ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (SPLDV)- สมการเชิงเส้นสองตัวแปรคือสมการที่มีตัวแปรสองตัวโดยที่กำลังหรือระดับของตัวแปรแต่ละตัวมีค่าเท่ากับหนึ่ง

รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรคือ:

ขวาน + โดย = c

โดยที่ x และ y เป็นตัวแปร แล้ว

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (SPLDV)

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรหรือสิ่งที่เรามักเรียกว่า SPLDV เป็นสมการเชิงเส้นสองสมการของตัวแปรสองตัวที่มีความสัมพันธ์ระหว่างพวกมันและมีคำตอบเดียว

รูปแบบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรคือ:ขวาน + โดย = c
px + qy = d

ข้อมูล:

• x และ y เรียกว่าเป็นตัวแปร
• a, b, p และ q เรียกว่าสัมประสิทธิ์
• c และ r เรียกว่าค่าคงที่

SPLDV โดยทั่วไปใช้เพื่อแก้ปัญหาในชีวิตประจำวันที่ต้องใช้คณิตศาสตร์

ตัวอย่างเช่น เมื่อคุณต้องการกำหนดราคาของสินค้า ให้มองหากำไรจากการขาย เพื่อกำหนดขนาดของวัตถุ

มีขั้นตอนบางอย่างในการแก้ปัญหาโดยใช้ SPLDV ได้แก่:

1. การแทนที่แต่ละปริมาณในปัญหาด้วยตัวแปร (ปกติจะแสดงด้วยตัวอักษรหรือสัญลักษณ์)
instagram viewer
2. สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหา แบบจำลองทางคณิตศาสตร์นี้ได้รับการกำหนดสูตรและเป็นไปตามรูปแบบทั่วไปของ SPLDV
3. ค้นหาวิธีแก้ปัญหาจากแบบจำลองปัญหาโดยใช้วิธีการแก้ปัญหา SPLDV

เงื่อนไข ค่าสัมประสิทธิ์ ค่าคงที่และตัวแปร

เผ่า เป็นส่วนหนึ่งของรูปแบบพีชคณิตที่สามารถประกอบด้วยตัวแปรและค่าสัมประสิทธิ์หรือในรูปของค่าคงที่ที่แต่ละเทอมจะถูกคั่นด้วยเครื่องหมายการดำเนินการของการบวก

ตัวอย่างเช่น:

5x-y + 8,

ในกรณีนั้น เงื่อนไขคือ 5x, -t และ 8

ตัวแปร เป็นการแทนที่ค่าหรือตัวเลขซึ่งโดยทั่วไปจะระบุด้วยตัวอักษรหรือสัญลักษณ์

ตัวอย่างเช่น:

กิลังมีแพะ 6 ตัว และวัว 3 ตัว

ถ้าเราเขียนคณิตศาสตร์ให้เป็น

พูดว่า: a = แพะ และ b = วัว

จากนั้น: 6a + 3b โดยที่ a และ b เป็นตัวแปร

ค่าสัมประสิทธิ์ เป็นตัวเลขระบุจำนวนตัวแปรที่คล้ายคลึงกัน

สัมประสิทธิ์สามารถเรียกว่าเป็นตัวเลขที่อยู่ข้างหน้าตัวแปรได้เนื่องจากการเขียนคำที่มีตัวแปรเป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ข้างหน้าตัวแปร

ตัวอย่างเช่น:

เศรษฐีวรรณมีแพะ 7 ตัว และวัว 3 ตัว

ถ้าเราเขียนคณิตศาสตร์เป็น

พูดว่า: a = แพะ และ b = วัว

จากนั้น: 7a + 3b ด้วย 7 และ 3 สัมประสิทธิ์

ด้วย 7 สัมประสิทธิ์ a และ 3 เป็นสัมประสิทธิ์ b

ค่าคงที่ เป็นตัวเลขที่ไม่ได้ตามด้วยตัวแปรเพื่อให้ค่าคงที่ (คงที่) สำหรับค่าตัวแปรใดๆ

ตัวอย่างเช่น:
5p + 3q – 10.

