สมการเส้นตรง: วัสดุ กราฟ สูตร ปัญหา การอภิปราย

สมการเส้นตรงแสดงสมการที่แปลงเส้นตรงเป็นสมการ

บทวิจารณ์เนื้อหาที่จะกล่าวถึงในหน้านี้ ได้แก่ การไล่ระดับสี สูตรสำหรับสมการของเส้นตรง และวิธีหรือวิธีการกำหนดสมการของเส้นตรง

ในส่วนสุดท้าย เราจะยกตัวอย่างการมองหาคำถามที่ว่าเนื้อหานี้ได้รับการติดตั้งไว้เพื่อเพิ่มความเข้าใจในสมการเส้นตรงของคุณ

คุณลักษณะหรือคุณลักษณะของสมการเส้นตรงคือตัวแปรมีกำลังสูงสุดเท่ากับหนึ่ง

ก่อนที่คุณจะศึกษาเนื้อหานี้เพื่อหาสมการของเส้นตรง คุณควรอ่านเกี่ยวกับวิธีการวาดสมการเส้นตรงก่อน

เพราะเนื้อหานี้สามารถช่วยให้คุณเข้าใจเนื้อหาของสมการเส้นตรงได้

เส้นตรงคือจุดจำนวนอนันต์ที่อยู่เคียงข้างกัน เส้นตรงสามารถแสดงในรูปแบบต่างๆ ของสมการเส้นตรง เส้นตรงสามารถแสดงได้มากกว่าหนึ่งสมการ

ตัวอย่างการแสดงสมการของเส้นตรง ได้แก่

• y = mx
• y = -mx
• y = a
• x = เป็
• ขวาน + โดย = ab
• ขวาน – โดย = -ab
• และคนอื่น ๆ.

ด้านล่างนี้คือรูปแบบเส้นตรงต่างๆ และวิธีการแสดงสมการของเส้นตรง ดูภาพด้านล่างอย่างระมัดระวัง:

รูปแบบทั่วไปของpers

ความหมายของเส้นตรงแสดงในสมการ y = mx + c โดยที่ m คือ การไล่ระดับสี, x คือ ตัวแปรและ c คือ ค่าคงที่.

เราจะเริ่มทบทวนสมการเส้นตรงด้วยคำจำกัดความและคำจำกัดความของการไล่ระดับสี นี่คือข้อมูลเพิ่มเติม

นิยามของสมการเส้นตรง

ดังที่เราได้กล่าวไว้ข้างต้น สมการของเส้นตรงแสดงสมการที่แปลเส้นตรงเป็นสมการ ดังนั้น,

ความหมายของ สมการของเส้นตรงคือ สมการที่ว่าเมื่อเราพลอตมันลงในระนาบพิกัดคาร์ทีเซียน มันจะเกิดเป็นเส้นตรง

และสิ่งที่หมายถึงเส้นตรงคือกลุ่มของจุดที่ขนานกัน

ไล่โทนสี

แต่ก่อนที่เราจะเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับสูตร ก่อนอื่นเราต้องรู้องค์ประกอบ 1 อย่างที่ไม่สามารถแยกออกจากสมการเส้นตรงได้ ได้, หนึ่งรูปแบบ คือ ไล่โทนสี

การไล่ระดับสีคือ อัตราส่วนขององค์ประกอบ y และองค์ประกอบ x หรือที่เรียกว่าความชันของเส้นตรง สัญลักษณ์ของการไล่ระดับสีคือตัวอักษร m

การไล่ระดับสียังสามารถกำหนดเป็นค่าที่แสดงความชันของเส้นได้ โดยทั่วไป ค่าของการไล่ระดับสีของสมการเส้นตรงจะแสดงด้วยอัตราส่วน Δy/Δx

สังเกตวิธีการกำหนดความลาดชันในภาพด้านล่าง

วิธีการกำหนดความชันของเส้นตรงในระนาบคาร์ทีเซียนอาจได้รับผลกระทบจากทิศทางของความชันของเส้น

เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการกำหนดความลาดชันของเส้นในการสนทนาด้านล่าง

1. ความชันของสมการ ax + โดย + c = 0

M = ส่วนประกอบ X / ส่วนประกอบ Y

2. การไล่ระดับสีที่ผ่านจุดศูนย์กลาง ( 0, 0 ) และจุด ( a, b )

m = b / a

3. การไล่ระดับผ่านจุด ( x₁, y₁ ) และ ( x₂, y₂ )

