หนึ่งอสมการเชิงเส้นตัวแปร

หนึ่งตัวแปรอสมการเชิงเส้น - ตัวแปรความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นหนึ่งตัวแปรคือประโยคเปิดที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวและมีดีกรีหนึ่งและมีความสัมพันธ์ ( > หรือ < ).

ตัวอย่างเช่น ดูประโยคบางประโยคดังต่อไปนี้:

1. X > 9
2. 3x – 3 < 8
3. 3b > ข + 6
4. 5n – 3 < 3n + 2

ประโยคเปิดบางประโยคด้านบนใช้ยัติภังค์เช่น , > หรือ <. ซึ่งบ่งชี้ว่าประโยคนั้นเป็นความไม่เท่าเทียมกัน

อสมการเหล่านี้แต่ละตัวมีตัวแปรเดียวเท่านั้น คือ x, a และ n ความไม่เท่าเทียมกันนี้เรียกว่าอสมการตัวแปรเดียว ตัวแปร (ตัวแปร) ของอสมการข้างต้นต่อกำลังของหนึ่งหรือเรียกอีกอย่างว่าดีกรีหนึ่งเรียกว่าอสมการเชิงเส้น

หนึ่งตัวแปรความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น เป็นประโยคเปิดที่มีตัวแปรเดียวและระดับหนึ่งและมีความสัมพันธ์ ( หรือ £ )

รูปแบบทั่วไปของ PtLSV ในตัวแปรสามารถแสดงได้ดังนี้:

ax + b < 0, ax + b > 0 หรือ ax + b > 0 หรือขวาน + b < 0ด้วย a < 0, a และ b เป็นจำนวนจริง

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของ PtLSV โดยใช้ตัวแปร x ได้แก่:

1. 3x – 2 < 0
2. 3x – 2 < 0
3. 5x – 1 > 8
4. 3x + 1 > 2x – 4
5. 10 < 2(x + 1)

คุณสมบัติของอสมการเชิงเส้นหนึ่งตัวแปร

คล้ายกับในสมการเชิงเส้นแบบตัวแปรเดียว การหาคำตอบของอสมการเชิงเส้นแบบตัวแปรเดียวสามารถทำได้โดยใช้วิธีการแทนที่

อย่างไรก็ตาม คุณยังทำได้โดยลบ บวก คูณ หรือหารอสมการทั้งสองข้างด้วยจำนวนเดียวกัน

ความไม่เท่าเทียมกัน ในวิชาคณิตศาสตร์เป็นประโยคหรือข้อความทางคณิตศาสตร์ที่แสดงการเปรียบเทียบขนาดของวัตถุสองชิ้นขึ้นไป

เช่นเดียวกับใน A < B อสมการเชิงเส้นหนึ่งตัวแปร x และ C เป็นค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์

ความไม่เท่าเทียมกัน A < B เทียบเท่ากับ:

1. A + C < B + C
2. A – C < B – C
3. A x C < B x C ถ้า C > 0 สำหรับ x. ทั้งหมด
4. A x C > B x C ถ้า C < 0 สำหรับ x. ทั้งหมด
5. A/C < B/C ถ้า C > 0 สำหรับ x. ทั้งหมด
6. A/C > B/C ถ้า C < 0 สำหรับ x. ทั้งหมด

คุณต้องทราบคุณสมบัติบางอย่างข้างต้นใช้กับสัญลักษณ์ ">" หรือ "<”.

ตัวอย่างคำถาม PtLSV และวิธีแก้ปัญหา

ด้านล่างนี้ เราจะยกตัวอย่างของปัญหารวมถึงวิธีแก้ปัญหาและคำตอบของปัญหาความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นแบบตัวแปรเดียว นี่คือรีวิวฉบับเต็ม

1. การบวกและการลบอสมการเชิงเส้นตัวแปรหนึ่ง (PtLSV)

โปรดทราบความไม่เท่าเทียมกันด้านล่าง:

x + 3 < 8 โดยที่ x เป็นตัวแปรจากจำนวนเต็ม

สำหรับ:

x = 1 ดังนั้น 1 + 3 < 8 เป็นจริง
x = 2 ดังนั้น 2 + 3 < 8 เป็นจริง
x = 3 ดังนั้น 3 + 3 < 8 เป็นจริง
x = 4 ดังนั้น 4 + 3 < 8 เป็นเท็จ