– 10 เป็นค่าคงที่เพราะไม่ว่าค่าของ p และ q จะเป็นค่า -10 อะไรก็ตาม ค่าของ p และ q จะเป็นค่าคงที่

วิธีแก้สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

1. วิธีการกำจัด

วิธีการกำจัดใช้เพื่อกำหนดชุดคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

การันกันคือการกำจัดหรือกำจัดตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งออกจากระบบสมการ

หากตัวแปรถูกประกาศด้วย x และ y เพื่อกำหนดตัวแปร x อันดับแรก เราต้องกำจัดตัวแปร y และในทางกลับกัน

ลองสังเกตว่าถ้าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งเท่ากัน เราก็สามารถกำจัดหรือกำจัดตัวแปรเหล่านี้ตัวใดตัวหนึ่งได้

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม เรามีตัวอย่างปัญหาด้านล่าง:

ตัวอย่าง:

ใช้วิธีการกำจัดกำหนดชุดคำตอบสำหรับระบบสมการ 2x + 3y = 6 และ x – y = 3 !

สารละลาย:

2x + 3y = 6 และ x – y = 3

ขั้นตอนแรกที่เราต้องทำคือกำจัดตัวแปร y

ในการกำจัดตัวแปร y ค่าสัมประสิทธิ์ y จะต้องเท่ากัน ดังนั้นสมการคือ: 2x + 3y = 6 คูณ 1 และสมการ

x – y = 3 คูณ 3
2x + 3y = 6 × 1 2x + 3y = 6
x – y = 3 × 3 3x – 3y = 9
5x = 15
x = 15/5
x = 3

ขั้นตอนที่สองที่เราต้องทำคือกำจัดตัวแปร x

ในทำนองเดียวกันในขั้นแรก ในการขจัดตัวแปร x สัมประสิทธิ์ของ x จะต้องเท่ากัน ดังนั้นสมการที่เราได้รับคือ 2x + 3y = 6 คูณ 1 และ
x – y = 3 คูณ 2
2x + 3y = 6 ×1 2x + 3y = 6
x – y = 3 ×2 2x – 2y = 6
5y = 0
y = 0/5
y = 0

ดังนั้น ชุดโซลูชันคือ {(3,0)}

2. วิธีการทดแทน

วิธีการแทนค่าเป็นวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวโดยใช้วิธีการแทนค่า

ซึ่งเราจะใช้โดยการกล่าวถึงตัวแปรตัวหนึ่งไปยังตัวแปรอื่นของสมการก่อน

จากนั้นแทนที่ (แทนที่) ตัวแปรลงในสมการอื่น

ตัวอย่าง:

ใช้วิธีการแทนค่า หาชุดคำตอบของสมการต่อไปนี้ 2x +3y = 6 และ x – y = 3

การแก้ไขปัญหา:

สมการ x – y = 3 เท่ากับ x = y + 3

โดยการแทนที่สมการ x = y + 3 ลงในสมการ 2x + 3y = 6 เราจะได้ข้อมูลต่อไปนี้:

2x + 3y = 6
ó 2 (y + 3) + 3y = 6
ó 2y + 6 + 3y = 6
ó 5y + 6 = 6
ó 5y + 6 – 6 = 6 – 6
ó 5y = 0

y = 0

จากนั้นเพื่อให้ได้ค่า x จากนั้นแทนที่ค่าของ y ลงในสมการ x = y + 3 เราจะได้
x = y + 3
ó x = 0 + 3
ó x = 3

ดังนั้น ชุดคำตอบคือ {(3,0)}

3. วิธีผสมผสาน

วิธีรวมเป็นวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นของตัวแปรสองตัวด้วยวิธีรวม โดยเราจะรวมวิธีการกำจัดและการทดแทน

ตัวอย่าง:

ใช้วิธีการรวมกันข้างต้น กำหนดชุดคำตอบของระบบสมการ 2x – 5y = 2 และ x + 5y = 6 !

