ลอการิทึม: คุณสมบัติ สมการลอการิทึม ข้อกำหนด เนินเขา ปัญหา

ลอการิทึม เป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่การดำเนินการนี้เป็นการดำเนินการของผกผัน (หรือผกผัน) ของเลขชี้กำลังหรือกำลัง ฐานหรือตัวการในสูตรลอการิทึมนี้โดยทั่วไปจะอยู่ในรูปของตัวอักษร a

หรือมีการกล่าวถึงด้วยว่าลอการิทึมนี้เป็นผกผันหรือผกผันของกำลัง (เลขชี้กำลัง) ที่ใช้ใน กำหนดเลขชี้กำลังของเลขฐาน.

ในภาษาอังกฤษเรียกว่าลอการิทึม ลอการิทึม.

โดยพื้นฐานแล้ว โดยการศึกษาลอการิทึม เราสามารถหากำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังที่ทราบได้

ลอการิทึม

หลังจากที่คุณรู้ว่าลอการิทึมคืออะไร คุณจำเป็นต้องรู้รูปแบบทั่วไปของลอการิทึมนี้ด้วย

นี่คือรูปแบบทั่วไปของลอการิทึม:

รูปแบบทั่วไปของลอการิทึม:

ถ้า^น = x แล้ว logx = n

ข้อมูล:

a: เป็นพื้นฐาน ซึ่งมีเงื่อนไขดังนี้ a > 0 และ a 1

x: คือตัวเลขที่อัลกอริทึมค้นหา (ตัวเลข) โดยมีเงื่อนไขคือ x > 1

n: คือกำลังของลอการิทึม

ถึงเวลาแล้วที่คุณจะดูตัวอย่างคำถามด้านล่าง เพื่อให้คุณเข้าใจคำอธิบายด้านบนได้ดียิ่งขึ้น:

1. เมื่อ3² = 9 จากนั้นในรูปแบบลอการิทึมจะเปลี่ยนเป็น ³บันทึก 9 = 2
2. เมื่อ2³ = 8 จากนั้นในรูปแบบลอการิทึมจะเปลี่ยนเป็น ²บันทึก 8 = 3
3. เมื่อ5³ = 125 จากนั้นในรูปแบบลอการิทึมจะเปลี่ยนเป็น ⁵ล็อก 125 = 3

คุณเป็นอย่างไร? ตอนนี้ฉันเริ่มเข้าใจแล้ว ขวา?

ดี, ปกติ ที่นี่คุณมักจะสับสนในการพิจารณาว่าตัวเลขใดเป็นฐานและตัวเลขใดเป็นตัวเลข

ลอการิทึม เป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ผกผันของเลขชี้กำลังหรือกำลัง

สูตรพื้นฐานของลอการิทึม: b^ค = a เขียนว่า ^ขบันทึก a = c (b เรียกว่าลอการิทึมฐาน)

มันไม่ได้เป็น?

ใจเย็นๆ ทุกคน กุญแจสำคัญที่คุณต้องจำไว้คือถ้า เลขฐาน มันคือ ฐาน, อยู่ด้านบนก่อนป้าย 'บันทึก' และ จำนวนผลอันดับ เรียกว่าเป็น ตัวเลข, อยู่ด้านล่างหลังคำว่า 'log'. ง่าย ขวา?

สมการลอการิทึม

สมการลอการิทึม คือสมการที่ตัวแปรเป็นฐานของลอการิทึม

ลอการิทึมนี้ยังสามารถกำหนดเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นค่าผกผัน (หรือผกผัน) ของเลขชี้กำลังหรือกำลัง

ตัวอย่าง จำนวน 

เราจะยกตัวอย่างของตัวเลขลอการิทึม ดังต่อไปนี้:

ต่อไป ลอการิทึมยังมีคุณสมบัติบางอย่างที่ จำเป็น เพื่อให้คุณเข้าใจ ที่นี่. ทำไมต้องบังคับ?

