ลำดับและอนุกรม: เลขคณิต เรขาคณิต ปัญหาตัวอย่าง การอภิปราย,

ลำดับเลขคณิตและอนุกรมในวิชาคณิตศาสตร์เป็นประเภทของลำดับและชุดของตัวเลข โดยที่หมายเลขถัดไปคือการบวกกับหมายเลขก่อนหน้าด้วยหมายเลขอื่น แน่นอน.

เช่น 3, 5, 7, 9, 11, 13, ….. ลำดับเลขคณิตนี้ยังสามารถแสดงได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

a, a + b, a + 2b, a + 3b, …. สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับซีเควนซ์และซีรีส์ โปรดดูที่การสนทนาต่อไปนี้

แถวเลขคณิต

คำจำกัดความของเส้น

ลำดับคือลำดับของสมาชิกของชุดตามกฎบางอย่าง

ในแต่ละสมาชิกของชุดจะเรียงลำดับหรือเงื่อนไขของที่หนึ่ง ที่สอง และอื่น ๆ

ในการแสดงลำดับหรือเทอมที่ n ของลำดับ เราสามารถแสดงมันด้วยสัญลักษณ์: ยู_น .

ลำดับยังสามารถตีความว่าเป็นฟังก์ชันของจำนวนธรรมชาติหรือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นชุดของจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น, ยู_น = ฉ(n)

ตัวอย่างปัญหา:

ตัวอย่างเช่น: U_น = (2n + 1) ดังนั้นเทอมที่ 4 ของแถวคือ U₄ = (2(4) + 1) = 9.

ซีเควนซ์คือเซตที่มีสมาชิกเป็นผลมาจากการแมปจากจำนวนธรรมชาติ

instagram viewer

ตัวอย่างของบรรทัดมีดังนี้:

• 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• 2, 5, 8, 11, 14, 17
• 13, 11, 9, 7, 5, 3
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13
• 2, 4, 8, 16, 32, 64

การทำความเข้าใจแถวเลขคณิต

แถวเลขคณิต เป็นแถวที่ค่าในแต่ละเทอมได้มาจากเทอมก่อนหน้าโดยการบวกหรือลบตัวเลข b

ความแตกต่างระหว่างค่าของพจน์ที่อยู่ติดกันจะเหมือนกันเสมอ กล่าวคือ ข.

จากนั้น:

ยู_น - ยู(_น-1) = ข

ตัวอย่างเช่น แถว 1, 3, 5, 7, 9 เป็นแถวเลขคณิตที่มีค่า:

b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2

ในการหาค่าของเทอมที่ n ของลำดับเลขคณิต เราสามารถหาได้โดยการรู้ค่าของเทอมที่ k และความแตกต่างระหว่างพจน์ที่อยู่ติดกัน (b)

สูตรมีดังต่อไปนี้:

ยู_น = คุณ_k + (n – k) b

ถ้าสิ่งที่รู้คือค่าของเทอมแรก U_k =  และความแตกต่างระหว่างเงื่อนไข (b) จากนั้นค่าของ k = 1 และค่าของ ยู_น = คือ

ยู_น = a + (n – 1)b

ลำดับเลขคณิตกลางเผ่า

หากมีลำดับเลขคณิตที่มีจำนวนคี่ของ (n) เทอมแรก a และเทอมสุดท้าย U_น แล้วเทอมกลาง U_t ของเส้นได้ดังนี้

ยู_t = 1/2(a + U_น)
ด้วย t = 1/2(n+1)

สูตรสำหรับเทอมที่ n ของลำดับเลขคณิต
ยู_น = a + (n – 1)b 
ข้อมูล:
ยู_n= เผ่าที่ n
a= เทอมแรก
b= แตกต่าง
n= หลายเทอม

