ขีด จำกัด ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์: ตรีโกณมิติ อนันต์ ปัญหาตัวอย่าง

ขีด จำกัด ในวิชาคณิตศาสตร์เป็นแนวคิดในสาขาคณิตศาสตร์ที่มักใช้เพื่ออธิบายคุณสมบัติของฟังก์ชัน

เมื่ออาร์กิวเมนต์เข้าใกล้จุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดหรือลักษณะของลำดับเมื่อดัชนีเข้าใกล้อนันต์

ลิมิตมักใช้ในแคลคูลัสและสาขาอื่นๆ ของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการหาอนุพันธ์และส่วนขยาย

ในวิชาคณิตศาสตร์ ขีดจำกัดโดยทั่วไปจะเริ่มศึกษาเมื่อมีการแนะนำแคลคูลัส

ขีดจำกัดของฟังก์ชัน

ถ้า ฉ(x) เป็นฟังก์ชันจริงและ ค เป็นจำนวนจริง แล้วสูตรคือ:

แล้วเท่ากับ ฉ(x) เราสามารถทำให้มันมีค่าใกล้เคียงกับ หลี่ ด้วยการสร้างมูลค่า x ใกล้กับ ค.

ในตัวอย่างข้างต้น ขีดจำกัดของ ฉ(x) ถ้า x ใกล้เข้ามาแล้ว ค, นั่นคือ หลี่. เราต้องจำเอาไว้ว่าถ้าประโยคก่อนหน้านั้นใช้ถึงแม้ว่า ฉ(ค) ≠ หลี่. อันที่จริง ฟังก์ชันใน ฉ(x) ไม่จำเป็นต้องกำหนดอีกครั้งที่จุด ค.

นี่เป็นตัวอย่างที่สองที่แสดงให้เห็นลักษณะ

ตัวอย่างเช่น:

เมื่อไหร่ x ใกล้เคียงกับค่า 2 ในตัวอย่างนี้ ฉ(x) มีคำจำกัดความที่ชัดเจนที่จุดที่ 2 และมีค่าเท่ากับขีดจำกัด ซึ่งเท่ากับ 0.4:

ถ้า x ยิ่งใกล้ 2 ค่าของ ฉ(x) จะใกล้เคียงกับ 0.4 ดังนั้น

ในกรณีใด ฉ เรียกว่าต่อเนื่องที่ x = ค. อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ มันไม่ได้เป็นเช่นนั้นเสมอไป

ตัวอย่างเช่น:

ขีดจำกัด ก(x) ในเวลา x ใกล้เคียงกับ 2 ซึ่งเท่ากับ 0.4 (เหมือนกับ ฉ(x) แต่ : ก ไม่ต่อเนื่องที่จุด x = 2.

หรือตัวอย่างสามารถนำไปที่ไหนก็ได้ ฉ(x) ไม่ได้กำหนดไว้ที่จุด x = ค:

ในตัวอย่างนี้ เวลา x ใกล้ถึง 1, ฉ(x) ไม่ได้กำหนดไว้ที่จุด x = 1 แต่ขีด จำกัด ยังคงเท่ากับ 2 เพราะยิ่งมาก x ใกล้ถึง 1 แล้ว ฉ(x) กำลังเข้าใกล้ 2:

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า:

แล้ว x สามารถทำได้ใกล้เคียงที่สุดเพื่อ 1ตราบใดที่มันไม่เหมือนกับ 1ดังนั้นขีดจำกัดของฉ(x)} ฉ(x) คือ 2

คำจำกัดความอย่างเป็นทางการของ Limit

คำนิยามที่เป็นทางการ ขีดจำกัด กำหนดถ้า ฉ เป็นฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในช่วงเปิดที่มีจุด  (ด้วยข้อยกเว้นที่เป็นไปได้ของจุด ) เช่นเดียวกับ หลี่ เป็นจำนวนจริง ดังนั้น;

นั่นหมายความว่าถ้าสำหรับแต่ละคน เราได้รับ > 0 ซึ่งมีไว้สำหรับทุกคน x โดยที่ 0 < | x – c | แล้วมันจะมีผล | f(x) – แอล | <

