สมการกำลังสอง: นิยาม สูตร ปัญหาตัวอย่าง อภิปรายผล

ในวิชาคณิตศาสตร์ สมการกำลังสอง เป็นสมการของตัวแปรที่มีกำลังสูงสุดเป็นสอง

หรือมีคนบอกว่าถ้า สมการกำลังสองนี้เป็นสมการพหุนาม (หลายพจน์) ที่มีลำดับ (กำลัง) ของสอง

แล้วรูปแบบและวิธีการแก้สมการกำลังสองนี้คืออะไร? ตรวจสอบคำอธิบายแบบเต็มด้านล่าง

สมการกำลังสองมักเรียกอีกอย่างว่า สมการพาราโบลา เพราะหากแสดงรูปสมการกำลังสองในรูปพิกัด xy ก็จะเกิดกราฟพาราโบลา

เราสามารถเขียนสมการกำลังสองใน x ในรูปแบบทั่วไปต่อไปนี้:

รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสอง

y = ขวาน² + bx + c

ด้วย a, b, c R และ a 0

ข้อมูล:

• x เป็นตัวแปร
• a คือสัมประสิทธิ์กำลังสองของ x²
• b คือสัมประสิทธิ์เชิงเส้นของ x
• c เป็นค่าคงที่

คำตอบหรือคำตอบของสมการเรียกว่ารากของสมการกำลังสอง

ในขณะเดียวกัน สำหรับแนวคิดของกำลังสอง รากที่สองของจำนวน x เท่ากับจำนวน r ในลักษณะที่ว่า r2 = x หรืออีกนัยหนึ่งคือ ตัวเลข r ซึ่งถ้าเรายกกำลังสอง (ผลคูณของตัวเลขเอง) ค่าจะเท่ากับ x

สมการกำลังสอง

จากคำอธิบายข้างต้น จะเห็นได้ว่าค่าของสัมประสิทธิ์ a, b และ c เป็นตัวกำหนดรูปร่างพาราโบลาของฟังก์ชันสมการกำลังสองในพิกัด xy

สมการกำลังสองคือสมการที่มีค่ากำลังสูงสุดของตัวแปรเท่ากับ 2
รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองเขียนว่า:
ขวาน² + bx + c = 0, a≠0 และ a, b, c องค์ประกอบของR

ข้อมูล:

x คือตัวแปรของสมการกำลังสอง

a คือสัมประสิทธิ์ x²

b คือสัมประสิทธิ์ x

c เป็นค่าคงที่

นี่คือรีวิวฉบับเต็ม

• สัมประสิทธิ์ a มีลักษณะเว้าหรือนูนเส้นโค้งพาราโบลา.

ถ้าค่า a> 0 พาราโบลาจะเปิดขึ้น ถ้า < 0 พาราโบลาจะเปิดขึ้น ดูภาพด้านล่าง:

• สัมประสิทธิ์ b หาตำแหน่งบนสุดของพาราโบลา

สัมประสิทธิ์ b ในการกำหนดตำแหน่งของ x เป็นจุดสูงสุดของพาราบลาหรือแกนสมมาตรของเส้นโค้งที่เกิดขึ้นคือ x = –b/2a ดูภาพด้านล่าง:

• สัมประสิทธิ์ของ c หาจุดตัดของฟังก์ชันพาราโบลา ด้วยแกน y

ดูภาพด้านล่าง:

ชนิดของรากของสมการกำลังสอง

ในการหารากชนิดต่างๆ ของสมการกำลังสอง เราสามารถหาโดยใช้สูตร D = b2 – 4ac.

หากค่าของ D เกิดขึ้น เราจะสามารถหารากต่างๆ ได้อย่างง่ายดาย

ต่อไปนี้คือสมการกำลังสองบางประเภทโดยทั่วไป ได้แก่ :

1. รากจริง ( D 0 ):

»รากจริงต่างกันหากทราบ = D > 0

ตัวอย่างเช่น:

กำหนดประเภทของรากของสมการด้านล่าง:

• x2 + 4x + 2 = 0 !

