พหุนาม: วัสดุ, เงื่อนไข, การคำนวณ, ปัญหาตัวอย่าง, การอภิปราย

พหุนาม หรือที่เรียกอีกอย่างว่าพหุนามคือรูปแบบของคำที่มีค่ามากมายประกอบด้วยตัวแปรตัวแปรและค่าคงที่ การดำเนินการที่ใช้เป็นเพียงการบวก ลบ คูณ และยกกำลังของจำนวนเต็มไม่เป็นลบ

รูปแบบทั่วไปของพหุนามนี้คือ:

รูปแบบทั่วไปของพหุนาม: _น x^น +_n-1 x^n-1 +... +₁ x + เป็

ข้อมูล:

กับ_น, แ_n-1, …., ก₁, แ₀ € R สัมประสิทธิ์หรือค่าคงที่

พหุนาม a_น 0 และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

กำลังสูงสุดของ x คือดีกรีของพหุนาม ในขณะที่เงื่อนไขที่ไม่มีตัวแปร (a) จะเรียกว่าเงื่อนไขคงที่ (คงที่)

พหุนามสามารถมีลักษณะดังนี้:
25x² + 19x – 06

อีกตัวอย่างหนึ่งของรูปแบบพหุนามคือ:

• 3x
• x – 2
• -6ปี² – (½)x
• 3xyz + 3xy²z – 0.1xz – 200y + 0.5
• 512v⁵+ 99w⁵
• 5 (ค่าคงที่คือสัมประสิทธิ์ซึ่งตัวแปรมีกำลังเป็น 0 ดังนั้นตัวเลขจึงเป็นพหุนาม)

พหุนามสามารถมี:

• ตัวแปร (เป็นค่าที่ไม่แน่นอน เช่น x, y, z ในสมการ อาจมีมากกว่า 1 ตัวแปร)
• ค่าสัมประสิทธิ์ (เป็นค่าคงที่ที่มาพร้อมกับตัวแปร)
• ค่าคงที่ (ค่าคงที่ไม่เปลี่ยนแปลง)
• เลขชี้กำลังหรืออันดับ คือกำลังของตัวแปร เรียกอีกอย่างว่า ระดับ ของพหุนาม

ศัพท์พหุนาม

นอกจากนี้ยังมีเงื่อนไขหลายประการที่ทำให้สมการสามารถเรียกได้ว่าเป็น 'พหุนาม' ซึ่งรวมถึงเงื่อนไขต่อไปนี้:

• ตัวแปรต้องไม่มีเศษส่วนหรือเลขชี้กำลังลบ
• ไม่สามารถรวมตัวแปรในสมการตรีโกณมิติได้

พหุนามและไม่ใช่พหุนาม

นี่คือรูปแบบบางส่วนที่ ไม่รวม ให้อยู่ในรูปพหุนาม ได้แก่

• 3xy^-2 เพราะอันดับติดลบ เลขชี้กำลังหรือเลขชี้กำลังต้องเป็น {0,1,2…} เท่านั้น
• 2/(x+2) เพราะไม่อนุญาตให้หารด้วยตัวแปร (เลขชี้กำลังของตัวส่วนเป็นค่าลบ)
• 1/x ด้วยเหตุผลเดียวกัน ^.
• x เพราะรากเป็นเลขชี้กำลังเศษส่วนซึ่งไม่ได้รับอนุญาต
• x cos x เพราะมีตัวแปร x ในฟังก์ชันตรีโกณมิติ

นี่คือสิ่งที่ อนุญาตหรือรวมอยู่ด้วย ในรูปแบบพหุนาม ให้ความสนใจ:

• x/2อนุญาต เพราะคุณสามารถหารด้วยค่าคงที่ได้
• x²  สามารถ, เพราะหลังจากอธิบายผลลัพธ์แล้วจะไม่มีเลขยกกำลังเศษส่วน
• √2สามารถ เพราะรูทเป็นค่าคงที่ ไม่ใช่ตัวแปร
• x⁵ – (cos)x³ – (ตาล 60°)x – 1สามารถ เพราะฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นค่าคงที่ และไม่มีตัวแปรอยู่ในนั้น
• 
  แบบฟอร์มข้างต้นสามารถ เพราะหลังจากอธิบายไปแล้วจะเป็น:
  
