ฟังก์ชันกำลังสอง: ฟังก์ชัน สูตร กราฟพาราโบลา ปัญหา

ฟังก์ชันกำลังสอง หรือที่เรียกว่าฟังก์ชันพหุนาม คือฟังก์ชันที่มีกำลังเลขชี้กำลังสูงสุดเท่ากับ 2

โดยทั่วไป รูปแบบทั่วไปของฟังก์ชันกำลังสองคือ f(x)=ax²+bx+c หรือ y=ax²+bx+c.

ฟังก์ชันเกี่ยวข้องกับกราฟของฟังก์ชันเสมอ ในทำนองเดียวกันกับฟังก์ชันกำลังสอง

กราฟของฟังก์ชันกำลังสองมีรูปร่างเป็นพาราโบลา ในการวาดกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง จำเป็นต้องกำหนดจุดตัดด้วยแกนพิกัดและจุดสุดขั้วด้วย

สำหรับการกำหนดจุดสุดขั้วอื่น ๆ ได้แก่ จุดพีคหรือจุดสูงสุดหรือต่ำสุด และตอนนี้เราพูดถึงแต่ละประเด็นจากจุดนั้น ตรวจสอบการสนทนาต่อไปนี้

ทางแยกที่มีแกนพิกัด

จุดตัดกับแกน X ได้มาจากการกำหนดค่าของตัวแปร x ในฟังก์ชันกำลังสอง หากค่าของตัวแปร y เท่ากับศูนย์ จะได้จุดตัดกัน (x .)₁,0) และ (x₂,0).

ซึ่ง x₁ และ x₂ คือรากของสมการกำลังสอง

แต่คุณต้องจำไว้ว่ารากต่างๆ ของสมการกำลังสองนั้นขึ้นอยู่กับการเลือกปฏิบัติ

ถ้า discriminant เท่ากับศูนย์ จะได้รากเดียวเท่านั้น ซึ่งหมายความว่ามีจุดตัดกับแกน X เพียงจุดเดียว

ถ้าค่า discriminant น้อยกว่าศูนย์ สมการกำลังสองไม่มีรากที่แท้จริง ซึ่งหมายความว่าไม่มีจุดตัดกับแกน X

จุดตัดกับแกน Y ได้มาจากการหาค่าของ y ในฟังก์ชันกำลังสอง ถ้าค่าของตัวแปร x เท่ากับศูนย์ จะได้จุด (0,y)₁).

จุดสุดขีด

จุดสุดโต่งของฟังก์ชันกำลังสองคือพิกัดโดยที่ abscissa คือค่าของแกนสมมาตร และพิกัดคือค่าสุดขั้ว

พิกัดคู่ของจุดสุดขั้วในฟังก์ชันกำลังสอง y=ax²+bx+c เป็นแบบนี้

D เป็นผู้เลือกปฏิบัติ

D=b²-4ac

ดังที่เราได้กล่าวไว้ข้างต้น

คือแกนสมมาตรและ คือค่าสุดขั้วของฟังก์ชันกำลังสอง

การพิสูจน์สูตรจุดสุดขั้วสำหรับฟังก์ชันกำลังสอง

เราจะได้จุดสุดขั้วจากแนวคิดของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

จุดสุดขั้วของฟังก์ชันกำลังสอง y=ax² + bx + c ได้มาโดยการลดระดับลงไปก่อน จากนั้นผลลัพธ์ของอนุพันธ์จะเท่ากับศูนย์ y' = 0 ดังนั้นคุณจะได้รูปแบบต่อไปนี้:

ต่อไปนี้เป็นขั้นตอนในการวาดกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง y=ax²+bx+c

1. กำหนดจุดตัดด้วยแกนพิกัด
   • จุดตัดกับแกน X ถ้า y = 0
     (ไม่มีสำหรับฟังก์ชันกำลังสองที่มี D<0)
   • จุดตัดกับแกน Y ถ้า x = 0
2. กำหนดจุดสุดขั้ว กล่าวคือ

ตัวอย่างปัญหา:

มาแยกฟังก์ชันกำลังสองของ. กัน f(x)=x²-6x+8

จุดตัดกับแกน X

จำไว้ว่าจุดตัดกับแกน X จะได้รับถ้าค่าของ y = 0 จากนั้นจะได้รูปแบบของสมการกำลังสอง x²-6x+8=0.

