Slice of Two Circles: วัสดุ การใช้งานประจำวัน ปัญหา การอภิปราย

July 06, 2021
ในเบ็ดเตล็ด

click fraud protection

จุดตัดของวงกลมสองวงเป็นหนึ่งในวัสดุในวิชาคณิตศาสตร์เฉพาะทางที่มักจะเรียนที่ระดับชั้นประถมศึกษาปีที่ 11

จุดตัดของวงกลมสองวงนี้มีอีกชื่อหนึ่งคือ จุดตัดของวงกลมสองวง เพราะวงกลมนั้นมีความหมายเดียวกับวงกลม

ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับจุดตัดของวงกลมสองวง โปรดดูรีวิวด้านล่างให้ดี

สารบัญ

การประยุกต์คุณสมบัติของจุดตัดของวงกลมสองวง

ก่อนที่เราจะเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับจุดตัดของวงกลม/วงกลมสองวง มาเลย เราจำบางสิ่งได้ด้านล่าง

นิยามวงกลม วงกลมคือชุดของจุดที่มีระยะห่างเท่ากันจากจุดใดจุดหนึ่ง

ตำแหน่งวงกลม

ถ้า M1M2 คือระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมสองวง และ r1 และ r2 คือรัศมีของวงกลมสองวง ดังนั้น:

วงกลมสองวงเรียกว่า ตัดถ้าระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางทั้งสองของวงกลมคือ
M1M2 < r1 + r2

วงกลมสองวงนี้เรียกว่า การติดต่อภายนอก ถ้าระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางทั้งสองของวงกลมคือ M1M2= r1 + r2

วงกลมสองวงเรียกว่า ตัดมาที่ถ้าระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางทั้งสองของวงกลมคือ M1M2 = |r1 – r2|.

วงกลมสองวงเรียกว่า อย่าแตะต้องกัน ถ้าระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางทั้งสองของวงกลมคือ M1M2 > r1 + r2

instagram viewer

วงกลมสองวงเรียกว่า ไม่ตัดกันถ้าระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางทั้งสองของวงกลมเป็นศูนย์ (M1M2 = 0 -> M1 = M2) และ r2 > r1.

แต่ คุณจำเป็นต้องรู้ นอกจากนี้ วงกลมสองวงสามารถกล่าวได้ว่าสัมผัสกันภายในถ้าวงกลมหนึ่งอยู่ภายในอีกวงหนึ่ง M1 M2 และ r2 > r1.

ความยาวของเส้นสัมผัสร่วมใน คือความยาวของส่วนของเส้นตรงที่เกิดจากจุดสัมผัสของวงกลมถึงแทนเจนต์ร่วมภายใน

"กำลังสองของความยาวของแทนเจนต์ร่วมของวงกลมเท่ากับกำลังสองของระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมสองวงลบด้วยกำลังสองของผลรวมของความยาวของรัศมี"

ความยาวของแทนเจนต์ร่วมภายนอกต่อวงกลมสองวงที่มีรัศมี r1 และ r2 ที่มี r1 > r2 และระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสอง d นั่นคือ:

"กำลังสองของความยาวของเส้นสัมผัสร่วมภายนอกของวงกลมสองวง เท่ากับกำลังสองของระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมสองวงลบด้วยกำลังสองของผลต่างในรัศมี"

ความยาวของแทนเจนต์ร่วมถึงวงกลมสองวงที่มีรัศมี r1 และ r2 และระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสอง d นั่นคือ:

อ่าน: อัตราส่วน

Slice of Two Circles

ถ้า M1M2 คือระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางทั้งสองของวงกลม และ r1 และ r2 คือรัศมีของวงกลมสองวง ดังนั้น:

1. ตัด

วงกลมสองวงจะตัดกันถ้าระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางทั้งสองของวงกลมคือ M1M2 < r1 + r2

2. ติดต่อ

วงกลมสองวงเรียกว่าสัมผัสกันภายนอกกันถ้าระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางทั้งสองของวงกลมคือ M1M2= r1 + r2
วงกลมสองวงจะสัมผัสกันถ้าระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางทั้งสองของวงกลมคือ M1M2 = |r1 – r2|

3. ไม่มีสัมผัส

วงกลมสองวงเรียกว่าไม่สัมผัสกันภายนอก ถ้าระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางทั้งสองของวงกลมคือ M1M2 > r1 + r2

วงกลมสองวงเรียกว่าแทนเจนต์ภายในถ้าระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางทั้งสองของวงกลมคือ ศูนย์ (M1M2 = 0 -> M1 = M2) และ r2 > r1