  โดยที่ไม่มีตัวแปรเป็นตัวส่วนหรือตัวแปรที่มีพลังลบ

ค่าพหุนาม

ค่าของพหุนาม f (x) สำหรับ x=k หรือ f (k) สามารถพบได้โดยใช้วิธีการแทนที่หรือใช้รูปแบบ Horner นี่คือรายละเอียด:

วิธีทดแทน:
โดยการแทนที่ x = k ลงในพหุนาม เราจะได้:

f(x) = a_น k^น +_n-1 k^n-1 +... +₁ k + เป็

วิธีการแตรโครงการ:
ตัวอย่างเช่น:
(f(k) = x³ + bx² + cx + d ดังนั้น: f(k) = ak³ + bk² + ck + d
xa³ + bx² + cx + d = (ak² + bk + c) k+d
= ((ak + b) k + c) k+d

กองพหุนาม

โดยทั่วไป การหารในพหุนามสามารถเขียนได้ดังนี้:

สูตร:f(x) = g(x) h(x) + s(x)

ข้อมูล:

• f(x) เป็นพหุนามที่หารลงตัว
• g(x) เป็นพหุนามตัวหาร
• h(x) คือผลหาร
• s(x) คือพหุนามที่เหลือ

การแบ่งพหุนามโดยใช้วิธีของฮอร์เนอร์

เราสามารถทำการหารพหุนามหรือพหุนาม f (x) ด้วย (xk) โดยใช้วิธีฮอร์เนอร์

เราสามารถใช้วิธีนี้สำหรับตัวหารระดับ 1 หรือตัวหารที่สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวหารของระดับ 1

วิธีการมีดังนี้:

• เขียนเฉพาะสัมประสิทธิ์ → ต้องสอดคล้องกันหรือตามลำดับโดยเริ่มจากสัมประสิทธิ์ x^น, x^{น – 1},... เป็นค่าคงที่ (หากมีตัวแปรที่ไม่มีอยู่ สัมประสิทธิ์จะถูกเขียนเป็น 0)

ตัวอย่างเช่น: สำหรับ 4x³ – 1 สัมประสิทธิ์คือ 4, 0, 0, และ -1 (สำหรับ x³, x², x และค่าคงที่)

• ถ้าสัมประสิทธิ์ดีกรีสูงสุดคือ P(x) 1 ผลหารต้องหารอีกครั้งด้วยสัมประสิทธิ์ดีกรีสูงสุด P(x)
• หากเราสามารถแยกตัวประกอบตัวหารได้แล้ว:
  • ถ้าตัวหารสามารถแยกตัวประกอบเป็น P₁ และพี่₂แล้ว S(x) = P₁.S₂ + ส₁
  • ถ้าตัวหารสามารถแยกตัวประกอบเป็น P₁, พี่₂, พี่₃แล้ว S(x) = P₁.P₂.S₃ + พี่₁.S₂ + ส₁
  • ถ้าตัวหารสามารถแยกตัวประกอบเป็น P₁, พี่₂, พี่₃, พี่₄แล้ว S(x) = P₁.P₂.P₃.S₄ + พี่₁.P₂.S₃ + พี่₁.S₂ + ส₁
  • และอื่นๆ

ตัวอย่างคำถามโดยใช้วิธี horner:

ปัญหาที่ 1

F(x) = 2x³ – 3x² + x + 5 หารด้วย P(x) = 2x² – x – 1

ตอบ:

P(x) = 2x² – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)

พี₁: 2x + 1 = 0 → x = –

พี₂: x – 1 = 0 → x = 1

วิธีการฮอร์เนอร์:

H(x) = 1.x – 1 = x – 1

S(x) = P₁.S₂ + ส₁ = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + + 7/2 = x + 4

ค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน

F(x) = P(x).H(x) + S(x)

สำหรับปัญหาตัวอย่างข้างต้น (คำถามที่ 1 ในวิธี Horner) เนื่องจาก F(x) มีดีกรี 3 และ P(x) มีดีกรี 2 ดังนั้น:

H(x) องศา 3 – 2 = 1

S(x) องศา 2 – 1 = 1

สมมุติว่า H(x) = ax + b และ S(x) = cx + d

จากนั้น:

2x³ – 3x² + x + 5 = (2x² – x – 1).(ขวาน + b) + (cx + d)

ด้านขวามือจะกลายเป็น:

= 2x³ + 2bx² – ขวาน² – bx – ขวาน – b + cx + d

= 2x³ + (2b – a) x² + (–b – a + c) x + (–b + d)

ปรับค่าสัมประสิทธิ์ทางด้านซ้ายและด้านขวาให้เท่ากันเพื่อให้กลายเป็น:

x³ → 2 = 2a → a = 2/2 = 1

x² → –3 = 2b – a → 2b = –3 + a = –3 + 1 = –2 → b = –2/2 = –1

x → 1 = –b – a + c → c = 1 + b + a = 1 – 1 + 1 → c = 1

ค่าคงที่ → 5 = –b + d → d = 5 + b = 5 – 1 → d = 4

ดังนั้นผลลัพธ์สุดท้ายคือ:

H(x) = ขวาน + b = 1.x – 1 = x – 1

S(x) = cx + d = 1.x + 4 = x + 4

สูตรเปรียบเทียบที่ควรรู้คือ

• องศา H(x) = องศา F(x) – องศา P(x)
• องศา S(x) = องศา P(x) – 1

การบวก การลบ และการคูณพหุนาม

ต่อไปนี้ เราจะยกตัวอย่างของปัญหาพหุนามในการบวก การลบ และการลบ ให้ความสนใจอย่างใกล้ชิดฮะ!!

ตัวอย่างปัญหา:

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าพหุนาม f (x) และ g (x) มีดังนี้:

• ฉ(x) = 2x³ – x² + 5x – 10
• ก.(x) = 3x² – 2x + 8

จากนั้นกำหนด:

ก) ฉ(x) + ก.(x)

ข) ฉ(x) – ก.(x)

ค) ฉ(x) x ก.(x)

ตอบ:

ก) ฉ(x) + ก.(x) = (2x³ – x² + 5x – 10) + (3x² – 2x + 8)
= 2x³ – x² + 3x² + 5x – 2x – 10 + 8
= 2x³ + 2x² + 3x – 2

ข) ฉ(x) – ก.(x) = (2x³ – x² + 5x – 10) – (3x² – 2x + 8)
= 2x³ – x² – 3x² + 5x + 2x – 10 – 8
= 2x³ – 4x²  + 7x – 18

ค) ฉ(x) x ก.(x) = (2x³ – x² + 5x – 10) × (3x² – 2x + 8)
= 2x³(3x² – 2x + 8) – x²(3x² – 2x + 8) + 5x (3x² – 2x + 8) – 10(3x .)² – 2x + 8)
= 2x⁵ – 4x⁴ + 16x³ – 3x⁴ + 2x³ – 8x²  + 15x³ – 10x² + 40x – 30x² + 20x – 80
= 2x⁵ – 7x⁴ +33x³ – 48x² + 60x – 80

อย่างไร? ง่ายใช่มั้ย?

ทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทนี้ใช้เพื่อกำหนดรากของสมการกำลังที่มากกว่าสอง ทฤษฎีบทมีอยู่สองประเภท คือ ทฤษฎีบทเศษเหลือและทฤษฎีบทปัจจัย นี่คือคำอธิบาย

ทฤษฎีบทที่เหลือ

ตัวอย่างเช่น ถ้า f (x) หารด้วย p (x) ด้วยผลหารของ h (x) และเศษเหลือของ h (x) เราจะได้ความสัมพันธ์:

เอฟ(x) = พี(x) x สูง(x) x เอส(x)

ถ้า เอฟ(x) องศา n และ พี(x) ตัวหารของดีกรี m โดยที่ m n แล้ว:

• สูง(x) ระดับ (น – ม)
• เอส(x) ระดับสูงสุด (ม. – 1)

ทฤษฎีบทสำหรับส่วนที่เหลือมีดังนี้:

1. 1. ถ้า เอฟ(x) องศา n หารด้วย (x -k) ที่เหลือก็คือ S = ฉ(k). ส่วนที่เหลือของ ฉ(k) คือค่าพหุนามสำหรับ x = เค
   2. ถ้า เอฟ(x) องศา n หารด้วย (ขวาน + b) จากนั้นส่วนที่เหลือคือ S = f(-b/a). ส่วนที่เหลือของ ฉ(-b/a) คือค่าของ x = -b/a.
   3. ตัวหารของดีกรี m 2 ที่สามารถแยกตัวประกอบได้จากนั้นส่วนที่เหลือขององศาคือ (ม. – 1).

