กฎการนับ: สสาร, การเรียงสับเปลี่ยน, การรวมกัน, ความน่าจะเป็น, ปัญหา

กฎการแจงนับหรือในภาษาอังกฤษเรียกว่า (กฎการนับ) เป็นวิธีหรือกฎในการคำนวณความเป็นไปได้ทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นในการทดสอบหนึ่งๆ

กฎการนับ

กฎการนับคือกฎการนับเพื่อค้นหาจำนวนเหตุการณ์หรือวัตถุบางอย่างที่ปรากฏขึ้น เรียกว่านับเพราะผลเป็นจำนวนเต็ม

มีหลายวิธีในกฎการแจงนับ เช่น วิธีการกรอกกฎสถานที่ (เติมสล็อต) วิธีการเรียงสับเปลี่ยนและวิธีผสม นี่คือคำอธิบายเพิ่มเติม

กฎการกรอกสถานที่

ตัวอย่างเช่น มีกรณีด้านล่าง:

Gilang มีเสื้อเชิ้ต 3 ตัว สีขาว สีแดง และสีน้ำเงิน และยังมีกางเกงสีดำและสีน้ำตาลอีก 2 ตัว

กำหนดความเป็นไปได้ที่ Gilang จะสวมเสื้อยืดและกางเกงขายาว!

สารละลาย:

มี 3 วิธีในการพิจารณาความเป็นไปได้ต่างๆ ของ Gilang โดยใช้เสื้อยืดและกางเกงขายาว

ค. สั่งชุดคู่ pasangan

{(ขาว, ดำ),(ขาว, น้ำตาล),(แดง, ดำ),(แดง, น้ำตาล),(น้ำเงิน, ดำ),(น้ำเงิน, น้ำตาล)}

จากสามวิธีหรือวิธีการข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่า Gilang ใส่เสื้อยืดมีหลายวิธีและ นอกจากนี้ยังมีกางเกง 6 แบบ = 3 × 2 = หลายวิธีในการใช้เสื้อยืด × หลายวิธีในการใช้ กางเกง
ยาว.

กฎการคูณ

หากเหตุการณ์สามารถเกิดขึ้นใน n ระยะต่อเนื่องกัน โดยที่ขั้นตอนที่ 1 สามารถเกิดขึ้นใน q₁ ทาง ระยะที่ 2 สามารถเกิดขึ้นได้ใน q₂ วิธีที่ 3 สามารถเกิดขึ้นได้ในq in₃ แบบนี้ไปเรื่อยๆ จนกระทั่งขั้นที่ n เกิดขึ้นใน q_นเหตุการณ์เหล่านี้สามารถเกิดขึ้นได้ตามลำดับใน q₁ × คิว₂ × คิว₃ × … × q_น ในทางที่แตกต่างกัน

ตัวอย่างเช่น:

มีกี่วิธีในการเลือกเจ้าหน้าที่สภานักเรียน 3 คน ประกอบด้วย ประธาน เลขานุการ และเหรัญญิก จากนักเรียนทั้งหมด 8 คน

สารละลาย:

เช่น ตำแหน่งประธาน เลขานุการ และเหรัญญิก มีอยู่ 3 ตำแหน่ง ดังภาพต่อไปนี้

เลขาธิการเหรัญญิก

ในจำนวนนักศึกษา 8 คน ทุกคนมีสิทธิได้รับเลือกให้เป็นประธาน จึงมี 8 วิธีในการดำรงตำแหน่งประธาน

เนื่องจาก 1 คนเป็นประธาน มีเพียง 7 คนเท่านั้นที่มีสิทธิได้รับเลือกเป็นเลขานุการ จึงมี 7 วิธีในการดำรงตำแหน่งเลขานุการ

เนื่องจากได้รับเลือกเป็นประธาน 1 คน และได้เป็นเลขานุการ 1 คน จึงมีสิทธิได้รับเลือกเป็นเหรัญญิกเพียง 6 คน จึงมี 6 วิธีในการเติมเหรัญญิก

ภาพประกอบเหมือนตารางด้านล่าง:

เลขาธิการเหรัญญิก

มีหลายวิธีในการเลือกเจ้าหน้าที่สภานักเรียน 3 คน คือ 8 × 7 × 6 = 336

กฎผลรวม

ตัวอย่างเช่น มีเหตุการณ์ที่สามารถเกิดขึ้นได้ n วิธีที่แตกต่างกัน (ต่างจากกัน) โดยที่ในวิธีแรกมี p₁ ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ต่างกัน