ตอบ:

จากสมการ = x2 + 4x + 2 = 0 เราจะรู้ได้ว่า:

เป็นที่รู้จัก :

• a = 1
• ข = 4
• ค = 2

สารละลาย:

• D = b2 – 4ac
• ง = 42 – 4(1)(2)
• D = 16 – 8
• D = 8 ( D> 8 จากนั้นรูทก็เป็นรูทจริงด้วย แต่ต่างกัน )

»รากจริงเท่ากับ x1 = x2 ถ้าทราบว่า D = 0

ตัวอย่างเช่น:

พิสูจน์ว่าสมการต่อไปนี้มีรากจริงแฝด:

• 2×2 + 4x + 2 = 0

ตอบ:

จากสมการเหล่านี้ กล่าวคือ = 2×2 + 4x + 2 = 0, แล้ว

เป็นที่รู้จัก:

• a = 2
• ข = 4
• ค = 2

สารละลาย:

• D = b2 – 4ac
• ง = 42 – 4(2)(2)
• D = 16 – 16
• D = 0 ( D=0 พิสูจน์แล้วว่ารากมีจริงและแฝด )

2. จินตภาพ/ รากที่ไม่จริง ( D < 0 )

ตัวอย่างเช่น:

กำหนดประเภทของรากของสมการด้านล่าง:

• x2 + 2x + 4 = 0 !

ตอบ:

จากสมการ กล่าวคือ = x2 + 2x + 4 = 0, แล้ว

เป็นที่รู้จัก:

• a = 1
• ข = 2
• ค = 4

สารละลาย:

• D = b2 – 4ac
• ง = 22 – 4(1)(4)
• D = 4 – 16
• D = -12 ( D<0 ดังนั้นรากจึงไม่ใช่รากจริง )

3. รากเหตุผล ( D = k² )

ตัวอย่างเช่น:

กำหนดประเภทของรากของสมการด้านล่าง:

• x² + 4x + 3 = 0

ตอบ:

จากสมการเหล่านี้ กล่าวคือ = x² + 4x + 3 = 0 จากนั้น

เป็นที่รู้จัก:

• a = 1
• ข = 4
• ค = 3

สารละลาย:

• D = ข² – 4ac
• D = 4² – 4(1)(3)
• D = 16 – 12
• D = 4 = 2² = k²(เพราะว่าด=k²=4 ดังนั้นรูทของสมการจึงเป็นรูทตรรกยะ )

คุณสมบัติของรากของสมการกำลังสอง

สมการกำลังสองยังมีหลายประเภท นี่คือบางประเภทและคุณสมบัติ ดูบทวิจารณ์แบบเต็มด้านล่าง:

รากของสมการกำลังสองถูกกำหนดโดยค่าจำแนก (D = ข² – 4ac) โดยแยกประเภทรากของสมการกำลังสองออกเป็น 3 ประเภท ได้แก่

1. ถ้า D > 0 ดังนั้นสมการกำลังสองจึงมีรากจริงที่แตกต่างกันสองราก

• • ถ้า D เป็นกำลังสองสมบูรณ์ รากทั้งสองก็มีเหตุผล
  • ถ้า D ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ รากทั้งสองก็ไม่มีเหตุผล

1. ถ้า D = 0 จากนั้นสมการกำลังสองจะมีรากที่เท่ากันสองราก (รากคู่) เป็นจำนวนจริงและมีเหตุผลด้วย
2. ถ้า D < O, แล้วสมการกำลังสองไม่มีรากจริงหรือรากทั้งสองไม่จริง (จินตภาพ)

รูปแบบของการขยายตัวสำหรับรากที่แท้จริง ได้แก่ :

1. ทั้งรากที่เป็นบวก

รากทั้งสองเป็นค่าบวกถ้า:

• D 0

x₁ +x₂ > 0

x₁ x₂ > 0

2. ทั้งรากเชิงลบ Both

รากทั้งสองเป็นค่าลบถ้า:

• D 0

x₁ +x₂ < 0

x₁ x₂ > 0

3. รากทั้งสองเป็นสัญญาณที่แตกต่างกัน

รากทั้งสองมีสัญญาณต่างกันถ้า:

• D > 0

x₁ x₂ < 0

4. รากทั้งสองของเครื่องหมายเดียวกัน

รากทั้งสองเท่ากันถ้า:

• D 0

x₁ x₂ > 0

5. สองรากตรงข้ามกัน

รากทั้งสองจะตรงกันข้ามถ้า:

• D > 0

x₁ +x₂ = 0 (b = 0)

x₁ x₂ < 0

6. รากทั้งสองอยู่ตรงข้ามกัน

รากทั้งสองจะผกผันกันหาก:

• D > 0

x₁ +x₂ = 1 (ค = ก)

การหารากของสมการกำลังสอง 

มีสามวิธีหรือวิธีการในการหารากเพื่อแก้สมการกำลังสอง เหนือสิ่งอื่นใด กล่าวคือโดย: การแยกตัวประกอบ กำลังสองสมบูรณ์ และโดยใช้สูตร abc

ต่อไปนี้เป็นคำอธิบายสำหรับแต่ละวิธีในการหารากของสมการกำลังสอง

1. การแยกตัวประกอบ

การแยกตัวประกอบหรือการแยกตัวประกอบเป็นวิธีการหรือวิธีการหารากของสมการกำลังสองโดยการหาค่าซึ่งเมื่อคูณแล้วจะได้ค่าอื่น

สมการกำลังสองมีสามรูปแบบพร้อมการแยกตัวประกอบของรากที่แตกต่างกัน ได้แก่ :

เพื่อให้เข้าใจคำอธิบายข้างต้นมากขึ้น ให้พิจารณาคำถามตัวอย่างด้านล่าง:

แก้สมการกำลังสองต่อไปนี้โดยใช้ 5x. วิธีแยกตัวประกอบ²+13x+6=0!

ตอบ:

5x² + 13x = 6 = 0

5x² + 10x + 3x + 6 = 0

5x (x + 2) + 3(x + 2) = 0

(5x + 3)(x + 2) = 0

5x = -3

x = -3/5 หรือ x = -2

ดังนั้น สารละลายตั้ง HP = (-3/5, -2)

2. เพอร์เฟค สแควร์

ไม่สามารถหาสมการกำลังสองทั้งหมดได้โดยใช้วิธีการแยกตัวประกอบ

มีวิธีการหรือวิธีอื่นๆ ในการแก้สมการกำลังสองโดยการเติมกำลังสองสมบูรณ์

รูปแบบของสมการกำลังสองสมบูรณ์คือ รูปแบบของสมการที่จะทำให้เกิดจำนวนตรรกยะ

การแก้สมการกำลังสองโดยการเติมกำลังสองโดยทั่วไปจะใช้สูตรต่อไปนี้:

(x+p)² = x² + 2px + p²

แล้วแปลงเป็นรูปสมการใน (x+p)² = q

สารละลาย:

(x+p)² = q

x+p = ± q

x = -p ± q

เพื่อให้เข้าใจคำอธิบายข้างต้นของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบมากขึ้น ให้พิจารณาคำถามตัวอย่างด้านล่าง:

x² + 6x + 5 = 0

ตอบ:

x² + 6x +5 = 0

เปลี่ยนเป็น x² + 6x = -5

เพิ่มตัวเลขทางด้านซ้ายและด้านขวาเพื่อให้กลายเป็นกำลังสองสมบูรณ์

การบวกเลขนี้นำมาจากครึ่งหนึ่งของจำนวนสัมประสิทธิ์ที่ได้จากค่า x หรือครึ่งหนึ่งของ 6 กำลังสอง คือ 3²=9.

