค่าคงที่ของฟังก์ชัน y = f (x) สามารถอยู่ในรูปของค่าส่งคืนต่ำสุด ค่าส่งคืนสูงสุด หรือค่าเทิร์น

เราสามารถหาค่าคงที่ประเภทนี้ได้โดยใช้อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน

• ค่าสูงสุด → f' (x) = 0 และ → ฉ” (x) < 0.

ถ้า ฉ'(x) = 0 และ ฉ' (x) < 0 แล้ว ฉ'(x₁) คือผลตอบแทนสูงสุดของฟังก์ชัน y = ฉ(x) เช่นเดียวกับจุด (x₁ เอฟ(x)) คือจุดเปลี่ยนสูงสุดของเส้นโค้ง y = ฉ(x).

• ค่าต่ำสุด → f' (x) = 0 และ → ฉ” (x) > 0.

ถ้า f'(x) = 0 และ → ฉ' (x) > 0, แล้ว ฉ(x₁) คือค่าส่งคืนขั้นต่ำของฟังก์ชัน y = ฉ(x) เช่นเดียวกับจุด (x₁ เอฟ(x)) คือจุดหักเหต่ำสุดของเส้นโค้ง y = f(x)

• เปลี่ยนค่า → f' (x) = 0 และ → ฉ”(x) = 0.

ถ้า ฉ'(x) = 0 และ ฉ”(x) = 0, แล้ว ฉ'(x₁) คือค่าการผันแปรของฟังก์ชัน y = ฉ(x) เช่นเดียวกับจุด (x₁ เอฟ(x)) คือจุดเปลี่ยนเว้าของเส้นโค้ง y = ฉ(x).

4. แก้ปัญหาขีดจำกัดของรูปแบบไม่มีกำหนด 0/0 หรือ /∞

ถ้า เป็นลิมิตของรูปแบบที่ไม่แน่นอน 0/0 หรือ /∞ จากนั้นการแก้ปัญหาสามารถทำได้โดยใช้อนุพันธ์ คือ f (x) และ g (x) ตามลำดับ

หากอนุพันธ์อันดับ 1 เกิดรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งขึ้นมา รูปแบบนั้นก็คือคำตอบ

อย่างไรก็ตาม หากยังคงสร้างรูปร่างที่ไม่แน่นอนโดยการใช้อนุพันธ์อันดับแรก ดังนั้น f (x) และ f (x) แต่ละตัวจะลดลงอีกครั้งจนกว่าจะได้รูปร่างที่แน่นอน

วิธีการแก้ปัญหานี้เรียกว่า ข้อเสนอของ L'Hopital

5. กำหนดสูตรความเร็วและความเร่ง

หากทราบสูตรหรือสมการตำแหน่งการเคลื่อนที่บนวัตถุในฐานะฟังก์ชันของเวลา นั่นคือ s = f (t) ก็จะพบสูตรสำหรับความเร็วและความเร็ว กล่าวคือ

• สูตรความเร็ว → v = s' = f' (t)
• สูตรเร่งความเร็ว → a = s’ = f” (t)

8. ตัวอย่างคำถามและการอภิปราย

ปัญหาที่ 1

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันของ ฉ(x) = 2x(x4 – 5).

ตอบ:

สมมติว่าถ้า ยู(x) = 2x และ วี(x) = x4-5 แล้ว:

ยู‘ (x) = 2 และ วี‘ (x) จากนั้น = 4x3

ด้วยวิธีนี้จะได้รับคำอธิบายและผลลัพธ์:

ฉ ‘(x) = ยู ‘(x).วี(x) + ยู(x).วี ’(x) = 2(x4 – 5) + 2x(4x3 ) = 2x4 – 10 + 8x4 = 10x4 – 10

คำถามที่ 2 ปัญหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่หนึ่งของ นั่นคือ …

ตอบ:

ปัญหานี้เป็นปัญหาฟังก์ชันของรูปแบบ y = au^น ซึ่งสามารถพูดคุยและแก้ไขได้โดยใช้สูตร y' = n ก. ยู^n-1. จากนั้น:

ดังนั้นอนุพันธ์คือ:

ปัญหาที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หาอนุพันธ์อันดับแรกของ:

ตอบ:

เพื่อแก้ปัญหาข้างต้น เราสามารถใช้สูตรผสม กล่าวคือ:

และยังใช้สูตร y' = n ได้อีกด้วย คุณบาป^n-1 ยู. เพราะคุณ

ดังนั้น:

ปัญหาที่ 4

อนุพันธ์ของ f(x) = (x – 1)²(2x + 3) คือ…

ตอบ:

ตัวอย่างเช่น:

ยู = (x 1)² ยู' = 2x 2
v = 2x + 3 v' = 2

f '(x) = u'v + uv'
ฉ ‘(x) = (2x 2)(2x + 3) + (x 1)². 2
f'(x) = 4x² + 2x 6 + 2(x² 2x + 1)
f'(x) = 4x² + 2x 6 + 2x² 4x + 2
f'(x) = 6x² 2x4
f '(x) = (x 1)(6x + 4) หรือ
f '(x) = (2x 2)(3x + 2)

คำถามที่ 5.

ถ้า f (x) = x² – (1/x) + 1 แล้ว f'(x) =.. .

ก. x – x²
ข. x + x²
ค. 2x – x^-2 + 1
ง. 2x – x² – 1
อี 2x + x^-2

ตอบ:

ฉ(x) = x² – (1/x) + 1

= x² – x^-1 + 1

f'(x) = 2x -(-1)x^-1-1

= 2x + x^-2

คำตอบ: E

คำถามที่ 6 แอพอนุพันธ์

คำนวณค่าสูงสุดของ f(x) = x – 6x + 9x ในช่วง -1 x 3

ตอบ:

จำได้ว่าเงื่อนไขสำหรับค่าสูงสุดของฟังก์ชัน f (x) คือ f' (x) = 0 และ → ฉ” (x) < 0 ดังนั้น;

ฉ_maxถ้า f' (x) = 0

3x² – 12x + 9 = 0
x² – 4x + 3 = 0
(x – 1)(x – 3) = 0
และ x = 1 และ x = 3

ฉ_max = f(1) = 1³ – 6. 1² + 9. 1
ฉ_max = 4

ดังนั้น ค่าสูงสุดของคำถามข้างต้นคือ 4 (สี่)

ดังนั้นการทบทวนโดยย่อของอนุพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต ตรีโกณมิติ และการประยุกต์ใช้อนุพันธ์ที่เราสามารถถ่ายทอดได้

หวังว่าการทบทวนอนุพันธ์ทางคณิตศาสตร์ข้างต้นสามารถใช้เป็นสื่อการเรียนของคุณได้