องค์ประกอบของเมทริกซ์: Order, Identity, Type, Transpose, Determinant, Inverse

องค์ประกอบเมทริกซ์หรือเมทริกซ์คือชุดของตัวเลขที่จัดเรียงเป็นแถวหรือคอลัมน์หรือทั้งสองอย่างและอยู่ในวงเล็บ

ตัวเลขต่างๆ ที่ประกอบเป็นเมทริกซ์เรียกว่า องค์ประกอบของเมทริกซ์ เมทริกซ์ใช้เพื่อทำให้การส่งข้อมูลง่ายขึ้น ดังนั้นการประมวลผลจะง่ายขึ้น

เมทริกซ์คือชุดของตัวเลขที่จัดเรียงเป็นแถวและคอลัมน์ และอยู่ในวงเล็บธรรมดาหรือวงเล็บเหลี่ยม -วิกิพีเดีย

ตัวอย่างง่ายๆ ในการหาเมทริกซ์ คุณสามารถดูภาพประกอบด้านล่าง:

คุณสามารถอ่านภาพประกอบด้านบนด้วยความเข้าใจดังนี้:

• a11 ถูกอ่านเป็นแถวที่ 1 และคอลัมน์ที่ 1
• a12 ถูกอ่านเป็นแถวที่ 1 และคอลัมน์ที่ 2
• amn ซึ่งหมายถึงแถวที่ m และคอลัมน์ที่ n

จำนวนแถวและคอลัมน์ในเมทริกซ์เรียกว่า ใบสั่ง.

ลำดับที่คุณต้องจำคือ แถวแล้วคอลัมน์ เมทริกซ์ในภาพประกอบด้านล่างมีลำดับ 2×3 เนื่องจากเมทริกซ์มีสองแถวและสามคอลัมน์

หากต้องการทราบเมทริกซ์ในวิชาคณิตศาสตร์อย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้น มีเมทริกซ์หลายประเภทที่คุณจำเป็นต้องรู้ เมทริกซ์ประเภทต่อไปนี้มีอยู่ในคณิตศาสตร์:

1. เมทริกซ์ศูนย์: เมทริกซ์ซึ่ง องค์ประกอบทั้งหมดเป็นศูนย์
2. เมทริกซ์แถว : เมทริกซ์ซึ่งเป็นเพียง มีหนึ่งบรรทัด
3. เมทริกซ์คอลัมน์ : เมทริกซ์ซึ่งเป็นเพียง มี หนึ่งคอลัมน์
instagram viewer
4. เมทริกซ์สี่เหลี่ยม: เมทริกซ์ซึ่ง มี จำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน
5. เมทริกซ์เอกลักษณ์: เมทริกซ์คงที่พร้อมองค์ประกอบ เส้นทแยงมุมหลักคือ 1

นอกจากเมทริกซ์หลายประเภทข้างต้นแล้ว ยังมีเมทริกซ์ที่เรียกว่า เมทริกซ์ทรานสโพส.

คุณจำได้ 'ขวา ถ้าเมทริกซ์แสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่เสมอ?

ตัวอย่างเช่น สัญลักษณ์ของเมทริกซ์คือ A

ดี, ทรานสโพสของเมทริกซ์ A จะแสดงด้วย A' (ด้วยเครื่องหมายอัญประกาศเดี่ยวด้านบน)

Self-transpose ใช้กับ วางแถวในเมทริกซ์ A ที่ใช้เป็นคอลัมน์ในเมทริกซ์ A'ในทางกลับกัน

นี่คือตัวอย่างของเมทริกซ์ทรานสโพส:

เมทริกซ์

ตัวอย่างเช่น เราจะให้ข้อมูลเกี่ยวกับชีวิตประจำวันที่เราสามารถใช้โดยใช้เมทริกซ์

ตัวอย่าง:

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าจำนวนการขายรถยนต์ประเภท A, B และ C โดยมีราคาขายรถยนต์แต่ละคันอยู่ที่ 146, 275 และ 528 (ล้าน) ในเมือง P, Q, R ได้แก่

เราสามารถเขียนข้อมูลการขายจากรถในรูปแบบของเมทริกซ์ด้วยรูปแบบต่อไปนี้:

• เมทริกซ์ราคารถยนต์คือ:
  
• เมทริกซ์ยอดขายคือ:
  

อย่างไร? แล้วมันง่ายกว่าไหม?

