เส้นและมุม: วัสดุปัญหาและการอภิปรายประเภทที่ 7

เส้นและมุมเป็นหนึ่งในสื่อการสอนทางคณิตศาสตร์ที่เราจะเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ของโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนต้น คราวนี้เราจะมาเรียนรู้สิ่งต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นและมุม

เริ่มจากความสัมพันธ์ระหว่างเส้นสองเส้น ประเภทของมุม คุณสมบัติของมุม และหน่วยที่ใช้สำหรับมุมด้วย

อ่านบทวิจารณ์ต่อไปนี้อย่างละเอียดยิ่งขึ้น

ไลน์

เส้นคือการจัดเรียงจุด (สามารถไม่มีที่สิ้นสุด) ซึ่งอยู่ติดกันและเรียงตามยาวในสองทิศทาง (ขวา/ซ้าย, ขึ้น/ลง)

ตำแหน่งของสองบรรทัด

เส้นขนาน

เส้นขนานสองเส้น นั่นคือ ถ้าเส้นนั้นอยู่ในระนาบ และจะไม่มีวันบรรจบกันหรือตัดกันหากเส้นนั้นขยายไปถึงอนันต์

สัญลักษณ์ของเส้นขนานคือ (//)

กล่าวกันว่าเส้นสองเส้นขนานกันหากทั้งสองเส้นอยู่ในระนาบเดียวกันหรือส่วนต่อขยายจะไม่ตัดกัน

สำหรับคุณสมบัติบางอย่างของเส้นคู่ขนานนั้น:

• ผ่านจุดนอกเส้น สามารถทำอีกเส้นหนึ่งที่ขนานกับเส้นตรง
• หากมีเส้นที่ตัดกับเส้นคู่ขนานเส้นใดเส้นหนึ่ง เส้นนั้นจะตัดกับเส้นที่สอง
• ถ้าเส้นหนึ่งขนานกับอีกเส้นหนึ่ง เส้นทั้งสองก็จะขนานกัน

เส้นตัดกัน

สองเส้นจะเรียกว่าตัดกัน ถ้าเส้นสองเส้นมีจุดตัดหรือที่เรียกกันทั่วไปว่าจุดร่วม

เส้นทับซ้อนกัน

มีการกล่าวกันว่าเส้นสองเส้นตรงกันหากมีจุดตัดกันอย่างน้อยสองจุด

ตัวอย่างเช่น เข็มชั่วโมงเมื่อแสดงเวลา 12 นาฬิกา จากนั้นเข็มนาฬิกาทั้งสองจะประจวบกัน

ข้ามเส้น

อาจกล่าวได้ว่าเส้นสองเส้นตัดกันหากเส้นทั้งสองไม่ขนานกันและไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน

เพื่อทำความเข้าใจตำแหน่งต่างๆ ของบรรทัดด้านบน ให้ดูภาพด้านล่าง:

มุม

มุมคือสิ่งที่เกิดจากการบรรจบกันของรังสีสองเส้นหรือเส้นตรงสองเส้น

มุมนี้เป็นพื้นที่ที่เกิดจากรังสีที่หมุนรอบฐานของรังสี มุมจะแสดงโดยใช้สัญลักษณ์ “∠”

คำจำกัดความของมุม

ในวิชาคณิตศาสตร์ มุมสามารถกำหนดเป็นพื้นที่ที่เกิดขึ้นจากการมีอยู่ของรังสีสองเส้นที่มีจุดเริ่มต้นเป็นพันธมิตรหรือตรงกัน

มุม ในเรขาคณิต มันคือการวัดการหมุนของส่วนของเส้นตรงจากจุดเริ่มต้นหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง

นอกจากนี้ ในรูปทรงสองมิติปกติ มุมยังสามารถกำหนดเป็นช่องว่างระหว่างส่วนของเส้นตรงที่ตัดกันสองส่วนได้ -sc: วิกิพีเดีย

ชิ้นส่วนในมุม

มุมมีส่วนสำคัญสามส่วน ได้แก่ :