การแก้ไขปัญหา:

ขั้นตอนแรกที่เราต้องทำคือใช้วิธีคัดออก เราจะได้:

2x – 5y = 2 ×1 2x – 5y = 2
x + 5y = 6 ×2 2x +10y = 12
-15y = -10
y = (-10)/(-15)
y = 2/3

จากนั้นแทนที่ค่าของ y ลงในสมการ x + 5y = 6 เราจะได้:
x + 5y = 6
ó x + 5 (2/3) = 6
ó x + 10/15 = 6
ó x = 6 – 10/15
ó x = 22/3

ดังนั้น ชุดคำตอบคือ {(2 2/3,2/3)}

4. วิธีการกราฟฟิค

การแก้ปัญหา SPLDV โดยใช้วิธีการแบบกราฟิกทำได้โดยการกำหนดพิกัดของจุดตัดของสองเส้นที่แสดงสมการเชิงเส้นสองสมการ

อย่างไรก็ตาม ก่อนที่จะใช้วิธีสร้างกราฟนี้ คุณต้องเรียนรู้วิธีวาดเส้นในสมการเชิงเส้นเสียก่อน

ต่อไปนี้เป็นขั้นตอนในการแก้ปัญหา SPLDV โดยใช้วิธีการกำจัด:

1. ลากเส้นแทนสมการทั้งสองในระนาบคาร์ทีเซียน
2.  กำหนดจุดตัดของกราฟทั้งสอง
3. คำตอบคือจุดบน (x, y)

ปัญหาใน SPLDV:

• สมการแรก: 2x + 3y = 8
• สมการที่สอง: 3x + y = 5

โซลูชัน SPLDV โดยใช้วิธีการแบบกราฟิก

ขั้นตอนที่ 1: วาดทั้งสองกราฟ

กำหนดจุดตัดของทั้งแกน x และ y ของสมการทั้งสอง

การแทนสมการทั้งสองในระนาบคาร์ทีเซียน

ขั้นตอนที่ 2: หาจุดตัดของกราฟทั้งสอง

ขั้นตอนที่ 3: วิธีแก้ปัญหาคือ (x, y)

จากภาพจะเห็นว่าจุดตัดอยู่ที่ x = 1 และ y = 2

จากนั้นพื้นที่สารละลายคือ (1, 2)

ตัวอย่างปัญหา

ต่อไปเราจะยกตัวอย่างคำถามเกี่ยวกับเรื่องราวและคำถามที่เคยอยู่ในสหประชาชาติ นี่คือรีวิวฉบับเต็ม

ปัญหาที่ 1

ลูกชายอยากกระโดดเชือก ตัวอย่างเช่น เชือกที่พระบุตรใช้นั้นมีความยาวสั้นกว่าความสูงของพระบุตร 70 ซม.

เพื่อไม่ให้เชือกไปติดอยู่ในร่างกายของ Son อย่างน้อยเชือกที่ใช้ต้องมีความยาวเป็นสองเท่าของขนาดก่อนหน้า

ดังนั้นถ้าวัดอีกครั้งขนาดความยาวของเชือกสองเท่าจะยาวกว่าความสูงของลูกชาย 30 ซม.

กำหนด ความยาวของเชือกที่ใช้และความสูงของลูกชายคืออะไร! และ กำหนด เชือกใช้ยาวแค่ไหนก็ไม่ติดศพลูกชาย!

ตอบ:

• ขั้นตอนแรกที่เราสามารถทำได้คือการแทนที่ปริมาณทั้งหมดที่มีอยู่ในปัญหาด้วยตัวแปร ที่นี่เราใช้ตัวอย่างเช่น:
  x = ความยาวของเชือก (ซม.) และ y = ความสูง (ซม.)

• สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหา

ความยาวของเชือกสั้นกว่าความสูงของคุมะมง 70 ซม. → x = y – 70 หรือ -x + y = 70

ความยาวของเชือกยาวกว่าความสูงของคุมะมง 30 ซม. ถึงสองเท่า → 2x = 30 + y หรือ 2x – y = 30

ดังนั้น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาข้างต้นคือ:

1. สมการที่ 1: -x + y = 70
2. สมการที่สอง: 2x – y = 30

จนมาถึงตรงนี้เธอคงเข้าใจ ขวา? ดี, หลังจากนี้เราจะกำหนดค่าของ x และ y โดยใช้วิธีการแก้ปัญหา SPLDV สี่วิธี ฟังอย่างระมัดระวังใช่

1. วิธีกราฟ

เราจะได้จุดตัดของสองเส้น คือ (x, y) = (100,170)