ขีด จำกัด ของฟังก์ชันที่ Infinity

แนวความคิดของการจำกัดเมื่อ x เข้าใกล้อนันต์ทั้งบวกและลบเป็นแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับขีด จำกัด เมื่อ x ใกล้เคียงกับตัวเลข

นี่ไม่ได้หมายถึงความแตกต่างระหว่าง x โดยอินฟินิตี้จะเล็กเพราะอินฟินิตี้ไม่ใช่ตัวเลข

แต่หมายความว่า x มีขนาดใหญ่มากถึงอนันต์หรือเล็กมากถึงอินฟินิตี้เชิงลบ

ตัวอย่างเช่น พิจารณาฟังก์ชันด้านล่าง:

1. ฉ(100) = 1.9802
2. ฉ(1000) = 1.9980
3. ฉ(10000) = 1.9998

นั่นคือ มากกว่า x เพิ่มขึ้น แล้วค่าของ ฉ(x) จะใกล้ถึง 2 ในตัวอย่างข้างต้น เราสามารถพูดได้ว่า:

ขีด จำกัด ของสาย

พิจารณาลำดับต่อไปนี้: 1.79, 1.799, 1.7999 …..

เราสามารถดูว่าลิฟท์ต่างๆ ด้านบนกำลังเข้าใกล้หมายเลข 1.8 ซึ่งเป็นขีด จำกัด ของเส้นหรือไม่

อย่างเป็นทางการ ตัวอย่างเช่น x₁, x₂, … เป็นลำดับของจำนวนจริง เราว่าจำนวนจริง (ล) เช่น ขีดจำกัด บรรทัดนี้แล้วเขียนเป็น:

ซึ่งหมายความว่า: สำหรับทุกจำนวนจริง > 0 จะมีจำนวนธรรมชาติ น ดังนั้นสำหรับทุกสิ่ง: น > น, |x_น − หลี่| < ε.

โดย ใช้งานง่าย หมายความว่าถ้าในที่สุดองค์ประกอบทั้งหมดของลำดับจะเข้าใกล้ตามที่เราต้องการถึงขีด จำกัด เพราะค่าสัมบูรณ์ |x_น − หลี่| คือระยะห่างระหว่าง x และนอกจากนี้ยังมี หลี่.

ไม่ใช่ทุกซีเควนซ์ที่มีขีดจำกัด ถ้ามีอะไรเราเรียกมันว่า บรรจบกัน และถ้าไม่ใช่จะเรียกว่า แตกต่าง.

ลำดับการบรรจบกันสามารถแสดงได้ว่ามีขีดจำกัดเดียวเท่านั้น

ขีดจำกัดของลำดับและขีดจำกัดของฟังก์ชันมีความเกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด ในอีกด้านหนึ่ง ลิมิตของลำดับเป็นเพียงขีดจำกัดที่อนันต์ของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยความเคารพต่อจำนวนธรรมชาติ

แต่ในทางกลับกัน ลิมิตของฟังก์ชัน ฉ บน xหากมี เท่ากับขีดจำกัดของลำดับ x_น = ฉ(x + 1/น).

ขีด จำกัด ของฟังก์ชันพีชคณิต

ลิมิตของฟังก์ชันพีชคณิตเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานในแคลคูลัสและการวิเคราะห์ เกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชันที่เข้าใกล้จุดอินพุตบางจุด

เอาต์พุตการแมปฟังก์ชัน เอฟ(x) สำหรับแต่ละอินพุต x. ฟังก์ชันนี้มีขีดจำกัด หลี่ ที่จุดป้อน พี เมื่อไหร่ เอฟ(x) “ใกล้” กับ L เมื่อ x ใกล้กับ พี.

ดังนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่งว่า เอฟ(x) จะได้ใกล้ชิดกับ หลี่ เมื่อไหร่ x ยังเข้าใกล้ พี.

นอกจากนี้ ถ้า ฉ นำไปใช้กับแต่ละอินพุต พอ ใกล้กับ พีผลลัพธ์คือผลลัพธ์ที่ (โดยพลการ) ใกล้กับ หลี่.