ความยาวของเส้นสัมผัสถึงตัววางแผนใน คือความยาวของส่วนของเส้นตรงที่เกิดจากเส้นสัมผัสวงกลมชี้ไปที่แทนเจนต์ของพล็อตเตอร์ด้านใน

"กำลังสองของความยาวของเส้นสัมผัสถึงวงกลมเท่ากับกำลังสองของระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมสองวงลบด้วยกำลังสองของผลรวมของความยาวของรัศมี"

ความยาวของเส้นสัมผัสถึงพล็อตด้านนอกของวงกลมสองวงที่มีรัศมี r1 และ r2 ที่มี r1 > r2 และระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางทั้งสองของวงกลม d คือ:

"กำลังสองของความยาวของเส้นสัมผัสของวงกลมสองวง เท่ากับกำลังสองของระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมสองวงลบด้วยกำลังสองของผลต่างในรัศมี"

ความยาวของแทนเจนต์ของแผนภาพในวงกลมสองวงที่มีรัศมี r1 และ r2 และระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลม d คือ:

เพื่อให้เข้าใจคำอธิบายข้างต้นได้ง่ายขึ้น ลองพิจารณาตัวอย่างคำถามและการสนทนาด้านล่าง:

ตัวอย่างปัญหา

ปัญหาที่ 1

ล้อจักรยานสองล้อที่มีสองเพลาห่างกัน 78 ซม. ล้อแรกมีรัศมี 50 ซม. ในขณะที่ล้อที่สองคือ 20 ซม.

ในล้อทั้งสองติดตั้งด้วยโซ่ คำนวณความยาวของโซ่ที่ไม่ติดกับล้อ!

ตอบ:

ปัญหาข้างต้นคือการประยุกต์ใช้แนวคิดของแทนเจนต์ร่วมภายนอกกับวงกลมสองวง

ดังนั้นความยาวของโซ่ที่ไม่ติดกับล้อจักรยานคือ 8 ซม.

คำถามที่ 2

มี 8 หลอดเรียงตามภาพด้านล่าง จากนั้นผูกท่อด้วยเชือก

หากรัศมีของท่อเท่ากับ 14 ซม. ให้คำนวณความยาวของเชือกที่สั้นที่สุดที่ใช้ผูกท่อ!

ตอบ:

เป็นที่รู้จัก:

ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองคือ = เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม = 28 cm
ผลรวมของความยาวของเชือกที่มุมของทรงกระบอกคือ = เส้นรอบวงของวงกลม = πd = 88 ซม.

ดังนั้น ความยาวของเชือกที่สั้นที่สุดที่ใช้ผูกท่อคือ:

(8 x 28 ซม.) + 88 ซม. = 312 ซม.

ปัญหาที่ 3

มีวงกลมสองวงบนระนาบที่มีจุดศูนย์กลางเหมือนกัน รัศมีของวงกลมใหญ่เป็นสี่เท่าของรัศมีของวงกลมเล็ก

ถ้าพื้นที่ระหว่างวงกลมทั้งสองเป็นพื้นที่ 8 หน่วย จงหาพื้นที่ของวงกลมเล็ก!

ตอบ:

ตัวอย่างเช่น รัศมีของวงกลมขนาดใหญ่คือ = R และรัศมีของวงกลมเล็กคือ = r เราจะได้:

R = 4r

ดังนั้น:

พื้นที่ = ใหญ่ – เล็ก
8 = R² – ร²
8 = (4/r – r²
8 = 16πr² – ร²
8 = 15πr²
r² = 8/15
เล็ก = 8/15

ดังนั้น พื้นที่ของวงกลมเล็กคือ 8/15 หน่วย พื้นที่

อ่าน: แบบเรียบ (รวมกัน)

ปัญหาที่ 4

Pak Gilang กำลังสร้างโครงเกวียนเหมือนในภาพด้านล่าง

ด้านหนึ่งของรถเข็นมีกระดานสี่เหลี่ยมคางหมูที่เชื่อมต่อสองล้อของเกวียน

ถ้ารัศมีวงล้อใหญ่เท่ากับ r1 = 13 ซม., รัศมีวงล้อเล็กคือ r2 = 6 ซม., ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของล้อ L1 และล้อ L2 คือ M1M2 = 25 ซม. แล้วคำนวณพื้นที่ของบอร์ดที่เชื่อมต่อสองล้อ!