เนื่องจากลักษณะเหล่านี้จะกลายเป็นข้อกำหนดของคุณในการทำงานเกี่ยวกับปัญหาลอการิทึมในภายหลังได้อย่างง่ายดาย

หากไม่เข้าใจคุณสมบัติของลอการิทึม คุณจะไม่สามารถแก้ปัญหาลอการิทึมได้ คุณรู้!

แล้วอะไรก็ได้ นรก คุณสมบัติของลอการิทึมคืออะไร? มาเลยโปรดทราบความคิดเห็นด้านล่าง

คุณสมบัติลอการิทึม

ต่อไปนี้เป็นคุณสมบัติบางอย่างของลอการิทึมที่คุณต้องเข้าใจ ซึ่งรวมถึง:

นอกจากคุณสมบัติบางอย่างข้างต้นแล้ว ยังมีคุณสมบัติบางอย่างของสมการลอการิทึม ได้แก่

คุณสมบัติของสมการลอการิทึม

สมการลอการิทึมยังมีคุณสมบัติพิเศษบางอย่าง คุณสมบัติเหล่านี้มีดังนี้:

1. คุณสมบัติลอการิทึมของการคูณ 

คุณสมบัติลอการิทึมของการคูณเป็นผลมาจากการบวกลอการิทึมอื่นอีกสองตัว โดยที่ค่าของตัวเลขสองตัวนั้นเป็นปัจจัยของค่าตัวเลขเริ่มต้น

บันทึก p. q = ล็อก p + บันทึก q

มีเงื่อนไขหลายประการสำหรับลักษณะนี้ กล่าวคือ: a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0

2. การคูณลอการิทึม

การคูณลอการิทึมเป็นคุณสมบัติของลอการิทึม a ซึ่งสามารถคูณด้วยลอการิทึม b ถ้าค่าตัวเลขของลอการิทึม a เท่ากับจำนวนฐานของลอการิทึม b

ผลลัพธ์ของการคูณคือลอการิทึมใหม่ที่มีจำนวนฐานเท่ากับลอการิทึม a และมีค่าตัวเลขเท่ากับลอการิทึม b

ล็อก b x ^ขlogc = ล็อก c

มีเงื่อนไขหลายประการสำหรับลักษณะนี้ กล่าวคือ: a > 0, a \ne 1

3. ลักษณะของกอง 

คุณสมบัติลอการิทึมของการหารเป็นผลมาจากการลบลอการิทึมอื่น ๆ สองค่า โดยที่ค่าของตัวเลขสองตัวนั้นเป็นเศษส่วนหรือหารของค่าตัวเลขลอการิทึมเริ่มต้น

บันทึก p/q: บันทึก p – บันทึก q

มีเงื่อนไขหลายประการสำหรับลักษณะนี้ กล่าวคือ: a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0

4. ลักษณะเปรียบเทียบผกผัน

คุณสมบัติลอการิทึมสัดส่วนผกผันเป็นคุณสมบัติที่มีลอการิทึมอื่นที่มีเลขฐานและตัวเลขที่สลับกันได้

บันทึก = 1/^ขบันทึก a

มีเงื่อนไขหลายประการสำหรับลักษณะนี้ กล่าวคือ: a > 0, a \ne 1

5. ป้ายตรงข้าม 

คุณสมบัติลอการิทึมของเครื่องหมายตรงข้ามเป็นคุณสมบัติที่มีลอการิทึมซึ่งตัวเลขเป็นเศษส่วนผกผันของค่าตัวเลขลอการิทึมเริ่มต้น

บันทึก p/q = – บันทึก p/q

มีเงื่อนไขหลายประการสำหรับลักษณะนี้ กล่าวคือ: a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0

6. ธรรมชาติของอำนาจ 

คุณสมบัติลอการิทึมของกำลังคือคุณสมบัติที่มีค่าตัวเลขเป็นเลขชี้กำลัง และสามารถใช้เป็นลอการิทึมใหม่ได้โดยการออกกำลังให้กับตัวคูณ