ขามุม

นี่คือเส้นรังสีที่ประกอบเป็นมุม

จุดมุม

เป็นจุดเริ่มต้นหรือจุดตัดที่แนวรังสีมาบรรจบกัน

บริเวณหัวมุม

พื้นที่หรือช่องว่างระหว่างขาทั้งสองข้างของมุม

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม ดูภาพต่อไปนี้:

ประเภทของมุม

เพื่อแสดงขนาดของมุม เราใช้องศา (°) นาที (‘) และวินาที (“) โดยที่:

ตำแหน่งสองบรรทัด

ตำแหน่งของทั้งสองบรรทัดมีดังนี้:

• เส้นตั้งแต่สองเส้นขึ้นไปจะขนานกันหากอยู่ในระนาบเดียวกัน และจะไม่มีวันบรรจบหรือตัดกันหากเส้นขยายไปถึงอนันต์ จำกัด
• มีการกล่าวว่าเส้นสองเส้นตัดกันหากอยู่ในระนาบเดียวกันและมีจุดตัดหนึ่งจุด
• มีการกล่าวว่าเส้นสองเส้นจะชิดกันหากเส้นนั้นเป็นเส้นตรงเพื่อให้มองเห็นเส้นตรงเพียงเส้นเดียว
• มีการกล่าวว่าเส้นสองเส้นตัดกันหากไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกันและจะไม่ตัดกันหากขยายออกไป

ความสัมพันธ์ระหว่างมุม

มุมสี่เหลี่ยม

หากมีมุมสองมุมที่บรรจบกันและเกิดเป็นมุมฉาก มุมหนึ่งก็จะเป็น มุมประกอบสำหรับมุมอื่นๆ เรียกว่า มุมประกอบ (เสริม).

นี่คือภาพสำหรับมุมเอียง:

ผลรวมของมุมประกอบสองมุมคือ 90° มุมหนึ่งเป็นส่วนเสริมของอีกมุมหนึ่ง

มุมตรง

หากมีมุมสองมุมที่ประชิดกันและเกิดเป็นมุมตรง มุมหนึ่งก็จะเป็นมุมประกอบสำหรับอีกมุมหนึ่ง มุมทั้งสองจึงเรียกได้ว่าเป็นมุมประกอบกัน

นี่คือรูปภาพสำหรับมุมตรง:

ผลรวมของมุมประกอบสองมุมคือ 180° มุมหนึ่งเป็นส่วนเสริมของอีกมุมหนึ่ง

ความสัมพันธ์ระหว่างมุมเมื่อเส้นสองเส้นขนานกัน

ตัดโดยสายอื่น

ดูภาพด้านล่างให้ดี:

มุมตรงข้าม (ขนาดเท่ากัน)

เป็นมุมที่มีตำแหน่งและขนาดเท่ากัน ในภาพด้านบน มุมตรงข้ามคือ:

เอ = อี
B = F
C = G
D = H

ตรงข้ามมุมภายใน (ขนาดเดียวกัน)

เป็นมุมที่อยู่ด้านในและตำแหน่งอยู่ตรงข้ามกัน ในภาพด้านบน มุมภายในที่ตรงกันข้ามคือ:

C = E
D = F

ตรงข้ามมุมนอก (ขนาดเดียวกัน)

เป็นมุมที่อยู่ด้านนอกและอยู่ตรงข้ามกัน เช่น

A = G
B = H

มุมตรงข้ามและมุมตรงข้าม

• ถ้าเส้นขนานสองเส้นถูกตัดด้วยเส้นอื่น จะเกิดมุมตรงข้ามสี่คู่ซึ่งมีขนาดเท่ากัน
• หากเส้นสองเส้นถูกตัดด้วยเส้นอื่น ขนาดของมุมภายนอกที่อยู่ตรงข้ามกันจะเท่ากัน
• หากเส้นขนานสองเส้นถูกตัดด้วยเส้นอื่น มุมภายในที่อยู่ตรงข้ามกันจะมีขนาดเท่ากัน
• หากเส้นขนานสองเส้นถูกตัดด้วยเส้นอื่น ผลรวมของมุมภายในจะเท่ากับ 180°