วิธีที่สองมี p₂ ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ต่างกัน วิธีที่สามมี p₃ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ต่างกัน

และอื่นๆ จนถึงทางที่ n จะมี p_น ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ต่างกัน ดังนั้นจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดในเหตุการณ์คือ p₁ + พี₂ + พี₃ + … + พี_น ในทางที่แตกต่างกัน

ตัวอย่างเช่น:

ลูกชายของนักเรียนมัธยมปลายสายอาชีพเอกชนใน Purwokerto ปุตรามีการขนส่งสามประเภทที่เขาขับรถจากบ้านไปโรงเรียน ได้แก่ จักรยาน (มินิไบค์ จักรยานเสือภูเขา) รถจักรยานยนต์ (ยามาฮ่า ฮอนด้า ซูซูกิ) และรถยนต์ (เก๋ง กวาง ปิ๊กอัพ)

คำถามคือ ปุตราไปจากบ้านไปโรงเรียนกี่วิธี?

สารละลาย:

วิธีเดียวในการขนส่งที่ปุตราใช้จากบ้านไปโรงเรียนคือจักรยานหรือรถจักรยานยนต์หรือรถยนต์

เป็นไปไม่ได้ที่ปุตราจะขับรถมากกว่าหนึ่งคันในเวลาเดียวกัน จำนวนทางที่ลูกชายไปจากบ้านไปโรงเรียน คือ หลายวิธีในการขี่จักรยาน + ขี่มอเตอร์ไซค์ได้หลายทาง + ขับรถได้หลายวิธี = 2 + 3 + 3 = 8 ทาง

สัญกรณ์แฟกทอเรียล

ตัวอย่างเช่น n ชุดของจำนวนธรรมชาติ โน้ต n! (อ่าน: n แฟกทอเรียล) หมายถึงผลคูณของจำนวนธรรมชาติที่เรียงตามลำดับจาก n ถึง 1

ดังนั้นเราจึงเขียน:

น! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1

กำหนดเป็น 1! = 1 และ 0! = 1.

ตัวอย่างเช่น:

1. กำหนดมูลค่า 5!.

ตอบ:

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

2. กำหนดมูลค่าของ 2! + 3!.

ตอบ:

2! + 3! = (2 × 1) + (3 × 2 × 1) = 2 × 6 = 12

การเปลี่ยนแปลง

เนื้อหาแรกที่เราจะพูดถึงในบทความนี้คือการเรียงสับเปลี่ยน พีชคณิตเรียนรู้เกี่ยวกับการจัดเรียง k วัตถุจาก n วัตถุโดยให้ความสนใจกับการสั่งซื้อ

มีตัวอย่างสามตัวอย่างของการเรียงสับเปลี่ยนที่มักเกิดขึ้น ได้แก่ การเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบต่างๆ การเรียงสับเปลี่ยนที่มีองค์ประกอบเดียวกันบางส่วน และการเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักร อ่านบทวิจารณ์ต่อไปนี้อย่างละเอียดยิ่งขึ้น

ชนิดและสูตรหรือสูตรการเรียงสับเปลี่ยน

1. การเรียงสับเปลี่ยนของ n องค์ประกอบ แต่ละการเปลี่ยนแปลงประกอบด้วย n องค์ประกอบ

หากมีองค์ประกอบที่แตกต่างกันและนำองค์ประกอบ n มาใช้ จำนวนการจัดเรียงหรือการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ n จะเป็น พี_{(น, น)} = น! หรือ _นพี_น = น!

ตัวอย่างเช่น:

เพื่อต้อนรับการประชุมคณะผู้แทนของรัฐที่เข้าร่วมโดยห้าประเทศ คณะกรรมการจะตั้งธงห้าธงซึ่งเป็นธงของห้าประเทศที่มีอยู่

คณะกรรมการจัดธงห้าธงมีหลายวิธี กล่าวคือ?