จากนั้นบวกเลข 9 ทางด้านซ้ายและด้านขวาด้วย ดังนั้นสมการจะกลายเป็น:

x² + 6x + 9 = -5 + 9

x² + 6x + 9 = 4

(x+3)² = 4

(x+3) = 4

x = 3 ± 2

• สำหรับ x+3 = 2

x = 2-3

x = -1

• สำหรับ x+3 = -2

x = -2-3

x = -5

ดังนั้นค่าสุดท้ายคือ x= -1 หรือ x = -5

3. สูตรกำลังสองหรือสูตร ABC

นอกจากจะใช้วิธีแยกตัวประกอบและการเติมกำลังสองสมบูรณ์แล้ว สมการกำลังสองยังแก้ได้โดยใช้สูตรกำลังสองหรือที่รู้จักกันทั่วไปว่า สูตร abc.

สูตรหรือสูตร

ค่าของรากของสมการกำลังสอง ax +bx + c = 0 ได้รับการแก้ไขโดยใช้สูตร abc ดังนี้

เพื่อให้เข้าใจคำอธิบายข้างต้นมากขึ้น ให้พิจารณาคำถามตัวอย่างด้านล่าง:

x² + 4x – 12 = 0

ตอบ:

x² + 4x – 12 = 0

a=1, b=4, c=-12

รวบรวมสมการกำลังสองใหม่

เขียนสมการถ้ารูตเป็นที่รู้จัก

ถ้าสมการกำลังสองมีราก x₁ เช่นเดียวกับ x₂ จากนั้นสมการกำลังสองสามารถแสดงในรูปแบบ:

(x-x₁)(x- x₂)=0

ตัวอย่างเช่น:

หาสมการกำลังสองโดยที่รากคือ -2 และ 3

ตอบ:

x₁ =-2 และ x₂=3
(x-(-2))(x-3)=0
(x+2)(x+3)
x²-3x+2x-6=0
x²-x-6=0

เขียนสมการกำลังสองถ้าคุณรู้ผลรวมและผลคูณของราก

ถ้าคุณรู้สมการกำลังสองที่มีราก x₁และ x₂ รู้จักกันดี (x₁₊ x₂) และ (x_1.x₂) จากนั้นสมการกำลังสองสามารถเกิดขึ้นได้ดังนี้:

x²-( x₁₊ x₂)x+(x_1.x₂)=0

ตัวอย่างเช่น:

ค้นหาสมการกำลังสองที่มีรากเป็น 3 และ -1/2 ด้วย!

ตอบ:

x₁=3 และ x₂= -1/2

x₁₊ x₂=3 -1/2 =6/2 – 1/2 = 5/2

x_1.x₂ = 3 (-1/2) = -3/2

ดังนั้น สมการกำลังสองคือ:

x²-( x₁₊ x₂)x+(x_1.x₂)=0

x²– 5/2 x – 3/2=0 (แต่ละด้านคูณด้วย 2)

2x²-5x-3=0

ตัวอย่างคำถามและการอภิปราย

ปัญหาที่ 1 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสอง

ถ้ารูปทั่วไปของสมการ x² – 4 = 3(x – 2) คือ ax² + bx + c = 0 แล้วค่าของ a, b และ c คือ ….
ก. 1, -3, 2
ข. 1, -2, 3
ค. 1, 3, -2
ง. 1, -3, -10

ตอบ:

ในการกำหนดค่าของ a, b และ c ก่อนอื่นเราต้องเปลี่ยนรูปแบบของคำถามเป็นรูปแบบทั่วไป

อย่างไร:

x² – 4 = 3(x – 2)
x² – 4 = 3x – 6
x² – 4 – 3x + 6 = 0
x² – 3x + 2 = 0
a = 1, b = -3 และ c = 2

คำตอบ: A

คำถามที่ 2 รากของสมการกำลังสอง

ถ้ารากหนึ่งของสมการกำลังสอง x² – 4x + c = 0 ซึ่งก็คือ 2 แล้วค่าของ c ที่ตรงตามสมการคือ ….