บันทึกข^พี = หน้า บันทึกข

มีเงื่อนไขหลายประการสำหรับลักษณะนี้ กล่าวคือ: a > 0, a \ne 1, b > 0

7. พลังของเลขหลักลอการิทึม 

กำลังของฐานลอการิทึมคือคุณสมบัติโดยที่ค่าของเลขฐานคือ a เลขชี้กำลัง (ยกกำลัง) ที่สามารถใช้เป็นลอการิทึมใหม่ได้โดยการเอากำลังออก ตัวแบ่ง

^พีlogb = 1/pบันทึกข

มีเงื่อนไขหลายประการสำหรับลักษณะนี้ กล่าวคือ: a > 0, a \ne 1

8. เลขหลักลอการิทึมเทียบได้กับเลขยกกำลัง 

คุณสมบัติของเลขฐานตามสัดส่วนกำลังของตัวเลขคือคุณสมบัติที่มีค่าตัวเลขเป็น a เลขชี้กำลัง (ยกกำลัง) ของค่าของเลขฐานซึ่งมีค่าผลลัพธ์เท่ากับค่ายกกำลังของตัวเลข ที่.

บันทึก a^พี = พี

มีเงื่อนไขหลายประการสำหรับลักษณะนี้ กล่าวคือ: a > 0 และ a \ne 1

9. อันดับ 

กำลังของลอการิทึมเป็นหนึ่งในคุณสมบัติของตัวเลขที่มีกำลังอยู่ในรูปของลอการิทึม ผลลัพธ์ของค่ากำลังคือค่าที่ตัวเลขมาจากลอการิทึม

 บันทึก m = m

มีเงื่อนไขหลายประการสำหรับลักษณะนี้ กล่าวคือ: a > 0, a \ne 1, m > 0

10. การเปลี่ยนฐานลอการิทึม 

ธรรมชาติของการเปลี่ยนฐานของลอการิทึมนี้สามารถแบ่งออกเป็นการเปรียบเทียบของลอการิทึมสองตัว

^พีบันทึก q = บันทึก p/ บันทึก q

มีเงื่อนไขหลายประการสำหรับลักษณะนี้ กล่าวคือ: a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0

สูตรสมการลอการิทึม

ตามคำอธิบายข้างต้น ลอการิทึมคือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ผกผันของเลขชี้กำลังหรือกำลัง

ตัวอย่างของลอการิทึมของรูปแบบเลขชี้กำลังระหว่างเหลียน: a^ข = c ถ้าแสดงในรูปสัญกรณ์ลอการิทึม มันจะเป็น ล็อกซี = ข

ข้อความดังต่อไปนี้:

• a คือเลขฐานหรือเลขฐาน
• b คือผลลัพธ์หรือช่วงของลอการิทึม
• c คือตัวเลขหรือโดเมนของลอการิทึม

ด้วยหมายเหตุ:

คุณจำเป็นต้องเข้าใจก่อนที่เราจะพูดถึงสูตรของลอการิทึมต่อไปหากมีการเขียน log b มีความหมายเหมือนกับ log ข.

สูตรสำหรับสมการลอการิทึม ได้แก่

สูตรสมการลอการิทึม:

ถ้าเรามี logf(x) = บันทึก g(x) จากนั้น f(x) = g(x)
ด้วยเงื่อนไขบางอย่างเช่น: a > 0, a 1, f (x) > 0, g (x) > 0

อสมการลอการิทึม:

ถ้าเรามี log f(x) > log g(x) จากนั้นเรามีสองสถานะคือ:

อันดับแรก เมื่อ a>0 หมายถึง: f (x) > g (x)
ประการที่สอง ณ เวลา 0

ตัวอย่างคำถามและการอภิปราย

ต่อไปนี้ เราจะยกตัวอย่างคำถามและการอภิปราย ฟังอย่างระมัดระวังใช่

ตัวอย่างคำถาม 1-3

1. ²บันทึก 4 + ²บันทึก 8 =

2. ²บันทึก 32 =

3. เมื่อรู้ทัน ²บันทึก 8 = m และ ²log 7 = n แล้วหาค่าของ ¹⁶บันทึก 14!

