Cone Slices: Circle, Parabola, Ellipse, Hyperbola, ตัวอย่างปัญหา

กรวยในวิชาคณิตศาสตร์คือตำแหน่งของจุดทั้งหมดที่ประกอบเป็นเส้นโค้งสองมิติ เส้นโค้งใดเกิดขึ้นจากจุดตัดของกรวยกับระนาบ

ส่วนรูปกรวยมี 4 ชนิดหรือประเภท ได้แก่ วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอร์โบลา

ประเภทของชิ้นโคน

วงกลม

วงกลมคือสถานที่หรือตำแหน่งของจุดที่มีระยะทางเท่ากัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง

• จุดนี้เรียกว่า ศูนย์ วงกลม
• ระยะทางเท่ากันเรียกว่า รัศมีหรือรัศมี (r)

พื้นที่วงกลม = .r² (r = รัศมี)

ภาพตัวอย่าง:

วงกลมด้านล่างมีจุดศูนย์กลาง (0, 0) และรัศมี 2 พิจารณาภาพด้านล่าง:

พาราโบลา

พาราโบลาคือตำแหน่งของจุดที่ห่างจากจุดและเส้นตรงเท่ากัน

• จุดนี้เรียกว่า โฟกัสหรือจุดโฟกัส (F)
• บรรทัดนี้เรียกว่า directrix หรือเส้นบอกทิศทาง
• เส้นที่ผ่าน F และตั้งฉากกับเส้นบอกทิศทาง เรียกว่า แกนสมมาตร พาราโบลา
• จุดตัดของพาราโบลากับแกนสมมาตรเรียกว่า พีค พาราโบลา
• คอร์ดที่สั้นที่สุดที่ผ่าน F เรียกว่า Latus Rectum → โดยที่ซึ่งตั้งฉากกับแกนสมมาตร

ภาพตัวอย่าง:

พาราโบลาแนวนอนต่อไปนี้มีจุดยอด (0,0) จุดโฟกัส (1, 0) และทิศทาง x = –1 พิจารณาภาพด้านล่าง:

ด้านล่างคือพาราโบลาแนวตั้งที่มีจุดยอด (0,0) จุดโฟกัส (0, 1) และทิศทาง y = –1 พิจารณาภาพด้านล่าง:

วงรี

1. วงรีคือตำแหน่งหรือตำแหน่งของจุดที่ผลรวมของระยะทางจากจุดที่กำหนด 2 จุดคงที่

• ผลรวมของระยะทางคือ = 2a (สำหรับวงรีแนวนอน) หรือ 2b (สำหรับวงรีแนวตั้ง)
• จุดคงที่สองจุดเรียกว่า are โฟกัส (F) → ระยะห่างระหว่าง F₁ และ F₂ คือ 2c

2. วงรีคือตำแหน่งของทุกจุดที่อัตราส่วนของระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นคงที่ = e (ความเบี้ยว) โดยที่ 0 < e < 1

• จุดนี้เรียกว่า โฟกัส (F)และเส้นคือ เส้นทิศทาง.
• ส่วนของเส้นตรงที่ผ่านทั้งจุดโฟกัสและตัดกับวงรีเรียกว่า แกนหลัก
• ศูนย์ วงรีเป็นจุดกึ่งกลางF₁ และยัง F₂
• ส่วนของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลาง ตั้งฉากกับแกนหลัก ตัดกับวงรี เรียกว่า แกนรอง

พื้นที่ของวงรี = .a.b (a = ความยาวแนวนอน; b = ความยาวแนวตั้ง)

ภาพตัวอย่าง:

วงรีแนวนอนด้านล่างมีจุดศูนย์กลาง (0, 0), พีค (5, 0), (–5, 0), (0, 4), (0, –4), โฟกัส (3, 0), (– 3, 0 ) และทิศทางของ x = ±25/3 พิจารณาภาพด้านล่าง:

วงรีแนวตั้งด้านล่างที่มีจุดศูนย์กลาง (0, 0) จุดยอด (√2, 0), (–√2, 0), (0, 2), (0, –2), โฟกัส (0.√2 ), ( 0, –√2) และทิศทาง y = ±2√2/3 ดูภาพด้านล่าง:

อติพจน์

1. ไฮเปอร์โบลาคือตำแหน่งหรือตำแหน่งของจุดที่มีความแตกต่างคงที่ในระยะทางจากจุดที่กำหนด 2 จุด

• ความแตกต่างของระยะทางคือ = 2a (สำหรับวงรีแนวนอน) หรือ 2b (สำหรับวงรีแนวตั้ง)
• จุดคงที่สองจุดเรียกว่า are โฟกัส (F) → ระยะห่างระหว่าง F₁ และ F₂ คือ 2c