ม = y₁ – y₂ /x₁ – x₂ หรือ m = y₂ – y₁ /x₂ – x₁

4. การไล่ระดับสีของเส้นขนานกัน ( / / )

m = เหมือนกันหรือถ้าเป็นสัญลักษณ์เป็น m₁ = ม₂

5. ความลาดชันของเส้นตั้งฉากกัน (ตรงข้ามและตรงข้าม)

m = -1 หรือ m₁ x ม₂ = -1

ตำแหน่งระหว่าง 2 เส้น

ตำแหน่งระหว่าง 2 เส้นในสมการของเส้นตรงสามารถแบ่งได้เป็น 2 ประเภท ได้แก่ ขนานและตั้งฉาก

ทั้งสองตำแหน่งมีสมการเส้นตรงที่เกี่ยวข้องกัน

ดังนั้น ถ้ารู้สมการเส้นตรง 1 สมการ ก็จะรู้สมการเส้นตรงที่ขนานหรือตั้งฉากกับเส้นนั้น

จากนั้นสมการของเส้นตรงจะมีเงื่อนไขความสัมพันธ์แบบเกรเดียนต์ ข้อกำหนดการไล่ระดับสีและรูปภาพของตำแหน่งระหว่างเส้นตรง 2 เส้นจะได้รับในการทบทวนด้านล่าง ตั้งใจฟัง โอเค..

1. เส้นขนาน

เส้นขนานเป็นเส้นสองเส้นที่ไม่มีวันตัดกัน เส้นขนานสองเส้นนี้มีความชันเท่ากัน

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าความชันของเส้น g = m_ก และการไล่ระดับสีของเส้น h = m_ซ. ดังนั้น ความสัมพันธ์ระหว่างการไล่ระดับสีของสมการทั้ง 2 ของเส้นสามารถแสดงได้ในสมการต่อไปนี้

ม_ก = ม_ห่า

2. เส้นตั้งฉาก

การไล่ระดับสีของเส้นตั้งฉากสองเส้นก็มีความสัมพันธ์เช่นกัน

ความสัมพันธ์ของทั้งสองเส้นจะถูกระบุหากการไล่ระดับสีของเส้นที่สองเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับการผกผันของการไล่ระดับสีของเส้นแรก

หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งก็อาจกล่าวได้เช่นกันว่าผลลัพธ์ของการคูณการไล่ระดับสี 2 ระดับคือ -1

ตัวอย่างเช่น การไล่ระดับสีของบรรทัดแรกมีค่า ม₁ = 2 แล้วค่าของการไล่ระดับสีของบรรทัดที่สองคือ ม₂ = -1/2.

เพื่อให้คุณเข้าใจได้ชัดเจนยิ่งขึ้น คุณสามารถดูการสนทนาด้านล่าง:

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าความชันของเส้น g = m_ก และการไล่ระดับสีของเส้น h = m_ห่า. ดังนั้น ความสัมพันธ์ระหว่างการไล่ระดับสีทั้งสองของสมการเส้นจะแสดงในสมการต่อไปนี้:

ม_ก x ม_ห่า = -1

สมการเส้นตรง

เราสามารถรู้สมการของเส้นตรงผ่านสูตรและการคำนวณเพียงเล็กน้อย

มีคำถามสมการเส้นตรงสองประเภทที่จะได้รับในระดับมัธยมศึกษาตอนต้น

ประเภทแรกเป็นปัญหากับการไล่ระดับสีที่รู้จักและจุดตัดกัน

ในขณะเดียวกัน สำหรับประเภทที่สอง จะเป็นสมการที่ทราบจุดตัดกันสองจุด

สูตรการหาสมการของเส้นจะกล่าวถึงด้านล่าง

มีสองสูตรที่เราสามารถใช้กำหนดสมการของเส้นตรงได้ การใช้สูตรขึ้นอยู่กับสิ่งที่ทราบในปัญหา

ตรวจสอบทั้งสองสูตรในการทบทวนต่อไปนี้:

1. สมการของเส้นตรงที่มีความชัน m และผ่านจุด A(x₁.y₁)

y Y₁ = ม.(x – x₁)

2. สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(x₁.y₁) และ B(x₂.y₂)

y Y₁ / y₂ . y₁ = y – x₁ /x₂ . x₁

สูตรสมการเส้นตรง

1. สมการเส้นตรงของแบบฟอร์มทั่วไป ( y = mx )