ก. ค = 2
ข. ค = 4
ค. ค = -4
ง. ค = -6

ตอบ:

ขั้นตอนแรกที่เราต้องทำคือแทนที่ค่าของ x = 2 ลงในสมการ ดังนั้น:

x² – 4x + c = 0
⇒ 2² – 4(2) + c = 0
4 – 8 + c = 0
-4 + c = 0
ค = 4

คำตอบ: B

ปัญหาที่ 3การหารากของสมการกำลังสอง

ถ้ารากหนึ่งของสมการกำลังสอง x² + 2x + c = 0 ซึ่งก็คือ 3 จากนั้นรากอื่น ๆ คือ….

ก. x = 5
ข. x = 3
ค. x = -5
ง. x = -15

ตอบ:

ขั้นตอนแรกที่เราต้องทำคือแทนที่ค่าของ x = 3 เพื่อหาค่าของ c:

x² + 2x + c = 0
⇒ 3² + 2(3) + c = 0
9 + 6 + ค = 0
15 + ค = 0
ค = -15

ขั้นตอนที่สองที่เราต้องทำคือแทนที่ค่าของ c เพื่อให้สมการกลายเป็น:

x² + 2x + c = 0
x² + 2x – 15 = 0

จากนั้นกำหนดค่ารูทโดยแฟคตอริ่ง:

(x + 5)(x – 3) = 0
x = -5 หรือ x = 3

คำตอบ: C

ปัญหาที่ 4 ชุดสมการกำลังสอง

ชุดคำตอบของสมการ: x² + 5x + 6 = 0 คือ…

ก. {-2, -3}
ข. {-2, 3}
ค. {-3, 2}
ง. {3, 4}

ตอบ:

โดยใช้วิธีแฟคตอริ่งแล้ว:

x² + 5x + 6 = 0
(x + 2)(x + 3) = 0
x = -2 หรือ x = -3
HP = {-2, -3}

คำตอบ: A

คำถามที่ 5. ผลรวมของรากของสมการกำลังสอง

ถ้ารากของสมการ x² – 3x – 10 = 0 คือ x₁ และ x₂, จากนั้นผลลัพธ์ของ x₁ +x₂ ร่วมกับ…

ก. x₁ +x₂ = 3
ข. x₁ +x₂ = 4
ค. x₁ +x₂ = 5
ง. x₁ +x₂ = 7

ตอบ:

โดยใช้วิธีแฟคตอริ่งแล้ว:

x² – 3x – 10 = 0
(x + 2)(x – 5) = 0
x₁ = -2 หรือ x₂ = 5

จำนวนรากคือ:

x₁ +x₂ = -2 + 5
x₁ +x₂ = 3

โดยใช้วิธีเร็ว กล่าวคือ

จาก x² – 3x – 10 = 0
Bro: a = 1, b = -3, c = -10

จำนวนรากคือ:

x₁ +x₂ = -b/a
x₁ +x₂ = -(-3)/1
x₁ +x₂ = 3

คำตอบ: A

คำถามที่ 6 การหารากอื่นของสมการกำลังสอง

หนึ่งในรากของสมการ 3x² – 2x + c = 0 คือ 2 รากอื่น ๆ คือ ….

ก. -4/5
ข. -4/3
ค. 3/4
ง. 4/3

ตอบ:

ขั้นตอนแรกที่เราต้องทำคือการแทนค่าของ x = 2 ลงในสมการ:

3x² – 2x + c = 0
⇒ 3(2)² – 2(2) + c = 0
3.4 – 4 + c = 0
12 – 4 + c = 0
8 + ค = 0
ค = -8

ขั้นตอนที่สองที่เราต้องทำคือการแทนที่ค่าของ c เพื่อให้สมการกลายเป็น:

3x² – 2x + c = 0
3x² – 2x + (-8) = 0
3x² – 2x – 8 = 0

โดยใช้วิธีการแฟคตอริ่ง:

3x² – 2x – 8 = 0
(3x + 4)(x – 2) = 0
x = -4/3 หรือ x = 2

ดังนั้น รูทอีกอันหนึ่งคือ -4/3

คำตอบ: B

คำถามที่ 7 การหาค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

ถ้ารากของสมการ x² + bx + c = 0 เช่น -1 กับ 3 แล้วค่าของ b ที่ตรงตามสมการคือ …..