แทรกในลำดับเลขคณิต

ถ้าระหว่างสองเทอม ลำดับเลขคณิตถูกแทรก k เทอมเพื่อที่ลำดับเลขคณิตใหม่จะถูกสร้างขึ้น จากนั้นความแตกต่างในลำดับเลขคณิตหลังจากใส่คำศัพท์ k จะเปลี่ยนไป

ความแตกต่างจากลำดับเลขคณิตนี้หลังจากใส่คำศัพท์ k เป็นดังนี้

b' = b/(k + 1) 

ข้อมูล:

b'= ความแตกต่างของลำดับเลขคณิตหลังจากใส่ k เทอม
k = จำนวนคำที่แทรก

คำศัพท์จำนวนมากของลำดับเลขคณิตที่แทรกคำศัพท์ k จะเปลี่ยนไปเป็นดังนี้

n' = n + (n – 1)k 

ข้อมูล:

n'= คือจำนวนพจน์ของลำดับเลขคณิตใหม่
n = คือจำนวนพจน์ของลำดับเลขคณิตแบบเก่า

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

คำจำกัดความของซีรีส์

แถว คือผลรวมของสมาชิกของลำดับ
ตัวอย่างชุด:

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
• 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17
• 13 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3

คำจำกัดความของอนุกรมเลขคณิต

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คือผลรวมของเงื่อนไขของลำดับเลขคณิต ผลรวมของเทอมแรกกับเทอมที่ n ของลำดับเลขคณิตสามารถคำนวณได้ดังนี้:

ส_น = คุณ₁ + คุณ₂ + คุณ₃ + …. + คุณ_(n-1)

หรือเป็น =

ส_น = a + (a + b) + (a + 2b) + …. + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b)

หากเป็นที่ทราบเพียงว่าค่าของ a เป็นเทอมแรกและค่าของมันคือเทอมที่ n แสดงว่าค่าของอนุกรมเลขคณิตคือ:

ส_น = n/2(a + U_น)

เราสามารถกลับสมการนี้เพื่อหาค่าของเทอมที่ n เป็น:

ส_น = คุณ₁ + คุณ₂ + คุณ₃ + …. + คุณ_(n-1)

ส_(n-1) = คุณ₁ + คุณ₂ + คุณ₃ + …. + คุณ_(n-1)

ส_น – ส_(n-1) = คุณ_น

ดังนั้นเราจะได้สูตรสุดท้ายดังนี้:

ยู_น = ส_น – ส_(n-1)

อนุกรมเลขคณิตเป็นผลรวมของเงื่อนไขของลำดับเลขคณิต ชุดเลขคณิตสำหรับ n เทอมแรกแสดงด้วยตัวอักษร S_น และมีสูตรดังนี้
ส_น = n/2(a + u_น) 
หรือ
ส_น = n/2(2a + (n – 1)b) 
ข้อมูล:
ส_n= ผลรวมของ n เทอมแรก
a= เทอมแรก
ยู_n= เทอมที่ n หรือเทอมสุดท้าย
b= แตกต่าง
n= หลายเทอม

เรขาคณิต

ลำดับเรขาคณิตคือลำดับที่การเปรียบเทียบระหว่างสองพจน์ที่ต่อเนื่องกันจะคงที่เสมอ

การเปรียบเทียบสองคำที่ต่อเนื่องกันเรียกว่า อัตราส่วนซึ่งมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร r.

สูตรทั่วไปสำหรับอัตราส่วนในเรขาคณิต กล่าวคือ:

สูตรสำหรับเทอมที่ n ในลำดับเรขาคณิต

ยู_น = ar^{น – 1}

ข้อมูล:

ยู_น เป็นเทอมที่ n
a คือเทอมแรก
r คืออัตราส่วน
n คือจำนวนเทอม

ระยะกลางของลำดับเรขาคณิต

หากลำดับเรขาคณิตมีจำนวนพจน์ (n) เลขคี่ เทอมแรก a และเทอมสุดท้าย U_น แล้วเทอมกลาง U_t ของเส้นได้ดังนี้