ตอบ:

ขั้นตอนแรกคือการคำนวณความยาวของ PQ เส้นสัมผัสทั่วไปภายนอกก่อน ในทาง:

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู PM1M2Q มีดังนี้:

พื้นที่ = จำนวนด้านขนาน x สูง/2
พื้นที่ = (13+6)x 24/2
พื้นที่ = 19×24/ 2
พื้นที่ = 228 cm²

ดังนั้นพื้นที่ของบอร์ดที่เชื่อมต่อสองล้อคือ 228 ซม.²

การประยุกต์ใช้แนวคิด IDL กับปัญหาชีวิตประจำวัน

นาฬิกาแขวนผนัง ยางรถยนต์ และเหรียญเป็นตัวอย่างของวัตถุที่มีรูปร่างเป็นวงกลม

ในบทที่แล้ว คุณได้ศึกษาและทราบเกี่ยวกับส่วนรูปกรวยซึ่งประกอบด้วยเส้นโค้งพาราโบลา วงรี และไฮเปอร์โบลา

อย่างไรก็ตาม ในรูปแบบพิเศษต่างๆ เราจะได้รับวงกลมในส่วนรูปกรวยด้วย

ในส่วนรูปกรวย วงกลมจะเกิดขึ้นเนื่องจากในระนาบจะตัดส่วนต่างๆ ของกรวยอันหนึ่งออกและตั้งฉากกับแกนของกรวย

ให้เราจำความหมายของวงกลม ตามที่อธิบายไว้ข้างต้น วงกลมคือชุดของจุดที่ห่างจากจุดที่กำหนดเท่ากัน

ไม่เพียงแค่นั้น คุณยังศึกษาหัวข้อของตำแหน่งของวงกลมสองวงด้วย เพื่อรีเฟรชหน่วยความจำของคุณในหัวข้อ มาเลย ดูการทบทวนเนื้อหาด้านล่าง

1. ตำแหน่งของวงกลมสองวง

ตัวอย่างเช่น M1M2 คือระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมสองวง และ r1 และ r2 คือรัศมีของวงกลมทั้งสอง จากนั้น:

วงกลมสองวงเรียกว่าสัมผัสกันภายนอกกันถ้าระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางทั้งสองของวงกลมคือ M1M2= r1 + r2

วงกลมสองวงเรียกว่าสัมผัสกันถ้าระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางทั้งสองของวงกลมคือ M1M2 = |r1 – r2|.

วงกลมสองวงเรียกว่าสัมผัสกันภายนอกกันถ้าระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางทั้งสองของวงกลมคือ M1M2 > r1 + r2

วงกลมสองวงเรียกว่าแทนเจนต์ภายในถ้าระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางทั้งสองของวงกลมคือ ศูนย์ (M1M2 = 0 -> M1 = M2) และ r2 > r1.

ความยาวของแทนเจนต์ร่วมภายนอกต่อวงกลมสองวงที่มีรัศมี r1 และ r2 ที่มี r1 > r2 และระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลม d คือ:

สามัคคีธรรมภายใน

ตัวอย่างคำถามและการอภิปราย

เพื่อให้คุณเข้าใจได้ง่ายขึ้น ในที่นี้เราจะให้ตัวอย่างคำถามและการอภิปรายสำหรับพวกคุณทุกคน

ปัญหาที่ 1

จากสมการของวงกลมด้านล่าง:

L1: x² + y² + 8x + 6y – 56 = 0
L2: x² + y² – 8x – 6y – 24 = 0

แสดงว่าวงกลมสองวงตัดกัน!

ตอบ:

เงื่อนไขสำหรับวงกลมสองวงที่จะตัดกันคือถ้าระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางทั้งสองของวงกลมน้อยกว่าผลรวมของรัศมีสองรัศมีของวงกลม

ตัวอย่างเช่น:

M1M2 คือระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมสองวงโดยที่ r1 และ r2 เป็นรัศมีของวงกลมทั้งสอง จากนั้น M1M2 < r1 + r2

L1: x² + y² + 8x + 6y – 56 = 0

มีจุดศูนย์กลาง M1(-1/2 A, -1/2 B) = (-1/2 (8), -1/2 (6)) = (-4, -3) และ;

L2: x² + y² – 8x – 6y – 24 = 0

มีจุดศูนย์กลาง M2(-1/2 A, -1/2 B) = (-1/2 (-8), -1/2 (-6)) = (4,3) และ;

M1M2 คือระยะทางจาก (-4, -3) ถึง (4,3)

เนื่องจาก r1 + r2 = 9 + 7 = 16 และ M1M2 = 10 ดังนั้น M1M2 < r1 + r2

ดังนั้น วงกลมทั้งสองจึงตัดกัน

คำถามที่ 2

รู้สมการของวงกลม

L1: x² + y² + 6x – 4y – 23 = 0
L2: x² + y² – 12x + 20y + 55 = 0

พิสูจน์ว่าวงกลมสัมผัสกันภายนอก!