สมการที่ผ่านจุดศูนย์กลาง ( 0, 0 ) และความชันเป็น m

ตัวอย่างเช่น:

จงหาสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลาง ( 0, 0 ) และมีความชันเท่ากับ 2. ด้วย

ตอบ:

y = mx

y = 2 x

2. สมการของเส้นตรงผ่านจุดคู่ขนาน ( y = mx + c )

สมการของเส้นตรงคือ / / ที่มี y = mx และมีความชันเป็น m

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดของมัน ( 0, c ) และมีความชันเป็น m ( 0, c ) คือจุดตัดแกน y

3. สมการของเส้นตรงผ่านจุด ( x₁ , y₁ ) และ Gradient ม.

สมการจะเป็นดังนี้:

y Y₁ = ม. ( x – x₁ )

4. สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด 2 จุด คือ ( x₁ , y₁ ) และ ( x₂ , y₂ ).

y Y₁ / y₂ – y₁ = x – x₁ /x₂ – x₁

ตัวอย่างคำถามและการอภิปราย

ปัญหาที่ 1

หาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดตัดของเส้นตรงที่มีสมการ 3x + 2y – 12 และ 5x + 2y = 16 และขนานกับเส้น 2x + y = 4 คือ?

ตอบ:

3x + 2y = 12

5x + 2y = 16
_________ –
– 2x = -4
x = -4 / -2 = 2

3x + 2y = 12

3 x 2 + 2y = 12

6 + 2y = 12

2y = 6

y = 6 / 2 = 3

จุดตัด ( 2, 3 ) // 2x + y = 4

ม₁ = -a / b = -2 / 1 = -2

ม₁ = ม₂ = -2

y Y₁ = ม₂ ( x – x₁ )

y – 3 = -2 ( x – 2 )

y – 3 = -2x + 4

2x + y – 3 + 4 = 0

2x + y + 1 = 0

คำถามที่ 2

สมการของเส้นผ่าน (-1, 2) และตั้งฉากกับเส้น 4y = 3x + 5 คือ ….
ก. 4x – 3y + 10 = 0
ข. 4x – 3y – 10 = 0
ค. 3x + 4y – 5 = 0
ง. 3x + 4y + 5 = 0

ตอบ:

ค้นหาความชันของเส้น 4y = –3x + 5:

4y= -3x + 5

y = -3/4x + 5/4

แล้วความชันของเส้นคือ m = – 3/4

เส้นจะตั้งฉากกับสมการเส้นตรง ถ้ามีความชันที่ตรงกับ:

ม₁ x ม₂ = -1

-3/4 x ม₂ = – 1

ม₂ = – 1 / -3/4

ม₂ = 4/3

ต่อไป เราจะหาสมการของเส้นตรงที่มีการไล่ระดับสี m₂ = 3/4 ที่ผ่านจุด (-1, 2)

y Y₁ = ม₂ ( x – x₁ )

y – 2 = 4/3 ( x – (-1))

y – 2 = 4/3 (x + 1)

3(y – 2) = 4 (x + 1)

3y – 6 = 4x + 4

– 4x + 3y – 10 = 0

4x – 3y + 10 = 0

ดังนั้น คำตอบที่ถูกต้องคือ ก.

ปัญหาที่ 3 คำถามคณิตศาสตร์ของสหประชาชาติปี 2013 และ 2008

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (–3, 5) และตั้งฉากกับเส้น 3x – 2y = 4 คือ ….

ก. 2x + 3y – 9 = 0
ข. 2x – 3y – 9 = 0
ค. 3x + 2y + 19 = 0
ง. 3x – 2y – 1 = 0

ตอบ:

ค้นหาความชันของเส้น 3x – 2y = 4:

3x – 2y = 4

2y = 3x – 4

y = 3/2x – 2

ดังนั้นความชันของเส้นคือ m₁ = 3/2

เส้นจะตั้งฉากกับสมการเส้นตรง ถ้ามีความชันที่ตรงกับ:

ม₁ x ม₂ = -1

3/2 x ม₂ = -1

ม₂ = -1/ 3/2

ม₂ = -2/3

ต่อไป เราจะหาสมการของเส้นตรงที่มีการไล่ระดับสี m₂ = -2/3 ที่ผ่านจุด (-3, 5)

y Y₁ = ม₂ ( x – x₁ )

y – 5 = -2/3 ( x – (-3))

y – 5 = -2/3 (x + 3)

3(y – 5) = -2 (x + 3)

3y – 15 = -2x – 6

2x + 3y – 15 + 6 = 0

2x + 3y – 9 = 0

ดังนั้น คำตอบที่ถูกต้องคือ ก.