สูตรที่เหลือที่ใช้กันทั่วไปคือ:

s(x) = mx + n

เพื่อให้เข้าใจคำอธิบายข้างต้นได้ดียิ่งขึ้น เราจะยกตัวอย่างคำถามดังนี้

ตัวอย่างคำถาม

ปัญหาที่ 1

พหุนามเมื่อหารด้วย x + 2 เหลือเศษ -13 และเมื่อหารด้วย x - 3 เศษที่เหลือจะเป็น 7 จงหาเศษที่เหลือเมื่อพหุนามหารด้วย x² – x – 6!

ตอบ:

วิธีที่ 1:

สูตรที่เหลือคือ: s(x) = mx + n, ดังนั้น:

k(x) = x² – x – 6
k(x) = (x + 2) (x – 3)

เรารู้ว่าถ้าเราหารด้วย x + 2 เศษจะเป็น -13 และถ้าเราหารด้วย x – 3 เศษก็จะเป็น 7

ดังนั้น k(-2) = -13 และ k(3) = 7

กลับมาที่สูตร Remainder จะได้ว่า

s(x) = mx + n
s(-2) = -2m + n = -13
s(3) = 3m + n = 7

จากนั้นเราก็ใช้ วิธีการกำจัด อย่างไร:

-2m + n = -13
3m + n = 7

-5m = -20
ม. = 4

แล้วใช้ วิธีการทดแทน แทนที่ในสมการ:

12 + n = 7
n = -5

จากนั้นกลับไปที่สูตร s(x) = mx + n

ดังนั้นจึงเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าส่วนที่เหลือของพหุนามถ้าหารด้วย x² – x – 6 ผลลัพธ์คือ 4x – 5

คำอธิบายสั้น ๆ ของคำถาม:

พหุนาม 8x³ – 2x + 5 หารด้วย x + 2 มีเศษเหลือ (S):

S = f(k) = 8x³ – 2x + 5

S = ฉ(-2) = 8(-2)³ – 2(-2)² + 5

S = -67

ทฤษฎีบทปัจจัย

พหุนาม F(x) มีตัวประกอบ (x – k) ถ้า F(k) = 0 (เศษเหลือเมื่อหารด้วย (x – k) ให้ผลลัพธ์เป็น 0)

บันทึก:ถ้า (x – k) เป็นปัจจัยของ F(x) แล้ว k จะถูกเรียกว่ารากของ F(x)

เคล็ดลับ

1. ในการหารากของพหุนามโดยใช้วิธี Horner เราสามารถใช้มันได้โดยการทดลองกับตัวเลข จากปัจจัยคงที่หารด้วยปัจจัยสัมประสิทธิ์กำลังสูงสุดซึ่งจะให้ส่วนที่เหลือ = 0.
   ตัวอย่างเช่น:
   สำหรับ x³ – 2x² – x + 2 = 0 ตัวประกอบคงที่คือ: ±1, ±2 ปัจจัยสัมประสิทธิ์กำลังสูงสุดคือ: ±1
   ดังนั้น ตัวเลขที่ต้องทดสอบคือ: ±1 และ ±2 สำหรับ 4x³ – 2x² – x + 2 = 0
   ปัจจัยคงที่: ±1, ±2, ปัจจัยสัมประสิทธิ์กำลังสูงสุด: ±1, ±2, ±4.
   ดังนั้น ตัวเลขที่ควรลอง: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4
2. หากจำนวนสัมประสิทธิ์ของพหุนาม = 0 ดังนั้นหนึ่งในรากต้องเป็น x = 1
3. หากจำนวนของสัมประสิทธิ์ในตำแหน่งคู่ = จำนวนสัมประสิทธิ์ในตำแหน่งคี่ ดังนั้นหนึ่งในรากจะต้องเป็น x = –1

ดูตัวอย่างคำถามด้านล่าง:

หาคำตอบของ x³ – 2x² – x + 2 = 0?