เมทริกซ์คำสั่ง

ในคำอธิบายข้างต้น เมทริกซ์ประกอบด้วยองค์ประกอบหลายอย่างที่จัดเรียงเป็นแถวและคอลัมน์

หากจำนวนแถวในเมทริกซ์คือ m และจำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์คือ n เมทริกซ์จะมีลำดับเมทริกซ์หรือขนาด m x n

คุณต้องการให้ m และ n เป็นเพียงสัญกรณ์ ดังนั้นจึงไม่ได้รับอนุญาตให้ทำการคำนวณ (การบวก การคูณ)

ในตัวอย่างจำนวนเมทริกซ์ยอดขายรถยนต์ข้างต้น เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า:

• จำนวนแถว m = 3
• จำนวนคอลัมน์ n = 3
• ลำดับเมทริกซ์ m x n = 3 x 3

การตั้งชื่อหรือสัญกรณ์ของเมทริกซ์โดยใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่ ในขณะที่องค์ประกอบในนั้นใช้อักษรตัวพิมพ์เล็กตามการตั้งชื่อเมทริกซ์และได้รับดัชนี ij

ดัชนีแสดงถึงตำแหน่งขององค์ประกอบเมทริกซ์ กล่าวคือในแถว i และคอลัมน์ j ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ก่อนหน้าสำหรับเมทริกซ์การขายรถยนต์:

โดยที่ e12 = 56 เป็นองค์ประกอบของเมทริกซ์ซึ่งอยู่ในแถวที่ 1 (i = 1) เช่นเดียวกับคอลัมน์ที่ 2 (j = 2) ในทำนองเดียวกันกับองค์ประกอบเมทริกซ์อื่นๆ

ในเมทริกซ์เมทริกซ์ ยังมีเส้นทแยงมุมสองประเภท ได้แก่ เส้นทแยงหลักและเส้นทแยงมุมรอง

เส้นทแยงมุมหลัก เป็นองค์ประกอบต่างๆ ที่สามารถสร้างเครื่องหมายทับได้

ในขณะที่สำหรับ เส้นทแยงมุมรอง คือส่วนกลับของเครื่องหมายทับของเส้นทแยงมุมหลัก

พิจารณาภาพเมทริกซ์ต่อไปนี้:

เส้นทแยงมุมหลักคือองค์ประกอบ 34, 36, 46 ในขณะที่เส้นทแยงมุมรองคือองค์ประกอบ 41, 36, 51

เมทริกซ์เอกลักษณ์

เมทริกซ์แนวทแยงที่มีองค์ประกอบแนวทแยงหลักต่างๆ ที่มีค่า 1 เรียกว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์

โดยทั่วไป เมทริกซ์เอกลักษณ์จะแสดงด้วย "I" ตัวอย่างเช่น:

ประเภทของเมทริกซ์

ดังที่เราได้กล่าวไว้ข้างต้น ตัวชี้วัดมีหลายประเภท แต่คราวนี้เราจะพูดถึงประเภทของเมทริกซ์ตามจำนวนแถวและคอลัมน์และรูปแบบขององค์ประกอบเมทริกซ์ มีรายละเอียดดังนี้:

1. เมทริกซ์แถวและเมทริกซ์คอลัมน์

เมทริกซ์แถวคือเมทริกซ์ที่มีเพียงแถวเดียว ในขณะเดียวกัน เมทริกซ์ของคอลัมน์ก็คือเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เดียวเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น:

A = (1 4) หรือ B = (3 7 9) เป็นเมทริกซ์แถว

2. Square Matrix

เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือเมทริกซ์ที่มีจำนวนคอลัมน์และแถวเท่ากัน เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีลำดับ n

ตัวอย่างเช่น:

เป็นเมทริกซ์กำลังสองของลำดับ 3 หรือ

เป็นเมทริกซ์กำลังสองของลำดับ 2

3. สามเหลี่ยมบนและเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง

เมทริกซ์สามเหลี่ยมบนเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส A ซึ่งมีองค์ประกอบเมทริกซ์ a_อิจ = 0 สำหรับ i > j หรือองค์ประกอบของเมทริกซ์ใต้เส้นทแยงมุมหลักซึ่งเป็น 0

ในขณะที่เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส A ซึ่งมีองค์ประกอบเมทริกซ์ a_อิจ = 0 สำหรับ i <j หรือองค์ประกอบต่างๆ ของเมทริกซ์ที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลักที่มีค่าเป็น 0

ตัวอย่างเช่น:

 ต่อไปนี้เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน ในขณะที่

 ต่อไปนี้เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง

4. เมทริกซ์แนวทแยง

เมทริกซ์แนวทแยงเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส A ซึ่งมีองค์ประกอบเมทริกซ์ a_อิจ = 0 สำหรับ i j หรือองค์ประกอบต่างๆ ของเมทริกซ์นอกเส้นทแยงมุมหลักที่มีค่าเป็น 0

ตัวอย่างเช่น:

5. เมทริกซ์สเกลาร์

เมทริกซ์สเกลาร์เป็นเมทริกซ์แนวทแยงที่มีองค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมหลักที่มีค่าเท่ากัน

ตัวอย่างเช่น:

6. เมทริกซ์เอกลักษณ์

ดูคำอธิบายข้างต้นอีกครั้ง

7. เมทริกซ์สมมาตร

เมทริกซ์สมมาตรคือเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส A ซึ่งมีองค์ประกอบเมทริกซ์แถวที่ I เท่ากับองค์ประกอบเมทริกซ์คอลัมน์ที่ j สำหรับ i = j หรือเรียกได้ว่าเป็นองค์ประกอบ a_อิจ เช่นเดียวกับองค์ประกอบ

ตัวอย่างเช่น:

จะเห็นว่าองค์ประกอบของแถวที่ 1 เท่ากับคอลัมน์ที่ 1 แถวที่ 2 เท่ากับคอลัมน์ที่ 2 และแถวที่ 3 เท่ากับคอลัมน์ที่ 3

เมทริกซ์ทรานสโพสp

การย้ายเมทริกซ์กำลังเปลี่ยนแถวเป็นคอลัมน์และในทางกลับกัน

ย้ายเมทริกซ์ของ A_mxn เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาด (n x m) และสัญกรณ์A^ตู่. หากเมทริกซ์ A ถูกย้าย แถวที่ 1 จะกลายเป็นคอลัมน์ที่ 1 แถวที่ 2 จะกลายเป็นคอลัมน์ที่ 2 ไปเรื่อยๆ

ตัวอย่างเช่น:

คุณสมบัติของเมทริกซ์ทรานสโพส คือ: (A^ตู่)^ตู่ = เอ

หลังจากรู้สั้น ๆ เกี่ยวกับเมทริกซ์แล้ว เราจะให้คำอธิบายเกี่ยวกับวิธีการดำเนินการเมทริกซ์ในวิชาคณิตศาสตร์ ซึ่งรวมถึงการบวก การคูณ ดีเทอร์มีแนนต์ และผกผัน อ่านคำอธิบายด้านล่างอย่างละเอียดใช่