ก่อนหน้านี้ เราได้เปรียบเทียบความยาวของเชือกกับตัวแปร x และความสูงของ Son กับตัวแปร y

จึงสามารถกำหนดได้ ที่นี่ ความยาวของเชือกและความสูงของลูกชายคืออะไร ใช่ Yu! คำตอบคือ 100 ซม. สำหรับความยาวของเชือก และ 170 ซม. สำหรับความสูงของเด็กผู้ชาย

มันเป็นเรื่องง่าย? วิธีกราฟ นี้มักจะ มีประโยชน์ถ้าสัมประสิทธิ์และค่าคงที่ของสมการไม่ใช่จำนวนเต็มดังนั้นจะดีกว่าถ้าวาดเพื่อให้หาค่าของ x และ y ได้ง่ายขึ้น

2. วิธีการกำจัด

เป็นที่รู้จัก:

1. สมการที่ 1: -x + y = 70
2. สมการที่สอง: 2x – y = 30

ในการหาค่าของ x ให้เท่ากับสัมประสิทธิ์ y

-x + y = 70

2x – y = 30

เนื่องจากสัมประสิทธิ์ y ของสมการทั้งสองมีค่าเท่ากัน เราจึงสามารถแก้สมการได้โดยตรงโดยใช้การดำเนินการบวกลบค่า y

-x + y = 70

2x – y = 30
________ +
x = 100

ในการหาค่าของ y ให้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x

-x + y = 70 |x2|

2x – y = 30 |x1|

หากสัมประสิทธิ์ของ x จากสมการทั้งสองเท่ากัน ให้คูณสมการ I ด้วย 2 และคูณสมการ II ด้วย 1

จากนั้นให้แก้โดยใช้การดำเนินการบวกลบค่าของ x

-2x + 2y = 140

2x – y = 30
_________ +
y = 170

3. วิธีการทดแทน

เป็นที่รู้จัก:

1. สมการที่ 1: -x + y = 70
2. สมการที่สอง: 2x – y = 30

ในการหาค่าของ x ให้หาค่าของ y ก่อน

จากสมการ I: -x + y = 70 → y = 70 + x

จากนั้นแทนที่ค่าของ y เป็นสมการ II:

2x – y = 30

→ 2x-(70+x) = 30

→ 2x-70-x = 30

→ x-70 = 30

→ x= 100

หลังจากนั้นแทนค่า x ลงในสมการ y = 70 + x

y = 70 + x

→ y = 70 + 100

→ y= 170

จากวิธีการทดแทน เราได้ค่าสำหรับ x = 100 และ y = 170 ดังนั้นเราสามารถรู้ได้ว่าความสูงของลูกชายคือ 170 ซม. และเชือกที่ลูกชายใช้ในการกระโดดเชือกคือ 100 ซม.

4. วิธีผสมผสาน

เป็นที่รู้จัก:

1. สมการที่ 1: -x + y = 70
2. สมการที่สอง: 2x – y = 30

ตัวอย่างเช่น เราจะหาค่าของ x ก่อนโดยใช้วิธีการคัดออก ดังนั้น เพื่อกำหนดค่าของ x เท่ากับสัมประสิทธิ์ y

-x + y = 70

2x – y = 30

เนื่องจากสัมประสิทธิ์ y ของสมการทั้งสองมีอยู่แล้ว จึงสามารถแก้ไขได้โดยตรงโดยใช้การดำเนินการบวกเพื่อลบค่า y

x + y = 70

2x – y = 30
________ +
x = 100

หลังจากได้รับค่า x แล้ว ให้แทนที่ค่าของ x เป็นสมการใดสมการหนึ่งเพื่อให้ได้ค่า y

ตัวอย่างเช่น การแทนที่ค่าของ x เป็นสมการ I แล้ว:

-x + y = 70

→ 100 + y = 70

→ y = 70 + 100

→ y = 170

จากวิธีการรวมกันจะได้ค่า x = 100 และ y = 170 จะได้รู้ว่าความยาวของเชือกคือ 100 ซม. และความสูงของวงกลมคือ 170 ซม.

ต้องรู้ว่า วิธีการแบบผสมผสาน นี่คือ วิธีการที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้ปัญหา SPLDV masalah.