มุมภายใน

เป็นมุมที่อยู่ด้านในและตำแหน่งอยู่ด้านเดียวกัน เมื่อรวมเข้าด้วยกันแล้ว มุมที่อยู่ฝั่งตรงข้ามจะสร้างมุมได้ 180° ตัวอย่างเช่น:

D + E = 180°
C + F = 180°

มุมด้านนอกด้านเดียว

เป็นมุมที่อยู่ด้านนอกและตำแหน่งอยู่ด้านเดียวกัน เมื่อรวมเข้าด้วยกันแล้ว มุมที่อยู่ฝั่งตรงข้ามจะสร้างมุมได้ 180° ตัวอย่างเช่น:

B + G = 180°
A + H = 180°

มุมตรงข้าม (ขนาดเดียวกัน)

เป็นมุมที่มีตำแหน่งอยู่ตรงข้ามกัน ดังรูปด้านบน มุมตรงข้ามคือ

A = C
B = ด
E = G
F = H

คู่ของมุมตรงข้ามเกิดขึ้นเมื่อเส้นสองเส้นตัดกันเพื่อให้สอง มุมที่อยู่ตรงข้ามกับจุดตัดเรียกว่ามุมตรงข้าม
มุมตรงข้ามสองมุมเท่ากัน

หน่วยมุม

ในหน่วยองศา ค่า 1 องศาแทนมุมที่หมุน 1/360 ของรอบ ซึ่งหมายถึง 1°=1/360 รอบ

ในการระบุมุมที่เล็กกว่าองศา (°) เราสามารถใช้สัญลักษณ์นาที (‘) และวินาที (”)

ให้ความสนใจอย่างใกล้ชิดกับความสัมพันธ์ขององศา นาที และวินาทีด้านล่าง:

1 องศา (1°) = 60 นาที (60′)

1 นาที (1′) = 1/60°

1 นาที (1′) = 60 วินาที (60”)

1 องศา (1°) = 3600 วินาที (3600”)

1 วินาที (1”) = 1/3600 °

การวัดมุมเป็นเรเดียน

1° = p/180 เรเดียน

หรือ

1 เรเดียน = 180°/p

ถ้าค่า p = 3.14159 ดังนั้น:

1° = p/180 เรเดียน = 3.14159/180 = 0.017453

หรือ

1 เรเดียน = 180°/p = 180°/3,14159 = 57.296°

ตัวอย่างคำถามและการอภิปราย

เราจะถามคำถามเกี่ยวกับเส้นและมุม ซึ่งรวมถึง:

ปัญหาที่ 1

สามบรรทัดแต่ละ k, l และ m ในการจัดเรียงดังแสดงด้านล่าง

เส้น k ขนานกับเส้น l และเส้น m ตัดกับเส้น k กับ l

ดังนั้น กำหนด:

ก) มุมตรงข้าม
b) มุมตรงข้าม
c) มุมตรงข้ามใน
d) มุมตรงข้ามภายนอก
จ) มุมภายในด้านหนึ่ง
f) มุมภายนอกด้านเดียว
g) มุมตรง

ตอบ:

ก) มุมตรงข้ามคือ:

A1 กับ B1
A4 กับ B4
A2 กับ B2
B3 กับ B3

b) มุมตรงข้ามคือ:

A1 กับ A3
A2 กับ A4
B1 กับ B3
B2 กับ B4

ค) มุมตรงข้ามภายใน (ตรงข้ามภายใน) กล่าวคือ:

A3 กับ B1
A4 กับ B2

d) มุมตรงข้ามภายนอกคือ:

A2 กับ B4
A1 กับ B3

จ) มุมภายในคือ:

A3 กับ B2
A4 กับ B1

f) มุมภายนอกด้านเดียว กล่าวคือ:

A2 กับ B3
A1 กับ B4

g) มุมตรงคือ:

A1 กับ A2
A1 กับ A4
A2 กับ A3
A3 กับ A4
B1 กับ B2
B1 กับ B4
B2 กับ B3
B3 กับ B4

คำถามที่ 2

กำหนดเส้นสามเส้นคือ k, l และ m และมุมที่อยู่ในสิ่งแวดล้อมด้วย k และ l ขนานกันในขณะที่เส้น m ตัดกับเส้น k และ l

ถ้า P = 125 ° ให้กำหนดอีกเจ็ดมุมรอบ ๆ ตัวมัน!