2. ไฮเปอร์โบลาคือโลคัสของทุกจุดที่อัตราส่วนของระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นคงที่ = e โดยที่ e > 1

• จุดเฉพาะเหล่านี้เรียกว่า โฟกัส (F₁ และ F₂)
• เส้นที่ผ่านจุดF₁ และยัง F₂ เรียกว่า แกนตามขวาง (แกนหลัก)/ แกนจริง
• จุดกึ่งกลาง F₁ และ F₂ เรียกว่า ศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา (P)
• เส้นที่ผ่าน P และตั้งฉากกับแกนตามขวางเรียกว่า แกนคอนจูเกต (แกนผสม)/ แกนจินตภาพ
• จุดตัดของไฮเพอร์โบลาและแกนของแนวขวางเรียกว่า ยอดอติพจน์
• เส้นที่ลากผ่านจุดโฟกัสและตั้งฉากกับแกนจริงและตัดกับไฮเปอร์โบลาที่ 2 จุด → ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดทั้งสองคือ = Latus Rectum

ภาพตัวอย่าง:

ไฮเพอร์โบลาแนวนอนด้านล่างมีจุดศูนย์กลาง (0, 0) จุดยอด (2, 0), (–2, 0) จุดโฟกัส (√6, 0), (–√6, 0) และเส้นกำกับ y = ± 2 x ให้ความสนใจกับภาพด้านล่าง:

ไฮเปอร์โบลาแนวตั้งด้านล่างมีจุดศูนย์กลาง (0, 0) จุดยอด (√2, 0), (–√2, 0) จุดโฟกัส (0, 6) (0, –,6) และเส้นกำกับ y = ± 2 x สังเกตภาพด้านล่าง:

สมการ

นี่คือสมการที่มีอยู่ในชิ้นโคนิก ดูให้ดี ใช่..

พิจารณาเคล็ดลับต่อไปนี้เพื่อให้เข้าใจสมการข้างต้นได้ง่ายขึ้น

วิธีแยกแยะสมการส่วนรูปกรวยด้านบนคือ:

• ในสมการ วงกลม: สัมประสิทธิ์ x² และยัง y² เหมือนกัน
• ในสมการ พาราโบลา: สี่เหลี่ยมเดียวเท่านั้น (x² เท่านั้น หรือ y² เท่านั้น)
• ในสมการ วงรี: สัมประสิทธิ์ x² เช่นเดียวกับ y² เครื่องหมายเดียวกัน (ทั้งบวกและลบทั้งคู่)
• ในสมการ อติพจน์: สัมประสิทธิ์ x² และยัง y² สัญญาณต่าง ๆ (หนึ่งบวก อีกค่าลบ)

ตัวอย่างเช่น:

• 3x²+ 3y² + 6x + y = 5 → สมการวงกลม
• 3x² + 3y + 6x = 5 → สมการพาราโบลา
• 3x²+ y² + 6x + y = 5 → สมการวงรี
• 3x²– 3y² + 6x + y = 5 → สมการไฮเพอร์โบลา

ตำแหน่งของจุดที่เกี่ยวกับ Cone Slice

ในการกำหนดหรือหาตำแหน่งของจุดบนส่วนรูปกรวย เราสามารถใช้วิธีต่างๆ ดังต่อไปนี้:

1. สร้างหรือเปลี่ยนด้านขวามือของสมการส่วนรูปกรวย = 0
2. ป้อนพิกัดของจุดในสมการด้านล่าง:
   • หากผลลัพธ์ของด้านซ้าย < 0 → จุดอยู่ภายในส่วนรูปกรวย
   • หากผลลัพธ์ทางด้านซ้าย = 0 → จุดนั้นอยู่ตรงจุดตัดของกรวย
   • หากผลทางด้านขวามือ > 0 → จุดอยู่นอกส่วนรูปกรวย

ตัวอย่างเช่น:

ค้นหาตำแหน่งของจุด (5, –1) บนวงรีด้วยสมการต่อไปนี้: 3x² + y² + 6x + y = 5?

