อนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต: อนุพันธ์พื้นฐาน สูตร ปัญหา การอภิปราย

อนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตเป็นอีกฟังก์ชันหนึ่งของฟังก์ชันก่อนหน้า เช่น ฟังก์ชัน f กลายเป็น f' ซึ่งมีค่าไม่ปกติ

โดยทั่วไป แนวคิดเรื่องอนุพันธ์มักใช้ในชีวิตประจำวันของเรา

ไม่ว่าจะเป็นคณิตศาสตร์หรือวิทยาศาสตร์อื่นๆ

ฟังก์ชันของอนุพันธ์ที่เรามักรู้จักคือการคำนวณแทนเจนต์ของเส้นโค้งหรือฟังก์ชันและความเร็ว

ไม่เพียงเท่านั้น แนวคิดอนุพันธ์นี้มักใช้ในการหาอัตราการเติบโตของสิ่งมีชีวิต (ชีววิทยา) กำไรส่วนเพิ่ม (เศรษฐศาสตร์) ความหนาแน่นของลวด (ฟิสิกส์) และอัตราการแยก (เคมี)

ฟังก์ชันทั้งหมดนี้มีแนวคิดเหมือนกัน กล่าวคือ แนวคิดของอนุพันธ์ สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม มาเลย ลองดูรีวิวด้านล่างให้ดี:

คำนิยาม 

คำจำกัดความของอนุพันธ์

อนุพันธ์หรือที่เรียกว่าอนุพันธ์คือการวัดการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันเมื่อค่าอินพุตเปลี่ยนแปลง

โดยทั่วไป อนุพันธ์จะระบุว่าปริมาณหนึ่งเปลี่ยนแปลงอย่างไรอันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงในปริมาณอื่น

ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของตำแหน่งของวัตถุซึ่งเคลื่อนที่ตามเวลาคือความเร็วชั่วขณะของวัตถุ

กระบวนการหาอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่าง. และส่วนกลับของอนุพันธ์เรียกว่า ต่อต้านการสืบเชื้อสาย

ทฤษฎีบทพื้นฐานหรือคำสั่งของแคลคูลัสระบุว่าแอนติเดริเวทีฟเหมือนกับอินทิเกรต

อนุพันธ์และอินทิกรัลเป็นสองหน้าที่ที่สำคัญในแคลคูลัส

• (ใน x)'
• (บาป x)' = cos x
• (cos x)' = -บาป x
• (tan x) = วินาที² x
• y' คือสัญลักษณ์ของอนุพันธ์อันดับ 1
• y" เป็นสัญลักษณ์สำหรับอนุพันธ์อันดับสอง
• y”' เป็นสัญลักษณ์สำหรับอนุพันธ์อันดับสาม

สัญลักษณ์อื่นๆ นอกเหนือจากสัญลักษณ์ y' และ y" คือ

นิยามของฟังก์ชันอนุพันธ์

สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต

1. สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง

อนุพันธ์ของฟังก์ชันอยู่ในรูปของกำลัง อนุพันธ์สามารถใช้สูตรได้ดังนี้ ดังนี้

ดังนั้น สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังคือ

2. สูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชัน

สูตรสำหรับฟังก์ชันอนุพันธ์ f (x) ซึ่งเกิดจากการคูณของฟังก์ชัน u (x) และ v (x) มีดังนี้

ดังนั้น สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ

f'(x) = u'v +uv'

3. สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันหาร

ดังนั้น สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ

4. สูตรอนุพันธ์กำลังของฟังก์ชันปังกัต

จำไว้ว่า ถ้า f(x) = x^นดังนั้น:

ดังนั้น สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ

f'(x) = nu(n – 1) ยู'

4. สูตรอนุพันธ์ตรีโกณมิติ

จากคำจำกัดความของอนุพันธ์ เราสามารถหาสูตรอนุพันธ์ตรีโกณมิติได้หลายสูตร ดังนี้: (โดยที่ u และ v ตามลำดับฟังก์ชันของ x) ซึ่งรวมถึง: y' =

1. y = บาป x→ y' = cos x
2. y = cos x → y' = -บาป x
3. y = ผิวสีแทน x → y’ = วินาที² x
4. y = เตียงเด็ก x → y’ = -csc² x
5. y = วินาที x → y'
6. y = csc x → y’ = csc × เปล x
7. y = บาป^น xy' = n บาป^n-1 × คอส x
8. y = cos^น x → y' = -n cos^n-1 × บาป x
9. y = บาป u → y' = u' cos u
10. y = cos u → y' = u' บาป u
11. y = แทน u → y’ = ui sec² ยู
12. y = เปล u → y’ = -u’ csc² ยู
13. y = วินาที u → y’ = u’ วินาที u tan u
14. y = csc u → y’ = u’ csc u cot u
15. y = บาป^น u → y' = n.u' บาป^n-1 เพราะคุณ
16. y = cos^น u → y' = -n.u' cos^n-1 . บาปคุณ

อนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต

คำจำกัดความของอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เทียบกับ x ถูกกำหนดโดย:

โดยมีเงื่อนไขว่า

สัญกรณ์อนุพันธ์

อนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชัน y = f (x) บน x สามารถเขียนได้ดังนี้:

• y' = f'x ลากรองจ์
• ไลบนิซ
• ดี_xy = ด_x[f(x)]⇒ ออยเลอร์

จากคำจำกัดความข้างต้น เราสามารถหาสูตรอนุพันธ์บางสูตรได้ดังนี้

1. f(x) = k f'(x) = 0
2. f(x) = k x f'(x) = k
3. ฉ(x) = x^น f '(x) = nx^n-1
4. f(x) = k ยู(x) f '(x) = k ยู'(x)
5. f(x) = u(x) ± v(x) f '(x) = u'(x) ± v'(x)

ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่มีรูทหรือเศษส่วน ขั้นตอนแรกที่เราต้องทำคือแปลงฟังก์ชันเป็นเลขชี้กำลัง

นี่คือคุณสมบัติบางอย่างของรากและเลขชี้กำลังที่มักใช้ ท่ามกลางคุณสมบัติอื่นๆ:

• x^ม. x^น = x^m+n
• x^ม/x^น = x^{เอ็ม นู๋}
• 1/x^น = x^-น
• x = x^1/2
• ^นxm = x^{เอ็ม นู๋}

ตัวอย่าง:

ปัญหาที่ 1

หาอนุพันธ์ของ f(x) = x√x

ตอบ:

f(x) = x√x = x. x^1/2 = x^3/2

ฉ(x) = x^3/2 →

คำถามที่ 2

หาอนุพันธ์ของ

ตอบ:

การคูณและการหารของสองฟังก์ชัน

สมมติว่า y = uv อนุพันธ์ของ y สามารถแสดงเป็น:

y' = u'v + uv'

สมมติว่า y = u/v อนุพันธ์ของ y สามารถแสดงเป็น:

ตัวอย่างปัญหา

ปัญหาที่ 1

อนุพันธ์ของ f(x) = (2x + 3)(x² + 2) กล่าวคือ:

ตอบ:

ตัวอย่างเช่น:

ยู = 2x + 3 ยู' = 2
วี = x² + 2 v' = 2x

f '(x) = u' v + u v'
ฉ '(x) = 2(x² + 2) + (2x + 3) 2x
f'(x) = 2x² +4+4x² + 6x
f'(x) = 6x² + 6x + 4

กฎลูกโซ่

ถ้า y = f(u) โดยที่ u เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาได้จาก x ดังนั้นอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x สามารถแสดงได้ในรูปแบบ:

จากแนวคิดกฎลูกโซ่ด้านบน จากนั้นสำหรับ y = u^น, จะได้รับ:

โดยทั่วไปสามารถระบุได้ดังนี้:

ถ้า f(x) = [u(x)]^น โดยที่ u(x) เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาได้จาก x ดังนั้น:

f'(x) = n[u(x)]^n-1. คุณ(x)

ตัวอย่างปัญหา

ปัญหาที่ 1

หาอนุพันธ์ของ f(x) = (2x + 1)⁴

ตอบ:

ตัวอย่างเช่น:

ยู(x) = 2x + 1 ยู'(x) = 2
n = 4
f '(x) = n[u(x)]^n-1. คุณ(x)
f'(x) = 4(2x + 1)^4-1 . 2
f'(x) = 8(2x + 1)³ 

คำถามที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของ y = (x² 3x)⁷

ตอบ:

y' = 7(x² 3x)^7-1 . (2x 3)
y' = (14x 21) (x² 3x)⁶

คำถามฝึกหัดและการอภิปราย

ปัญหาที่ 1

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันของ ฉ(x) = 2x(x4 – 5).

ตอบ:

สมมติว่าถ้า ยู(x) = 2x และ วี(x) = x4-5 แล้ว:

ยู‘ (x) = 2 และ วี‘ (x) จากนั้น = 4x3

ด้วยวิธีนี้จะได้รับคำอธิบายและผลลัพธ์:

ฉ ‘(x) = ยู ‘(x).วี(x) + ยู(x).วี ’(x) = 2(x4 – 5) + 2x(4x3 ) = 2x4 – 10 + 8x4 = 10x4 – 10

คำถามที่ 2 ปัญหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่หนึ่งของ นั่นคือ …

ตอบ:

ปัญหานี้เป็นปัญหาฟังก์ชันของรูปแบบ y = au^น ซึ่งสามารถพูดคุยและแก้ไขได้โดยใช้สูตร y' = n ก. ยู^n-1. จากนั้น:

ดังนั้นอนุพันธ์คือ:

ปัญหาที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หาอนุพันธ์อันดับแรกของ:

ตอบ:

เพื่อแก้ปัญหาข้างต้น เราสามารถใช้สูตรผสม กล่าวคือ:

และยังใช้สูตร y' = n ได้อีกด้วย คุณบาป^n-1 ยู. เพราะคุณ

ดังนั้น:

ปัญหาที่ 4

อนุพันธ์ของ f(x) = (x – 1)²(2x + 3) คือ…

ตอบ:

ตัวอย่างเช่น:

ยู = (x 1)² ยู' = 2x 2
v = 2x + 3 v' = 2

f '(x) = u'v + uv'
ฉ ‘(x) = (2x 2)(2x + 3) + (x 1)². 2
f'(x) = 4x² + 2x 6 + 2(x² 2x + 1)
f'(x) = 4x² + 2x 6 + 2x² 4x + 2
f'(x) = 6x² 2x4
f '(x) = (x 1)(6x + 4) หรือ
f '(x) = (2x 2)(3x + 2)

คำถามที่ 5.

ถ้า f (x) = x² – (1/x) + 1 แล้ว f'(x) =.. .

ก. x – x²
ข. x + x²
ค. 2x – x^-2 + 1
ง. 2x – x² – 1
อี 2x + x^-2

ตอบ:

ฉ(x) = x² – (1/x) + 1

= x² – x^-1 + 1

f'(x) = 2x -(-1)x^-1-1

= 2x + x^-2

คำตอบ: E

ดังนั้นการทบทวนโดยย่อของ Derivatives of Algebraic Functions ที่เราสามารถถ่ายทอดได้ หวังว่าบทวิจารณ์ข้างต้นจะสามารถใช้เป็นสื่อการเรียนรู้ของคุณได้