ตอบ:

ปัญหาที่ 1

ขั้นตอนแรกที่เราต้องทำคือตรวจสอบ ฐาน.

สมการลอการิทึมทั้งสองข้างบนนี้ มีค่าฐานเท่ากัน ซึ่งก็คือ 2

ดังนั้นเราจึงสามารถใช้คุณสมบัติที่สองของลอการิทึมเพื่อค้นหาผลลัพธ์ได้

ดังนั้น, ²บันทึก 4 + ²บันทึก 8 = ²บันทึก (4 × 8) = ²บันทึก 32 = 5 จำไว้! จุดประสงค์ของลอการิทึมคือการหากำลัง

แล้ว 2 ยกกำลัง 32 คืออะไร? คำตอบคือไม่ใช่ใครอื่นนอกจาก 5. ง่ายใช่มั้ย?

คำถามที่ 2

มาต่อกันที่คำถามที่ 2

ในคำถามข้อที่ 2 เราไม่สามารถทำได้ในทันที เพราะคุณจะพบกับความสับสนในการค้นหาค่าพลังของ 8 ซึ่งส่งผลให้เป็น 32 แล้วยังไง?

ถ้าเรามองปัญหาให้ละเอียดมากขึ้น 8 คือผลของพลังของ 2³ และ 32 ซึ่งเป็นผลมาจากพลังของ2⁵.

ดังนั้น เราสามารถเปลี่ยนรูปแบบลอการิทึมเป็น:

⁸บันทึก 32 = ²³บันทึก 2

= 5/3 ²บันทึก 2 (ใช้คุณสมบัติหมายเลข 6)

= 5/3(1) = 5/3

ปัญหาที่ 3

พวกคุณเป็นอย่างไรบ้าง? คุณเริ่มตื่นเต้นแล้วหรือยัง?

ดีในการสนทนาของคำถามข้อที่ 3 สิ่งนี้จะทำให้คุณตื่นเต้นมากยิ่งขึ้น!

ต้องรู้ว่าแบบจำลองจากคำถามข้อ 3 มักจะพบในคำถามสอบระดับชาติหรือคำถามคัดเลือกมหาวิทยาลัย คุณรู้.

มองแวบแรกมันดูค่อนข้างซับซ้อน ใช่ แต่ถ้าคุณเข้าใจแนวคิดแล้ว ปัญหานี้จะทำได้ง่ายมาก

หากคุณพบตัวแบบปัญหาแบบนี้ คุณสามารถหาค่าได้โดยใช้คุณสมบัติลอการิทึมของหมายเลข 4

ดังนั้น กระบวนการจะเป็น:

²บันทึก 8 = m และ ²บันทึก 7 = n, ¹⁶บันทึก 14?

¹⁶บันทึก 14 = ²บันทึก 14/ ²บันทึก 16

บันทึก:

ในการเลือกฐานใด เราสามารถดูตัวเลขที่ปรากฎบ่อยที่สุดในปัญหาได้โดยตรง เพื่อให้เรารู้ว่าเลข 2 ปรากฏ 2 ครั้ง 8 เท่าและ 7 เท่า 1 ครั้ง

จำนวนที่ปรากฏมากที่สุดไม่ใช่ใครอื่นนอกจาก 2 ดังนั้นเราจึงเลือก 2 เป็นพื้นฐาน เข้าใจไหม

= ²บันทึก (7 x 2)/ ²บันทึก (8 x 2)

แล้วเรา อธิบายตัวเลข.