เมทริกซ์การบวกและการลบ

เราเพิ่มเมทริกซ์ตั้งแต่สองตัวขึ้นไปได้ก็ต่อเมื่อมีลำดับเดียวกัน

การเพิ่มทำได้โดยการเพิ่มองค์ประกอบที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกัน ตัวอย่างเช่น:

แล้ว:

เช่นเดียวกับการบวก เราสามารถลบเมทริกซ์ได้ก็ต่อเมื่อมีเมทริกซ์ตั้งแต่สองตัวขึ้นไป

มีคำสั่งเหมือนกัน การลบจะทำในองค์ประกอบที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกัน

ตัวอย่างเช่น:

แล้ว:

คุณสมบัติของการบวกและการลบในเมทริกซ์ ได้แก่ :

• A + B = B + A
• (A + B) + C = A + (B + C)
• A – B B – A

การคูณเมทริกซ์

เราสามารถสร้างเมทริกซ์โดยใช้จำนวนเต็มหรือเมทริกซ์อื่น

การคูณทั้งสองมีเงื่อนไขที่แน่นอนของแต่ละรายการ นี่คือคำอธิบายแบบเต็ม:

การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนเต็ม

เราสามารถคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนเต็มได้ แล้วผลลัพธ์ของการคูณสามารถอยู่ในรูปของ เมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบซึ่งเป็นผลคูณของตัวเลขที่มีองค์ประกอบของเมทริกซ์ ที่.

ถ้าเมทริกซ์ A คูณด้วยจำนวน r แล้ว r A = (ร.a_อิจ)

ตัวอย่างเช่น:

ถ้า และจำนวน r = 2 แล้ว:

การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนเต็มที่ผสมกับการบวกหรือการลบเมทริกซ์สามารถทำได้ในเมทริกซ์ที่มีลำดับเดียวกัน

นี่คือคุณสมบัติสองประการของการคูณ:

• r(A + B) = rA + rB
• r(A – B) = rA – rB

การคูณเมทริกซ์สองตัว

การคูณระหว่างเมทริกซ์สองตัว คือ การคูณเมทริกซ์ A และ B เราทำได้ถ้าจำนวนคอลัมน์ใน A เท่ากับจำนวนแถวใน B

การคูณจะเป็นเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวเท่ากันกับเมทริกซ์ A และจำนวนเดียวกันกับเมทริกซ์ B ดังนั้น:

ภาพ

องค์ประกอบเมทริกซ์ C_(mxs) คือผลรวมของผลคูณขององค์ประกอบต่างๆ ของแถวที่ i ของเมทริกซ์ A กับคอลัมน์ที่ J ของเมทริกซ์ B นี่คือภาพแผนผัง:

ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ A มีลำดับ (3 x 4) และเมทริกซ์ B มีลำดับ (4 x 2) จากนั้นเมทริกซ์ C มีลำดับ (3 x 2)

องค์ประกอบ C ที่อยู่ในแถวที่ 2 และคอลัมน์ที่ 2 หรือ a₂₂ ได้มาจากผลรวมของผลลัพธ์ขององค์ประกอบต่างๆ ของแถวที่ 2 ของเมทริกซ์ A และคอลัมน์ที่ 2 ของเมทริกซ์ B ตัวอย่างเช่น:

แล้ว:

จำไว้ว่าคุณสมบัติของการคูณเมทริกซ์สองตัวคือ:

ก x ข ข x ก

เป็นที่ทราบกันดีว่าเป็นหลักฐาน: แล้ว:

พิสูจน์แล้วว่า A x B B x A มีคุณสมบัติอื่นๆ อีกหลายประการของการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขหรือโดยเมทริกซ์อื่นๆ ได้แก่:

• k(AB) = (kA)B
• เอบีซี = (AB) C = เอ (BC)
• A(B + C) = AB + AC
• (A + B) C = AC + BC