เพื่อให้แน่ใจว่าสมการกำลังสองข้างต้นมีราก ขั้นตอนแรกคือการกำหนดการเลือกปฏิบัติก่อน

D=b²-4ac=(-6)²-4(1)(8)=36-32=4

เนื่องจาก discriminant คือ 4 (บวก) สมการกำลังสองต้องมีรากจริงที่แตกต่างกันสองค่า

ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันกำลังสองด้านบนมีจุดตัดกับแกน X สองจุด จุดตัดกับแกน X ได้มาจากรากของสมการกำลังสอง

x²-6x+8=0
(x-2)(x-4)=0
x=2 หรือ x=4

ดังนั้น จุดตัดกับแกน X คือ (2,0) และ (4,0)

ทางแยกกับ Y. Axis

จะได้จุดตัดกับแกน Y ถ้าค่า x = 0
y=x²-6x+8
y=0²-6(0)+8=8

ดังนั้น จุดตัดกับแกน Y คือ (0.8)

จุดสุดขีด

จุดสุดขั้วของฟังก์ชันกำลังสอง f(x)=ax²+bx+c นั่นคือ

ซึ่งหมายความว่าสำหรับฟังก์ชันกำลังสอง f(x)=x²-6x+8 จุดสุดขั้วมีดังนี้:

แกนสมมาตรคือ x=3 และค่าสุดขั้วคือ -1

จากข้อมูลเกี่ยวกับจุดตัดกับแกน X จุดตัดกับแกน Y และจุดสุดขั้ว เราสามารถวาดกราฟของฟังก์ชันกำลังสองได้

ระยะ หลังจากได้จุดตัดกับแกน X จุดตัดกับแกน Y และจุดสุดขั้วด้วย จากนั้นวาดจุดในพิกัดคาร์ทีเซียนแล้วเชื่อมต่อด้วยเส้นโค้งเรียบ

ในปัญหาตัวอย่างข้างต้น ฟังก์ชันกำลังสอง f(x)=x²-6x+8 มีจุดตัดกับแกน X (2.0) และ (4,0) จุดตัดที่มีแกน Y (0.8) และจุดสุดขั้ว (3,-1)

ภาพของจุดเหล่านี้ในพิกัดคาร์ทีเซียนอยู่ในรูปด้านล่าง

จากนั้นเชื่อมต่อจุดด้วยเส้นโค้งเรียบเพื่อให้ได้เส้นโค้งฟังก์ชันกำลังสอง f(x)=x .²-6x+8 ดังนี้:

คุณสมบัติของเส้นโค้งพาราโบลา

1. ขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์ "ɑ"

ค่าของ a มีฟังก์ชันเป็นตัวกำหนดทิศทางการเปิดกราฟ

• ถ้า a > 0 พาราโบลาจะเปิดขึ้นในขณะที่จุดเปลี่ยนมีค่าน้อยที่สุดจึงมีค่าต่ำสุด
• ถ้า < 0 พาราโบลาเปิดลงในขณะที่จุดเปลี่ยนสูงสุดจึงมีค่าสูงสุด

2. ขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์ "b"

ค่าของ b มีฟังก์ชันเป็นตัวกำหนดตำแหน่งของแกนสมมาตรบนกราฟ

• สำหรับ a และ b ที่มีเครื่องหมายเดียวกัน (a > 0, b > 0) หรือ (a < 0, b <0) แกนสมมาตรจะอยู่ทางด้านซ้ายของแกน y
• สำหรับ a และ b ที่มีเครื่องหมายต่างกัน (a < 0, b > 0) หรือ (a > 0, b < 0) แกนสมมาตรจะอยู่ทางด้านขวาของแกน y

3. ขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์ "c"

ค่าของ c มีฟังก์ชันเป็นตัวกำหนดจุดตัดกับแกน y

• ถ้า c > 0 กราฟของพาราโบลาตัดกับแกน y บวก
• ถ้า c < 0 กราฟของพาราโบลาตัดกับแกน y เชิงลบ

4. ขึ้นอยู่กับ D = b² – 4ac (เลือกปฏิบัติ)

