สมการเชิงเส้นสามตัวแปร

ระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปร- เป็นรูปแบบเพิ่มเติมของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (SPLDV) ซึ่งในระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปรประกอบด้วยสามสมการ ซึ่งแต่ละสมการมีสามตัวแปร (เช่น x, y และ z)

ดังนั้น รูปแบบทั่วไปของระบบสามตัวแปรของสมการเชิงเส้นใน x, y และ z สามารถเขียนได้ดังนี้:

ด้วย a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, และ l หรือ a1, ข1, ค1, d1, แ2, ข2, ค2, d2, แ3, ข3, ค3, และ ดี3 เป็นตัวเลขจริง

ข้อมูล:

• ก, อี, ฉัน, อ1, แ2, แ3 = สัมประสิทธิ์ของ x
• ข, ฉ, เจ, ข1, ข2, ข3 = สัมประสิทธิ์ของ y
• ค, ก, k, ค1, ค2, ค3 = สัมประสิทธิ์ของ z
• d, h, ผม, d1, d2, d3 = ค่าคงที่
• x, y, z = ตัวแปรหรือตัวแปร

ลักษณะ ลักษณะของระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปร (SPLTV)

สมการเรียกว่าระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปร หากมีลักษณะดังต่อไปนี้

• การใช้ความสัมพันธ์เครื่องหมายเท่ากับ (=)
• มีสามตัวแปร
• ตัวแปรทั้งสามมีดีกรีหนึ่ง (ยกกำลังหนึ่ง)

สิ่ง เรื่องที่เกี่ยวข้องกับ SPLTV

ประกอบด้วยสามองค์ประกอบหรือองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องกับระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปรเสมอ

สามองค์ประกอบคือ: เทอม, ตัวแปร, สัมประสิทธิ์และค่าคงที่ ต่อไปนี้เป็นคำอธิบายของส่วนประกอบแต่ละส่วนของ SPLTV

1. เผ่า

คำนี้เป็นส่วนหนึ่งของรูปแบบพีชคณิตที่ประกอบด้วยตัวแปร สัมประสิทธิ์และค่าคงที่ แต่ละคำจะถูกคั่นด้วยเครื่องหมายวรรคตอนการบวกและการลบ

ตัวอย่าง:

6x – y + 4z + 7 = 0 จากนั้นเทอม–เงื่อนไขของสมการคือ 6x, -y, 4z และ 7

2. ตัวแปร

ตัวแปรคือตัวแปรหรือแทนที่ตัวเลขซึ่งโดยทั่วไปจะแสดงด้วยการใช้ตัวอักษร เช่น x, y และ z

ตัวอย่าง:

ยูลิสามีแอปเปิ้ล 2 ผล มะม่วง 5 ผล และส้ม 6 ผล ถ้าเราเขียนในรูปสมการแล้ว:

ตัวอย่าง: apple = x, mango = y และ orange = z ดังนั้นสมการคือ 2x + 5y + 6z

3. ค่าสัมประสิทธิ์

สัมประสิทธิ์คือตัวเลขที่แสดงจำนวนของตัวแปรที่คล้ายคลึงกันจำนวนหนึ่ง

ค่าสัมประสิทธิ์เรียกอีกอย่างว่าตัวเลขหน้าตัวแปรเพราะการเขียนสมการสัมประสิทธิ์อยู่หน้าตัวแปร

ตัวอย่าง:

กิลังมีแอปเปิล 2 ผล มะม่วง 5 ผล และส้ม 6 ผล ถ้าเราเขียนในรูปสมการแล้ว:

ตัวอย่าง: apple = x, mango = y และ orange = z ดังนั้นสมการคือ 2x + 5y + 6z

จากสมการเหล่านี้จะเห็นได้ว่า 2, 5 และ 6 เป็นสัมประสิทธิ์โดยที่ 2 คือสัมประสิทธิ์ของ x, 5 คือสัมประสิทธิ์ของ y และ 6 คือสัมประสิทธิ์ของ z

4. ค่าคงที่

ค่าคงที่คือตัวเลขที่ไม่ได้ตามด้วยตัวแปร ดังนั้นจะมีค่าคงที่หรือค่าคงที่โดยไม่คำนึงถึงค่าของตัวแปรหรือตัวแปร

ตัวอย่าง:

2x + 5y + 6z + 7 = 0 จากสมการ ค่าคงที่คือ 7 เพราะ 7 ค่าคงที่และไม่ได้รับผลกระทบจากตัวแปรใดๆ

ข้อกำหนด SPLDV มีทางออกเดียว

ระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร 3 ตัวจะมีคำตอบหรือชุดของคำตอบอย่างแน่นอน หากเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้

มีมากกว่าหนึ่งหรือมีสามสมการเชิงเส้นของตัวแปรที่คล้ายกันสามตัว

ตัวอย่าง:

• x + y + z = 5
• x + 2y + 3z = 6
• 2x + 4y + 5z = 9

สมการเชิงเส้นสามตัวแปรที่ประกอบเป็นระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปรนั้นไม่ใช่สมการเชิงเส้นสามตัวแปรเดียวกัน

ตัวอย่าง:

• 2x − 3y + z = −5
• 2x + z − 3y + 5 = 0
• 4x – 6y + 2z = −10

สมการทั้งสามข้างต้นเป็นระบบสมการเชิงเส้นของตัวแปรสามตัวเดียวกัน เพื่อไม่ให้มีคำตอบชุดเดียว

วิธีแก้ SPLDV

รูปแบบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปรสามารถเขียนได้ดังนี้:

ถ้าค่าของ x = x0, y = y0, และ z = z0, เขียนเป็นคู่เรียงลำดับ (x0, y0, z0) ตรงตาม SPLTV ด้านบน จากนั้นจึงต้องใช้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้

ในกรณีเช่นนี้ (x0, y0, z0) เรียกว่า คำตอบของระบบสมการเชิงเส้น และ ชุดสารละลาย เขียนเป็น {(x0, y0, z0)}.

ตัวอย่างเช่น การมีอยู่ของ SPLTV ดังนี้:

• 2x + y + z = 12
• x + 2 ปี – z = 3
• 3x – y + z = 11

SPLTV ด้านบนมีวิธีแก้ปัญหา (3, 2, 4) พร้อมชุดโซลูชันคือ {(2, 3, 4)}

เพื่อพิสูจน์ความจริงว่า (3, 2, 4) เป็นคำตอบของ SPLTV จากนั้นแทนที่ค่าของ x = 3, y = 2 และ z = 4 ลงในสมการ 2x + y + z = 12, x + 2ปี– z = 3 และ 3x – y + z = 11 ดังนั้นเราจึงได้:

⇔ 2(3) + 2 + 4 = 6 + 2 + 4 = 12, จริง

⇔ 3 + 2(2) – 4 = 3 + 4 – 4 = 3 จริง

⇔ 3(3) – 2 + 4 = 9 – 2 + 4 = 11 ถูกต้อง

คําตอบหรือชุดคําตอบของระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปร (SPLTV) สามารถค้นหาได้โดยใช้วิธีการหรือวิธีการต่างๆ รวมถึงการใช้:

• วิธีการทดแทน
• วิธีการกำจัด
• วิธีผสมหรือผสม
• วิธีการกำหนด
• เมทริกซ์ผกผันวิธี

ที่นี่เราจะให้การทบทวนวิธีการ การทดแทน การคัดออก และการรวมกัน บน ระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปร (SPLTV)

1. วิธีการทดแทน

ต่อไปนี้คือขั้นตอนที่ใช้เพื่อทำให้ SPLTV สมบูรณ์ด้วยวิธีการทดแทน ซึ่งรวมถึง:

ขั้นที่ 1:

เลือกสมการที่ง่ายที่สุด จากนั้นแสดง x เป็นฟังก์ชันของ y และ z หรือ y เป็นฟังก์ชันของ x และ z หรือ z เป็นฟังก์ชันของ x และ y

ขั้นตอนที่ 2:

แทน x หรือ y หรือ z ที่เราได้ในขั้นตอนแรกในสมการอีกสองสมการ เราก็จะได้ ระบบสมการเชิงเส้นของตัวแปรสองตัว (SPLDV).

