ฟังก์ชันผกผัน: คุณสมบัติ องค์ประกอบ ปัญหาตัวอย่าง อภิปราย

คุณเคยได้ยินคำตรงข้ามหรือไม่? เช่น ความสุขอยู่ตรงข้ามกับความเศร้า ส่วนสูงอยู่ตรงข้ามกับความสั้นเป็นต้น

เห็นได้ชัดว่าในวิชาคณิตศาสตร์เรียกอีกอย่างว่าคำตรงข้าม คุณรู้. สิ่งที่ตรงกันข้ามในวิชาคณิตศาสตร์พบได้ในฟังก์ชัน โดยเฉพาะในฟังก์ชันผกผัน

แล้วฟังก์ชันผกผันคืออะไร? ตรวจสอบการสนทนาต่อไปนี้

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผัน หรือที่เรียกว่าฟังก์ชันผกผัน คือฟังก์ชันที่อยู่ตรงข้ามกับฟังก์ชันดั้งเดิม

ฟังก์ชัน f มีฟังก์ชันผกผัน f^-1 ถ้า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและเป็นฟังก์ชันบน (bijective) ความสัมพันธ์นี้สามารถแสดงได้ดังนี้:

(f^-1)^-1 = ฉ

พูดง่ายๆ ฟังก์ชัน bijective เกิดขึ้นเมื่อจำนวนสมาชิกโดเมนเท่ากับจำนวนสมาชิก codomain

ไม่มีการแมปโดเมนที่ต่างกันตั้งแต่สองโดเมนขึ้นไปกับโคโดเมนเดียวกัน และแต่ละโคโดเมนก็มีหุ้นส่วนในโดเมน ดูภาพด้านล่าง:

ตามรูปภาพจากการทำแผนที่ด้านบน การทำแผนที่แรกแสดงฟังก์ชัน bijective

การทำแผนที่ที่สองไม่ใช่ฟังก์ชัน bijective เนื่องจากการทำแผนที่เกิดขึ้นในฟังก์ชันเท่านั้น

โดเมน d และ e ถูกแมปกับสมาชิกของโคโดเมนเดียวกัน การทำแผนที่ที่สามไม่ใช่ฟังก์ชัน bijective เนื่องจากการทำแผนที่เกิดขึ้นในฟังก์ชันแบบหนึ่งต่อหนึ่งเท่านั้น Codomain 9 ไม่มีหุ้นส่วนในสมาชิกโดเมน

ตัวอย่างเช่น f คือฟังก์ชันที่จับคู่ x กับ y ดังนั้นเราสามารถเขียนมันเป็น y = f (x) จากนั้น f-1 คือฟังก์ชันที่จับคู่ y กับ x เขียนเป็น x = f^-1(ย).

ตัวอย่างเช่น f: A →B เป็นฟังก์ชัน bijective ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชัน f คือฟังก์ชันที่กำหนดให้กับแต่ละองค์ประกอบของ B เพียงหนึ่งองค์ประกอบของ A

ค่าผกผันของฟังก์ชัน f ยังแสดงโดย f^-1 ดังนี้

มี 3 ขั้นตอนในการกำหนดฟังก์ชันผกผัน, ท่ามกลางคนอื่น ๆ:

1. แปลงรูปแบบ y = f (x) เป็นรูปแบบ x = f (y)
2. เขียน x เป็น f^-1(y) ดังนั้น f^-1(y) = ฉ(y)
3. เปลี่ยนตัวแปร y ด้วย x คุณจะได้สูตรสำหรับฟังก์ชันผกผัน f^-1(x).

ในฟังก์ชันผกผันมีสูตรพิเศษดังนี้:

ฟังก์ชันและองค์ประกอบ

ฟังก์ชันพีชคณิต

1. ซำ ฉ และ ก

(ฉ + ก) (x) = ฉ(x) + ก(x).

ตัวอย่างปัญหา:

เป็นที่รู้จัก ฉ(x) = x + 2 และ ก(x) = x² – 4. กำหนด (ฉ + ก)(x).

ตอบ:

(ฉ + ก)(x) = ฉ(x) + gx)
(ฉ + ก)(x)= x + 2 + x² – 4
(ฉ + ก)(x)= x² + x – 2

2. การลบ ฉ และ ก

(ฉ – ก)(x) = ฉ(x) – ก(x).