สูตรสำหรับระยะกลางของลำดับเรขาคณิต:

แทรกในลำดับเรขาคณิต

หากมีการแทรกคำศัพท์ k ระหว่างลำดับเรขาคณิตสองลำดับ ลำดับเรขาคณิตใหม่จะถูกสร้างขึ้นเพื่อให้อัตราส่วนของลำดับทางเรขาคณิตหลังจากแทรกคำศัพท์ k จะเปลี่ยนไป

อัตราส่วนของลำดับเรขาคณิตหลังจากใส่คำศัพท์ k เป็นดังนี้:

ข้อมูล:

r' คืออัตราส่วนของลำดับทางเรขาคณิตหลังจากใส่พจน์ k
k คือจำนวนพจน์ที่แทรก

คำศัพท์หลายคำในลำดับทางเรขาคณิตที่แทรก k คำศัพท์จะเปลี่ยนไปด้วย ดังตัวอย่างด้านล่าง:

n' = n + (n – 1)k 

ข้อมูล:

n' คือจำนวนพจน์ของลำดับเรขาคณิตใหม่
n คือจำนวนพจน์ของลำดับเรขาคณิตแบบเก่า

ชุดเรขาคณิต

อนุกรมเรขาคณิตเป็นผลรวมของเงื่อนไขของอนุกรมเรขาคณิต อนุกรมเรขาคณิตสำหรับ n เทอมแรกแสดงด้วยตัวอักษร S_น และมีสูตรดังนี้

ข้อมูล:

ส_น คือผลรวมของ n เทอมแรก
a คือเทอมแรก
r คืออัตราส่วน
n คือจำนวนเทอม

ซีรีย์เรขาคณิตไม่มีที่สิ้นสุด

ลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนระหว่าง -1 ถึง 1 เรียกว่า ลำดับ เรขาคณิตบรรจบกัน

เราสามารถคำนวณชุดเรขาคณิตของลำดับทางเรขาคณิตที่บรรจบกันและคำศัพท์จำนวนมากได้ไม่จำกัดโดยใช้สูตรด้านล่าง:

ข้อมูล:

a คือเทอมแรก
r คืออัตราส่วนที่มีเงื่อนไข -1< r <1

ความสัมพันธ์ของลำดับและอนุกรม

• ยู_น = ส_น – ส_{น – 1}
• เราสามารถหาผลต่างของลำดับเลขคณิตจากอนุพันธ์อันดับสองของอนุกรมเลขคณิตได้

ตัวอย่างคำถามและการอภิปรายเกี่ยวกับลำดับและซีรีส์

ลำดับเลขคณิตและอนุกรม

ปัญหาที่ 1 ลำดับเลขคณิตและอนุกรม

ลำดับเลขคณิตมีจำนวนเทอมคี่ ถ้าเทอมแรกคือ 4 หรือเทอมสุดท้ายคือ 20 เทอมกลางคือ...

ก. 12
ข. 8
ค. 10
ง. 16

ตอบ:

a = 4
Un = 20
Ut= a + Un2 = 20 + 42= 12

คำตอบ: a

คำถามที่ 2 ลำดับเลขคณิตและอนุกรม

ลำดับเลขคณิตมีเจ็ดเทอม ถ้าเทอมแรกและค่าส่วนต่างเป็น 2 คำนวณระยะกลาง?

ก. 9
ข. 8
ค. 10
ง. 12

ตอบ:

a = 2
ข = 2
n = 7
Ut= a + (n-1)b2 Ut= a + (n-1)b2 = 2 + (7-1)22 = 8

ปัญหาที่ 3 ลำดับเลขคณิตและอนุกรม

เทอมที่ 15 ของซีเควนซ์: 2, 5, 8, 11, 14, … คือ…

ก.41
ข.44
ค.45
ง.47

ตอบ:

ลำดับข้างต้นเป็นลำดับเลขคณิตเพราะมันมีความแตกต่างที่คงที่มากเช่นกัน

• เทอมแรกคือ = a= U1= 2
• ความแตกต่างคือ = b =U2 – U1= 5–2 คือ 3

เทอมที่ 15 = U15
Un = a + (n – 1) b
U15 = 2 + (15 – 1) 3
= 2 + 14. 3
= 2 + 42
= 44

คำถามที่ 5. ลำดับเลขคณิตและอนุกรม

เทอมที่ 45 ของลำดับตัวเลข: 3, 7, 11, 15, 19, … คือ…

ก.-179
ข.-173
ค.173
ง.179

ตอบ:

ลำดับข้างต้นเป็นลำดับเลขคณิต เนื่องจากหลายลำดับมีความแตกต่างกัน

• เทอมแรก = a = 3
• ความแตกต่าง = b = U2 – U1 = 7–3 คือ 4

Un = a + (n – 1) b
U45 = 3 + (45 – 1) 4
= 3 + 44. 4
= 3 + 176
= 179

คำถามที่ 6 ลำดับเลขคณิตและอนุกรม

เทอมที่ 50 ของลำดับ: 20, 17, 14, 11, 8, … คือ…

ก.-167
ข.-127
ค.127
ง.167

ตอบ:

ลำดับข้างต้นเป็นลำดับเลขคณิต เนื่องจากหลายลำดับมีความแตกต่างกัน

• เทอมแรกคือ = a = 20
• ความแตกต่างคือ = b = U2 – U1 = 17 – 20 คือ -3

Un = a + (n – 1) b
U50 = 20 + (50 – 1) -3
= 20 + 49. (-3)
= 20 + (-147)
= -127

คำถามที่ 7 ลำดับเลขคณิตและอนุกรม

สูตรสำหรับเทอมที่ n ของลำดับเลขคณิต 94, 90, 86, 82, … คือ…

ก. Un = 90 + 4n
ข. Un = 94 + 4n
ค. Un = 94 – 4n
ง. Un = 98 – 4n

ตอบ:

• เทอมแรกคือ = a = 94
• ความแตกต่างคือ = b = 90 – 94 คือ -4

เทอมที่ n คือ:
Un = a +(n-1) b
= 94 + (n-1) -4
= 94 + (-4n) + 4
= 94 + 4 – 4n
= 98 – 4n

คำถามที่ 8 ลำดับเลขคณิตและอนุกรม

เป็นที่รู้จักกันว่าชุดเลขคณิต 17, 20, 23, 26,... ผลรวมของ 30 เทอมแรกของชุดข้อมูลคือ...

ก. 1.815
ข. 2.520
ค. 2.310
ง. 2.550

ตอบ:

• เทอมแรกคือ = a = 17
• ความแตกต่างคือ = b = U2-U1 = 20-17 คือ 3
• ผลรวมของ 30 เทอมแรกคือ = S30

Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S30 = 30/2 (2.17 + (30-1)3)
= 15 (34 + 29.3)
= 15 (34 + 87)
= 15.121
= 1.815

ปัญหาที่ 9

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าอนุกรมเลขคณิตที่มีสูตร Sn = 2n^2 + 3n ความแตกต่างระหว่างชุดเลขคณิตคือ...

ก. 3
ข. 4
ค. 5
ง. 9

ตอบ:

เราสามารถหาความแตกต่างได้โดยการลบจำนวน 2 พจน์ (S2) ด้วยจำนวน 1 พจน์ (S1) ดังนั้น:

Sn = 2n^2 + 3n
S2 = 2.2^2 + 3.2
= 2.4 + 6
= 8 + 6
= 14

Sn = 2n^2 + 3n
S1 = 2.1^2 + 3.1
= 2.1 + 3
= 2 + 3
= 5

ความแตกต่าง = b = S2-S1
= 14 – 5
= 9

คำถามที่ 10.

กำหนดลำดับเลขคณิต เทอมแรกของลำดับคือ 25 หรือเทอมที่ 11 คือ 55

เทอมที่ 45 ของซีเควนซ์คือ...

