วัสดุเชิงเส้น: สูตร ฟังก์ชันเชิงเส้น สมการกำลังสอง ตัวอย่าง

ฟังก์ชันเชิงเส้นคือฟังก์ชันที่ตัวแปรถูกยกกำลังหนึ่งหรือฟังก์ชันที่มีกราฟเป็นเส้นตรง ดังนั้น ฟังก์ชันเชิงเส้นจึงมักถูกเรียกว่าสมการเส้นตรง (pgl)

ฟังก์ชันเชิงเส้น

การทำความเข้าใจฟังก์ชันนั้นเป็นความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างตัวแปรกับตัวแปรอื่นๆ องค์ประกอบบางอย่างที่ประกอบขึ้นเป็นฟังก์ชัน ได้แก่: ตัวแปร สัมประสิทธิ์ และค่าคงที่ constant.

ตัวแปร เป็นองค์ประกอบที่ธรรมชาติแตกต่างกันไปในแต่ละเงื่อนไข

ตัวแปรสามารถแบ่งออกเป็นสองตัวแปร คือ ตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม

ตัวแปรอิสระ เป็นตัวแปรที่อธิบายตัวแปรอื่นๆ ในขณะที่ ตัวแปรตาม เป็นตัวแปรที่อธิบายโดยตัวแปรอิสระ

ค่าสัมประสิทธิ์ คือตัวเลขหรือตัวเลขที่อยู่หน้าตัวแปรโดยตรง ซึ่งสัมพันธ์กับตัวแปรที่เป็นปัญหา

ค่าคงที่ คงที่และไม่เกี่ยวข้องกับตัวแปรใดๆ

ฟังก์ชันเชิงเส้น ตัวเองมีรูปแบบทั่วไปดังต่อไปนี้:

f: x → mx + c หรือ

f(x) = mx + c หรือ

y = mx + c

ม คือ ความชัน หรือ ความชัน หรือ ความเอียง และ ค เป็นค่าคงที่

ฟังก์ชันเชิงเส้นคือฟังก์ชัน y = ฉ(x) กับ ฉ(x) = ขวาน + b(a, b ∈ R และ a ≠ 0) สำหรับ x ทั้งหมดในพื้นที่เดิม

ฟังก์ชันเชิงเส้นเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันพหุนามของดีกรีหนึ่งในตัวแปร x

การวาดกราฟฟังก์ชันเชิงเส้น

ต่อไปนี้คือขั้นตอนบางส่วนในการวาดกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น รวมถึง:

• กำหนดจุดตัดด้วยแกน x y = 0 เพื่อให้ได้พิกัด A ( x1, 0)
• กำหนดจุดตัดด้วยแกน y x = 0 เพื่อให้ได้พิกัด B( 0, y1)
• เชื่อมจุด A และจุด B เข้าด้วยกันเพื่อสร้างเส้นตรง สมการเชิงเส้น สามารถเขียนโดยใช้สัญลักษณ์ y = ax + b (เพื่อให้เราเข้าใจภาพได้ง่ายขึ้น) ถ้า b เป็นค่าบวก ฟังก์ชันเชิงเส้นจะถูกดึงจากล่างซ้ายไปขวาบน
• ถ้า b เป็นค่าลบ ฟังก์ชันเชิงเส้นจะถูกวาดเป็นเส้นจากบนซ้ายไปล่างขวา
• ถ้า b เป็นศูนย์ ฟังก์ชันเชิงเส้นจะถูกวาดเป็นเส้นขนานกับระนาบ x

ถ้า b เป็นค่าลบ ในที่นี้เราจะยกตัวอย่างด้วย Y = 10 – 2X จากนั้นเส้นโค้งจะเคลื่อนจากบนซ้ายไปล่างขวา นี่คือภาพ:

ถ้า b เป็นค่าบวก: Y = 2 + 2X เส้นโค้งจะเคลื่อนจากด้านล่างซ้ายไปขวาบน นี่คือภาพ:

การไล่ระดับสีและสมการของฟังก์ชันเชิงเส้นตรงของเส้นตรง Straight

ก. เส้นตรงที่ผ่านจุด A(x1, y1) และ B(x2, y2) มีการไล่ระดับสี m:

m = y1-y2 หรือ m = y2-y1

x1-x2 x2-x1

ข. สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(x1, y1) และ B(x2, y2) คือ:

y-y1 = x-x1

y2-y1 x2-x1

ค. สมการของเส้นตรง (pgl) ที่มีความชันเป็น m และผ่านจุด A(x1, y1) คือ:

y = ม. (x – x1 ) + y1

การหาความลาดชันของสมการเส้นตรง (pm)

วิธีหาความลาดชันจากสมการเส้นตรง (pgl)

• สมการของเส้นตรง: ax + โดย = c ดังนั้นความลาดชันคือ m = – a/b
• สมการของเส้นตรง: y = ax + b ดังนั้น m = a
• เส้นขนานกับแกน x มีสมการ y = c และ m = 0. ด้วย
• เส้นขนานกับแกน y มีสมการ x = c และไม่มีการไล่ระดับสี

จุดตัดของสองเส้น

การหาจุดตัดของเส้นตรงที่เหมือนกันสองเส้นโดยการแก้ปัญหาของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ไม่ว่าจะเป็นโดยใช้วิธีการคัดออก วิธีทดแทน หรือวิธีกราฟ

ความสัมพันธ์ของสองบรรทัด

เส้นสองเส้นที่มีการไล่ระดับสี m1 และ m2 จะขนานกันถ้า m1 = m2 และตั้งฉากถ้า m1 x m2 = -1

ฮัดเดิลแชท

เส้นตรงสองเส้นจะตรงกันถ้าสมการของเส้นหนึ่งเป็นผลคูณของอีกเส้นหนึ่ง ดังนั้นเส้น จะตรงกับเส้น , ถ้า

ขนาน

เส้นตรงสองเส้นจะขนานกันหากความชันหรือการไล่ระดับสีของเส้นหนึ่งเหมือนกับความชันหรือการไล่ระดับสีของอีกเส้นหนึ่ง

ดังนั้นเส้น จะขนานกับเส้น , ถ้า .

ตัด

เส้นตรงสองเส้นจะตัดกันหากความชันหรือการไล่ระดับสีของเส้นหนึ่งไม่เหมือนกับความชันหรือการไล่ระดับสีของอีกเส้นหนึ่ง ดังนั้นเส้น จะตัดกับเส้น , ถ้า .

ตั้งฉาก

เส้นตรงสองเส้นจะตั้งฉากกันถ้าความชันหรือการไล่ระดับสีของเส้นหนึ่งอยู่ตรงข้ามกับความชันหรือการไล่ระดับสีของอีกเส้นหนึ่งที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน ดังนั้นเส้น จะตั้งฉากกับเส้น , เพื่อ .

ฟังก์ชันเชิงเส้นสมการกำลังสอง

สมการกำลังสองคือรูปแบบของสมการที่ค่ากำลังสูงสุดของตัวแปรคือ 2

รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองมีดังนี้: y = ax² + bx + c = 0 โดยที่ 0, a, b และ c เป็นสัมประสิทธิ์ และ x คือตัวแปร

ตัวอย่างเช่น: x² + 5x + 6, 2x² – 3x + 4 เป็นต้น

การหารากของสมการกำลังสอง

รากของสมการกำลังสองในกรณีนี้หมายถึงค่าของ x ที่ทำให้ ax² + bx + c ผลลัพธ์จะเท่ากับ 0

ตัวอย่างเช่น ถ้า x= k ทำให้ ak² + bk + c = 0 จากนั้น k จะถูกเรียกว่ารากของสมการกำลังสอง ax² + bx + c = 0

คุณสามารถใช้สามวิธีในการระบุราก

ท่ามกลางคนอื่น ๆ: วิธีแฟคตอริ่ง เติมกำลังสองสมบูรณ์ และ วิธีสูตร abc.