• ถ้า D > 0 สมการกำลังสองมีรากจริงที่แตกต่างกันสองค่า
  พาราโบลาจะตัดแกน x ออกเป็นสองจุด สำหรับ D เป็นกำลังสองสมบูรณ์ รากทั้งสองนั้นมีเหตุผล ในขณะที่ D ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ ดังนั้นรากทั้งสองจึงเป็นรากที่ไม่ลงตัว
• ถ้า D = 0 สมการกำลังสองมีรากที่เท่ากันสองราก (รากคู่) เป็นจำนวนจริงและเป็นตรรกยะด้วย พาราโบลาจะสัมผัสแกน x
• ถ้า D < 0 สมการกำลังสองไม่มีรากจริงหรือรากทั้งสองไม่เป็นจริง (จินตภาพ) พาราโบลาจะไม่ตัดกันและจะไม่สัมผัสแกน x
  • สำหรับ D < 0 a > 0 พาราโบลาจะอยู่เหนือแกน x เสมอ หรือโดยทั่วไปเรียกว่าค่าคงที่เชิงบวก
  • สำหรับ D < 0, < 0 พาราโบลาจะอยู่ใต้แกน x เสมอหรือโดยทั่วไปเรียกว่าค่าคงที่เชิงลบ

รวบรวมฟังก์ชันกำลังสอง

1. ถ้ามันตัดกันบนแกน x ที่ (x₁,0) และ (x₂,0) แล้วสูตรที่ใช้คือ y = ƒ (x) = (x – x₁) (x – x₂).
2. ถ้าจุดยอด (x_พี, y_พี) แล้วสูตรที่ใช้คือ y = ƒ (x) = (x – x_พี)² + y_พี.
3. ถ้าสัมผัสแกน x ที่ (x₁,0) จากนั้นสูตรที่ใช้คือ: y = ƒ (x) = (x – x₁)²

สายสัมพันธ์กับพาราโบลา

ขึ้นอยู่กับ D = b² – 4ac ตำแหน่งของเส้นบนพาราโบลาแบ่งออกเป็น 3 ประเภท ได้แก่

1. D > 0 หมายถึงเส้นจะตัดกับพาราโบลาที่จุดสองจุด
2. D = 0 หมายถึง เส้นตัดกับพาราโบลา ณ จุดหนึ่ง (จุดตัด)
3. D < 0 หมายถึงเส้นไม่ตัดกันและจะไม่สัมผัสพาราโบลา

ตัวอย่างคำถามและการอภิปราย

ปัญหาที่ 1:

ถ้าฟังก์ชัน f(x)=px²-(p+1)x-6 ถึงค่าสูงสุดสำหรับ x=-1 จากนั้นกำหนดค่าของ p

ตอบ:

x=-1 คือแกนสมมาตร สูตรคือ -b/2a

ความหมาย: -b/2a=-1
-(-(p+1))/2(p)=-1
p+1=-2p
3p=-1
p=-1/3

ปัญหาที่ 2:

กำหนดจุดสุดขั้วและจุดตัดด้วยแกน X สำหรับฟังก์ชันกำลังสอง
f(x)=x²-20x+75.

ตอบ:
จุดสูงสุดของสูตร:

จุดตัดกับแกน X ถ้า y=0 สำหรับฟังก์ชันกำลังสอง y=x²-20x+75 จุดสุดขั้ว:

จุดตัดกับแกน X

x²-20x+75=0
(x-5)(x-15)=0
x=5 หรือ x=15 จุดตัดคือ (5,0) และ (15,0)

ปัญหาที่ 3:
พิกัดจุดหักเหของกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง y=x²+4x-6 คือ…

ตอบ:

พิกัดย้อนกลับของสูตรคือ:

ปัญหาที่ 4:

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า f(x) = -x² + 5x + c หากพิกัดของพีคเป็น 6 แล้วค่าของ c คือ...

ตอบ:

พิกัดของจุดยอด สูตร: -D/4a
-(5²-4(-1)ค)/4(-1) = 6
-(25+4c)/-4=6
-(25+4c)=-24
25+4c=24
4c=-1
ค=-1/4

ต่อไปเราจะยกตัวอย่างคำถามเกี่ยวกับ SNMPTN และ UN เกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสอง พิจารณาการอภิปรายด้านล่างให้ดี:

ปัญหาที่ 1 (มาดาส SNMPTN 2555)

หากภาพด้านล่างเป็นกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง f ที่มีจุดยอด (-2.0) และผ่านจุด (0,-4) ค่าของ f(-5) จะเป็น ...