ตัวอย่างปัญหา

เป็นที่รู้จัก ฉ(x) = x² – 3x และ ก(x) = 2x + 1. กำหนด (ฉ – ก)(x).

ตอบ:

(ฉ – ก)(x) = ฉ(x) – ก(x)
(ฉ – ก)(x)= x² – 3x – (2x + 1)
(ฉ – ก)(x)= x² – 3x – 2x – 1
(ฉ – ก)(x)= x² – 5x – 1

3. การคูณ ฉ และ ก

(ฉ . ก)(x) = ฉ(x). ก(x).

ตัวอย่างปัญหา

เป็นที่รู้จัก ฉ(x) = x – 5 วัน ก(x) = x² + x กำหนด (ฉ × ก)(x).

ตอบ:

(ฉ × ก)(x) = ฉ(x). ก(x)
(ฉ × ก)(x)= (x – 5)(x² + x)
(ฉ × ก)(x)= x³ + x² – 5x² – 5x
(ฉ × ก)(x)= x³ – 4x² – 5x

4. แบ่งปัน ฉ และ ก

ตัวอย่างปัญหา

เป็นที่รู้จัก ฉ(x) = x2 – 4 และ ก(x) = x + 2. กำหนด

ตอบ:

ฟังก์ชันองค์ประกอบ

ฟังก์ชันการแต่งเพลงสามารถเขียนได้ดังนี้:

(ฉ ◦ ก)(x) = ฉ (ก (x))→ องค์ประกอบ g (ฟังก์ชัน f วงกลม g หรือฟังก์ชันการจัดองค์ประกอบโดยที่ g เสร็จสิ้นก่อน f)

รูปที่ 7

(ก ◦ ฉ)(x)= ก (ฉ (x))→ องค์ประกอบ f (ฟังก์ชัน g วงกลม f หรือฟังก์ชันการจัดองค์ประกอบโดยที่ f เสร็จก่อน g)

คุณสมบัติการทำงานองค์ประกอบ

1. ไม่มีสมบัติการสับเปลี่ยน (ฉ ◦ ก)(x) ≠ (ก ◦ ฉ)(x).
2. ใช้คุณสมบัติเชื่อมโยง (ฉ ◦(ก ◦ ห่า))(x) = ((ฉ ◦ ก)◦ ช)(x).
3. การมีอยู่ขององค์ประกอบเอกลักษณ์ (l)(x), (f l l)(x) = (l ◦ f)(x) = f (x)

ตัวอย่างปัญหา:

เป็นที่รู้จัก ฉ(x) = 2x – 1, ก(x) = x² + 2. จากนั้นระบุ:

1. (ก ◦ฉ)(x).
2. (ฉ ◦ก)(x).
3. สมบัติการสับเปลี่ยนมีผลใช้หรือไม่: ก ◦ฉ = ฉ ◦ก?

ตอบ:

1. (ก ◦ฉ)(x) = ก(ฉ(x)) = ก(2x – 1) = (2x – 1)² + 2 = 4x² – 4x + 1 + 2 = 4x² – 4x + 3
2. (ฉ ◦ก)(x) = ฉ(ก(x)) = ฉ(x² + 2) = 2(x² + 2) – 1 = 4x² + 4 – 1 = 4x² + 3
3. สมบัติการสับเปลี่ยนใช้ไม่ได้เพราะ ก ◦ฉ ¹ฉ ◦กรัม

ฟังก์ชันผกผัน

1. ฉ^-1 (x) เป็นตัวผกผันของฟังก์ชัน f(x)

2. กำหนดฟังก์ชันผกผัน: แทนที่ f(x)= y = …" กลายเป็น " ฉ^-1 (y)= x = …”

3. ความสัมพันธ์ระหว่างคุณสมบัติของฟังก์ชันผกผันและฟังก์ชันองค์ประกอบ:

1. (ฉ ◦ ฉ^-1)(x)= (ฉ^-1◦ ฉ)(x)= l (x)
2. (ฉ ◦ กรัม)^-1 (x)= (ก^-1◦ ฉ^-1)(x)
3. (ฉ ก)(x)= ห่า (x)→ ฉ (x)= (ห่า ก ^-1)(x)