คุณรู้หรือไม่?
แม้ว่าโดยปริยายในการพัฒนาแคลคูลัสในศตวรรษที่ 17 และ 18 แนวความคิดสมัยใหม่ของลิมิต ฟังก์ชันใหม่นี้ถูกกล่าวถึงโดยโบลซาโนในปี ค.ศ. 1817 ซึ่งเป็นผู้แนะนำพื้นฐานของเทคนิคเอปซิลอน-เดลตา แต่งานของเขาไม่เป็นที่รู้จักในช่วงชีวิตของเขา –sc: วิกิพีเดีย

หากอินพุตเป็น ปิด บน พี กลายเป็นแมปกับเอาท์พุตที่แตกต่างกันมากแล้วฟังก์ชัน ฉ จะบอกว่าไม่มีขีดจำกัด

คำจำกัดความของลิมิตได้รับการกำหนดขึ้นอย่างเป็นทางการตั้งแต่ศตวรรษที่ 19

แนวคิดเกี่ยวกับขีดจำกัดของฟังก์ชันพีชคณิต

ขีด จำกัด สามารถกำหนดได้ว่าเป็นการ จำกัด สิ่งที่อยู่ใกล้ แต่ไม่สามารถทำได้

ในภาษาคณิตศาสตร์ เงื่อนไขนี้เรียกว่า be ขีดจำกัด.

ลิมิตเป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่มีบางสิ่งกล่าวว่า "ใกล้" หรือ "ใกล้" กับค่าของจำนวนหนึ่ง ลิมิตสามารถอยู่ในรูปแบบของฟังก์ชันที่มีโคโดเมน "เกือบ" หรือ "ใกล้" กับค่าของจำนวนธรรมชาติบางค่า

ทำไมจึงต้องมีขอบเขต? เพราะลิมิตเป็นการแสดงออกถึงฟังก์ชันเมื่อเข้าใกล้ขีดจำกัดบางอย่าง

ทำไมคุณควรเข้าใกล้มัน? เนื่องจากโดยทั่วไปฟังก์ชันไม่ได้กำหนดไว้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง

แม้ว่าฟังก์ชันมักจะไม่ได้กำหนดไว้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง แต่ก็ยังสามารถค้นพบได้ ค่าใดที่ฟังก์ชันเข้าหาถ้าเข้าใกล้จุดใดจุดหนึ่งคือโดย ขีด จำกัด

ในภาษาคณิตศาสตร์ ขีด จำกัด เขียนดังนี้:

นั่นคือ ถ้า x เข้าใกล้ a แต่ x ไม่เท่ากับ a แล้ว f(x) จะเข้าใกล้ L เราสามารถเห็นการเข้าใกล้ของ x ถึง a จากสองด้าน คือ ด้านซ้ายและด้านขวา หรือด้วยคำว่า มิฉะนั้น x สามารถเข้าใกล้จากทางซ้ายและทางขวา เพื่อสร้างขีดจำกัดทางซ้ายและขีดจำกัด ขวา.

ดังนั้น จากคำอธิบายข้างต้น เราจะได้ตัวอย่างสูตรดังต่อไปนี้:

สำหรับค่า x ที่ใกล้เคียงกับ 1:

นี่คือภาพกราฟิก:

เมื่อดูจากภาพด้านบนแล้ว สามารถแบ่งออกเป็น:

• ถ้า x เข้าใกล้ 1 จากทางซ้าย ค่าของ f(x) จะเข้าใกล้ 2
  
• ถ้า x เข้าใกล้ 1 จากทางขวา ค่าของ f(x) จะเข้าใกล้ 2
  
• ดังนั้น ถ้า x เข้าใกล้ 1 ค่าของ f(x) จะเข้าใกล้ 2
  

ทฤษฎีบทหรือคำชี้แจง

กล่าวได้ว่าฟังก์ชันมีขีด จำกัด หากขีด จำกัด ด้านซ้ายและขวามีค่าเท่ากัน ดังนั้น ถ้าขีดจำกัดด้านซ้ายและขีดจำกัดด้านขวาไม่เหมือนกัน ค่าขีดจำกัดจะไม่มีอยู่

นิยามและลิมิตทฤษฎีบท. ตามที่อธิบายไว้ข้างต้น การจำกัดในภาษาทั่วไปหมายถึงการจำกัด

เมื่อเราเรียนคณิตศาสตร์ มีครูบางคนบอกว่าขีดจำกัดคือแนวทาง

ความหมายของขีดจำกัดนี้ระบุว่าฟังก์ชัน f (x) จะเข้าใกล้ค่าหนึ่งๆ หาก x เข้าใกล้ค่าหนึ่งๆ

การประมาณนี้ถูกจำกัดระหว่างจำนวนบวกที่น้อยมากสองตัวที่เรียกว่า เอปซิลอนและเดลต้า.

ความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนบวกขนาดเล็ก 2 จำนวนนี้จะถูกสรุปในคำจำกัดความของลิมิต

คุณสมบัติของขีด จำกัด ของฟังก์ชันพีชคณิต

ถ้า น เป็นจำนวนเต็มบวก k ค่าคงที่ ฉ และ ก เป็นฟังก์ชันที่มีลิมิตอยู่ที่ คแล้วคุณสมบัติบางอย่างต่อไปนี้จะถูกนำมาใช้

ชนิดของวิธีการแก้ข้อ จำกัด เกี่ยวกับพีชคณิต

มีวิธีการหรือวิธีการแก้ขีดจำกัดเกี่ยวกับพีชคณิตหลายวิธี รวมถึง:

• วิธีการทดแทน
• วิธีการแยกตัวประกอบ
• วิธีการหารด้วยเลขชี้กำลังสูงสุดของตัวส่วน
• วิธีการคูณด้วยตัวประกอบร่วม

ที่นี่เราจะอธิบายวิธีการทีละอย่าง ฟังอย่างระมัดระวังใช่

การหาค่าขีดจำกัดของฟังก์ชันพีชคณิต

มี 2 ​​ประเภทเพื่อกำหนดขีดจำกัดของฟังก์ชันพีชคณิต ได้แก่:

แบบฟอร์มแรก:

และรูปแบบที่สองคือ:

1. วิธีการทดแทน

วิธีการทดแทนจะแทนที่ตัวแปรที่ใกล้เคียงกับค่าหนึ่งเท่านั้นด้วยฟังก์ชันพีชคณิต

ตัวอย่างเช่น:

ดังนั้นค่าของฟังก์ชันลิมิตพีชคณิตคือ:

2. วิธีการแฟคตอริ่ง

วิธีการแฟคตอริ่งจะใช้ถ้าไม่สามารถกำหนดวิธีการหรือวิธีการทดแทนที่สร้างค่าจำกัดได้

ตัวอย่างเช่น:

วิธีการแฟคตอริ่งใช้โดยการกำหนดปัจจัยร่วมระหว่างตัวเศษและตัวส่วน

สำหรับรูปแบบลิมิตที่สอง มีหลายวิธีในการกำหนดค่าลิมิตของฟังก์ชันลิมิต พีชคณิตเป็นวิธีการหรือวิธีการหารด้วยกำลังสูงสุดของตัวส่วนและวิธีคูณด้วยตัวประกอบ เพื่อน.

3. วิธีการแบ่งกำลังสูงสุดของตัวส่วน

ตัวอย่างเช่น:

หาค่าลิมิตของฟังก์ชันพีชคณิตของลิมิตด้านล่าง:

กำลังของตัวเศษและตัวส่วนในโจทย์คือ 2 ดังนั้น

ดังนั้น, ค่าลิมิตของฟังก์ชันพีชคณิตคือ

ตัวอย่างคำถามที่ 2

หาค่าลิมิตของฟังก์ชันพีชคณิตของลิมิตด้านล่าง:

พลังของตัวเศษและตัวส่วนในโจทย์คือ 3 ดังนั้น

ดังนั้น ค่าลิมิตของฟังก์ชันพีชคณิตคือ:

4. วิธีการคูณด้วยปัจจัยประกอบ

วิธีนี้ใช้หากวิธีการทดแทนจะสร้างค่าขีดจำกัดที่ไม่ลงตัวในทันที

ฟังก์ชันจะถูกคูณด้วยรูทร่วมกันเพื่อให้รูปแบบลิมิตไม่สมเหตุสมผล จึงสามารถทดแทนค่าโดยตรงได้อีกครั้ง x → ค .