จากนั้นเราจะหาว่าต้องใช้เชือกนานแค่ไหนเพื่อให้ปุตราเล่นกระโดดเชือกได้โดยไม่โดนจับ

หากคุณอ่านคำถามตัวอย่างข้างต้นซ้ำ เราจะรู้ว่าอย่างน้อยเชือกจะต้องเป็น นานเป็นสองเท่า จากขนาดก่อนหน้า (2x)

เราจึงทราบแล้วว่าความยาวของเชือกที่ต้องใช้เพื่อไม่ให้ไปติดอยู่ในร่างกายของลูกชายคือ 2x = 2(100) = 200 ซม.

แม้จะดูยาวและซับซ้อน แต่ถ้าฝึกทำโจทย์ก็จะง่าย ทำไม. รักษาจิตวิญญาณ

คำถาม 1 (UN 2016)

ผู้ดูแลที่จอดรถได้รับ IDR 17,000.00 จากรถยนต์ 3 คันและมอเตอร์ไซค์ 5 คัน ในขณะที่จากรถยนต์ 4 คันและมอเตอร์ไซค์ 2 คัน จะได้รับ 18,000.00 รูเปียห์อินโดนีเซีย หากมีรถยนต์ 20 คัน และมอเตอร์ไซค์ 30 คัน จำนวนเงินที่หาได้จากที่จอดรถคือ….

ก. Rp135,000.00

ข. Rp115,000.00

ค. ฿110,000.00

ง. IDR 100,000.00

ตอบ:

ตัวอย่างเช่น:

รถยนต์ = x และ รถจักรยานยนต์ = y

ถาม: 20x + 30y = ???

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์:
3x + 5y = 17,000 ……(1)
4x + 2y = 18,000 ……(2)

การขจัดสมการ (1) และ (2) จะได้รับ:

3x + 5y = 17,000 | x4 |12x + 20y = 68.000
4x + 2y = 18,000 | x3 |12x + 6y = 54,000 –
14 ปี = 14,000
y = 14,000/14
y = 1,000

แทนค่าของ y = 1,000 เป็นสมการใดสมการหนึ่ง:

3x+ 5y = 17,000
3x + 5(1,000) = 17,000
3x + 5,000 = 17,000
3x = 17,000 – 5,000
3x = 12,000
x = 12,000/3
x = 4,000

ดังนั้น ค่าจอดรถ 1 คันคือ Rp. 4,000.00 และมอเตอร์ไซค์ 1 คันคือ Rp. 1,000.00
20x + 30y = 20(4,000) + 30(1,000)
= 80.000 + 30.000
= 110.000

ดังนั้น เงินที่จอดรถจำนวนมากที่คุณได้รับคือ Rp. 110,000.00

(คำตอบ: C)

คำถาม 2 (UN 2015)

ในกรงมีแพะและไก่ 13 ตัว ถ้าจำนวนขาของสัตว์คือ 32 2ก แสดงว่าจำนวนแพะและไก่ตามลำดับ….

ก. 3 และ 10

ข. 4 และ 9

ค. 5 และ 8

ง. 10 และ 3

ตอบ:

ตัวอย่างเช่น:

แพะ = x และ ไก่ = y

จำนวนขาแพะ = 4 และขาไก่ = 2

ถาม: จำนวนแพะและไก่ = …?

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์:
x + y = 13 ……(1)
4x + 2y = 32 ……(2)

การขจัดสมการ (1) และ (2) เราจะได้รับ:
x + y = 13 | x4 | 4x + 4y = 52
4x + 2y = 32 | x1 | 4x + 2y = 32 –
2y = 20
y = 20/2
y = 10
แทนค่าของ y = 10 ลงในสมการใดสมการหนึ่ง:
x + y = 13
x + 10 = 13
x = 13 – 10
x = 3

ดังนั้นจำนวนแพะ = 3 และไก่ = 10

(คำตอบ: A)

ดังนั้นการทบทวนสั้น ๆ ของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (SPLDV) ที่เราสามารถถ่ายทอดได้ หวังว่าบทวิจารณ์ข้างต้นจะสามารถใช้เป็นสื่อการเรียนรู้ของคุณได้