ขั้นที่ 3:

กรอก SPLDV ที่มีอยู่ในขั้นตอนที่สอง

เพื่อให้คุณเข้าใจมากขึ้นเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหา SPLTV โดยใช้วิธีทดแทน เราจึงให้ตัวอย่างคำถามและการอภิปรายในคำถามเหล่านี้

ปัญหาที่ 1

กำหนดโซลูชัน SPLTV ที่ตั้งค่าด้านล่างโดยใช้วิธีการทดแทน:

x – 2y + z = 6

3x + y – 2z = 4

7x – 6ปี – z = 10

ตอบ:

ขั้นตอนแรกคือการกำหนดสมการที่ง่ายที่สุดก่อน

จากสมการทั้งสาม สมการแรกนั้นง่ายที่สุด จากสมการแรก ให้ระบุตัวแปร x เป็นฟังก์ชันของ y และ z ดังนี้

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ x = 2 ปี – z + 6

แทนที่ตัวแปรหรือตัวแปร x ลงในสมการที่สอง

⇒ 3x + y – 2z = 4

⇒ 3(2ปี – z + 6) + y – 2z = 4

⇒ 6ปี – 3z + 18 + y – 2z = 4

⇒ 7ปี – 5z + 18 = 4

⇒ 7ปี – 5z = 4 – 18

⇒ 7ปี – 5z = –14 ………………………… กด (1)

แทนที่ตัวแปร x ลงในสมการที่สาม

⇒ 7x – 6ปี – z = 10

⇒ 7(2ปี – z+6) – 6ปี – z = 10

⇒ 14ปี – 7z + 42 – 6ปี – z = 10

⇒ 8ปี – 8z + 42 = 10

⇒ 8ปี – 8z = 10 – 42

⇒ 8ปี – 8z = –32

⇒ y – z = –4 …………………… สมการ (2)

สมการ (1) และ (2) จาก SPLDV y และ z:

7ปี – 5z = –14

y – z = –4

จากนั้นแก้ SPLDV ด้านบนโดยใช้วิธีการทดแทน เลือกหนึ่งในสมการที่ง่ายที่สุด ในกรณีนี้ สมการที่สองคือสมการที่ง่ายที่สุด

จากสมการที่สอง เราได้:

⇒ y – z = –4

⇒ y = z – 4

แทนตัวแปร y ลงในสมการแรก

⇒ 7ปี – 5z = –14

⇒ 7(z – 4) – 5z = –14

⇒ 7z – 28 – 5z = –14

⇒ 2z = –14 + 28

⇒ 2z = 14

⇒ z = 14/2

⇒ z = 7

แทนที่ค่าของ z = 7 ลงใน SPLDV ตัวใดตัวหนึ่ง เช่น y – z = –4 ดังนั้นเราจะได้รับ:

⇒ y – z = –4

⇒ y – 7 = –4

⇒ y = –4 + 7

⇒ y = 3

จากนั้นแทนที่ค่าสำหรับ y = 3 และ z = 7 ลงใน SPLTV ตัวใดตัวหนึ่งเช่น x – 2y + z = 6 ดังนั้นเราจะได้:

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ x – 2(3) + 7 = 6

⇒ x – 6 + 7 = 6

⇒ x + 1 = 6

⇒ x = 6 – 1

⇒ x = 5

ด้วยวิธีนี้เราจะได้ x = 5, y = 3 และ z = 7 เพื่อให้วิธีแก้ปัญหาที่กำหนดไว้สำหรับปัญหา SPLTV คือ {(5, 3, 7)}

เพื่อให้แน่ใจว่าค่าของ x, y และ z ที่ได้รับนั้นถูกต้อง เราสามารถค้นหาได้โดยการแทนที่ค่าของ x, y และ z ลงใน SPLTV สามตัวด้านบน ท่ามกลางคนอื่น ๆ:

สมการที่ 1:

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ 5 – 2(3) + 7 = 6

⇒ 5 – 6 + 7 = 6

⇒ 6 = 6 (จริง)

สมการที่สอง:

⇒ 3x + y – 2z = 4

⇒ 3(5) + 3 – 2(7) = 4

⇒ 15 + 3 – 14 = 4

⇒ 4 = 4 (จริง)

สมการที่สาม:

⇒ 7x – 6ปี – z = 10

⇒ 7(5) – 6(3) – 7 = 10

⇒ 35 – 18 – 7 = 10

⇒ 10 = 10 (จริง)

จากข้อมูลข้างต้นสามารถยืนยันได้ว่าค่าของ x, y และ z ที่เราได้รับนั้นถูกต้องและเป็นไปตามระบบสมการเชิงเส้นของตัวแปรทั้งสามที่เป็นปัญหา