ตรีโกณมิติ: เอกลักษณ์ สูตร อนุพันธ์ ตาราง ปัญหาตัวอย่าง

คุณเคยได้ยินคำว่า trogonometry หรือไม่? ตรีโกณมิติ เป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษามุม ด้าน และอัตราส่วนของมุมต่อด้าน

พื้นฐานที่ใช้ในตรีโกณมิติคือรูปทรงระนาบของสามเหลี่ยม

ทั้งนี้เนื่องจากความหมายของคำว่าตรีโกณมิตินั้นนำมาจากภาษากรีกซึ่งหมายถึงการวัดในสามมุมหรือสามเหลี่ยม อ่านการอภิปรายต่อไปนี้อย่างละเอียดถี่ถ้วน

ประวัติศาสตร์

ตรีโกณมิติมาจากภาษากรีก, ตรีโกณมิติซึ่งหมายถึงสามมุมและเมโทร = การวัดซึ่งเป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับมุมสามเหลี่ยมและฟังก์ชันตรีโกณมิติ

มุมเหล่านี้รวมถึงไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์

ตรีโกณมิติมีส่วนเกี่ยวข้องกับเรขาคณิตเป็นอย่างมาก แม้ว่าจะมีข้อขัดแย้งว่าเกี่ยวข้องกับอะไรก็ตาม สำหรับบางคน ตรีโกณมิติเป็นส่วนหนึ่งของเรขาคณิต

ประวัติศาสตร์ยุคต้น.

จุดเริ่มต้นของตรีโกณมิติสามารถพบได้ไกลเท่าอียิปต์โบราณและบาบิโลนและอารยธรรมลุ่มแม่น้ำสินธุซึ่งมีอายุมากกว่า 3000 ปี

นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียเป็นผู้บุกเบิกในการคำนวณตัวแปรพีชคณิตที่ใช้ในการคำนวณดาราศาสตร์และตรีโกณมิติ

Lagadha เป็นนักคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันมาจนถึงทุกวันนี้ซึ่งใช้เรขาคณิตและตรีโกณมิติในการคำนวณดาราศาสตร์ในหนังสือของเขา Vedanga, Jyotisha

ที่งานส่วนใหญ่ของเขาถูกทำลายเนื่องจากการรุกรานของอินเดีย

แม้ว่าเทอมไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์เป็นส่วนหนึ่งของตรีโกณมิติ แต่ก็เก่าแก่กว่าคำว่าตรีโกณมิติมากในประวัติศาสตร์ของการค้นพบ

คำว่าตรีโกณมิติถูกใช้ครั้งแรกในปี 1595 ในขณะเดียวกัน คำว่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ก็มีอยู่ในยุค 600 อย่างไรก็ตาม บทความนี้ไม่เพียงแต่จะกล่าวถึงประวัติของเงื่อนไขตรีโกณมิติเท่านั้น

ความหมายของคำว่าไซน์อยู่ไกลจากเนื้อหาของแนวคิด "ไซนัส" เป็นภาษาละติน แปลว่า "เต้านม"

แนวความคิดในการเปรียบเทียบด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉากในรูปสามเหลี่ยม ในภาษาสันสกฤตที่นิยมเรียกว่า "ชีวา"

จากนั้นในอารยธรรมอิสลามได้พัฒนาเป็น "จิบะ"

เนื่องจากการพัฒนาคำพูดในภาษาอาหรับกลายเป็น "ใจ" ซึ่งแปลว่า "หน้าอก" อย่างแท้จริง

ดี, เต้านมในภาษาละตินคือ "ไซนัส" รวมทั้งพัฒนาเป็น "ไซน์" ในภาษาอังกฤษ

ดังนั้นอย่าแปลกใจถ้าคุณพบคำว่าไซน์ในพจนานุกรมภาษาละตินซึ่งหมายถึง "เต้านม" แล้วโคไซน์ก็พัฒนาขึ้น "ไซนัสเสริม".