ปัญหาที่ 4 คำถามคณิตศาสตร์ UN ประจำปี 2552

ท่ามกลางสมการของบรรทัดต่อไปนี้:

(I) 2y = 8x + 20
(II) 6y = 12x + 18
(III) 3y = 12x + 15
(IV) 3y = 6x + 15

ซึ่งกราฟจะขนานกัน...

ก. (I) และ (II)
ข. (I) และ (III)
ค. (III) และ (IV)
ง. (II) และ (IV)

ตอบ:

กราฟจะขนานกันหากมีค่าการไล่ระดับสีเท่ากัน นั่นคือ:

2y = 8x + 20 → m = 8/2 = 4

6y = 12x + 18 → m = 12/6 = 2

3y = 12x + 15→ m = 12/3 = 4

3y = 6x + 15→ m = -6/3 = -2

ดังนั้น กราฟคู่ขนานจึงเกิดขึ้นในสมการของเส้น (I) และ (III)

ดังนั้น คำตอบที่ถูกต้องคือ ข.

คำถามที่ 5. คณิตศาสตร์ UN คำถาม 2008

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(–2, –3) และตั้งฉากกับเส้นตรงที่มีสมการ y = 2/3x + 9 คือ ….

ก. 2x + 3y + 13 = 0
ข. 3x + 2y + 12 = 0
ค. 2x + 3y – 5 = 0
ง. 3x – 2y = 0

ตอบ:

หาความชันของเส้น y = 2/3x + 9:

ม₁ = 2/3x

เส้นจะตั้งฉากกับสมการเส้นตรง ถ้ามีความชันที่ตรงกับ:

ม₁ x ม₂ = -1

2/3 x ม₂ = -1

ม₂ = -1/ 2/3

ม₂ = -3/2

ต่อไป เราจะหาสมการของเส้นตรงที่มีการไล่ระดับสี m₂ = -3/2 ที่ผ่านจุด (-2, -3)

y Y₁ = ม₂ ( x – x₁ )

y – (-3) = -3/2 ( x – (-2))

y + 3 = -3/2 (x + 2)

2(y + 3) = -3 (x + 2)

2y + 6 = -3x – 6

2y + 3x + 6 + 6 = 0

2y + 3x + 12 = 0

3x + 2y + 12 = 0

ดังนั้น คำตอบที่ถูกต้องคือ ข.

คำถามที่ 6

สมการของเส้นตรงขนานกับเส้น 2x+3y+6 = 0 และผ่านจุด (-2.5) คือ …

ก. 2x+3y-4 = 0

ข. 2x-2y+16 = 0

ค. 3y+2x-11 = 0

ง. 3y-2x-19 = 0

ตอบ:

สมการของเส้นตรงขนานกับ 2x+3y+6 = 0 หมายความว่าความลาดชันของเส้นเท่ากัน อันดับแรกเรากำหนดความลาดชันโดยใช้วิธีต่อไปนี้:

2x+3y+6 = 0

3y = -2x – 6

y = -2/3 x – 2

จะเห็นได้ว่าความชัน = -2/3

ดังนั้น สมการทั่วไปของเส้นตรงคือ y = -2/3x+c

เนื่องจากเส้นผ่านหรือผ่านจุด (-2.5) เราจึงสามารถแทนจุดนั้นในสมการเพื่อให้ได้ค่า c นี่คือวิธี:

y = -2/3x + c

5 = -2/3 (-2) + c

5 = 4/3 + ค

ค = 5 – 4/3

ค = 15/3 -4/3

ค = 11/3

ดังนั้น สมการของเส้นตรงคือ:

y = -2/3x + c

y = -2/3 x + 11/3

3y = -2x + 11

3y + 2x – 11 = 0

ดังนั้น คำตอบที่ถูกต้องคือ ค.

คำถามที่ 7

เป็นที่ทราบกันว่าสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด P(k, 4) และตั้งฉากกับเส้นตรง x+2y+1 = 0 คือ y = m (x+1) ดังนั้นค่าของ k คือ ….