การแทนที่ x สำหรับ 1,2 และ 3 เพื่อให้อสมการ x + 3 < 8 เป็นจริง เรียกว่าคำตอบของอสมการ

2. การคูณหรือหารของอสมการเชิงเส้นหนึ่งตัวแปร (PtLSV)

ดูความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้:

สำหรับจำนวน x ธรรมชาติที่น้อยกว่า 10 คำตอบคือ x = 7, x = 8 หรือ x = 9

จากคำอธิบายข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่า:

 "ทุกอสมการยังคงเท่ากัน โดยสัญลักษณ์ของความไม่เท่าเทียมกันไม่เปลี่ยนแปลง แม้ว่าทั้งสองฝ่ายจะถูกคูณด้วยจำนวนบวกเดียวกัน"

ตัวอย่างปัญหา:

พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้:

ก. –x > – 5 โดยที่ x เป็นจำนวนธรรมชาติที่น้อยกว่า 8 ตัวแทน x ที่ตรงคือ x = 1, x = 2, x = 3 หรือ x = 4

อีกวิธีในการแก้ปัญหาอสมการข้างต้นคือการคูณทั้งสองข้างด้วยจำนวนลบเดียวกัน

* –x > –5

–1(–x) > – 1(–5), (ทั้งสองข้างคูณด้วย –1 และเครื่องหมายอสมการยังคงอยู่)

x > 5

คำตอบคือ x = 6 หรือ x = 7

* –x > –5

–1(–x) < –1(–5), (ทั้งสองข้างคูณด้วย –1 และเครื่องหมายอสมการเปลี่ยนจาก > เป็น

x < 5

คำตอบคือ x = 1, x = 2, x = 3 หรือ x = 4

จากการแก้ปัญหานี้ ปรากฎว่าอสมการที่มีคำตอบเดียวกันคือ:

–x > –5 และ –1(–x) < –1(–5)

ดังนั้น –x > –5 <=> –1(–x) < –1(–5)

ข. –4x <–8 โดยที่ x เป็นจำนวนธรรมชาติที่น้อยกว่า 4 ตัวทดแทนที่เหมาะสมสำหรับ x คือ x = 2 หรือ x = 3 ดังนั้น คำตอบคือ x = 2 หรือ x = 3

จากคำอธิบายข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่า:

"ความไม่เท่าเทียมกันเมื่อคูณทั้งสองข้างด้วยจำนวนลบเดียวกัน เครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกันจะเปลี่ยนไป"

ตัวอย่าง:

3. เกี่ยวกับเรื่อง 

คำถามที่ 1.

ผลรวมของสองตัวเลขไม่เกิน 120 หากตัวเลขที่สองมากกว่าตัวเลขแรก 10 ให้กำหนดค่าขีดจำกัดสำหรับตัวเลขแรก

ตอบ:

จากปัญหาข้างต้น เราจะเห็นได้ว่ามีสองปริมาณที่ไม่รู้จัก นั่นคือหมายเลขแรกและหมายเลขที่สอง

ต่อไปเราจะสร้างปริมาณทั้งสองนี้เป็นตัวแปร

ตัวอย่างเช่น:

เราเรียกหมายเลขแรก x ในขณะที่ 

เราเรียกหมายเลขที่สอง y

จากปัญหานี้ เราทราบด้วยว่าตัวเลขที่สองคือ "มากกว่าหมายเลขแรก 10" ดังนั้นจะใช้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

y = x + 10

ในปัญหาเป็นที่ทราบกันดีว่าผลรวมของตัวเลขทั้งสองคือ "ไม่เกิน" 120

ประโยค "no more" เป็นตัวบ่งชี้ว่าความไม่เท่าเทียมกันน้อยกว่าเท่ากัน (≤). ดังนั้น รูปแบบของอสมการที่เหมาะกับปัญหาคือ อสมการน้อยกว่าเท่ากับ

จากนั้นเราจะสร้างความไม่เท่าเทียมกันดังนี้:

⇒ x + y ≤ 120

เนื่องจาก y = x + 10 ดังนั้นอสมการจึงกลายเป็น:

⇒ x + x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 – 10 ≤ 120 – 10

⇒ 2x ≤ 110

⇒ x ≤ 55

ดังนั้น, ค่าจำกัดสำหรับหมายเลขแรกไม่เกิน 55

เรื่องที่ 2 คำถาม

แบบจำลองโครงคานทำด้วยลวด ยาว (x + 5) ซม. กว้าง (x .) – 2) ซม. และสูง x ซม.

• กำหนดแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสมการความยาวลวดที่ต้องการใน x
• หากความยาวของเส้นลวดที่ใช้ไม่เกิน 132 ซม. ให้กำหนดขนาดของค่าสูงสุดของลำแสง

ตอบ:

เพื่อให้เราเข้าใจปัญหาข้างต้นได้ง่ายขึ้น จากนั้นพิจารณาภาพประกอบของบล็อกด้านล่าง:

• กำหนดแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาข้างต้น

ตัวอย่างเช่น K หมายถึงความยาวทั้งหมดของเส้นลวดที่จำเป็นในการสร้างโครงของลำแสง จากนั้นความยาวทั้งหมดของเส้นลวดที่ต้องการคือผลรวมของขอบทั้งหมด

ดังนั้น ความยาวของ K เป็นดังนี้

K = 4p(ยาว) + 4l(กว้าง) + 4t(สูง)

K = 4(x + 5) + 4(x – 2) + 4x

K = 4x + 20 + 4x – 8 + 4x

K = 12x + 12

ดังนั้นเราจึงได้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาเรื่องที่สองสำหรับความยาวทั้งหมดของเส้นลวด ซึ่งก็คือ K = 12x + 12

• กำหนดขนาดสูงสุดของบล็อกจากปัญหาด้านบน

ความยาวของเส้นลวดต้องไม่เกิน 132 ซม. ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนแบบจำลองอสมการได้ดังนี้

K ≤ 132

12x + 12 ≤ 132

จากนั้นเราแก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นของตัวแปรหนึ่งโดยใช้วิธีแก้ปัญหาดังต่อไปนี้:

12x + 12 ≤ 132

⇒ 12x ≤ 132 – 12

⇒ 12x ≤ 120

⇒ x ≤ 10

จากการแก้ปัญหา x ≤ 10 แล้วค่าสูงสุดของ x คือ 10 ดังนั้นขนาดของคานสำหรับความยาว ความกว้าง และความสูง มีดังนี้

ความยาว = x + 5 ⇔ 10 + 5 = 15 ซม.

ความกว้าง = x – 2 ⇔ 10 – 2 = 8 ซม.

ส่วนสูง = x ⇔ 10 ซม.

ดังนั้นเราจึงได้ค่าสูงสุดของบล็อกคือ (15 × 8 × 10) ซม.

คำถามเรื่อง 3

ผลรวมของสองตัวเลขน้อยกว่า 80 ตัวเลขที่สองคือสามเท่าของตัวเลขแรก

กำหนดขอบเขตของตัวเลขทั้งสอง

ตอบ:

สมมติว่าเราเรียกหมายเลขแรกว่า x แล้วหมายเลขที่สองจะเท่ากับ 3x

ผลรวมของตัวเลขสองตัวนี้น้อยกว่า 80 ดังนั้น แบบจำลองทางคณิตศาสตร์จึงเป็นดังนี้:

x + 3x < 80 ⇔ 4x <80

คำตอบสำหรับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์นี้คือ 4x <80 ⇔ x < 20.

ดังนั้นขีดจำกัดของหมายเลขแรกต้องไม่เกิน 20 ในขณะที่หมายเลขที่สองไม่เกิน 60

คำถามเรื่อง 4

พื้นผิวโต๊ะสี่เหลี่ยมผืนผ้า ยาว 16 x ซม. และกว้าง 10 x ซม.

ถ้าพื้นที่ไม่น้อยกว่า 40 dm2แล้วกำหนดขนาดต่ำสุดของพื้นผิวโต๊ะ

ตอบ:

ความยาวของพื้นผิวโต๊ะคือ:

• (p) = 16x
• ความกว้าง (ล.) = 10 x
• พื้นที่ = L.