ในขณะที่คำว่า tangere พัฒนาขึ้นในหลายทศวรรษต่อมา ซึ่งมาจากคำภาษาละตินว่า "tangere" ซึ่งหมายถึงการสัมผัส

เริ่มจากแนวคิดของส่วนของเส้นตรง AB ที่แตะวงกลมที่ A แทนเจนต์คือความแตกต่างระหว่าง AB และ AO ในมุม BOA

นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Hipparchus ประมาณ 150 ปีก่อนคริสตกาล ได้รวบรวมตารางตรีโกณมิติเพื่อแก้สามเหลี่ยม

นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกอีกคนหนึ่งชื่อปโตเลมี ราวๆ ปีที่ 100 ได้พัฒนาการคำนวณเกี่ยวกับตรีโกณมิติเพิ่มเติม

ดังนั้นในปี 499 Aryabhata ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียจึงสร้างตารางครึ่งเปอร์เซ็นต์ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อตารางไซน์พร้อมกับตารางโคไซน์

เขาใช้ zya สำหรับไซน์ kotizya สำหรับ cosine และ otkram zya สำหรับ sinsang sangang และเขายังแนะนำ versinus

จากนั้นในปี พ.ศ. 628 มีนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียชื่อพรหมคุปต์ใช้สูตรนี้ สอดแทรกเพื่อคำนวณค่าไซน์เพื่อให้อันดับที่สองสำหรับสูตรการแก้ไข นิวตัน-สเตอร์ลิง.

นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซีย Omar Khayyam (1048-1131) ได้รวมตรีโกณมิติกับทฤษฎีการประมาณเพื่อให้วิธีการต่างๆ ในการแก้สมการพีชคณิตผ่านเรขาคณิต

จากนั้น Khayyam สามารถแก้สมการกำลังสามได้ x3 + 200x = 20×2 + 2000 และรับค่าพีคที่เป็นบวกสำหรับกำลังสามนี้โดยการข้ามไฮเปอร์โบลารูปสี่เหลี่ยมกับวงกลม

คำตอบของจำนวนโดยประมาณนั้นได้มาจากการประมาณค่าในตารางตรีโกณมิติ

นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย Bhaskara ได้ให้รายละเอียดวิธีการต่างๆ ที่ใช้ในการสร้างตารางไซน์สำหรับมุมต่างๆ ในปี ค.ศ. 1150

ร่วมกับครึ่งสูตรของไซน์และโคไซน์

Bhaskara ยังได้พัฒนาตรีโกณมิติทรงกลมอีกด้วย

Nasir al-Din Tusi นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซีย พร้อมด้วย Bhaskara อาจเป็นผู้คน คนแรกที่สามารถประมวลผลตรีโกณมิติเป็นวิชาคณิตศาสตร์ที่มีค่าสูง แตกต่างกัน

ในเรียงความเรื่องรูปสี่เหลี่ยม เขาเป็นคนแรกที่ระบุกรณีที่แตกต่างกันหกกรณีของสามเหลี่ยมมุมฉากในตรีโกณมิติทรงกลม

จากนั้นในศตวรรษที่ 14 al-Kashi ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียและ Ulugh Beg (หลานชายตะวันออก) ผู้เชี่ยวชาญ คณิตศาสตร์ Timurid ได้สร้างตารางฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการศึกษาดาราศาสตร์ พวกเขา

Bartholemaeus Pitiscus นักคณิตศาสตร์ชาวซิลีเซียน ได้ตีพิมพ์งานวิชาตรีโกณมิติในเวลาต่อมา ได้รับอิทธิพลในปี ค.ศ. 1595 ได้นำคำว่า "ตรีโกณมิติ" เป็นภาษาอังกฤษและภาษาอังกฤษ ฝรั่งเศส.