ก. 1

ข. 2

ค. 3

ง. 4

ตอบ:

x+2y+1 = 0

2y = -x – 1

y = -1/2 x – 1/2

เราจะได้ทราบความชัน (m) = -1/2

เนื่องจากเส้นสองเส้นตั้งฉาก ดังนั้น

ม.-1/2 =-m/2 = -1

-m = -2

ม. = 2

หรือวิธีง่าย ๆ หากตั้งฉากการไล่ระดับสีของเส้นจะตรงข้ามและกลับกัน เพราะ m จากเส้นตรง x+2y+1 = 0 ซึ่งก็คือ -1/2 ดังนั้นด้านตรงข้ามและด้านตรงข้ามคือ 2

ดังนั้น สมการของเส้น y = m(x+1) จะเป็น y = 2(x+1)

เส้น y = 2(x+1) ผ่านจุด (k, 4) ดังนั้น:

y = 2(x+1)

4 = 2(k+1)

4 = 2k + 2

2k = 4-2

2k = 2

k = 1

ดังนั้น คำตอบที่ถูกต้องคือ ก.

คำถามที่ 8

กำหนดบรรทัด g: x-3y+5=0 สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (-2.11) และยังตั้งฉากกับสมการของเส้น g อีกด้วย คือ ...

ก. -3x+5c. 3x-5

ข. -3x-5

ค. 3x-5

ง. 3x+5

ตอบ:

x-3y+5=0

-3y = -x – 5

y = 1/3 x + 5/3

ม1 = 1/3

เพราะมันตั้งฉาก ดังนั้น:

1/3. m2 = -1 m2 = -3

หรือเพียงแค่ m2 เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามและตรงกันข้ามกับ m1

สมการของเส้นตรงที่มีความชันเป็น -3 และผ่านจุด (-2.11) คือ

yb = m(x-a)

y-11 = m2 (x-(-2))

y-11 = -3 (x+2)

y-11 = -3x -6

y = -3x – 6 +11

y = -3x +5

ดังนั้น คำตอบที่ถูกต้องคือ ก.

ปัญหาที่ 9 (UN 2010)

ความชันของเส้นตรงที่มีสมการ 3x-5y+15 คือ ….

ก. 5/3

ข. 3/5

ค. -3/5

ง. -5/3

ตอบ:

ความชันของเส้นตรงที่มีสมการ 3x-5y+15 = 0 คือ:

3x-5y+15 = 0

– 5 ปี = -3x – 15

5y = 3x + 15

y = 3/5 x + 3

ไล่ระดับ (ม.) = 3/5

ดังนั้น คำตอบที่ถูกต้องคือ ข.

คำถามที่ 10.

เกรเดียนต์ของสมการ 4y = 2x + 3 คือ...

ก. ม. = 2
ข. ม. = 1
ค. ม =
ง. ม. = -½

ตอบ:

สำหรับสมการเส้นตรงของรูปแบบ y = mx + c การไล่ระดับสีของเส้นคือ m (ตัวเลขหลัง x)

จึงต้องเปลี่ยนรูปสมการในโจทย์เสียก่อน โดยใช้วิธีการดังนี้

4y = 2x + 3
y = (2/4)x + 3/4
y = x + 3/4

ดังนั้น เราสามารถทราบได้ว่าการไล่ระดับสีคือ:

y = x + 3/4
ม =

ดังนั้น คำตอบที่ถูกต้องคือ ค.

คำถามที่ 11

จากสมการเส้นสี่เส้นต่อไปนี้ ซึ่งมีเกรเดียนท์เท่ากับ 2 คือ...

ก. y = 4x + 8
ข. 4x + 2y – 5 = 0
ค. 3y = 6x + 16
ง. y + 2x = 6

ตอบ:

มาดูการไล่ระดับสีของตัวเลือกสมการเส้นแต่ละตัวจากปัญหาหมายเลข 11 ด้านบนกัน:

ก. y = 4x + 8 → m = 4
ข. 4x + 2y – 5 = 0 → 2y = -4x + 5 → m = -4/2 = -2
ค. 3y = 6x + 16 → y = 2x + 16/3 → m = 2
ง. y + 2x = 6 → y = -2x + 6 → m = -2

ดังนั้น สมการของเส้นที่มีการไล่ระดับสี 2 คือ 3y = 6x + 16

จึงเป็นรีวิวสั้น ๆ ในครั้งนี้ที่เราสามารถถ่ายทอดได้ หวังว่าบทวิจารณ์ข้างต้นจะสามารถใช้เป็นสื่อการเรียนรู้ของคุณได้