ตอบ:

ตัวประกอบของค่าคงที่คือ 2 ซึ่งก็คือ ±1 และ ±2 และตัวประกอบของค่าสัมประสิทธิ์กำลังสูงสุดคือ 1 คือ ±1 ดังนั้นตัวเลขที่ต้องลองคือ ±1 และ ±2

เนื่องจากผลรวมของสัมประสิทธิ์ทั้งหมด + ค่าคงที่ = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0) ดังนั้นแน่นอนว่า x = 1 เป็นหนึ่งในปัจจัย ดังนั้น:

ดังนั้น x³ – 2x² – x + 2 = (x – 1)(x² – x – 2)

= (x – 1)(x – 2)(x + 1)

x = 1 x = 2 x = –1

ดังนั้น เราสามารถหาชุดคำตอบได้: {–1, 1, 2}

ธรรมชาติของรากเหง้าของหลายเผ่า

ในสมการของดีกรี 3:

ขวาน³ + bx² + cx + d = 0 จะมีราก x₁, x₂, x₃

ด้วยคุณสมบัติ:

• ผลรวมของ 1 รูท: x₁ +x₂ +x₃ = – b/a
• ผลรวมของราก 2 ราก: x₁.x₂ +x₁.x₃ +x₂.x₃ = c/a
• ผลิตภัณฑ์ 3 ราก: x₁.x₂.x₃ = – d/a

ในสมการของดีกรี 4:

ขวาน⁴ + bx³ +cx² + dx + e = 0 จะมีราก x₁, x₂, x₃, x₄

ด้วยคุณสมบัติ:

• ผลรวมของ 1 รูท: x₁ +x₂ +x₃ +x₄ = – b/a
• ผลรวมของราก 2 ราก: x₁.x₂ +x₁.x₃ +x₁.x₄ +x₂.x₃ +x₂.x₄ +x₃.x₄ = c/a
• ผลรวมของ 3 ราก: x₁.x₂.x₃ +x₁.x₂.x₄ +x₂.x₃.x₄ = – d/a
• ผลิตภัณฑ์ 4 ราก: x₁.x₂.x₃.x₄ = e/a

ในสมการของดีกรี 5:

ขวาน⁵ + bx⁴ +cx³ + dx + e = 0 จะมีราก x₁, x₂, x₃, x₄, x₅

ด้วยคุณสมบัติ:

• ผลรวมของ 1 รูท: x₁ +x₂ +x₃ +x₄ +x₅ = – b/a
• ผลรวมของราก 2 ราก: x₁.x₂ +x₁.x₃ +x₁.x₄ +x₂.x₃ +x₂.x₄ +x₃.x₄ +x₄.x₅ =c/a
• ผลรวมของ 3 ราก: x₁.x₂.x₃ +x₁.x₂.x₄ +x₂.x₄.x₅ = – d/a
• ผลิตภัณฑ์ 4 ราก: x₁.x₂.x₃.x₄.x₅ = e/a

จากสมการทั้งสองนี้ เราสามารถหาสูตรเดียวกันสำหรับสมการดีกรี 6 และอื่นๆ ได้ (สังเกตรูปแบบ: –b/a, c/a, –d/a, e/a, …)

แชร์พิเศษ

ดูภาพด้านล่างอย่างระมัดระวัง:

ตัวอย่างคำถามและการอภิปราย

ปัญหาที่ 1

พหุนาม f (x) (x – 2) ยังคงเป็น 24 และ f (x) (x + 5) เหลือเศษ 10 จากนั้น f(x) จะถูกหารด้วย x² + 3x – 10 ที่เหลือคือ…

ก. x + 34
ข. x – 34
ค. x + 10
ง. 2x + 20
อี 2x – 20

ตอบ:

สูตรคือ P(x) = H(x) ตัวหาร + (px + q)

เป็นที่รู้จัก:

• f (x) (x – 2) เหลือ 24 จากนั้น:

f(x) = H(x)(x – 2) + 24

จากนั้นแทนที่ x = 2 ดังนั้น:

f(2) = H(2)(2 – 2) + (2p + q)
= 2p + q = 24 …. (ผม)

f(x) (x + 5) เหลือ 10 ดังนั้น:
f(x) = H(x)(x + 5) + 10

โดยการแทนที่ x = -5 ดังนั้น:
(f(-5) = H(-5)(-5 + 5) + (-p + q)
= -5p + q = 10 …. (ii)

ขจัดสมการ (i) และ (ii):
2p +q = 24
-5p +q =10
7p = 14
p = 2

ในการแทนที่ p = 2 บน 2p + q = 24
2(2) + q = 24
q = 24 – 4
q = 20

ถ้า f(x) หารด้วย x² + 3x – 10 แล้ว:

ฉ(x) = สูง(x)(x² + 3x – 10) + (px + q)
f(x) = H(x) (x-2) (x + 5) + (px + q)

ส่วนที่เหลือ px + q = 2x + 20

คำตอบ: D

คำถามที่ 2

พหุนาม x⁴ – 3x³ – 5x² + x – 6 หารด้วย x² – x -2 เศษที่เหลือเท่ากับ …

ก. 16x + 8
ข. 16x – 8
ค. -8x + 16
ง. -8x – 16
อี -8x – 24

ตอบ:

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าตัวหารคือ: x² – x -2 ดังนั้น:
x² – x -2= 0
(x – 2) (x + 1) = 0
x = 2 และ x = -1

จำสูตร: P(x) = H(x) + (px + q) ดังนั้น ส่วนที่เหลือ (px + q) จากนั้น:

• x = 2

f(2) = 2p + q
24 – 3(2)3 – 5(2)2 + 2 – 6 = 2p + q
16 – 24 – 20 + 2 – 6 = 2p + q
-32 = 2p + q … (ผม)

• x = -1

f(-1) = -p + q
(-1) – 3(-1)3 – 5(-)2 + (-1) – 6 = -p + q
1 + 4 – 5 – 1 – 6 = -p + q
-8 = -p + q …(ii)

ขจัดสมการ (i) และ (ii) ให้เป็น:

-32 =2p +q
-8 =-p ​​​​+q
-24 =3p
p = -8

ถ้าเราแทน p = –p + q = -8
-(-8) + q = -8
q = -16

จากนั้น ส่วนที่เหลือคือ = p + q = -8x – 16

คำตอบ: D

ปัญหาที่ 3

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า g(x) = 2x³ + ขวาน² + bx + 6 และ h(x) = x² + x – 6 เป็นตัวประกอบของ g(x) คุณค่าของสิ่งที่เติมเต็มคือ...

ก. -3
ข. -1
ค. 1
ง. 2
อี 5

ตอบ:

x2 + x – 6 = 0
(x + 3)(x – 2) = 0
x = -3 และ x = 2

เนื่องจาก h(x) เป็นตัวประกอบของ g(x) ดังนั้น:

• ก.(-3) = 0

2x³ + ขวาน² + bx + 6 = 0
2(-3)3 + a(-3)2 + b(-3) + 6 = 0
-54 + 9a – 3b + 6 = 0
9a – 3b = 48 … (ผม)

• ก.(2) = 0

2x³ + ขวาน² + bx + 6 = 0
2(2)3 + a(2)2 + b(2) + 6 = 0
16 + 4a + 2b + 6 = 0
4a + 2b = – 22
2a + b = – 11 … (ii)

ขจัดสมการ (i) และ (ii):

• 9a -3b 48 | x1 | 9a -3b = 48
• 2a +b = -11 | x3 | 6a +3b = -33
• 15a = 15
• a = 1

คำตอบ: C

ปัญหาที่ 4

ถ้า f(x) หารด้วย x² – 2 และ x² – 3x แต่ละตัวมีเศษเหลือ 2x + 1 และ 5x + 2 จากนั้น f(x) หารด้วย x² – 5x + 6 มีเศษเหลือ…

ก. 22x – 39
ข. 12x + 19
ค. 12x – 19
ง. -12x + 29
อี -22x + 49

ตอบ:

ตัวอย่างเช่น ส่วนที่เหลือของการหารคือ S(x) = px+ q ดังนั้น:

f (x) หารด้วย x² – 2x หรือ x (x -2) → x =2 และเศษที่เหลือคือ 2x + 1 ดังนั้น:
S(2) = 2x + 1
S(2) = 2(2) + 1
S(2) = 5
2p + q = 5 … (ผม)

f (x) หารด้วย x2 – 3x หรือ x (x – 3) –> x = 3 เศษที่เหลือคือ 5x + 2 ดังนั้น:
S(3) = 5x + 2
S(3) = 5(3) + 2
S(3) = 17
3p + q = 17 … (ii)

กำจัด (i) และ (ii):
2p + q = 5
3p +q =17
-p = -12
p = 12

แทนที่ p = 12 ใน 2p + q = 5
2(12) + q = 5
24 + q = 5
q = -19

จากนั้นส่วนที่เหลือคือ: px + q = 12x – 19

คำตอบ: ค.

คำถามที่ 5.

พหุนาม 2x³ + 5x² + ax + b x + 1 เศษที่เหลือคือ 1 และถ้า (x – 2) เศษที่เหลือคือ 43 ค่า a + b = …

ก. -4
ข. -2
ค. 0
ง. 2
อี 4

ตอบ:

• หารด้วย (x + 1) ส่วนที่เหลือคือ 1

ดังนั้น ณ เวลา x = -1, h(-1) = 1
2(-1)³ + 5(-1)² + a(-1) + b = 1
-2 + 5 – a + b = 1
-a + b = 1 – 3
-a + b = -2 …(ผม)

• หาร (x – 2) ส่วนที่เหลือคือ 43

ดังนั้นเมื่อ x = 2, h(2) = 43
2(2)³ + 5(2)² + a(2) + b = 43
16 + 20 + 2a + b = 43
2a + b = 43 – 36
2a + b = 7 …. (ii)

กำจัด (i) ซีรั่ม (ii):
2a + b = 7
-a +b = -2
3a = 9
a = 3

แทนที่ a = 3 ลงใน 2a + b = 7 คุณจะได้:
2(3) + ข = 7
6 + ข = 7
ข = 1

ให้ส่วนที่เหลือ = ax + b แล้ว:
x² -3x + 2 = (x – 2)(x – 1)

จากนั้นที่เหลือคือ:
ฉ(1) = 3
a + b = 3 … (ผม)

ฉ(2) = 4
2a + b = 4 … (ii)

กำจัด (i) และ (ii):
2a + b = 4
a + b = 3
a = 1

ในการทดแทน a = 1 ใน a + b = 3
1 + ข = 3
ข = 2

เราจึงรู้ว่าส่วนที่เหลือคือ: ax + b = x + 2

คำตอบ: B

ปัญหาที่ 9

จำนวนรากที่แท้จริงของ x⁴ – 3x³ – 3x² + 7x + 6 = 0 คือ…

ก. 2
ข. 3
ค. 4
ง. 5
อี 6

ตอบ:

x4 -3×3 -3×2 +7x +6 =0
(1 +)(x3 -4×2 +x +6) =0
(x+1)(x+1- x2 – 5x +6) + 0

(x +1)(x +1)(x -2)(x -3) = 0
x = -1, x = 2 และ x = 3

จึงมี 3 ราก

คำตอบ: B

คำถามที่ 10.

พหุนาม: x3 -4x + px +6 และ z2 +3x -2 หารด้วย (x + 1) มีเศษเหลือเท่ากัน ดังนั้นค่าของ p คือ ...

ก. 7
ข. 5
ค. 3
ง. -5
อี -7

ตอบ:

ตัวอย่างเช่น f (x) = x3 -4×2 + px +6 และ x2 +3x -2

จากนั้นหาร (x + 1) แล้ว
x = -1
ฉ(-1) = ก.(-1)

(-1)³ – 4(-1)² + p(-1) + 6 = (-1)² + 3( -1) -2
-1 – 4 – p + 6 = 1 -3 – 2
1 – p = -4
p = 5

คำตอบ: B

ดังนั้นการทบทวนพหุนามสั้น ๆ ที่เราสามารถถ่ายทอดได้ หวังว่าบทวิจารณ์ข้างต้นจะสามารถใช้เป็นสื่อการเรียนรู้ของคุณได้