และในการประชุมครั้งนี้ ตรีโกณมิติที่จะกล่าวถึงคือตรีโกณมิติที่เกี่ยวข้องกับสูตรต่างๆ สำหรับผลรวมหรือผลต่าง และผลิตภัณฑ์นั้นดีสำหรับไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์

ตรีโกณมิติ หรือในภาษากรีกคือ trigonon = "three angles" และ metron = "measure" เป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาความสัมพันธ์ที่มีความยาวและมุมของสามเหลี่ยม

ตรีโกณมิตินี้ปรากฏที่ใดในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช (BC) ใน ยุคขนมผสมน้ำยาเพื่อศึกษาโหราศาสตร์

การวัดมุม

จากภาพข้างบนสรุปได้ว่าความเข้าใจ การวัดมุมเป็นหนึ่งในส่วนสำคัญในการวัดและการทำแผนที่กรอบงานหรือจุดรายละเอียด

ระบบการวัดมุมที่ใช้ก็ไม่เหมือนกัน

ระบบการวัดมุมในการทำแผนที่และการวัดอาจประกอบด้วย:

• ระบบวัดมุม Sexagesimal
• ระบบวัดมุมอารมณ์
• ระบบความผิดมุมเรเดียน

พื้นฐานสำหรับการวัดขนาดของมุมเท่ากับของวงกลมที่แบ่งออกเป็นสี่ส่วน และวงกลมนี้เรียกว่าจตุภาคซึ่งแบ่งออกเป็น 4 ส่วน ในหมู่พวกเขาคือ: Quadrant I, II, III และ จตุภาค IV.

สำหรับวิธี sexagesimal วงกลมสามารถแบ่งออกเป็น 360 ส่วนเท่า ๆ กันและแต่ละส่วนเรียกว่าองศา ดังนั้น 1 จตุภาคในวงกลมคือ = 900

1o = 60' 1' = 60" 1o = 3600"

การเปรียบเทียบตรีโกณมิติในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

สำหรับคำจำกัดความ พีการเปรียบเทียบตรีโกณมิติมุมฉากแรก- คือ:

และสำหรับคำจำกัดความ อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมฉากที่สอง, คือ:

ค่าเปรียบเทียบตรีโกณมิติสำหรับมุมพิเศษ

ค่าเปรียบเทียบมีหลายตารางที่จะช่วยให้คุณค้นหาผลลัพธ์ได้ง่ายขึ้น ตัวตารางเองมีตารางพิเศษ 2 แบบ

ชนิดไหน? ลองดูที่ตารางด้านล่าง:

ตารางเปรียบเทียบตรีโกณมิติมุมพิเศษแรก

ตารางเปรียบเทียบตรีโกณมิติสำหรับมุมพิเศษที่สอง

การเปรียบเทียบมุมและมุมสัมพันธ์ตรีโกณมิติ I

การเปรียบเทียบมุมและความสัมพันธ์เกี่ยวกับตรีโกณมิติเป็นส่วนเสริมของนิยามตรีโกณมิติพื้นฐานของความคล้ายคลึงกันในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งสามารถตอบสนองเฉพาะมุมในจตุภาคที่ 1 เท่านั้น และมุมแหลม (0 90°)

ตัวอย่างเช่น คุณสามารถดูภาพด้านล่าง!

การเปรียบเทียบมุมและมุมของความสัมพันธ์ทางตรีโกณมิติ II

สำหรับแต่ละเฉียบพลัน จากนั้น (90° + ) และ (180° ) จะสามารถผลิต จตุภาค II. มุม. ในตรีโกณมิติ ความสัมพันธ์ของมุมเหล่านี้สามารถแสดงได้ดังนี้:

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติคือความคล้ายคลึงกันที่มีอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติสามารถอธิบายความจริงของมันผ่าน สามทาง.

อันแรกเริ่มด้วยการทำให้ด้านซ้ายมือง่ายขึ้นโดยใช้อัตลักษณ์ก่อนหน้าจนกลายเป็นรูปเดียวกับด้านขวามือ

ประการที่สองคือการเปลี่ยนและทำให้ด้านขวาง่ายขึ้นเพื่อให้กลายเป็นรูปร่างเดียวกับด้านซ้าย

และวิธีที่สาม เปลี่ยนทั้งด้านซ้ายและด้านขวาให้เป็นแบบเดียวกัน

มีสูตรเอกลักษณ์ทางตรีโกณมิติหลายสูตรที่คุณควรรู้ ได้แก่

1. สูตรพื้นฐานที่ตรงกันข้าม

2. สูตรพื้นฐานที่เป็นความสัมพันธ์เปรียบเทียบ comparison

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับสูตรเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ เราจะอธิบายด้านล่างนี้:

สูตรเอกลักษณ์ตรีโกณมิติต่างๆ

1. สูตรผลรวมและผลต่างของมุมสองมุม

• สูตรบน โคไซน์ ผลรวมของความแตกต่างระหว่างสองมุมคือ:

cos (A + B) = cos A cos B – บาป A บาป B 
cos (A – B) = cos A cos B + บาป A บาป B

• สูตรบน ไซเน ผลรวมและผลต่างของมุมสองมุมคือ:

บาป (A + B) = บาป A cos B + cos A บาป B 
บาป (A – B) = บาป A cos B – cos A บาป B

• สูตรบน แทนเจนต์ ผลรวมและผลต่างของมุมสองมุมคือ:

tan A (A + B) = tan A + tan B/1 – แทน A x tan B
แทน A (A – B) = แทน A – แทน B/1 + แทน A x แทน B

2. สูตรสำหรับมุมสองเท่า

• โดยใช้สูตร sin (A + B) สำหรับ A = B มันจะกลายเป็น:

บาป 2A = บาป (A + B)
= บาป A cos A + cos A บาป A
= 2 บาป A cos A
ดังนั้น บาป 2A = 2 บาป A cos A

• โดยใช้สูตร cos (A + B) สำหรับ A = B มันจะกลายเป็น:

cos 2A = cos(A + A)
= cos A cos A – บาป A บาป
= cos 2A – บาป 2A ……………………(1)

หรืออาจจะเป็น

cos 2A = cos 2A – บาป 2A
= cos 2A – (1 – cos 2A)
= cos 2A – 1 + cos 2A
= 2 cos 2A – 1…………………………(2)

หรือ

cos 2A = cos 2A – บาป 2A
= (1 – บาป 2A) – บาป 2A
= 1 – 2 บาป 2A………….…(3)

จากสมการ (1), (2), (3) ข้างต้น จะได้สูตรใหม่ กล่าวคือ

cos 2A = cos 2A – บาป 2A
= 2 cos 2A – 1
= 1 – 2 บาป 2A

• โดยใช้สูตร tan (A + B) สำหรับ A = B แล้ว:

ผิวสีแทน 2A = ผิวสีแทน (A + A)
= แทน A + แทน A/1 แทน A x แทน A
= 2 ตัน A/1 – ตัน 2A
ดังนั้น แทน 2A = 2 แทน A/1 – แทน 2A

3. สูตรผลรวมและผลต่างของมุม 

4. สูตรคูณตรีโกณมิติทางคณิตศาสตร์

5. สูตรผลรวมและส่วนต่าง 

6. สูตรตรีโกณมิติครึ่งมุม

ตัวอย่างคำถามและการอภิปราย

1. ถ้า tan 5°= p. แล้วกำหนดค่าของ:

• ตาล 50°

ตอบ:

ผิวสีแทน 50° = สีแทน (45° + 5°)

= สีแทน 45° + สีแทน 5°/1 – สีแทน 45° x สีน้ำตาลแทน 5°

= 1 + p/1 – p

ดังนั้น, ค่าของสีแทน 50° คือ = 1 + p/1 – p

2. กำหนดค่าบาป 105° + บาป 15°

ตอบ:

จากปัญหาข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่าประเภทของปัญหาข้างต้นเป็นตัวอย่างของปัญหาการบวกตรีโกณมิติ

ดังนั้นเราจะเห็นสูตรการเติมบาปในคำอธิบายข้างต้น

สูตรคือ 2sin (A+B) cos (A-B)

ตอบ:

ค่าบาป 105° + บาป 15° = 2 บาป (105+15)°cos (105-15)°)
= 2 บาป (102)° cos (90)°
= บาป 60° cos 45°

จากนั้นค่าของบาป 105° + บาป 15° คือบาป 60° cos 45°

จึงเป็นรีวิวสั้น ๆ ในครั้งนี้ที่เราสามารถถ่ายทอดได้ หวังว่าบทวิจารณ์ข้างต้นจะสามารถใช้เป็นสื่อการเรียนรู้ของคุณได้