ให้ลองเปลี่ยนเป็นแบบที่มีปัญหาอยู่แล้ว คุณหมายถึงอะไร

ที่นี่ พวก, กับคำถามที่รู้ๆกันอยู่ ²บันทึก 8 และด้วย ²บันทึก 7 เนื่องจากตัวเลขเป็นทั้ง 8 และ 7 เราจึงแบ่ง 14 ออกเป็น 7 × 2 และ 16 ออกเป็น 8 × 2 เพื่อให้เราเห็นผลลัพธ์สุดท้าย

= ²บันทึก 7 + ²บันทึก 2/ ²บันทึก 8 + ²บันทึก 2 (ใช้คุณสมบัติหมายเลข 2)

= n + 1/m + 1

อีกตัวอย่างคำถาม

ปัญหา 1.(EBANAS '98)

เป็นที่รู้จัก ³บันทึก 5 = x และ ³บันทึก 7 = y คำนวณค่าของ ³บันทึก245 ^1/2! (เอบีทานัส '98)

ตอบ:

³บันทึก245 ^½ = ³บันทึก (5 x 49) ^½

³บันทึก245 ^½ = ³บันทึก((5) ^½ x(49) ^½)

³บันทึก245 ^½ = ³บันทึก (5) ^½ + ³บันทึก (7²) ^½

³บันทึก245 ^½ = ½( ³บันทึก 5 + ³บันทึก 7)

³บันทึก245 ^½ = (x + y)

ดังนั้น ค่าของ ³บันทึก245 ^½ เช่น (x + y)

คำถามที่ 2 (UMPTN '97)

ถ้า b = a⁴, ค่าของ a และ b เป็นบวก แล้วค่าของ บันทึกข - ^ขบันทึกเช่น…?

ตอบ:

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า b = a⁴จากนั้นเราสามารถแทนที่มันในการคำนวณเป็น:

บันทึกข - ^ขโลก้า = บันทึก a⁴ – a⁴ บันทึก a

บันทึกข - ^ขโลกา = 4 (ล็อกก้า) – 1/4( บันทึก ก)

บันทึกข - ^ขโลกา = 4 – 1/4

บันทึกข - ^ขโลกา = 3^3/4

ดังนั้น ค่าของ บันทึกข - ^ขเข้าสู่ระบบคำถามหมายเลข 2 คือ 3^3/4.

ปัญหาที่ 3 (UMPTN '97)

ถ้า บันทึก (1- ³log 1/27) = 2 แล้วคำนวณค่าของ a

ตอบ:

ถ้าเราทำให้ค่า 2 เป็นลอการิทึมโดยที่เลขฐานของลอการิทึมคือกลายเป็น บันทึก a²= 2 จากนั้นเราได้รับ:

บันทึก (1- ³บันทึก 1/27) = 2

บันทึก (1- ³บันทึก 1/27) = บันทึก a²

ค่าตัวเลขของลอการิทึมทั้งสองสามารถเป็นสมการได้ กล่าวคือ:

1- ³บันทึก 1/27 = a²

³บันทึก 3 – ³บันทึก 1/27 = a²

³บันทึก 3 – ³บันทึก 3^(-3) =²

³บันทึก 3/3^-3 =²

³บันทึก 3⁴ =²

4 = เป็²

เราจะได้ค่า a = 2

ปัญหาที่ 4

ถ้ารู้ว่า 2log 8 = a และ 2log 4 = b แล้วคำนวณค่าของ 6log 14

ก. 1 /2
ข. (1+2) / (2+1)
ค. (a+1) / (b+2)
ง. (1+ก) / (1+b)

ตอบ:

สำหรับ 2 บันทึก 8 = a

= (บันทึก 8 / บันทึก 2) = a
= บันทึก 8 = บันทึก 2

สำหรับ 2 บันทึก 4 = b

= (บันทึก 4 / บันทึก 2) = b
= บันทึก 4 = b บันทึก 2

ดังนั้น ,16 บันทึก 8 = (บันทึก 16) / (log68)
= (บันทึก 2.8) / (บันทึก 2.4)
= (บันทึก 2 + บันทึก 8) / (บันทึก 2 + บันทึก 4)
= (บันทึก 2 + บันทึก a) / (บันทึก 2 + b บันทึก b)
= บันทึก 2 (1+ a) / บันทึก 2( 1+ b)
= (1+ก) / (1+b)

ดังนั้น ค่าของ 6 log 14 ในปัญหาตัวอย่างข้างต้นคือ (1+a) / (1+b) (ด)

คำถามที่ 5.