แต่วิธีการเติมกำลังสองสมบูรณ์นั้นหายากหรือยากพอที่จะใช้ในการกำหนดราก ดังนั้นเราจะไม่พูดถึงมันในบทความนี้

วิธีการแฟคตอริ่ง

สมการกำลังสอง ขวาน² + bx + c = 0 ถูกแปลงเป็น (x – x₁₎ (x – x₂ ) = 0 ดังนั้นรากคือ x₁ และ x₂ .

ตัวอย่างเช่น หากเราต้องการแยกตัวประกอบ ax² + bx + c = 0 ขั้นตอนแรกคือการหาตัวเลขสองตัว ในกรณีนี้เราจะเอา p และ q

ดังนั้นถ้าเรารวมกันเราจะได้ผลลัพธ์ b ในขณะเดียวกัน ถ้าเราคูณ มันจะได้กระแสสลับ

กล่าวอีกนัยหนึ่ง p + q = b และ p q = ก .c

ถ้า a = 1 รูปแบบของแฟคตอริ่งคือ ( x + p )( x + q ) = 0 ดังนั้นรากคือ x + p = 0 x = -p หรือ x + q = 0 x = -q

ถ้า 1 แล้วรูปแบบของแฟคตอริ่งคือ เพื่อให้รากเป็น หรือ

ตัวอย่างเช่น:

หารากของสมการกำลังสอง (a) x² – 5x + 6 = 0 และ (b) 6x² – x – 15 = 0

ตอบ:

(ก)

a = 1, b = -5 และ c = 6 ค้นหาตัวเลขสองตัว p และ q ดังนั้น p + q = -5 และ p.q = 6

ตัวเลขทั้งสองคือ p = -3 และ q = -2 เนื่องจาก -3 + (-2) = -5 และ -3 -2 = 6

จากนั้นแฟคตอริ่งคือ (x + (-3))(x + (-2)) = 0 หรือ (x – 3)(x – 2) = 0 ดังนั้นรากคือ:

x – 3 = 0 x₁ = 3 หรือ x – 2 = 0 x₂ = 2

(ข)

คล้ายกับใน (a) ค้นหา p และ q ดังนั้น p + q = -1 และ p.q = a.c = -90

จากนั้นเราจะได้ p = -10 และ q = 9

แล้วแฟคตอริ่งคือ , เพื่อให้รากเป็น หรือ

ดังนั้น รากของสมการกำลังสองคือ หรือ

วิธีสูตร ABC

ไม่สามารถแยกตัวประกอบสมการกำลังสองทุกรูปแบบได้ ตัวอย่างเช่น เราไม่สามารถแยกตัวประกอบรูปแบบ x² – 3x + 1 = 0 โดยที่ไม่มีจำนวนเต็ม p และ q ที่ตรงกับ p + q = -3 และ p.q = 1

เนื่องจากรากของสมการไม่ใช่จำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะ แต่ตัวเลข ไม่ลงตัว

สำหรับ เพื่อกำหนดราก เราสามารถใช้สูตร abc ต่อไปนี้:

ดังนั้นรากคือ หรือ .

ข² – 4ac ด้านบนเรียกว่า discriminant (D)

ตัวอย่างเช่น:

ค้นหารากของ x² – 3x + 1 = 0

ตอบ:

a = 1, b = -3 และ c = 1, ดังนั้น เมื่อนำไปประยุกต์ใช้กับสูตร abc ด้านบน, เราจะได้

แปลว่า รากคือ และ .

