ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นของสองตัวแปร

อสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (SPLDV) -  เป็นประโยคเปิดทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีตัวแปรสองตัว

โดยแต่ละตัวแปรมีดีกรีเป็นหนึ่งและสัมพันธ์กับเครื่องหมายอสมการ สัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันที่อ้างถึงในที่นี้ ได้แก่ >,

ดังนั้น เราสามารถเขียนรูปของอสมการเชิงเส้นได้ดังนี้:

• ขวาน + โดย > c
• ขวาน + โดย < c
• ขวาน + โดย c
• ขวาน + โดย c

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของประโยคทางคณิตศาสตร์:

2x + 3y > 6
4x – y < 9

ประโยคเปิดบางประโยคด้านบนใช้ยัติภังค์เช่น , > หรือ <. ซึ่งบ่งชี้ว่าประโยคนั้นเป็นความไม่เท่าเทียมกัน

อสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (SPLDV)

ต่างจากกรณีที่มีการแก้สมการเชิงเส้นสองตัวแปรในรูปแบบของชุดของจุดคู่

หรือถ้าเราวาดกราฟมันจะเป็นเส้นตรง

คำตอบของความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นของตัวแปรสองตัวอยู่ในรูปของพื้นที่การแก้ปัญหา

ในทางปฏิบัติ การแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นอาจอยู่ในรูปแบบของพื้นที่แรเงาหรือในทางกลับกัน พื้นที่การแก้ปัญหาสำหรับความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นของตัวแปรสองตัวจะอยู่ในรูปแบบของพื้นที่สะอาด

เพื่อกำหนดพื้นที่ของการแก้ปัญหา เราสามารถทำตามขั้นตอนดังต่อไปนี้:

1. เปลี่ยนเครื่องหมายอสมการของอสมการเป็นเครื่องหมายเท่ากับ (=) เราจะได้สมการเชิงเส้นของตัวแปรสองตัว
2. การวาดกราฟหรือเส้นสมการเชิงเส้นของตัวแปรทั้งสองก่อนหน้านี้
   เราสามารถทำได้โดยกำหนดจุดตัดของแกน x และแกน y ของสมการ
   หรือคุณสามารถใช้จุดสองจุดที่ข้ามเส้นก็ได้ เส้นจะแบ่งระนาบคาร์ทีเซียน
3. ทำการทดสอบจุดที่ไม่มีการข้ามเส้น (แทนที่ค่า x และ y ของจุดนั้นเป็นอสมการ) หากสร้างข้อความจริงแสดงว่าพื้นที่นั้นเป็นคำตอบ
   แต่ถ้ามันสร้างข้อความเท็จ อีกส่วนคือทางออก

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม ดูบทวิจารณ์ต่อไปนี้

ระบบอสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นคือความไม่เท่าเทียมกันที่ตัวแปรอิสระเป็นเชิงเส้น (ยกกำลังหนึ่ง) แน่นอน คุณยังจำประโยคคณิตศาสตร์บางประโยคด้านล่างได้

• 2x4; อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว one
• 3x + y < 0; ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นของสองตัวแปร
• x – 2y 3; ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นของสองตัวแปร
• x + y – 2z > 0; อสมการเชิงเส้นสามตัวแปร

และครั้งนี้ เราจะพูดถึงความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นกับตัวแปรสองตัว

การรวมของอสมการเชิงเส้นตั้งแต่สองตัวขึ้นไปของตัวแปรสองตัวเรียกว่าระบบของอสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของระบบสองตัวแปรของอสมการเชิงเส้น:

3x + 8y 24,
x + y 4,
x 0
ใช่ 0

1. พื้นที่ของการชำระดุลอสมการเชิงเส้นสอง ตัวแปร

คำตอบของความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นของตัวแปรสองตัวคือคู่ลำดับ (x, y) ที่สามารถตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นได้

ชุดของโซลูชันเหล่านี้สามารถแสดงด้วยพื้นที่แรเงาบนระนาบคาร์ทีเซียน (ระนาบ XOY)

เพื่อให้เข้าใจพื้นที่ของเซตของการแก้อสมการเชิงเส้นของตัวแปรสองตัวได้ดีขึ้น เราจะยกตัวอย่าง:

ตัวอย่าง:

ค้นหาชุดโซลูชันสำหรับอสมการเชิงเส้นต่อไปนี้:
ก. 2x + 3y 12 ค. 4x – 3y < 12
ข. 2x – 5y > 20 วินาที 5x + 3y 15

ตอบ:

ก. ขั้นตอนแรกคือการวาดเส้น 2x + 3y = 12 โดยเชื่อมต่อจุดตัดของเส้นกับแกน X และแกน Y

จุดตัดของเส้นตรงที่มีแกน X มีความหมายว่า y = 0 และเราจะได้ x = 6 (จุด (6.0))

จุดที่เส้นตัดกับแกน Y หมายความว่า x = 0 เราจะได้ y = 4 (จุด (0,4))

เส้น 2x + 3y = 12 จะแบ่งระนาบคาร์ทีเซียนออกเป็นสองส่วน

ในการพิจารณาว่าพื้นที่ใดเป็นชุดสารละลาย ทำได้โดยนำจุดทดสอบจุดใดจุดหนึ่งจากด้านหนึ่งของพื้นที่

ตัวอย่างเช่น ที่นี่เราใช้จุด (0,0) จากนั้นแทนที่เป็นอสมการเราจะได้:

2 x0 + 3x 0 < 12
0 < 12

ดังนั้น 0 12 จึงเป็นเท็จ ซึ่งหมายความว่าไม่ได้เติมเต็มเป็นพื้นที่การแก้ปัญหา

ดังนั้น พื้นที่สารละลายคือพื้นที่ที่ไม่อยู่ในจุด (0,0) กล่าวคือพื้นที่แรเงาในภาพด้านล่าง:

ข. ขั้นตอนแรกคือการวาดเส้น 2x – 5y = 20 โดยเชื่อมต่อจุดตัดของเส้นบนแกน X และแกน Y

• จุดที่เส้นตัดแกน X, y = 0, จะได้ x = 10 (จุด (10,0))
• จุดที่เส้นตัดกับแกน Y, x = 0, จะได้ y = –4 (จุด (0,–4))

เส้น 2x – 5y = 20 จะแบ่งระนาบคาร์ทีเซียนออกเป็นสองส่วน

เพื่อกำหนดว่าพื้นที่ใดเป็นชุดโซลูชัน เราจะทำสิ่งนี้โดยทำการทดสอบจุดด้านหนึ่งของพื้นที่

ตัวอย่างเช่นเราใช้จุด (0,0) จากนั้นเราแทนที่ความไม่เท่าเทียมกันเพื่อให้ได้:

2 x0 – 5 x0 > 20
0 > 20 (เท็จ) หมายถึงไม่สำเร็จ

ดังนั้น พื้นที่สารละลายคือพื้นที่ที่ไม่อยู่ในจุด (0,0) กล่าวคือพื้นที่แรเงาในภาพด้านล่าง:

ค. ขั้นตอนแรกคือการวาดเส้น 4x – 3y = 12 โดยเชื่อมต่อจุดตัดของเส้นบนแกน X และแกน Y

• จุดที่เส้นตัดแกน X จากนั้น y = 0 จะได้ x = 3 (จุด (3,0))
• จุดที่เส้นตัดกับแกน Y จากนั้น x = 0 จะได้ y = –4 (จุด (0,–4))

เส้น 4x – 3y = 12 จะแบ่งระนาบคาร์ทีเซียนออกเป็นสองส่วน

เพื่อกำหนดว่าพื้นที่ใดเป็นชุดโซลูชัน เราจะทำสิ่งนี้โดยนำจุดทดสอบหนึ่งจุดจากด้านหนึ่งของพื้นที่

ตัวอย่างเช่นเราใช้จุด (0,0) จากนั้นเราแทนที่ความไม่เท่าเทียมกันเพื่อให้ได้:

4 x0 – 3x 0 < 12
0 < 12 (จริง) ซึ่งหมายความว่าเป็นพื้นที่นิคม

ดังนั้น พื้นที่สารละลายคือพื้นที่ที่มีหรือประกอบด้วยจุด (0,0) กล่าวคือพื้นที่แรเงาในภาพด้านล่าง:

ง. ขั้นตอนแรกคือการวาดเส้น 5x + 3y = 15 โดยเชื่อมต่อจุดตัดของเส้นบนแกน X และแกน Y

• จุดตัดของเส้นตรงที่มีแกน X จากนั้น y = 0 เราจะได้ x = 3 (จุด (3,0))
• จุดที่เส้นตัดกับแกน Y คือ x = 0 เราได้ y = 5 (จุด (0,5))

เส้น 5x + 3y = 15 แบ่งระนาบคาร์ทีเซียนออกเป็นสองส่วน

เพื่อกำหนดว่าพื้นที่ใดเป็นชุดโซลูชัน เราจะทำสิ่งนี้โดยนำจุดทดสอบหนึ่งจุดจากด้านหนึ่งของพื้นที่

ตัวอย่างเช่นเราใช้จุด (0,0) จากนั้นเราแทนที่ความไม่เท่าเทียมกันเพื่อให้ได้:

5 x0 + 3x 0 15
0 15 (จริง) แปลว่า สำเร็จ

ดังนั้น พื้นที่สารละลายคือพื้นที่ที่มีหรือประกอบด้วยจุด (0,0) กล่าวคือพื้นที่แรเงาในภาพด้านล่าง:

จากตัวอย่างข้างต้น วิธีการกำหนดชุดคำตอบสำหรับอสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวสามารถทำได้หลายขั้นตอนดังนี้

1. ลากเส้น axe + by = c ในระนาบคาร์ทีเซียนโดยเชื่อมจุดตัดของเส้นบนแกน X ที่จุด (c/a 0,0) และบนแกน Y ที่จุด (0,c/b ).

2. เราพบจุดทดสอบที่อยู่นอกเส้นโดยแทนที่ด้วยความไม่เท่าเทียมกัน

หากสามารถเติมเต็มความไม่เท่าเทียมกันได้ (จริง) พื้นที่ที่มีจุดนั้นเป็นพื้นที่ชุดโซลูชัน

หากไม่เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน (เท็จ) พื้นที่ที่ไม่มีอยู่ที่จุดทดสอบจะเป็นพื้นที่ชุดโซลูชัน

2. พื้นที่โซลูชันระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น

ชุดคำตอบสำหรับระบบอสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวคือชุดของจุด (คู่ของ (x, y)) ในระนาบคาร์ทีเซียนที่สามารถตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นทั้งหมดในระบบได้ ที่.

ดังนั้นพื้นที่ของชุดโซลูชันคือจุดตัดของชุดโซลูชันที่ไม่เท่าเทียมกันหลายชุดในระบบของความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นของตัวแปรทั้งสอง

เพื่อให้คุณเข้าใจพื้นที่การแก้ปัญหาของระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นของตัวแปรสองตัวได้ง่ายขึ้น ให้พิจารณาตัวอย่างที่เราจะนำเสนอด้านล่าง

ตัวอย่าง:

ค้นหาพื้นที่ของโซลูชันที่กำหนดไว้สำหรับระบบความไม่เท่าเทียมกันด้านล่าง:
ก. 3x + 5y 15 ข. x + y 6
x 0 2x + 3y 12
y 0 x 1
ปี2

ตอบ:

ก. ขั้นตอนแรกคือการลากเส้น 3x + 5y = 15, x = 0 และ y = 0

สำหรับ 3x + 5y 15

จากนั้นเลือกจุด (0,0) จากนั้นเราแทนที่มันลงในอสมการเพื่อให้ได้:
3x 0 + 5x 0 15
0 15 (จริง) ซึ่งหมายถึง สำเร็จ

ดังนั้น พื้นที่สารละลายคือพื้นที่ที่มีจุด (0,0)

สำหรับ x 0 เราเลือกจุด (1,1) และแทนที่ด้วยอสมการเพื่อให้ได้:
1 0 (จริง) ซึ่งหมายถึงสำเร็จ

ดังนั้น พื้นที่สารละลายคือพื้นที่ที่มีจุด (1,1)
สำหรับ y 0 เราเลือกจุด (1,1) และแทนที่ด้วยอสมการเพื่อให้ได้:
1 0 (จริง) ซึ่งหมายถึงสำเร็จ