ก. 157
ข. 163
ค. 169
ง. 179

ตอบ:

U1 = a = 25

U11 = 55
a + (11-1)b = 55
25 + 10b = 55
10b = 55-25
10b = 30
ข = 30/10
ข = 3

จากนั้น เราถูกขอให้ค้นหา U-45 ดังนั้น:
Un = a + (n-1)b
U45 = 25 + (45-1)3
= 25 + 44.3
= 25 + 132
= 157

คำตอบ:

ลำดับเรขาคณิตและอนุกรม

ปัญหาที่ 1 ลำดับเรขาคณิตและอนุกรม

กำหนดลำดับเรขาคณิตที่จะหาคำว่า Un

หาเทอมที่ 10 Un ในลำดับ 1/8, 1/4, 1/2,…. ที่!

ตอบ:

เป็นที่รู้จัก:

• = r = 1/4: 1/8 = 1/4 x 8 = 2 (อัตราส่วน)
• a = 1/8

สารละลาย:

• Un = arn – 1
• ยกเลิก = 1/8 2 (10 – 1) = 1/8. 29 = 2 – 3. 29 = 26 = 64

ดังนั้น, เทอมที่ 10 Un คือ = 64 

คำถามที่ 2

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าอะมีบาแบ่งออกเป็น 2 ตัวทุกๆ 6 นาที จำนวนอะมีบาหลังจากหนึ่งชั่วโมงเป็นเท่าใด ถ้าในตอนแรกมีเพียง 2 อะมีบา

นับระยะ Un สำหรับจำนวนของอะมีบา!

ตอบ:

เป็นที่รู้จัก:

• a = 2
• r = 2
• n = (1 ชั่วโมง/6 นาที) + 1 = 11

สารละลาย:

• Un = arn – 1
• ยกเลิก = 2 2 11 – 1 = 210 = อะมีบา 1024 ชิ้น

ดังนั้น, เผ่า Un ที่จะมองหาอะมีบาข้างต้นคือ = อะมีบา 1024 ชิ้น

ปัญหาที่ 3

กำหนดลำดับเรขาคณิตเพื่อค้นหาคำว่า Un

หาเทอมที่ 7 Un จากลำดับ 3, 6, 2,…. ที่!

ตอบ:

เป็นที่รู้จัก:

• a = 3
• r = 2

สารละลาย:

• Un = ar^(n-1)
• Un = 3.2^(7-1)
• U7 = 3.2^(7-1)
• U7 = 192

ดังนั้น, เทอมที่ 17 คือ = 192 

ปัญหาที่ 4

กำหนดลำดับเรขาคณิตเพื่อค้นหาคำว่า Un

หาเทอมที่ 7 Un ในลำดับ 48, 24, 12,…. ที่!

ตอบ:

เป็นที่รู้จัก:

• a = 48
• r = 1/2

สารละลาย:

• Un = ar^n-1
• Un = 48.(1/2)^n-1
• Un = 48.(1/2)^n-1
• Un = 48.(2^-1)^1-n
• Un = 3.16. (2)^1-n
• U7 = 3.2⁴ (2)^1-n
• U7 = 3.2^5-n

ดังนั้น, เทอมที่ 7 คือ = 3.2^5-n

คำถามที่ 5.

มีลำดับเรขาคณิตสำหรับการค้นหาคำว่า Un

นับเทอมที่ 7 Un จากลำดับ 44, 24, 12,…. ที่!

ตอบ:

เป็นที่รู้จัก:

• a = 44
• r = 1/2

สารละลาย:

• Un = ar^n-1
• Un = 44.(1/2)^n-1
• Un = 44.(1/2)^n-1
• Un = 44.(2^-1)^1-n
• ยกเลิก = 3.8 (2)^1-n
• U7 = 3.2³ (2)^1-n
• U7 = 3.2^4-n

ดังนั้น, เทอมที่ 7 คือ = 3.2^4-n

คำถามที่ 6

กำหนดลำดับเรขาคณิตเพื่อค้นหาคำว่า Un

หาเทอมที่ 7 Un ในลำดับ 42, 24, 12,…. ที่!