ประเภทของรากของสมการกำลังสอง

ในตัวอย่างบางส่วนข้างต้น เราจะเห็นว่า สองราก และรากทั้งสองเป็นจำนวนจริง

แต่มีบางครั้งที่สมการกำลังสองมีเพียง หนึ่งรากที่แท้จริง (รากคู่) หรือแม้แต่ ไม่มีรากที่แท้จริง.

ดีเพื่อหาว่าสมการกำลังสองมีรากจริงสองราก หนึ่งรูตจริง (ฝาแฝด) หรือไม่มีรากจริง เราสามารถดูที่ Discriminant (D) ได้ กล่าวคือ:

D = ข² – 4ac ถ้า D > 0 แสดงว่ารากทั้งสองนั้นเป็นของจริงและต่างกันถ้า D = 0 แสดงว่ารากทั้งสองนั้นเป็นฝาแฝด (หนึ่งรูตจริง)

ถ้า D < 0 แสดงว่ารากทั้งสองนั้นไม่ใช่ของจริง (จินตภาพ)

ตัวอย่างเช่น:

ถ้ารู้ว่า 4x² – 20x + p = 0 มีรูทจริง 1 ตัว หาค่าของ p

ตอบ:

เพราะมันมีรูทจริงเพียงตัวเดียว นั่นหมายความว่า D = 0

ดังนั้น D = (-20)² – 4 .4. p = 0 400 – 16p = 0.

16p = 400 p = 25

ดังนั้น ค่าของ ที่เติมเต็มนั่นคือ p = 25

ผลรวมและผลผลิตของราก

เมื่อ x₂ และ x₂ คือรากของสมการกำลังสอง ax² – bx + c = 0 จากนั้นความสัมพันธ์จะใช้:

x₂ +x₂ = -b/a

x_{2 .} x₂ = ค/ก.

ตัวอย่างเช่น:

เมื่อ x₂ และ x₂ เป็นรากของ 3x² – 15x + 10 = 0 ค้นหาค่าของ x²₁ และ x²_{2 .}

ตอบ:

สมการกำลังสองข้างต้นไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ดังนั้นรากจึงอยู่ในรูปของจำนวนอตรรกยะ ซึ่งทำให้ยากที่เราจะคำนวณค่าของ x²₁ +x²_{2 .}

อย่างไรก็ตามเราไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าของ x เป็นรายบุคคล²₁ และ x²_2, แต่เราสามารถคำนวณค่าของ x. ได้โดยตรง²₁ +x²_{2 .}

โดยใช้สูตรการหาผลรวมและผลคูณของราก

สังเกตว่า x²₁ +x²₂ = (x₁ +x₂)² – 2_x1x2

จากสูตรข้างต้นเราได้: และ

ดังนั้น,

การสร้างสมการกำลังสองใหม่

เราสามารถสร้างสมการกำลังสองใหม่ได้จากข้อมูลราก ถ้ารากเป็น p และ q สมการกำลังสองใหม่คือ:

x² – (p + q) x + pq = 0

ตัวอย่างเช่น:

สมการกำลังสองที่มีรากเป็น 3 และ 5 คือ x² – (3+5)x + 3.5 = 0 x² – 8x + 5 = 0

ฟังก์ชันกำลังสอง

ฟังก์ชันกำลังสองคือฟังก์ชันที่มีกำลังของตัวแปรมากที่สุดคือ 2

เหมือนกับสมการกำลังสองแต่อยู่ในรูปของฟังก์ชัน

รูปแบบทั่วไปคือ: f (x) = ax² – bx + c โดยที่ a, b, c เป็นจำนวนจริงและ a 0

ตัวอย่างเช่น: ฉ(x) = 3x² – 5x + 7

ดังนั้น f(0) = 3 0² + 5. 0 + 7 = 7, f(0) = 3 4² + 5. 4 + 7 = 75 และอื่นๆ

กราฟหรือเส้นโค้งของฟังก์ชันกำลังสอง

เมื่ออธิบายไว้ในพิกัดคาร์ทีเซียน กราฟของฟังก์ชันกำลังสองคือพาราโบลา

พาราโบลาจะเปิดขึ้นถ้า a > 0 และเปิดขึ้นเมื่อ < 0

ต่อไปนี้เป็นขั้นตอนในการอธิบายกราฟหรือเส้นโค้ง:

ขั้นตอนแรก กำหนดจุดตัดของ y = f(x) = ax² – bx + c เกี่ยวกับแกน x นั่นคือค่าของ x เมื่อ y = 0

ดังนั้น ค่าของจุดตัดนี้คือรากของสมการกำลังสอง ax² + bx + c = 0

ต่อไป กำหนด จุดตัด เกี่ยวกับแกน y ค่าของ y เมื่อ x = 0

หลังจากนั้นให้กำหนด แกนสมมาตร ของเขา แกนสมมาตรคือเส้นที่แบ่งพาราโบลาออกเป็นสองส่วน สามารถคำนวณจุดตัดของแกนสมมาตรกับแกน x ได้โดยใช้สูตร หรือ

สุดท้าย กำหนด คะแนนสูง (จุดเปลี่ยนสูงสุดหรือต่ำสุด) กราฟ จุดยอดคือจุดที่ค่าของ y = f(x) ถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ดังนั้นพาราโบลาจะกลับทิศทาง

พิกัดของจุดยอด พาราโบลาคือ:

โดยที่ D เป็นตัวแบ่งแยก นั่นคือ D = b² – 4 ก.

หลังจากได้รับคะแนนข้างต้นแล้ว เราสามารถวาดกราฟของฟังก์ชันกำลังสองได้ทันทีโดยเชื่อมต่อจุดด้านบนกับเส้นในรูปของพาราโบลา

เพื่อให้พาราโบลาดูนุ่มนวลขึ้น เราสามารถคำนวณหรือกำหนดจุดอื่นๆ ที่เส้นโค้งหรือฟังก์ชัน y = f (x) ผ่าน

นี่คือตัวอย่างกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง y = f(x) = x² – 5x + 4

ตัวอย่างปัญหา:

ถ้า y = f(x) = 2x² – 11x + p มีค่าต่ำสุด -1/8 ดังนั้นให้กำหนดค่าของ p

ตอบ:

ค่าต่ำสุดคือจุดยอดของ y = f (x)

ด้วยวิธีนี้โดยใช้สูตรจุดยอดเราจะได้:

จุดสูงสุด =

ดังนั้น,

กราฟความสัมพันธ์แบบแยกแยะความแตกต่างของฟังก์ชันกำลังสอง

หากในสมการกำลังสอง เราสามารถใช้ค่า discriminant เพื่อค้นหาว่ารากนั้นเป็นของจริง แฝด หรือไม่มีรากจริง

ดังนั้นในฟังก์ชันกำลังสอง เราจึงสามารถใช้ค่า discriminant เพื่อหาว่ากราฟตัดกันหรือไม่ แกน x ที่จุดต่างกันสองจุด สัมผัสแกน x หรือไม่สัมผัสหรือตัดแกน x

ต่อไปนี้เป็นคุณสมบัติของ:

ถ้า D คือ discriminant ของฟังก์ชันกำลังสอง f (x) = ax² – bx + c แล้ว

ถ้า D > 0 กราฟของ y = f(x) จะตัดกับแกน x ที่จุดต่างกันสองจุด

ถ้า D = o กราฟของ y = f(x) จะแตะแกน x ที่จุดหนึ่ง

ถ้า D < 0 กราฟของ y = f (x) จะไม่ตัดกับแกน .

ดังนั้นการทบทวนฟังก์ชันเชิงเส้นโดยย่อที่เราสามารถถ่ายทอดได้ หวังว่าการทบทวนฟังก์ชันเชิงเส้นข้างต้นสามารถใช้เป็นสื่อการเรียนรู้ของคุณได้