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีดังนี้:

ล = พี × ล

L = 16x × 10x

L = 160x2

จากปัญหาระบุว่าพื้นที่ไม่น้อยกว่า 40 dm2 = 4,000 ซม.2 เราก็เขียนความไม่เท่าเทียมกันได้ดังนี้

L = 160x2≥ 4.000

160x2≥ 4.000

จากนั้นเราจะแก้ความไม่เท่าเทียมกันด้วยวิธีแก้ปัญหาต่อไปนี้:

160x2≥ 4.000

⇒ x2≥ 25

⇒ x ≥ ±5

เพราะ ขนาดไม่สามารถเป็นลบได้แล้วค่าต่ำสุดสำหรับ x = 5 ซม. ดังนั้นเราจึงได้:

p = 16x ซม. = 16 (5) ซม. = 80 ซม.

l = 10x cm = 10(5) cm = 50 cm =

ดังนั้นขนาดพื้นผิวโต๊ะขั้นต่ำคือ (80 × 50) ซม.

คำถาม เรื่องที่ 5

จักรยานกำลังเดินทางบนถนนด้วยสมการ s(t) = t2– 10t + 39.

ถ้า x เป็นเมตร และ t เป็นวินาที ให้กำหนดช่วงเวลาเพื่อให้จักรยานเคลื่อนที่อย่างน้อย 15 เมตร

ตอบ:

จักรยานสามารถครอบคลุมระยะทางอย่างน้อย 15 เมตร ซึ่งหมายถึง s (t) ≥ 15.

ดังนั้น ตัวแบบทางคณิตศาสตร์คือ t2– 10t+39 ≥ 15. เราสามารถแก้แบบจำลองนี้ด้วยวิธีต่อไปนี้:

t2– 10t+39 ≥ 15

⇒ t2– 10t+39 – 15 ≥ 0

⇒ t2– 10t+24 ≥ 0

⇒ (t – 6)(t – 4) ≥ 0

⇒ t ≤ 4 หรือ t ≥ 6

ดังนั้น ช่วงเวลาที่จักรยานต้องวิ่งเป็นระยะทางอย่างน้อย 15 เมตร จึงเท่ากับ t ≤ 4 วินาทีหรือ t ≥ 6 วินาที

คำถามเกี่ยวกับเรื่องที่ 6

นายเออร์แวน มีรถตู้บรรทุกสินค้าที่บรรทุกของได้ไม่เกิน 500 กก.

น้ำหนักของ Pak Irvan คือ 60 กก. และเขาจะบรรทุกกล่องสินค้าซึ่งแต่ละกล่องมีน้ำหนัก 20 กก. จากนั้น:

• กำหนดจำนวนกล่องสูงสุดที่ Mr. Irvan สามารถขนส่งได้ในครั้งเดียว!
• ถ้านายเออร์วานจะขนส่ง 115 เมือง อย่างน้อยที่สุดกล่องจะสามารถขนส่งได้ทั้งหมดกี่ครั้ง?

ตอบ:

จากโจทย์จะได้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์หลายแบบดังนี้

1. ตัวอย่างเช่น x หมายถึงจำนวนเมืองที่รถยนต์สามารถขนส่งได้ทางเดียว
2. กล่องแต่ละกล่องหนัก 20 กก. ดังนั้น x กล่องน้ำหนัก 20x กก.
3. น้ำหนักรวมทางเดียวคือน้ำหนักของกล่องบวกน้ำหนักของนายเออร์วานซึ่งเท่ากับ 20x + 60.
4. ความจุของรถไม่เกินแล้วเราก็ใช้ป้าย"≤”.
5. รับน้ำหนักได้ไม่เกิน 500 กก. ดังนั้นจากข้อกำหนด (3) เราจะได้โมเดลอสมการดังนี้ =
   20x + 60 ≤ 500

• ระบุจำนวนกล่องสูงสุดที่สามารถขนส่งได้ในครั้งเดียว

การกำหนดจำนวนกำลังสองจะเหมือนกับการหาค่าของ x กล่าวคือโดยการแก้สมการด้านล่าง:

20x + 60 ≤ 500

⇒ 20x ≤ 500 – 60

⇒ 20x ≤ 440

⇒ x ≤ 22

จากโซลูชันนี้ เราได้ค่าสูงสุดของ x ซึ่งเท่ากับ 22 ดังนั้นในแต่ละครั้งรถกล่องจะบรรทุกได้มากสุด 22 กล่อง