ตัวอย่างเช่น:

ขีด จำกัด ของฟังก์ชันพีชคณิตอนันต์

ในการใช้งานลิมิตของฟังก์ชันพีชคณิต บางครั้งมีค่าของ x ที่เข้าใกล้อนันต์ (∞) ด้วย

ดังนั้น ถ้าฟังก์ชันถูกแทนที่ มันจะสร้างค่าที่ไม่แน่นอน

ในการดำเนินการจำกัด มีกฎหมายหรือทฤษฎีบทจำกัดหลายข้อที่คุณต้องให้ความสนใจ ถ้า n เป็นจำนวนเต็ม k คือค่าคงที่ ฟังก์ชัน f และฟังก์ชัน g คือฟังก์ชันที่มีค่าจำกัดที่ใกล้กับตัวเลข c ดังนั้น:

และมีสองวิธีในการแก้ขีด จำกัด ของฟังก์ชันพีชคณิตของรูปแบบอนันต์ ได้แก่ :

1. หารด้วยอันดับสูงสุด

วิธีนี้ใช้ในฟังก์ชันลิมิตของแบบฟอร์ม .

วิธีนี้สามารถทำได้โดยการหารตัวเศษ f (x) และตัวส่วน g (x) ด้วยตัวแปร x^น กำลังสูงสุดที่มีอยู่ในฟังก์ชัน f (x) และ g (x) จากนั้นจึงแทนที่ด้วย substituteเท่านั้น x → ∞.

ตัวอย่างเช่น:

2. การคูณรูปประกอบ

วิธีนี้ใช้กับฟังก์ชันลิมิตของแบบฟอร์ม . วิธีการหรือวิธีนี้สามารถแก้ไขได้โดยการคูณรูปแบบสารประกอบ กล่าวคือ:

จากนั้นดำเนินการหารด้วยวิธีแรก คือ หารด้วยกำลังสูงสุด

ตัวอย่างเช่น:

ต่อไป หารตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x ซึ่งก็คือ x¹:

ขีดจำกัดของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ลิมิตยังใช้ในฟังก์ชันตรีโกณมิติได้อีกด้วย คำตอบเหมือนกับฟังก์ชันลิมิตพีชคณิต อย่างไรก็ตาม เพื่อให้เข้าใจคำอธิบายถัดไป คุณต้องเข้าใจแนวคิดของตรีโกณมิติก่อน

คำตอบของลิมิตของฟังก์ชันนี้ในตรีโกณมิติสามารถใช้ได้โดยการเปลี่ยนแปลงบางอย่างกับรูปแบบของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์

มีรูปแบบทั่วไปสามรูปแบบในขีด จำกัด ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ได้แก่ :

1. แบบฟอร์ม

ในรูปแบบนี้ ลิมิตของฟังก์ชันตรีโกณมิติ f(x) คือผลลัพธ์ของการแทนที่ค่าของ c เป็น x จากตรีโกณมิติ

ตัวอย่างเช่น:

ถ้า c = 0 ดังนั้นสูตรสำหรับลิมิตของตรีโกณมิติจะเป็นดังนี้:

2. แบบฟอร์ม

ในแบบฟอร์มนี้ ลิมิตจะได้มาจากอัตราส่วนของตรีโกณมิติที่ต่างกัน 2 แบบ

หากตรีโกณมิติทั้งสองนี้ถูกแทนที่โดยตรงด้วยค่าของ c จะทำให้เกิด f (c) = 0 และ g (c) = 0

ดังนั้น ค่าของขีดจำกัดตรีโกณมิติจะกลายเป็นจำนวนไม่แน่นอน . คำตอบเหมือนกับของลิมิตฟังก์ชันพีชคณิต คือแฟคตอริ่ง

ตัวอย่างของแบบฟอร์มนี้คือ:

3. แบบฟอร์ม

ในรูปแบบนี้ ขีดจำกัดได้มาจากการเปรียบเทียบระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติและพีชคณิต

หากใช้แทนกันโดยตรงจะทำให้เกิดตัวเลขที่ไม่แน่นอน ในรูปแบบนี้จะทำด้วยแนวคิดของอนุพันธ์ สูตรพื้นฐานสำหรับขีดจำกัดนี้คือ:

จากสูตรพื้นฐานข้างต้น หากพัฒนาต่อไปจะกลายเป็นสูตรต่อไปนี้:

ตัวอย่างปัญหา และเสวนา

วิธีทำงานกับฟังก์ชัน Undefined จำกัด Fungsi

มีบางครั้งที่การแทนที่ x ด้วย a ใน lim f(x) x→a ทำให้ f(x) เป็นค่าที่ไม่ได้กำหนด หรือ f(a) สร้างรูปแบบ 0/0, /∞ หรือ 0.∞

หากเป็นกรณีนี้ แสดงว่าคำตอบอยู่ในรูปแบบ f(x) พยายามทำให้ง่ายขึ้นเพื่อให้สามารถกำหนดค่าขีด จำกัด ได้

แบบฟอร์มจำกัด 0/0

แบบฟอร์ม 0/0 อาจเกิดขึ้นใน:

เมื่อเราเจอรูปแบบดังกล่าว ให้ลองปรับแต่งฟังก์ชันจนพบส่วนที่สามารถขีดฆ่าได้

ถ้ามันอยู่ในรูปของสมการกำลังสอง เราสามารถลองแยกตัวประกอบหรือโดยวิธีเชื่อมโยง และอย่าลืมว่ามีกฎ a²-b² = (a+b) (a-b).

เราจะยกตัวอย่าง:

/∞. รูปแบบ

รูปแบบลิมิต /∞ เกิดขึ้นบนฟังก์ชันพหุนามดังนี้:

ตัวอย่างปัญหา:

ลองกำหนดค่าขีดจำกัดด้านล่าง:

ตอบ:

นี่คือสรุปโดยย่อของสูตรขีดจำกัดทางคณิตศาสตร์สำหรับแบบฟอร์ม /∞

• เมื่อ m
• ถ้า m=n แล้ว L = a/p
• ถ้า m>n แล้ว L =

แบบฟอร์มจำกัด (∞-∞)

แบบฟอร์ม (∞-∞) มักปรากฏขึ้นระหว่างการสอบระดับชาติ

รูปแบบของปัญหามีมากมายหลายชนิด แต่วิธีแก้ปัญหาอยู่ไม่ไกลจากการทำให้เข้าใจง่าย เราจะยกตัวอย่างคำถามที่เรานำมาจากการสอบระดับชาติปี 2013

คำถามสอบระดับชาติ ปี 2556

กำหนดวงเงิน

หากคุณป้อน x -> 1 แบบฟอร์มจะเป็น (∞-∞) และเพื่อลบแบบฟอร์ม -∞ เราจำเป็นต้องลดความซับซ้อนของแบบฟอร์มเพื่อ

สูตรด่วนแก้อนันต์ลิมิต

สูตรด่วนสำหรับการแก้ขีดจำกัดอนันต์แรกสามารถใช้เพื่อสร้างปัญหาขีดจำกัดอนันต์ในรูปเศษส่วน

ในการหาลิมิตอนันต์ในรูปเศษส่วน เราแค่ต้องพิจารณากำลังสูงสุดของแต่ละตัวเศษและตัวส่วน

มีความเป็นไปได้ 3 อย่างที่อาจเกิดขึ้น

• อย่างแรก กำลังสูงสุดของตัวเศษจะน้อยกว่าอันดับสูงสุดของตัวส่วน
• ประการที่สอง อันดับสูงสุดของตัวเศษจะเหมือนกับอันดับสูงสุดของตัวส่วน
• สาม อันดับสูงสุดของตัวเศษจะสูงกว่าอันดับสูงสุดของตัวส่วน

สูตรที่สามสำหรับค่าขีดจำกัดอนันต์ในรูปแบบของเศษส่วนสามารถดูได้ในสมการด้านล่าง

ตัวอย่างปัญหา:

มูลค่าจำกัดของ: คือ …..

ก. – ∞

ข. – 5

ค. 0

ง. 5

อี ∞

อภิปรายผล:

ค่าอันดับสูงสุดในตัวเศษคือ 3 และค่าอันดับสูงสุดในตัวส่วนคือ 2 (m>n) ดังนั้น ค่าจำกัดคือ

คำตอบ: E

ดังนั้นการทบทวนโดยย่อในครั้งนี้ เราสามารถถ่ายทอดเกี่ยวกับขีดจำกัดทางคณิตศาสตร์ได้ หวังว่าการทบทวนขีด จำกัด ทางคณิตศาสตร์ข้างต้นสามารถใช้เป็นสื่อการเรียนรู้ของคุณได้