ดังนั้น ชุดคำตอบของปัญหาคือพื้นที่ที่มีจุด (1,1)

พื้นที่ของชุดโซลูชันสำหรับระบบความไม่เท่าเทียมกันคือจุดตัดของชุดโซลูชันของความไม่เท่าเทียมกันทั้งสามด้านบน

คือตามที่แสดงในภาพต่อไปนี้ (พื้นที่แรเงา)

ข. ขั้นตอนแรกคือการวาดเส้น x + y = 6, 2x + 3y = 12, x = 1 และ y = 2

สำหรับ x + y 6 เราเลือกจุด (0,0) จากนั้นเราแทนที่มันลงในอสมการจะได้:

1 x0 + 1 x0 6
0 6 (จริง) ซึ่งหมายถึง สำเร็จ.

ดังนั้น พื้นที่สารละลายคือพื้นที่ที่มีจุด (0,0)
สำหรับ 2x + 3y 12 ให้เลือกจุด (0,0) จากนั้นเราแทนที่มันลงในอสมการเพื่อให้ได้:

2 x0 + 3x 0 12
0 12 (จริง) ซึ่งหมายถึง สำเร็จ

เราจะได้รู้ว่าพื้นที่สารละลายคือพื้นที่ที่มีจุด (0,0)

สำหรับ x 1 ให้เลือกจุด (2,1) แล้วเราแทนที่มันลงในอสมการเพื่อให้ได้ 2 1 (จริง) ซึ่งหมายความว่ามันถูกเติมเต็ม

ดังนั้น พื้นที่สารละลายคือพื้นที่ที่มีจุด (2,1)

สำหรับ y 2 เราเลือกจุด (1,3) แล้วแทนที่มันลงในอสมการ จะได้ 3 2 (จริง) ซึ่งหมายความว่ามันถูกเติมเต็ม

ดังนั้น ชุดโซลูชันจะอยู่ในภูมิภาคที่มีจุด (1,3)

พื้นที่ของชุดโซลูชันของระบบอสมการคือจุดตัดของชุดโซลูชันของอสมการด้านบนทั้งสามด้าน

ดังที่เห็นในภาพด้านข้าง (พื้นที่แรเงา)

ข. กำหนดระบบความไม่เท่าเทียมกันหากทราบพื้นที่ของโซลูชันที่กำหนดไว้สำหรับระบบของความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว

วิธีการกำหนดพื้นที่ของชุดคำตอบของระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นของตัวแปรสองตัวที่เราได้เรียนรู้ในบทที่แล้ว

ตอนนี้จะกำหนดระบบความไม่เท่าเทียมกันได้อย่างไรถ้ารู้พื้นที่ของชุดโซลูชัน

ตรวจสอบคำอธิบายต่อไปนี้

ตัวอย่าง:

พื้นที่แรเงาด้านล่างคือพื้นที่ของชุดโซลูชันของระบบอสมการเชิงเส้นของตัวแปรสองตัว

ดังนั้นจงกำหนดระบบความไม่เท่าเทียมกัน

ตอบ:

ก. เส้น l1 ผ่านจุด (2.0) และ (0.2) สมการของเส้น l1 คือ:

x/2 + y/2 = 1 กลายเป็น x+y=2

เส้น l2 ผ่านจุด (1.0) และ (0.2) สมการของเส้น l2 คือ:

x/1 + y/2 = 1 กลายเป็น 2x+y=2

จากรูปด้านบน เป็นที่ทราบกันว่าพื้นที่ของชุดสารละลาย (แรเงา) อยู่ใต้เส้น l1 เหนือเส้น l2 ทางด้านขวาของแกน Y และเหนือแกน X ระบบความไม่เท่าเทียมกันคือ:

x + y 2, 2x + y 2, x 0 และ y 0

ข. เส้น l1 ผ่านจุด (4,0) และ (0,4) สมการของเส้น l1 คือ:

x/4 + y/4 = 1 กลายเป็น x+y=4

เส้น l2 ลากผ่านจุด (2,0) และ (0,–1) สมการของเส้น l2 คือ:

x/2 + y/-1 = 1 กลายเป็น -x+2y = -2

x-2y = 2

จากรูปด้านบน เป็นที่ทราบกันว่าพื้นที่ของชุดสารละลาย (แรเงา) อยู่ใต้เส้น l1 เหนือเส้น l2 ทางด้านขวาของแกน Y และเหนือแกน X ด้วย ระบบความไม่เท่าเทียมกันคือ:

x + y 4, x – 2y 2, x 0, และ y 0

คำถามตัวอย่าง

ต่อไปนี้ เราจะยกตัวอย่างคำถามเชิงเรื่องราวเกี่ยวกับระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (SPLDV) ในชีวิตประจำวัน ซึ่งนำมาจากคำถามของการสอบระดับชาติ

คำถาม 1 (UN 2016)

ผู้ดูแลที่จอดรถได้รับ IDR 17,000.00 จากรถยนต์ 3 คันและมอเตอร์ไซค์ 5 คัน ในขณะที่จากรถยนต์ 4 คันและมอเตอร์ไซค์ 2 คัน จะได้รับ 18,000.00 รูเปียห์อินโดนีเซีย หากมีรถยนต์ 20 คัน และมอเตอร์ไซค์ 30 คัน จำนวนเงินที่หาได้จากที่จอดรถคือ….

ก. Rp135,000.00

ข. Rp115,000.00

ค. ฿110,000.00

ง. IDR 100,000.00

ตอบ:

ตัวอย่างเช่น:

รถยนต์ = x และ รถจักรยานยนต์ = y

ถาม: 20x + 30y = ???

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์:
3x + 5y = 17,000 ……(1)
4x + 2y = 18,000 ……(2)

การขจัดสมการ (1) และ (2) จะได้รับ:

3x + 5y = 17,000 | x4 |12x + 20y = 68.000
4x + 2y = 18,000 | x3 |12x + 6y = 54,000 –
14 ปี = 14,000
y = 14,000/14
y = 1,000

แทนค่าของ y = 1,000 เป็นสมการใดสมการหนึ่ง:

3x+ 5y = 17,000
3x + 5(1,000) = 17,000
3x + 5,000 = 17,000
3x = 17,000 – 5,000
3x = 12,000
x = 12,000/3
x = 4,000

ดังนั้น ค่าจอดรถ 1 คันคือ Rp. 4,000.00 และมอเตอร์ไซค์ 1 คันคือ Rp. 1,000.00
20x + 30y = 20(4,000) + 30(1,000)
= 80.000 + 30.000
= 110.000

ดังนั้น เงินที่จอดรถจำนวนมากที่คุณได้รับคือ Rp. 110,000.00
(คำตอบ: C)

คำถาม 2 (UN 2015)

ในกรงมีแพะและไก่ 13 ตัว ถ้าจำนวนขาของสัตว์คือ 32 2ก แสดงว่าจำนวนแพะและไก่ตามลำดับ….

ก. 3 และ 10

ข. 4 และ 9

ค. 5 และ 8

ง. 10 และ 3

ตอบ:

ตัวอย่างเช่น:

แพะ = x และ ไก่ = y

จำนวนขาแพะ = 4 และขาไก่ = 2

ถาม: จำนวนแพะและไก่ = …?

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์:
x + y = 13 ……(1)
4x + 2y = 32 ……(2)

การขจัดสมการ (1) และ (2) เราจะได้รับ:
x + y = 13 | x4 | 4x + 4y = 52
4x + 2y = 32 | x1 | 4x + 2y = 32 –
2y = 20
y = 20/2
y = 10
แทนค่าของ y = 10 ลงในสมการใดสมการหนึ่ง:
x + y = 13
x + 10 = 13
x = 13 – 10
x = 3

ดังนั้นจำนวนแพะ = 3 และไก่ = 10
(คำตอบ: A)

นั่นคือการทบทวนสั้น ๆ เกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นของสองตัวแปร (SPLDV) ที่เราสามารถถ่ายทอดได้ หวังว่าบทวิจารณ์ข้างต้นจะสามารถใช้เป็นสื่อการเรียนรู้ของคุณได้