ค่าของ (3log 5 – 3 log 15 + 3log 9) คือ?

ก. 2
ข. 1
ค. 4
ง. 5

ตอบ:

(3log 5 – 3log 15 + 3log 9
= 3 บันทึก ( 5. 9) / 15
= 3log 45/15
= 3log 3
=1

ดังนั้น ค่าของ 3log 5 – 3log 15 + 3log 9 คือ 1 (ข)

คำถามที่ 6

คำนวณค่าในปัญหาลอการิทึมด้านล่าง:

1. (2log 4) + (2log 8)
2. (2log 2√2) + (2log 4√2)

ตอบ:

1. (2log 4 + 2log 8) = (2log 4) x 8 = 2log 3 ยกกำลัง 2 = 5

2. (2log 2√2 + 2log 4√2) = (2log 2√2) x (4√2) = 2log 16 = 4

ดังนั้น ค่าของปัญหาลอการิทึมแต่ละตัวข้างต้นคือ 5 และ 4

คำถามที่ 7

คำนวณค่าในปัญหาลอการิทึมด้านล่าง:

1. 2log 5 x 5log 64
2. 2 บันทึก 25 x 5 บันทึก 3 x 3 บันทึก 32

ตอบ:

1. (2log 5) x (5log 64) = 2log 64 = 2log 26 = 6

2. (2log 25) x (5log 3) x (3log 32) =(2log 52) x (5log 3) x (3log 25)
= 2. (2log 5) x (5log 3) x 5. (3บันทึก 2)
= 2 x 5 x (2log 5) x (5log 3) x (3log 2)
= 10 x (2log 2) = 10 x 1 = 10

ดังนั้น ค่าของคำถามข้างต้นคือ 6 และ 10

คำถามที่ 8

คำนวณค่า log 25 + log 5 + log 80 คือ...

ตอบ:

บันทึก 25 + บันทึก 5 + บันทึก 80
= บันทึก (25 x 5 x 80)
= บันทึก 10000
= บันทึก 104
= 4

ปัญหาที่ 9

เป็นที่ทราบกันว่าล็อก 3 = 0.332 และล็อก 2 = 0.225 จากนั้นล็อก 18 ของคำถามคือ….

ก. 0,889
ข. 0,556
ค. 0,677
ง. 0,876

ตอบ:

เป็นที่รู้จัก:

• บันทึก 3 = 0.332
• บันทึก 2 = 0.225

ถาม:

• บันทึก 18 = ….?

ตอบ:

บันทึก 18 = บันทึก 9 บันทึก 2
บันทึก 18 = (บันทึก 3.log 3) บันทึก 2
บันทึก 18 = 2 (0,332) + (0,225)
บันทึก 18 = 0.664 + 0.225
บันทึก 18 = 0.889

ดังนั้น ค่าของบันทึก 18 ในคำถามด้านบนคือ 0.889 (เอ)

คำถามที่ 10.

แปลงเลขชี้กำลังต่อไปนี้เป็นรูปแบบลอการิทึม:

1.  24 = 16
2.  58 = 675
3.  27 = 48

ตอบ:

*แปลงเลขชี้กำลังให้อยู่ในรูปลอการิทึมดังนี้:

หากค่าของ ba = c แสดงว่าค่าสำหรับบล็อก c = a

1.  24 = 16 → 2log 16 = 4
2.  58 = 675 → 5log 675 = 8
3.  27 = 48 → 2log 48 = 7

จึงเป็นรีวิวสั้น ๆ ในครั้งนี้ที่เราสามารถถ่ายทอดได้ หวังว่าบทวิจารณ์ข้างต้นจะสามารถใช้เป็นสื่อการเรียนรู้ของคุณได้