ตอบ:

จากห้าธงที่มีอยู่ หมายความว่าเราได้รับ n = 5 ดังนั้นจึงมีการจัดเรียงธงที่เป็นไปได้มากมาย กล่าวคือ:

5! = 5.4.3.2.1 = 120 วิธี

2. การเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ n การเรียงสับเปลี่ยนแต่ละครั้งประกอบด้วยองค์ประกอบ r ขององค์ประกอบ n ที่มี r n

สำหรับจำนวนบวกทั้งหมด n และ r ด้วย rn จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุ n รายการที่ถ่ายโดยวัตถุ r ในคราวเดียวคือ:

บันทึก:
ข้อกำหนด: คำสั่งซื้อจะต้องได้รับการพิจารณา

ตัวอย่างเช่น:

มีหลายวิธีในการเลือกประธาน เลขานุการ และเหรัญญิกจากนักเรียนทั้ง 8 คน ได้แก่…

ตอบ:

จำนวนนักเรียน n = 8

ประธานกรรมการ เลขาฯ และเหรัญญิก (ของมีให้เลือกมากมาย) r = 3

ดังนั้น:

3. พีชคณิตขององค์ประกอบ n ที่มี p.q และ r องค์ประกอบเดียวกัน

ข้อมูล:

n = แสดงจำนวนองค์ประกอบทั้งหมด

k₁  = แสดงจำนวนองค์ประกอบในกลุ่มเดียวกัน 1

k₂ = ระบุจำนวนองค์ประกอบของกลุ่มเดียวกัน 2

…

k_t = ระบุจำนวนองค์ประกอบของกลุ่ม kt เดียวกัน

เสื้อ = 1,2,3,…

ตัวอย่างเช่น:

จำนวนวิธีการจัดเรียงคำว่า "บาสซาเบสซี" คือ...

ตอบ:

จากคำว่า "BASSABASSI" จำนวนตัวอักษรคือ (n) = 10

k₁ = ตัวอักษร B = 2

k₂ = ตัวอักษร A = 3

k₃ = ตัวอักษร S = 4

k₄ = ตัวอักษร I = 1

4.วงจรเรียงสับเปลี่ยน

การเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักรคือการเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม (ลำดับแบบวงกลม)

หรือวิธีหรือวิธีการกำหนดการจัดองค์ประกอบที่จัดเรียงเป็นวงกลมหรือเป็นวงกลมโดยให้ความสนใจกับลำดับ จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักรของ n องค์ประกอบที่แตกต่างกันคือ:

_นพี_{วัฏจักร} = (n-1)!

ตัวอย่างเช่น:

จากสมาชิกในครอบครัว 5 คนที่จะนั่งรอบโต๊ะกลมทันที จำนวนวิธีการจัดที่สามารถทำได้จาก 5 คนนี้คือ...

ตอบ:

จำนวนคน (n) = 5 ดังนั้น:

₅พี_{วัฏจักร} = (5 – 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 วิธี

5. การเปลี่ยนแปลงซ้ำขององค์ประกอบ n ประเภทของการเปลี่ยนแปลงประกอบด้วยองค์ประกอบ kk

พี_น = น^k

ตัวอย่าง:

การเรียงเลข 3 ตัว เลข 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 มีกี่ตัว...

ตอบ:

• จำนวนลำดับของตัวเลข 3 ตัว ซึ่งหมายถึงตัวเลขในหลักร้อย k = 3
• จำนวนตัวเลขที่จะจัดเรียงคือ n = 6
• เรียงเลข 3 ตัวจากหลัก 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 ได้กี่ตัว ดังนี้

พี₆ = 6³ = 216 อาร์เรย์

การรวมกัน

ชุดค่าผสมคือการจัดกลุ่มขององค์ประกอบบางส่วนหรือทั้งหมดของชุดโดยไม่คำนึงถึงลำดับที่เลือก วิธีการกำหนดจำนวนชุดค่าผสมคือการใช้สูตรด้านล่าง:

ตัวอย่างเช่น:

การรวมกันของ 2 องค์ประกอบของตัวอักษร 3 ตัว a, b, c คือ ab, ac, bc ในขณะที่ ba, ca, cb ไม่รวมอยู่ในการคำนวณสาเหตุในชุดค่าผสม ab=ba, ac=ca, bc=cb ชุดค่าผสมจำนวนมากคือ ...

บินอม นิวตัน

ทวินามของนิวตันเกี่ยวข้องกับรูปแบบของ (a + b)² ก. โดยที่เทอม r-th ของแบบฟอร์มคือ:

เทอม – r = _นค_r-1 × อา^n-r+1 × ข^r-1

เป็นภาพประกอบ:

สัมประสิทธิ์ของ x²⁷ ของ (x² +2x)¹⁵  คือ:

_นค_r-1xa^n-r+1xb^r-1 = 15 C_r-1x (x²)^15-r+1x(2x)^r-1

=15 C_r-1x (x^30-2r+2)x (2x)^r-1

ดังนั้น x ถูกยกกำลัง 27 จึงถูกสร้างขึ้น:

27 = (30 – 2r – 2) + (r – 1) → r = 4

ดังนั้น:

• เทอมที่ 4 = ₁₅ค_r-1x (x^30-2r+2)x (2x)^r-1 = ₁₅ค₃x (x^30-8+2)x (2x)^4-1
• .
• ค่าสัมประสิทธิ์: 3640

โอกาสในการจัดงาน

ค่าโอกาสที่ได้รับอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 สำหรับแต่ละเหตุการณ์ A ขีด จำกัด ของค่า P(A) สามารถเขียนทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้:

0 ป(เอ) 1 โดยที่ P(A) คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A

ถ้า P(A) = 0 เหตุการณ์ A เป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ ความน่าจะเป็นจะเป็นอะไรไปนอกจาก 0

ตัวอย่างเช่น:

ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศใต้เป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ ดังนั้นความน่าจะเป็นจึงไม่ใช่อื่นนอกจาก = 0

ถ้า P(A) = 1 เหตุการณ์ A เป็นเหตุการณ์ที่แน่นอน de

ตัวอย่างเช่น:

สิ่งมีชีวิตที่เคลื่อนไหวได้จะตายแน่นอน เป็นเหตุการณ์ที่แน่นอน ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ = 1

นอกจากนี้ยังมีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 ซึ่งหมายความว่าเหตุการณ์นั้นเป็นไปได้

ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นของนักเรียนที่จะเป็นแชมป์ระดับชั้น ถ้า L เป็นเหตุการณ์เสริมของเหตุการณ์ A ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ L คือ 1 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A

ทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนได้ดังนี้:

พี(ล) = 1 – P(A) หรืออาจเป็น P(L) + P(A) = 1

ตัวอย่างเช่น:

หากความน่าจะเป็นที่ฝนจะตกในวันนี้คือ = 0.6 ความน่าจะเป็นที่ฝนจะไม่ตกในวันนี้คือ = 1 – P (ฝน)
= 1 – 0,6
= 0,4

1. ความถี่ที่คาดหวัง

ความถี่ที่คาดหวังของเหตุการณ์คือการคาดหวังจำนวนครั้งที่เหตุการณ์นั้นปรากฏในเหตุการณ์จากการทดลองหลายครั้ง

ทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนได้ดังนี้:

ความถี่ที่คาดหวัง = P(A) x จำนวนการทดลอง

ตัวอย่างเช่น:

ในการทดลองหล่อตาย 60 ครั้งแล้ว:

ความน่าจะเป็นที่จะได้ 2 คะแนนคือ = 1/6

ความถี่ที่คาดหวังของตา 2 คือ = P (ตา 2) x จำนวนการทดลอง
= 1/6 x 60
= 10 ครั้ง

2. การเกิดขึ้นแบบทบต้น Comp

เหตุการณ์แบบผสมคือเหตุการณ์ตั้งแต่สองเหตุการณ์ขึ้นไปที่ดำเนินการเพื่อสร้างเหตุการณ์ใหม่

เหตุการณ์ K และเหตุการณ์เสริมของ K' เป็นไปตามสมการ:

P(K) + P(K') = 1 หรือ P(K') = 1 – P(K)

ผลรวมของโอกาส

1. กิจกรรมร่วมกัน Mut

มีเหตุการณ์ A และ B ที่สามารถเรียกได้ว่าเป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกันหากไม่มีองค์ประกอบใดที่เกิดขึ้นในเหตุการณ์ A เหมือนกับองค์ประกอบที่เกิดขึ้นในเหตุการณ์ B

ดังนั้นความน่าจะเป็นของ A หรือ B อาจเกิดขึ้น สูตรสำหรับเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกันคือ:

P(A u B) = P(A) + P(B)

2. เหตุการณ์อย่าตัดการเชื่อมต่อ

ความหมายคือองค์ประกอบ A เหมือนกับองค์ประกอบ B สามารถเขียนสูตรทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้

P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A n B)

3. เหตุการณ์ตามเงื่อนไข

เหตุการณ์ตามเงื่อนไขสามารถเกิดขึ้นได้หากเหตุการณ์ A สามารถส่งผลกระทบต่อการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ B หรือในทางกลับกัน ดังนั้น เราสามารถเขียนสูตรได้ดังนี้

P(A n B) = P(A) x P(B/A)

หรือ

P(A n B) = P(B) x P(A/B)

เนื่องจากเหตุการณ์มีอิทธิพลร่วมกัน จึงเป็นไปได้ที่จะใช้สูตร:

P(A n B) = P(A) x P(B)