ตอบ:

R = P = 125 ° (เพราะ R อยู่ตรงข้ามกับ P)
T = P = 125 ° (เพราะ T สอดคล้องกับ P)
V = R = 125° (เพราะว่า V อยู่ตรงข้ามกับ R)∠Q = 180° P = 180° − 125° = 55° (เพราะ Q คือเครื่องหนีบผม P)
S = Q = 55° (เพราะว่า S อยู่ตรงข้ามกับ Q)
U = Q = 55° (เนื่องจาก U สัมพันธ์กับ Q)
W = U = 55° (เพราะว่า W อยู่ตรงข้ามกับ U)

ปัญหาที่ 3

ดูภาพด้านล่าง หาก EF ขนานกับ DG และสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุม C เท่ากับ 40°

จากนั้นระบุ:

ก) ขนาดของมุม DBE
b) การวัดมุม BEF
c) มุม CAG

ตอบ:

ก) ขนาดของมุม DBE

ขั้นแรกให้หาการวัดมุม ABC ก่อน ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ดังนั้น ขนาดของ ABC = BAC สามมุมใน a สามเหลี่ยมถ้ารวมกันเป็น 180° ดังนั้น ABC = (180 40): 2 = 70° ดังนั้น BAC จึงเป็น 70°∠DBE = ABC = 70° เพราะอยู่ตรงข้าม กลับ.

b) การวัดมุม BEF

BEF = ABC = 70° เพราะอยู่ตรงข้าม หรือ BEF = DBE = 70° เพราะอยู่ตรงข้าม

c) มุม CAG

CAG = 180 BAC = 180 70 = 110 ° เนื่องจาก CAG และ BAC เป็นเส้นตรง

ปัญหาที่ 4 (แพ็คเกจ UN 2012/2013 54)

ดูภาพด้านล่าง!

ขนาดเครื่องหนีบผมตรง SQR คือ...

1. 101°
2. 100°
3. 95°
4. 92°

ตอบ:

Attention** คำถามนี้เป็นหนึ่งในคำถามลวง หลายคนคิดว่าถ้าคำถามถาม ask SQR แม้ว่าสิ่งที่ขอคือ PQS

เพื่อตอบคำถามนี้ สิ่งแรกที่คุณต้องค้นหาคือค่าของ x

ในกรณีนี้ ∠PQS และ ∠SQR เป็นมุมประกอบ ดังนั้น:

∠PQS + ∠SQR = 180°(5x)° + (4x+9)° = 180°9x° + 9 = 180°9x° = 171°x° = 19°

ที่หนีบผมตรง ∠SQR = PQSที่หนีบผมตรง ∠SQR = (5x)°ที่หนีบผมตรง ∠SQR = (5.19)°ที่หนีบผมตรง ∠SQR = 95° (คำตอบ ค)

คำถามที่ 5. (แพ็คเกจ UN 2009/2010 10)

ดูภาพต่อไปนี้:

มุมที่ 1 คือ 95 องศา และมุมที่ 2 คือ 110 องศา มุมที่ 3 วัดได้...

1. 5°
2. 15°
3. 25°
4. 35°

ตอบ:

∠1 = ∠5 = 95° (ตรงข้ามมุมภายใน)2 + 6 = 180° (จัดชิดกัน)110° + ∠6 = 180°∠6 = 70°∠5 + ∠6 + ∠3 = 180°95° + 70° + ∠3 = 180°165° + ∠3 = 180°∠3 = 15° (คำตอบ ข)

คำถามที่ 6 (แพ็คเกจ UN 2010/2011 15)

ดูภาพด้านล่าง:

ใหญ่ ∠บีซีเอคือ….

