สมการค่าสัมบูรณ์เชิงเส้นหนึ่งตัวแปร: สสาร แนวคิด คุณสมบัติ ปัญหา

การแก้สมการค่าสัมบูรณ์เชิงเส้นของตัวแปรหนึ่งตัวนั้นไม่ใช่เรื่องยาก แต่คุณต้องเข้าใจแนวคิดของค่าสัมบูรณ์ ลักษณะของสมการและคำตอบของสมการค่าสัมบูรณ์ของตัวแปรตัวเดียว นี่คือข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับคุณ

การทำความเข้าใจสมการค่าสัมบูรณ์ของหนึ่งตัวแปร

ในเรขาคณิต ค่าสัมบูรณ์ของ x มักจะเขียนเป็น: | x | ซึ่งเป็นระยะทางจาก x ถึง 0 บนเส้นจำนวนจริง

เนื่องจากระยะทางเป็นบวกหรือศูนย์เสมอ ดังนั้นค่าสัมบูรณ์ของ x จะเป็นบวกหรือศูนย์เสมอสำหรับจำนวนจริง x แต่ละตัว

ค่าสัมบูรณ์คือค่าที่เป็นบวกเสมอ และมักจะแสดงเป็น: |x|

โดยทั่วไป ค่าสัมบูรณ์นี้สามารถแบ่งออกได้ดังต่อไปนี้:

นอกจากสมการข้างต้นแล้ว หากค่าสัมบูรณ์อยู่ในรูปแบบพีชคณิต เราก็จะได้สมการดังต่อไปนี้

แนวคิดที่คุ้มค่าอย่างแท้จริง

แนวคิดเรื่องค่าสัมบูรณ์เราสามารถเข้าใจได้ง่ายโดยให้ความสนใจกับตัวอย่างด้านล่าง:

หัวหน้าทีมลูกเสือแห่งสหประชาชาติสั่งให้ทหารเคลื่อนไปข้างหน้า 4 ก้าว เพื่อให้ระยะการเคลื่อนที่ของแนวเคลื่อนไปข้างหน้า 4 ก้าว

หากผู้นำเส้นสั่งถอย 3 ก้าว ระยะห่างจากการเคลื่อนที่ของเส้นจะถอยหลัง 3 ก้าว

ขนาดของการเคลื่อนที่ของลำดับข้างต้นเป็นตัวอย่างของค่าสัมบูรณ์

ถ้าอธิบายในรูปของเส้นจำนวน เราจะเห็นว่ามันเป็นดังนี้:

จากภาพเส้นจำนวนด้านบน ตำแหน่ง x = 0 เป็นจุดเริ่มต้นสำหรับลำดับ

จากนั้น ลูกศรสีแดงจะเคลื่อนที่ไปข้างหน้า 3 ก้าว (ไปทางแกน x บวกหรือ +3)

และสำหรับลูกศรสีน้ำเงิน จะเลื่อนถอยหลัง 2 ก้าว (ไปทางแกน x ลบหรือ -2)

ดังนั้น จำนวนขั้นตอนในลำดับจึงเป็นแนวคิดของค่าสัมบูรณ์ เช่น|3| +|- 2|= 3+2 = 5.

คุณสมบัติสมการค่าสัมบูรณ์

ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข x ยังสามารถกำหนดเป็นระยะห่างของตัวเลขนั้นจากจุด 0 บนเส้นจำนวน โดยไม่คำนึงถึงทิศทาง

แปลว่า |x| = 5 มีสองคำตอบ เพราะมีตัวเลขสองตัวที่มีระยะห่างจาก 0 คือ 5: x = –5 และ x = 5

นอกจากนี้เรายังสามารถขยายแนวคิดนี้อีกครั้งในสถานการณ์ที่เกี่ยวข้องกับรูปแบบพีชคณิตที่อยู่ในสัญลักษณ์ค่าสัมบูรณ์ ตามคุณสมบัติด้านล่างจะอธิบาย:

• คุณสมบัติสมการค่าสัมบูรณ์:

ถ้า x เป็นรูปพีชคณิตและ k เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว |X| = k หมายถึง X = –k หรือ X = k

• คุณสมบัติคูณค่าสัมบูรณ์

ถ้า A และ B เป็นรูปแบบพีชคณิต ดังนั้น |AB| = |A||B|.

ถ้า A = –1 ตามคุณสมบัติเหล่านี้ |–B| = |–1||B| = |B|. โดยทั่วไป คุณสมบัตินี้จะเก็บไว้สำหรับค่าคงที่ A ใดๆ

สมการค่าสัมบูรณ์เชิงเส้นหนึ่งตัวแปร

ในสมการค่าสัมบูรณ์เชิงเส้นของตัวแปรหนึ่งตัวแปร เส้นจำนวนถูกใช้เป็นสื่อที่มีประโยชน์ในการแสดงค่าสัมบูรณ์

ขนาดของค่าสัมบูรณ์สามารถเห็นได้จากความยาวของลูกศรและคำนวณจากค่าศูนย์

ในขณะเดียวกัน ลูกศรถูกใช้เพื่อกำหนดขนาดของค่าสัมบูรณ์ โดยที่ทิศทางไปทางซ้ายจะแสดงค่าสัมบูรณ์ของจำนวนลบ และในทางกลับกัน.