ก. ข = 4
ข. ข = 2
ค. ข = -1
ง. ข = -2

ตอบ:

ขั้นตอนแรกที่เราต้องทำคือการแทนค่าของ x = -1 ลงในสมการ:

x² + bx + c = 0
⇒ (-1)² + b(-1) + c = 0
1 – b + c = 0
-b + c = -1
ค = ข – 1 …. (1)

ขั้นตอนที่สองที่เราต้องทำคือการแทนค่าของ x = 3 ลงในสมการ:

x² + bx + c = 0
⇒ (3)² + b(3) + c = 0
9 + 3b + c = 0
3b + c = -9 …. (2)

จากนั้นแทนสมการ (1) ลงในสมการ (2) เพื่อให้:
3b + c = -9
3b + (b – 1) = -9
4b – 1 = -9
4b = -9 + 1
4b = -8
ข = -2

คำตอบ: D

คำถามที่ 8 การทำ Perfect Squares ให้สมบูรณ์ 

สมการกำลังสองสมบูรณ์ x² – 6x – 7 = 0 คือ…

ก. (x + 3)² = 16
ข. (x – 3)² = 16
ค. (x – 4)² = 16
ง. (x – 5)² = 25

ตอบ:

ขั้นตอนแรกคือการสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบโดยการเปลี่ยนรูปร่างของ ax² + bx + c = 0 กลายเป็น

x² + b/ax = -c/a

รูปแบบสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบคือ:

x² – 6x – 7 = 0
x² – 6/1x = 7/1
x² – 6x = 7

อย่างที่สองคือทุกด้านรวมกันด้วยตัวเลขเดียวกัน ดังนั้น:
x² – 6x + (3)² = 7 + (3)²
x² – 6x + 9 = 7 + 9
(x – 3)² = 16

คำตอบ: B

ปัญหาที่ 9 การกำหนดประเภทรากของสมการกำลังสอง

ประเภทของรากของสมการ x² – 4x + 4 = 0 คือ…

ก. แฝดแท้
ข. ต่างกันจริง
ค. จินตนาการ
ง. เครื่องหมายตรงข้ามจริง

ตอบ:

ตามค่ารูท เราใช้วิธีการแฟคตอริ่ง กล่าวคือ:

x² – 4x + 4 = 0
(x – 2)(x – 2) = 0
x = 2 หรือ x = 2

ซึ่งหมายความว่ารากเป็นฝาแฝดที่แท้จริง

วิธีที่สองคือ:

ตรวจสอบค่าการเลือกปฏิบัติ จากนั้น:

D = ข² – 4ac
ด = (-4)² – 4(1)(4)
D = 16 – 16
D = 0

สำหรับ D = 0 รากเป็นฝาแฝดจริง

คำตอบ: A

คำถามที่ 10.การรวบรวมสมการกำลังสอง

สมการกำลังสองที่มีรากเป็น -2 และ 3 คือ...

ก. x² – 2x – 6 = 0
ข. x² – x + 6 = 0
ค. x² – x – 6 = 0
ง. x² + x – 6 = 0

ตอบ:

สมการกำลังสองคือ:

(x – x₁)(x – x₂) = 0
(x – (-2))(x – 3) = 0
(x + 2)(x – 3) = 0
x² – 3x + 2x – 6 = 0
x² – x – 6 = 0

คำตอบ: C

ดังนั้นการทบทวนสมการกำลังสองโดยย่อที่เราสามารถถ่ายทอดได้ หวังว่าการทบทวนสมการกำลังสองข้างต้นสามารถใช้เป็นสื่อการเรียนรู้ของคุณได้