ตัวอย่างคำถามและการอภิปราย

เพื่อให้เข้าใจฟังก์ชันผกผันได้ชัดเจนยิ่งขึ้น ลองทำกันดู ตัวอย่างปัญหา ต่อไปนี้

1. ค้นหาสูตรสำหรับฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชัน f(x) = 2x + 6

ตอบ:

2. กำหนดสูตรสำหรับฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันรูปภาพด้านล่าง:

3. (ดูที่ UI 2013 พื้นฐาน)

เป็นที่รู้จัก ฉ ^-1 (4x-5) = 3x-1 และ (ฉ^-1 ◦ ฉ)(5)= พี² +2p – 10 แล้วค่าเฉลี่ยของค่า p คือ...

1. -4
2. -2
3. -1
4. 1
5. 4

ตอบ:

ฉ (x) = y ฉ^-1 (y) = x
ฉ (5) = y
ฉ^–1 (4x-5) = 3x-1
ดังนั้น 3x-1 = 5
x = 2 และ y = 4x-5 = 3
x = 2

กำหนด p. ค่า

(ฉ^{– -1} ◦ ฉ)(5) = พี² + 2p-10
ฉ ^-1 (ฉ(5)) = พี² + 2p – 10
ฉ^—1(3) = พี² + 2p – 10
3(2)-1 = พี² + 2p – 10
พี² + 2p – 1 = 0
(p + 5)(p – 3) = 0
p = -5 และ p = 3

ดังนั้น ค่า p เฉลี่ยคือ

คำตอบคือ C

4.  (UN 2004)

การทำแผนที่ f: R→R กับ (g f)(x) = 2x² + 4 x + 5 และ ก.(x) = 2x + 3 แล้ว f(x)=…

1. x² + 2x + 1
2. x² + 2x + 2
3. 2x² +x+2
4. 2x² + 4x + 2
5. 2x² + 4x + 1

ตอบ:

กำหนด f(x)

(g f)(x) = 2x² + 4x + 5
ก.(ฉ(x)) = 2x² + 4x + 5
2(f(x)) + 3 = 2x² + 4x + 5
ฉ(x) = x² + 2x + 1

คำตอบ: A

5. (2010 SNMPTN พื้นฐาน)

ถ้า g (x – 2) = 2x – 3 และ (f g)(x – 2) = 4x² – 8x + 3 จากนั้น f(-3) =…

1. -3
2. 0
3. 3
4. 12
5. 15

ตอบ:

ก.(x – 2) = 2x – 3
(f ก.)(x – 2) = 4x² – 8x + 3
f(g(x – 2)) = 4x² – 8x + 3
f(2x – 3) = 4x² – 8x + 3

กำหนด f(-3)
ถ้า -3 = 2x – 3 แล้ว x = 0
ดังนั้น:
ฉ(-3) = 4(0)² – 8(0) + 3 = 3

คำตอบ: A

6. (ดู UI 2012 พื้นฐาน)

ให้ f: R→ R และ g: R→R, f (x) = x + 2 และ (g f)(x) = 2x² + 4x – 6 ให้ x. ด้วย₁และ x₂ คือรากของ g(x) = 0 จากนั้น x₁ + 2x₂ =…

ตอบ:

กำหนด ก.(x).

(g f)(x) = 2x² + 4x – 6
ก.(ฉ(x)) = 2x² + 4x – 6
ก.(x+2) = 2x² + 4x -6
ก.(x) = 2(x – 2)² + 4(x – 2) – 6 = 2x² – 8x + 8 + 4x – 8 – 6 = 2x² – 4x – 6

กำหนด x₁ + 2x₂

ก.(x) = 0
2x² – 4x – 6 = 0
x² – 2x – 3 = 0
(x-3)(x+1) = 0
x₁=3 →x₂ = -1 ดังนั้น 3
x₁ = 2x₂ = 3+2 (-1) = 1

หรือ

x₁ = -1 → x₂ = 3 ดังนั้น
x₁ + 2x₂ = (-1) + 2(3) = 5

คำตอบ: E

ดังนั้นการทบทวนสั้น ๆ ของฟังก์ชันผกผันที่เรานำเสนอ หวังว่าการทบทวนฟังก์ชัน Rational ข้างต้นสามารถใช้เป็นสื่อการเรียนรู้ของคุณได้