ตอบ:

เงื่อนไขสำหรับวงกลมสองวงที่จะสัมผัสกันภายนอกคือ M1M2 = r1 + r2

L1: x² + y² + 6x – 4y – 23 = 0

มีจุดศูนย์กลาง M1(-1/2 A, -1/2 B) = (-1/2 (6), -1/2 (-4)) = (-3, 2) รวมทั้ง;

L2: x² + y² – 12x + 20y + 55 = 0

มีจุดศูนย์กลาง M2(-1/2 A, -1/2 B) = (-1/2 (-12), -1/2 (20)) = (6, -10) และ;

M1M2 คือระยะทางจาก (-3, 2) ถึง (6, -10) ดังนั้น:

เพราะ r1 + r2 = 6 + 9 = 15 = M1M2 ดังนั้นวงกลมทั้งสองจึงได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสัมผัสกันภายนอก

ปัญหาที่ 3

รู้สมการของวงกลม

L1: x² + y² + 20x – 12y + 72 = 0
L2: x² + y² – 4x – 2y – 11 = 0

พิสูจน์ว่าวงกลมทั้งสองไม่ตัดกัน!

ตอบ:

L1: x² + y² + 6x – 4y – 23 = 0

มีจุดศูนย์กลาง M1(-1/2 A, -1/2 B) = (-1/2 (20), -1/2 (-12)) = (-10, 6) และ;

L2: x² + y² – 4x – 2y – 11 = 0

มีจุดศูนย์กลาง M2(-1/2 A, -1/2 B) = (-1/2 (-4), -1/2 (-2)) = (2,1) และ;

วงกลมมีสองประเภทที่เรียกว่าไม่ตัดกันคือ:

วงกลมสองวงไม่ตัดกับ M1M2 > r1 + r2
วงกลมสองวงไม่ตัดกัน (จุดศูนย์กลางหรือระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางทั้งสองของวงกลม (M1M2) เป็นศูนย์ M1 = M2 และ r1 > r2 และไม่เป็นศูนย์กลาง)

ตอนนี้ เราจะพิสูจน์จุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองเพื่อแสดงว่าวงกลมทั้งสองไม่ตัดกันภายนอกหรือตัดกัน

ศูนย์กลางของวงกลมแรกบนวงกลมที่สอง

แทนที่จุดศูนย์กลาง (-10.6) บนวงกลม L2: x² + y² – 4x – 2y – 11 = 0

เงื่อนไขของจุดที่จะอยู่ภายในวงกลมคือ K < 0

เพราะ

K = (-10)2 + 62 – 4(-10) – 2(6) – 11 = 100 + 36 + 40 – 12 – 11 = 153 > 0

ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมแรกจึงอยู่นอกวงกลมที่สอง จุดศูนย์กลางของวงกลมที่สองอยู่ที่วงกลมแรก

ศูนย์ทดแทน (2,1) บนวงกลม L1: x2 + y2 + 20x – 12y + 72 = 0

เงื่อนไขสำหรับจุดที่อยู่ภายในวงกลมคือ K < 0

เพราะ,

K = 22 + 12 + 20(2) – 12(1) + 72 = 4 + 1 + 40 – 12 + 72 = 103 > 0

ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมแรกจึงอยู่นอกวงกลมแรก

จนกระทั่งเราสามารถสรุปได้ว่าวงกลมทั้งสองจะไม่ตัดกันภายใน จากนั้นเราจะพิสูจน์ด้วยว่าวงกลมทั้งสองไม่ตัดกันด้านนอก

เงื่อนไขสำหรับวงกลมสองวงที่จะไม่ตัดกันคือ: M1M2 > r1 + r2

M1M2 คือระยะทางจาก (-10,6) ถึง (2,1)

เพราะ,

M1M2 = 13
r1 + r2 = 8 + 4 = 12

ดังนั้น M1M2 > r1 + r2

ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่าวงกลมทั้งสองไม่ตัดกันภายนอก

ปัญหาที่ 4

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่ารัศมีของวงกลม L1 คือ r1 = 13 ซม. และรัศมีของ L2 คือ r2 = 6 ซม.

หากระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้งสองคือ M1M2 = 25 ซม. จากนั้นคำนวณความยาวของแทนเจนต์ร่วมภายนอกของวงกลมสองวง!

ตอบ:

เป็นที่รู้จัก:

r1 = 13cm
r2 = 6cm
M1M2 = 25 ซม.

ถาม:

ความยาวของแทนเจนต์ร่วมภายนอก PQ

สารละลาย:

จนกระทั่ง, ความยาวของแทนเจนต์ร่วมภายนอกของวงกลมสองวงคือ 24 ซม.

อ่าน: พหุนาม

นั่นเป็นบทวิจารณ์สั้นๆ เกี่ยวกับ Slice of Two Circles ที่เราสามารถถ่ายทอดได้ หวังว่าบทวิจารณ์ข้างต้นจะสามารถใช้เป็นสื่อการเรียนรู้ของคุณได้