ตอบ:

เป็นที่รู้จัก:

• a = 42
• r = 1/2

สารละลาย:

• Un = ar^n-1
• Un = 42.(1/2)^n-1
• Un = 42.(1/2)^n-1
• Un = 42.(2^-1)^1-n
• ยกเลิก = 3.4. (2)^1-n
• U7 = 3.2² (2)^1-n
• U7 = 3.2^3-n

ดังนั้น, เทอมที่ 7 คือ = 3.2^3-n

คำถามที่ 7

กำหนดลำดับเรขาคณิตเพื่อค้นหาคำว่า Un

หาเทอมที่ 7 Un ในลำดับ 58, 24, 12,…. ที่!

ตอบ:

เป็นที่รู้จัก:

• a = 48
• r = 1/2

สารละลาย:

• Un = ar^n-1
• Un = 58.(1/2)^n-1
• Un = 58.(1/2)^n-1
• Un = 58.(2^-1)^1-n
• ยกเลิก = 4.16 (2)^1-n
• U7 = 4.2⁴ (2)^1-n
• U7 = 4.2^5-n

ดังนั้น, เทอมที่ 7 คือ = 4.2^5-n

คำถามที่ 8

ในอนุกรมเรขาคณิตเป็นที่ทราบกันว่า U1 = 6 และ U5 = 486 อัตราส่วนเท่าไหร่?

ตอบ:

U1 = 6
U5 = 486
n = 5

Un = U1 × r^n-1
U5 = 6 × r^5-1
486 = 6 × r⁴

r⁴  = 486/6
= 81

r = ±
r = 3 หรือ -3

ดังนั้นอัตราส่วนของอนุกรมนี้คือ 3 หรือ -3

ปัญหาที่ 9

ในอนุกรมเรขาคณิตเป็นที่ทราบกันว่า U3 = 81 และ U6 = 3 แล้วนับซีรีส์!

ตอบ:

U3 = 81 จากนั้น U1 × r² = 81
U6 = 3 จากนั้น U1 × r⁵  = 3
U6/U3 = ( U1 × r⁵ )/( U1 × r² ) = 3/81

r = 1/27
r = รากที่สองของ (1/27)
r = 1/3

U1 × r² = 81
U1 × (1/3)² = 81
U1 × 1/9 = 81

U1 = 81:1/9
U1 = 81 × 9
U1 = 729

ดังนั้นซีรีย์คือ 729+243+81+27+…

คำถามที่ 10.

เทอมแรกของอนุกรมเรขาคณิตคือ 2 และอัตราส่วนคือ 3 หากระยะกลางของชุดข้อมูลคือ 54 ให้กำหนด:

ก. เทอมสุดท้ายของซีรีส์

ข. จำนวนเทอมในชุด

ตอบ:

ก. U1 = 2
Ut = 54
r = 3

Ut = (U1×Un)
54 = (2×Un)
54² = 2×ไม่

2,916 = 2Un
Un = 2.916/2
Un = 1.458

ดังนั้นเทอมสุดท้าย (Un) ของซีรีส์คือ 1,458

ข. Un = U1 × r^n-1
1.458 = 2 × (3)^n-1
(3)^n-1 = 1.458/2
(3)^n-1 = 729
(3)^n-1 = 3⁶
n-1 = 6
n = 7

ดังนั้น จำนวนพจน์ในชุดคือ 7

นั่นเป็นบทวิจารณ์สั้น ๆ เกี่ยวกับ Rows and Series ที่เราสามารถถ่ายทอดได้ หวังว่าบทวิจารณ์ข้างต้นจะสามารถใช้เป็นสื่อการเรียนรู้ของคุณได้