1. -7
2. -8
3. -9
4. -10
5. -11

ตอบ:

เป็นที่ทราบกันว่าจุดยอด (x_พี, y_พี) = (-2,0) ผ่านจุด (x, y) = (0,-4)

สูตรที่เหมาะสมถ้าทราบจุดยอดคือ:

y = f(x) = a(x-x_พี )² + y_พี

ในการหาค่าของ a ให้ทำดังนี้

y = f(x) = a(x-x_พี)² + y_พี
y = a(x+2)² + 0
-4 = เอ (0+2)² + 0
-4 = 4a
ก = -1

ดังนั้นคุณจะได้รับ:
ฉ(x) = -(x + 2)², กับ f(-5)
ฉ(-5) = -(-5 + 2)² = -9

ดังนั้น คำตอบคือ: C

คำถามที่ 2 (มัตดาส SBMPTN 2013)

ถ้ากราฟของฟังก์ชันกำลังสอง f(x) = ax² + bx + c มีจุดยอด (8,4) และตัดแกน x ลบแล้ว ...

1. a > 0, b > 0 และ c > 0
2. a < 0, b < 0 และ c > 0
3. a < 0, b> 0 และ c < 0
4. a > 0, b > 0 และ c < 0
5. a < 0, b > 0 และ c > 0

ตอบ:

เป็นที่ทราบกันว่าจุดยอดคือ (8,4) ดังนั้นกราฟจึงเปิดลง จากนั้น:

< 0
x_พี = -b/2a = 8 เพราะ a < 0 → b > 0
D = ข² – 4ac เงื่อนไขสำหรับการตัดแกน x เป็นลบ D > 0 เพราะ b > 0 และ a < 0 แล้ว:
ข² – 4ac > 0
(+) – 4(-)c > 0
ค > 0

คำตอบก็คือ E

ปัญหาที่ 3 (คณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์ SBMPTN 2014)

เป็นที่ทราบกันว่าพาราโบลามีความสมมาตรเกี่ยวกับเส้น x = -2 และแทนเจนต์ของพาราโบลาอยู่ที่จุด (0,1) ขนานกับเส้น 4x + y = 4 จุดยอดของพาราโบลาคือ...

1. (-2,-3)
2. (-2,-2)
3. (-2,0)
4. (-2,1)
5. (-2,5)

ตอบ:

ให้สมการพาราโบลาเป็น y = ax² + bx + c พาราโบลาสมมาตรกับเส้น x_พี = -2 จากนั้นกำหนด x_พี = -b/2a =-2 → b = 4

เส้น 4x+y = 4 → m_ก = -4
เพราะมันขนานกัน แล้ว m_{พาราโบลา} = ม_ไลน์ = -4
ม_{พาราโบลา} = y
2ax + b = -4 ถึงจุด (0,1)
2a(0) + b = -4
ข = -4

เพื่อกำหนด x_พี และ y_พี:
ข = 4a
-4 = 4a
ก = -1

สมการพาราโบลา y = ax² + bx + c คือ: h ดังนี้
y = -x² – 4x + c ผ่านจุด (0,1)
1 = -0² – 4(0) + c
ค = 1

จากนั้นสามารถคำนวณได้ y = -x² – 4x + 1
x_พี = -b/2a = -(-4)/2(-1) = -2 และ y_พี = -(-2)² – 4(-2) +1= 5

ดังนั้นจุดยอดของพาราโบลาคือ (-2.5)

คำตอบก็คือ E

ปัญหาที่ 4 (UN 2008)

สมการของกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่ผ่านจุด A(1,0), B(3,0) และ C(0,-6) คือ …

1. y = 2x² + 8x – 6
2. y = -2x² + 8x – 6
3. y = 2x² – 8x + 6
4. y = -2x² – 8x – 6
5. y = -x²+ 4x – 6

ตอบ:

สำหรับจุด C (0,-6) → x = 0, y = – 6

สำหรับคะแนน A (1,0) และ B (3,0) → x₁ = 1, x₂ = 3

แล้วสูตรที่ใช้คือ y = a (x – x₁)(x – x₂)

y = a(x – 1)(x – 3)
– 6 = (0 – 1)(0 – 3)
– 6 = 3a
a = – 2

กำหนดฟังก์ชันกำลังสองได้อย่างไร:

y = a(x – x₁)(x – x₂)
y = – 2(x – 1)(x – 3)
y = – 2(x² – 4x + 3)
y = – 2x² + 8x – 6

ดังนั้น คำตอบคือ: B

คำถามที่ 5. (UN 2007)

ชมภาพ!

สมการกราฟของฟังก์ชันกำลังสองในรูปคือ...