ตอบ:

3x² + y² + 6x + y – 5 = 0

ด้านซ้าย:
3.5² + (–1)² + 6.5 + (–1) – 5 = 75 + 1 + 30 – 1 – 5 =100

→ 100 > 0 ดังนั้นจุด (5, –1) จึงอยู่นอกวงรี

ตำแหน่งของเส้นถึงกรวย Slice

ในการค้นหาหรือกำหนดตำแหน่งของเส้นตรงในส่วนรูปกรวย เราสามารถใช้วิธีต่างๆ ดังต่อไปนี้:

1. เราสร้างสมการของเส้นตรงสมการ x = … หรือ y = …
2. การแทนที่สมการของเส้นตรงลงในสมการของภาคตัดกรวย ก็จะได้สมการกำลังสอง
3. การหาค่าของ Discriminant (D) ของสมการกำลังสอง (จำไว้! D = ข² – 4.a.c)
   • ถ้า D < 0 → เส้นอยู่ด้านนอกของส่วนรูปกรวย
   • ถ้า D = 0 → เส้นสัมผัสส่วนกรวยที่ 1 จุด
   • ถ้า D > 0 → เส้นตัดกับส่วนรูปกรวยที่ 2 จุด

ตัวอย่างเช่น:

ค้นหาตำแหน่งของเส้น x + 2y = 4 บนพาราโบลาด้วยสมการต่อไปนี้: 3x² + 3 ปี + 6x = 5

ตอบ:

เส้น: x = 4 – 2y

3(4 – 2 ปี)² + 3 ปี + 6 (4 – 2 ปี) – 5 = 0
3(16 – 16 ปี + 4 ปี²) + 3y + 24 – 12y – 5 = 0
48 – 48 ปี + 12 ปี² + 3 ปี + 24 – 12 ปี – 5 = 0
12 ปี² – 57 ปี + 67 = 0

D = ข² – 4.a.c = (–57)² – 4.12.67 = 33

เนื่องจาก D > 0 ดังนั้นเส้น x + 2y = 4 จะตัดกับพาราโบลา

สมการเส้นสัมผัส

ในกรณีนี้ ม มีภูมิลำเนาเป็น การไล่ระดับสี.

สมการของแทนเจนต์ที่จุด (x₁, y₁)

ในการแก้หรือหาสมการของแทนเจนต์นี้ ให้ใช้ระบบการแจกแจงที่ยุติธรรมเสมอ นั่นคือ

(…)² กลายเป็น (…).(…)

(…) กลายเป็น (…) + (…)

ในจุดใดจุดหนึ่ง (…) ที่ชี้ไปที่สมการผลหารยุติธรรม พิกัดของจุดที่ทราบจะถูกป้อน คำอธิบายต่อไปนี้:

1. ถ้าจุดอยู่บนจุดตัดของกรวย มันจะสร้างสมการของเส้นสัมผัส
2. ถ้าจุดอยู่ด้านนอกของส่วนรูปกรวย มันจะสร้างสมการของเส้นขั้ว

ถัดไป ตัดเส้นขั้วด้วยลิ่มรูปกรวยเพื่อให้ได้ทางแยก 2 จุด

จากนั้นให้ป้อนจุดตัดสองจุดในสมการผลหารยุติธรรมเพื่อให้ได้สมการ 2 สมการของเส้นสัมผัส

เพื่อให้คำอธิบายข้างต้นง่ายขึ้น ให้พิจารณาคำถามตัวอย่างต่อไปนี้:

ตัวอย่างปัญหา:

ปัญหาที่ 1

หาสมการแทนเจนต์ของวงกลม x² + y² + 4x = 13 ที่จุด (2, 1)!

ตอบ:

(2, 1) อยู่บนวงกลม (2² + 1² + 4.2 = 13)

ความเสมอภาคเพื่อความเป็นธรรม:

x₁.x + y₁.y + 2.x₁ + 2.x = 9

ป้อน (2, 1) เป็น x₁ และ y₁:

2.x + 1.y + 2.2 + 2.x = 9

4x + y – 5 = 0 → คือสมการของเส้นสัมผัส

คำถามที่ 5.

พาราโบลามีจุดยอด (0, 0) และมีพิกัดโฟกัส (0.2) สมการพาราโบลาคือ...

ตอบ:

เนื่องจากพิกัดของโฟกัสอยู่เหนือจุดยอด พาราโบลาจึงเปิดขึ้น ดังนั้นรูปแบบทั่วไปคือ x² = 4py

พิกัดโฟกัส (0, p) กับ p = 2 ดังนั้นสมการจะเป็น:

x² = 8 ปี

คำถามที่ 6

พาราโบลามีสมการไดเรกทริกซ์ x = 7 และมีจุดยอด (0, 0) สมการพาราโบลาคือ...

ตอบ:

เนื่องจากไดเรกทริกซ์อยู่ทางขวาของจุดยอด พาราโบลาจะเปิดทางซ้าย ดังนั้นรูปแบบทั่วไปของสมการคือ y² = -4px

สมการไดเรกทริกซ์ x = p กับ p = 7 เพื่อให้สมการพาราโบลากลายเป็น:

y² = -28x

จึงเป็นรีวิวสั้น ๆ ของ Cone Slices ที่เราสามารถถ่ายทอดได้ หวังว่าบทวิจารณ์ข้างต้นจะสามารถใช้เป็นสื่อการเรียนรู้ของคุณได้