เมทริกซ์ดีเทอร์มิแนนต์

ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ A ถูกกำหนดไว้ในวงเล็บ ดังนั้นมันจึงเขียนเป็น |A| ดีเทอร์มิแนนต์สามารถทำได้บนเมทริกซ์กำลังสองเท่านั้น

ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ของคำสั่ง 2×2

ถ้า แล้วดีเทอร์มีแนนต์ของ A คือ:

ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ของคำสั่ง 3×3 (กฎซาร์รัส)

ถ้า แล้วดีเทอร์มีแนนต์ของ A คือ:

= aei + bfg + cdg – ceg – afh – bdi

ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. ดีเทอร์มิแนนต์ A = ดีเทอร์มิแนนต์ A^ตู่

2. เครื่องหมายของดีเทอร์มีแนนต์เปลี่ยนแปลงเมื่อ 2 แถว/2 คอลัมน์ที่อยู่ติดกันในเมทริกซ์ถูกสลับ

3. หากแถวหรือคอลัมน์ในดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์มีตัวประกอบ p ดังนั้น p จะถูกลบออกเป็นตัวคูณได้

4. หากมีสองแถวหรือสองคอลัมน์ที่คูณกัน ค่าของดีเทอร์มีแนนต์จะเป็น 0

5. ค่าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนหรือล่างเป็นผลคูณขององค์ประกอบในแนวทแยงต่างๆ เท่านั้น

เมทริกซ์ผกผัน

เมทริกซ์ A มีค่าผกผัน หากมีเมทริกซ์ B ที่สามารถสร้างสมการ AB = BA = I โดยที่ I คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

ค่าผกผันของเมทริกซ์ของลำดับ (2 x 2) like สามารถกำหนดเป็น:

เมทริกซ์ผกผันมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• อา^-1 = เอ^-1A = ฉัน
• (อา^-1)^-1 = เอ
• (เอบี)^-1 = B^-1อา^-1
• ถ้า AX = B แล้ว X = A^-1บี
• ถ้า XA = B แล้ว X = BA^-1

ตัวอย่างเมทริกซ์คำถามและการอภิปราย

ปัญหาที่ 1

การคูณเมทริกซ์ สร้างเมทริกซ์ศูนย์ กำหนดค่าของ x ที่ตรงตามสมการ!

ตอบ:

แล้วค่าของ x ที่ตรงคือ x₁ = 2 และ x₂ = 3.

คำถามที่ 2

หากมีเมทริกซ์  ผกผันกัน กำหนดค่าของ x!

ตอบ:

เป็นที่ทราบกันดีว่าเมทริกซ์ทั้งสองนั้นผกผันกัน จากนั้นเงื่อนไข AA syarat จะถูกนำมาใช้ will^-1 = เอ^-1เอ = ฉัน

ดังนั้น:

เพื่อให้องค์ประกอบแถวที่ 1 คอลัมน์ที่ 1 มีสมการต่อไปนี้:

9(x – 1) – 7x = 1

9x – 9 – 7x = 1

2x = 10

x = 5

ปัญหาที่ 3

หากมีเมทริกซ์ ดังนั้น A = B^ตู่ ค่าของ c คืออะไร?

ตอบ:

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า A = B^ตู่

เพื่อให้เราได้สมการใหม่ 4 สมการจากองค์ประกอบของเมทริกซ์ ได้แก่

• 1/2 a = 2 c = 3b (สมการที่ 1)
• 2 = a (สมการที่ 2)
• b = 2a + 1 (สมการที่ 3)
• (สมการที่ 4)

จากสมการข้างต้น เราสามารถแทนสมการเพื่อให้ได้ค่า c ได้ดังนี้

a = 2 ดังนั้น:

b = 2a + 1 = 2(2) + 1 = 5

และ

จึงเป็นรีวิวสั้น ๆ ในครั้งนี้ที่เราสามารถถ่ายทอดได้ หวังว่าบทวิจารณ์ข้างต้นจะสามารถใช้เป็นสื่อการเรียนรู้ของคุณได้