ในขณะเดียวกัน ทิศทางไปทางขวาจะแสดงค่าสัมบูรณ์ของจำนวนบวก

ลองดูการวาดเส้นจำนวนด้านล่างให้ดี:

หากเราดูลูกศรด้านบน เราจะเห็นการเคลื่อนไหวจากหมายเลข 0 ไปทางขวา ไปยังหมายเลข 3

ดังนั้นขนาดของขั้นบันไดที่ข้ามด้วยลูกศรด้านบนคือ 3 (ห่างจากหมายเลข 0) ไป 3 หน่วย ซึ่งหมายความว่าค่าสัมบูรณ์คือ|3|= 3

ถ้าเราดูที่ลูกศรด้านบน เราจะพบการเคลื่อนไหวจากหมายเลข 0 ไปทางซ้ายไปยังหมายเลข 3

ดังนั้นขนาดของขั้นบันไดที่ข้ามด้วยลูกศรด้านบนคือ 3 (ห่างจากหมายเลข 0) ไป 3 หน่วย ซึ่งหมายความว่าค่าสัมบูรณ์คือ|-3|= 3

จากคำอธิบายข้างต้น ค่าสัมบูรณ์นี้สามารถกล่าวได้ว่าเป็นขนาดของระยะการกระจัดจากจุดเริ่มต้น

สมการค่าสัมบูรณ์และความไม่เท่าเทียมกัน

ค่าสัมบูรณ์ของ x คือระยะห่างจาก x ถึงศูนย์บนเส้นจำนวนจริง ในแง่นี้ เราสามารถหาคำตอบของสมการได้เช่นเดียวกับความไม่เท่าเทียมกันของค่าสัมบูรณ์ของรูปแบบเชิงเส้น

ตัวอย่างเช่น:

| x | = a กับ a > 0

สมการ | x | คือ = a ซึ่งหมายถึงระยะทางจาก x ถึง 0 เท่ากับ a

ลองดูการวาดเส้นจำนวนด้านล่างให้ดี:

ในภาพด้านบน เราสามารถสรุปได้ว่าถ้าทิศทางของ -a ถึง 0 เท่ากับระยะทางจาก a ถึง 0 คือ a

คำถามคือที่ไหน x เพื่อให้ระยะทางถึง 0 เท่ากับ a

ตำแหน่ง x จะแสดงด้วยจุดสีแดงในภาพด้านบน ซึ่งก็คือ x = -a หรือ x = a

โดยจะเห็นได้ว่าระยะทางจากจุดนั้นถึง 0 เท่ากับ a ดังนั้น เพื่อให้ระยะทาง x ถึงศูนย์เท่ากับ a จะต้องเท่ากับ x = -a หรือ x = a

| x | 0

ความไม่เท่าเทียมกัน | x | < a ซึ่งหมายความว่าระยะทางจาก x ถึง 0 น้อยกว่า a

ลองดูการวาดเส้นจำนวนด้านล่างให้ดี:

จากภาพประกอบด้านบน จะเห็นได้ว่าตำแหน่ง x แสดงโดยส่วนของเส้นสีแดง นั่นคือเซตของจุดระหว่าง -a และ a ซึ่งปกติจะเขียนว่า -a < x < a

หากเราหาจุดใด ๆ ในช่วงเวลานั้น เราก็สามารถแน่ใจได้ว่าระยะทางถึง 0 น้อยกว่า a

ดังนั้น เพื่อให้ระยะห่างจาก x ถึง 0 น้อยกว่า a จะต้องเป็น -a < x < a

| x | > a ถึง a > 0

ความไม่เท่าเทียมกัน | x | > a คือระยะทางจาก x ถึง 0 มากกว่า a

ลองดูการวาดเส้นจำนวนด้านล่างให้ดี:

จากภาพประกอบด้านบน ตำแหน่งของ x จะแสดงด้วยส่วนของเส้นสีแดง กล่าวคือ: x < -a หรือ x > a

ดังนั้น หากเราหาจุดใดๆ บนช่วงเวลา เราก็สามารถมั่นใจได้ว่าระยะทางถึง 0 มากกว่า a

ดังนั้น เพื่อให้ระยะทาง x ถึงศูนย์มากกว่า a จะต้องเท่ากับ x < -a หรือ x > a

โดยสังหรณ์ใจ เราสามารถสรุปคำอธิบายต่างๆ ข้างต้นเป็นคำถามตัวอย่างต่อไปนี้:

ตัวอย่างคำถามและการอภิปราย

ปัญหาที่ 1

ค้นหาชุดโซลูชันจาก: |3x – 7| = 3

ตอบ:

ตามลักษณะของ a แล้ว:

|3x – 7| = 3 3x – 7 = 3 หรือ 3x – 7 = -3
|3x – 7| = 3 3x = 10 หรือ 3x = 4
|3x – 7| = 3 x = 5 หรือ x = 3

ดังนั้น ชุดโซลูชันสำหรับปัญหาที่ 1 คือ HP = {3, 5}

คำถามที่ 2

ค้นหาชุดจาก: |3x – 1| = |x + 4|

ตอบ:

ตามลักษณะของ a แล้ว:

|3x – 1| = |x + 4|

3x – 1 = x + 4 หรือ 3x – 1 = -(x + 4)
x = 5 หรือ 4x = -4
x = 5 หรือ x = -1

ดังนั้น ชุดโซลูชันสำหรับปัญหาที่ 2 คือ HP = {-1, 5}

ดังนั้นการทบทวนสั้น ๆ เกี่ยวกับสมการค่าสัมบูรณ์เชิงเส้นตรงของตัวแปรเดียวที่เราสามารถถ่ายทอดได้ หวังว่าการทบทวนข้างต้นเกี่ยวกับสมการค่าสัมบูรณ์เชิงเส้นตรงของตัวแปรเดียวสามารถใช้เป็นเอกสารการศึกษาของคุณได้