1. 70°
2. 100°
3. 110°
4. 154°

ตอบ:

ABC + CBD = 180° (ตรงไปตรงมา)ABC + 112° = 180°เอบีซี = 68°BCA + ABC + BAC = 180°BCA + 68° + 42° = 180°BCA + 110 = 180°BCA = 70° (ตอบ ก)

คำถามที่ 7 (แพ็คเกจ UN 2010/2011 15)

ดูภาพด้านล่าง:

ใหญ่ ∠P3 คือ….

1. 37°
2. 74°
3. 106°
4. 148°

ตอบ:

P2 = 74° (ตรงข้ามกับมุมภายนอก)P2 + P3 = 180° (ตรงไปข้างหน้า)74° + P3 = 180°P3 = 106° (คำตอบ ค)

คำถามที่ 8 (แพ็คเกจ UN 2012/2013 1)

ดูภาพด้านล่าง:

การวัดของที่หนีบผมตรงมุม KLN คือ...

1. 31°
2. 72°
3. 85°
4. 155°

ตอบ:

เพื่อตอบคำถามนี้ ขั้นตอนแรกที่คุณต้องค้นหาคือค่าของ x

ในเรื่องนั้น ∠KLN และ ∠MLN เป็นมุมประกอบ ดังนั้น:

∠KLN + ∠MLN = 180°(3x + 15)° + (2x+10)° = 180°5x° + 25° = 180°5x° = 155°x° = 31°

ที่หนีบผมตรง ∠KLN = MLNที่หนีบผมตรง ∠KLN = (2x+10)°ที่หนีบผมตรง ∠KLN = (2.31 + 10)°ที่หนีบผมตรง ∠KLN = 72° (คำตอบ ข)

ปัญหาที่ 9 (แพ็คเกจ UN 2012/2013 2)

ดูภาพด้านล่าง:

นักตกปลาใหญ่ ∠SQR คือ….

1. 9°
2. 32°
3. 48°
4. 58°

ตอบ:

คำเตือน** คำถามนี้ก็เป็นเรื่องของกับดักด้วย หลายคนคงคิดว่าคำถามนี้กำลังถามอยู่ SQR แม้ว่าสิ่งที่ขอคือ PQS

เพื่อตอบคำถามนี้ ขั้นตอนแรกที่คุณต้องค้นหาคือค่าของ x

ในเรื่องนั้น ∠SQR และ ∠PQS เป็นมุมฉาก ดังนั้น:

∠SQR + ∠PQS = 90°(3x + 5)° + (6x+4)° = 90°9x° + 9° = 90°9x° = 81°x° = 9°

มุม ∠SQR = PQSมุม ∠SQR = (6x+4)°มุม ∠SQR = (6.9 + 4)°มุม ∠SQR = 58° (คำตอบ ง)

คำถามที่ 10. (แพ็คเกจ UN 2012/2013 5)

ดูภาพด้านล่าง:

ที่หนีบผมตรงดีเยี่ยม ∠อบต. คือ...

1. 32°
2. 72°
3. 96°
4. 108°

ตอบ:

ในการตอบคำถามหมายเลข 10 ขั้นตอนแรกที่คุณต้องค้นหาคือค่าของ x

ในเรื่องนั้น ∠AOC และ ∠BOC เป็นมุมประกอบ ดังนั้น:

∠AOC + ∠BOC = 180°(8x – 20)° + (4x+8)° = 180°12x° – 12° = 180°12x° = 192°x° = 16°

ที่หนีบผมตรง ∠AOC = BOCที่หนีบผมตรง ∠AOC = (4x+8)°ที่หนีบผมตรง ∠AOC = (4.16 + 8)°ที่หนีบผมตรง ∠AOC = 72° (คำตอบ ข)

นั่นคือการทบทวนสั้นๆ ในครั้งนี้เกี่ยวกับเส้นและมุมที่เราสามารถถ่ายทอดได้ หวังว่าการทบทวนเส้นและมุมด้านบนสามารถใช้เป็นสื่อการเรียนรู้ของคุณได้