ตัวอย่างคำถามและการอภิปรายกฎการแจงนับ

หลังจากเข้าใจเนื้อหาเกี่ยวกับกฎการนับแล้ว ก็ถึงเวลาที่เราจะเรียนรู้ที่จะแก้ปัญหาในคำถามหลายข้อ

ต่อไปนี้ เราจะยกตัวอย่างของคำถามตลอดจนการอภิปรายเกี่ยวกับกฎการแจงนับ ตั้งแต่ความน่าจะเป็น ไปจนถึงการเรียงสับเปลี่ยน และอื่นๆ

ปัญหาที่ 1

มีเด็ก 3 คนที่จะนั่งบนม้านั่งยาวด้วยกัน มีกี่วิธีที่พวกเขาจะนั่งบนม้านั่งด้วยกัน?

ตอบ:

ลูกทั้งสามจะนั่งรวมกันแล้วเราจะใช้สูตรการเรียงสับเปลี่ยน พี(3,3)

P(3,3) = 3 = 2x2x1 = 6

เพื่อให้ลูกทั้งสามนั่งด้วยกันได้ 6 วิธี

คำถามที่ 2

มีกี่วิธีในการจัดเรียงตัวอักษรสองตัวของคำว่า "LIFE"?

ตอบ:

วิธีจัดเรียงตัวอักษร 2 ตัวจาก 5 ตัวอักษร จากนั้นเราจะใช้สูตรการเรียงสับเปลี่ยนกัน ป(5,2)

P(5,2) = (5!)/(5-2) =(5x4x3!)/(3)! = 5×4 =20

จึงมี 20 วิธีในการจัดเรียงตัวอักษรสองตัวจากคำว่า LIFE

ปัญหาที่ 3

จดหมายถูกเลือกอย่างเป็นนามธรรมจากตัวอักษรในคำจารึก "JURAGAN" แล้วหาความน่าจะเป็นที่จะเลือกตัวอักษร A

ตอบ:

จำนวนเหตุการณ์ที่เป็นปัญหาคือ = 2 เนื่องจากตัวอักษร A มี 2 ในคำว่า "JURAGAN"

จำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้คือ = 7 เนื่องจากจำนวนตัวอักษรคือ 7

ดังนั้น P (ตัวอักษร A) คือ = 2/7

ปัญหาที่ 4

มีกล่องบรรจุลูกบอลสีแดง 5 ลูกและลูกบอลสีเขียว 4 ลูกอยู่ในนั้น หากสุ่มจับลูกบอลสองลูกโดยไม่มีการแทนที่ ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลถูกดึงออกมาเป็นลูกบอลสีแดงในการจับฉลากครั้งแรกและลูกบอลสีเขียวในการจับฉลากครั้งที่สอง

ตอบ:

ในการรับบอลครั้งแรก มี 5 ลูกสีแดงจาก 9 ลูกที่มีอยู่

ดังนั้น P(M) = 5/9

ในการจับฉลากครั้งที่ 2 มี 4 ลูกสีเขียวจาก 8 ลูกที่เหลือ (ด้วยข้อกำหนดของ ลูกบอลสีแดงถูกดึงออกมา)

ดังนั้น P(H/M) = 4/8

เนื่องจากเหตุการณ์มีอิทธิพลร่วมกัน ให้ใช้สูตร:

P(M n H) = P(M) x P(H/M)

P(M n H) = 5/9 x 4/8 = 5/18

คำถามที่ 5.

ในการทดลองโยนลูกเต๋าสองลูก ให้กำหนดความน่าจะเป็นที่จะได้เลขคู่ในการลูกเต๋าครั้งแรกและเลขคี่เฉพาะในลูกเต๋าที่สอง!

ตอบ:

ให้ A = เหตุการณ์ที่เลขคู่ปรากฏบนลูกเต๋าแรก = {2,4,6} ดังนั้น P(A) = 3/6

ตัวอย่างเช่น B = การเกิดขึ้นของไพรม์คี่บนไดย์ที่สอง = {3.5} จากนั้น P(B) = 2/6

เนื่องจากเหตุการณ์ A จะไม่มีผลกับเหตุการณ์ B เราจึงใช้สูตร:

P(A n B) = P(A) x P(B)

พี(เอ เอ็น บี) = 3/6 x 2/6 = 1/6

ดังนั้นการทบทวนกฎการแจงนับสั้น ๆ ที่เราสามารถถ่ายทอดได้ หวังว่าการทบทวนข้างต้นเกี่ยวกับกฎการแจงนับสามารถใช้เป็นเอกสารการศึกษาของคุณได้