คณิตศาสตร์เวกเตอร์: ประเภท, การดำเนินการ, การฉายภาพมุมฉาก, สัญกรณ์, ปัญหา

เวกเตอร์ทางคณิตศาสตร์คือปริมาณที่มีทิศทาง ซึ่งเวกเตอร์นี้สามารถอธิบายได้โดยใช้ลูกศรซึ่งทิศทางจะชี้ไปที่ทิศทางของเวกเตอร์ และความยาวของเส้นมักจะเรียกว่าขนาดเวกเตอร์

หากเวกเตอร์เริ่มต้นที่จุด A และสิ้นสุดที่จุด B เวกเตอร์สามารถเขียนโดยใช้อักษรตัวพิมพ์เล็กด้านบนซึ่งมีเส้นประหรือลูกศร (

หรือ ). หรือสามารถทำได้ในลักษณะดังภาพด้านล่าง:

ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ เป็นเวกเตอร์เริ่มต้นจากจุด A(x₁. y₁) ไปที่จุด B(x₂. y₂) เราสามารถวาดพิกัดคาร์ทีเซียนด้านล่าง

ความยาวของเส้นตรงขนานกับแกน x คือ v₁ = x₂ – x₁ และความยาวของเส้นตรงที่ขนานกับแกน y คือ v₂ = y₂ – y₁ เป็นองค์ประกอบเวกเตอร์บางส่วน .

ส่วนประกอบเวกเตอร์  เราสามารถเขียนเพื่อแสดงเวกเตอร์เชิงพีชคณิต กล่าวคือ:

ประเภทเวกเตอร์

มีเวกเตอร์พิเศษหลายประเภทที่มีอยู่ในคณิตศาสตร์ ได้แก่ :

• ตำแหน่งเวกเตอร์
  เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นเป็น 0 (0,0) และจุดสิ้นสุดคือ A
• Zero Vector
  เวกเตอร์ที่มีความยาวเป็นศูนย์และเขียนแทนด้วย . เวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศทางเวกเตอร์ที่ชัดเจน
instagram viewer
• เวกเตอร์หน่วย
  เวกเตอร์ที่มีความยาวหนึ่งหน่วย เวกเตอร์หน่วยของ นั่นคือ:
  
• เวกเตอร์ฐาน
  เวกเตอร์ฐานคือเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกัน ในพื้นที่เวกเตอร์สองมิติ (R²) มีเวกเตอร์ฐานสองตัวคือ และ . ในขณะที่อยู่ในสามมิติ (R³) มีเวกเตอร์ฐานสามตัวคือ , , และนอกจากนี้ยังมี .

ปฏิบัติการประเภทต่าง ๆ และเวกเตอร์

เวกเตอร์ทางคณิตศาสตร์ไม่เพียงประกอบด้วยหลายประเภทเท่านั้น แต่เวกเตอร์ทางคณิตศาสตร์ยังประกอบด้วยหลายประเภทด้วย

ดังนั้น ต่อไปนี้ เราจะจัดเตรียมเวกเตอร์ต่างๆ พร้อมกับการดำเนินการของพวกมันในคราวเดียว พิจารณาให้ดี:

เวกเตอร์ใน R2 

ความยาวของส่วนของเส้นตรงที่แสดงเวกเตอร์นั้นแสดงโดยใช้ หรือจะใช้สัญลักษณ์ |. แทนก็ได้|

ต่อไปนี้คือความยาวของเวกเตอร์ ซึ่งมีดังนี้:

ความยาวของเวกเตอร์เองนั้นเป็นรูปแบบที่สามารถสัมพันธ์กับมุมที่เวกเตอร์และแกนบวกสามารถก่อรูปได้ง่าย

การทำงานของเวกเตอร์บน R2 

กระบวนการบวกและการลบเวกเตอร์ใน R2 

ผลลัพธ์คือชื่อของผลลัพธ์ของการเพิ่มเวกเตอร์สองตัวหรือมากกว่า

การเพิ่มเวกเตอร์นี้สามารถทำได้ด้วยพีชคณิตและสามารถทำได้โดยการเพิ่มส่วนประกอบที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันหรือตำแหน่งถัดไป

ถ้า:

แล้ว:

จากนั้นเราจะเห็นผลรวมแบบกราฟิกในภาพตัวอย่างด้านล่าง:

การลบเวกเตอร์นี้ได้รับการปฏิบัติเหมือนกับการบวก รวมถึงสิ่งต่อไปนี้ ดูตัวอย่างด้านล่าง:

คุณสมบัติในการบวกเวกเตอร์นี้มีดังต่อไปนี้ โปรดดูสูตร:

⇒ การคูณเวกเตอร์ใน R² ด้วยสเกลาร์ 

เวกเตอร์สามารถคูณด้วยสเกลาร์หรือจำนวนจริงได้ ซึ่งจะทำให้เกิดเวกเตอร์ใหม่ if เป็นเวกเตอร์ และ k เป็นสเกลาร์

จึงสามารถแสดงการคูณเวกเตอร์ได้ดังนี้

นี่คือรายละเอียดเพิ่มเติมบางส่วน:

• ถ้า k > 0 แล้วเวกเตอร์ จะเป็นไปในทิศเดียวกับเวกเตอร์ .
• ถ้า k < 0 แล้วเวกเตอร์ จะอยู่ในทิศตรงข้ามกับเวกเตอร์ .
• ถ้า k = 0 แล้วเวกเตอร์ เป็นเวกเตอร์เอกลักษณ์ .

ในทางกราฟ การคูณนี้สามารถเปลี่ยนความยาวของเวกเตอร์ได้ และสามารถเห็นได้ในตารางด้านล่าง:

ถ้าพีชคณิต ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ด้วยสเกลาร์ k เราสามารถกำหนดโดยใช้สูตรดังต่อไปนี้:

การคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวใน R²

ในผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว มันสามารถเรียกว่าผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัว ซึ่งเราสามารถเขียนได้ดังนี้:

เวกเตอร์ใน R³

เวกเตอร์ที่อยู่ในปริภูมิสามมิติ (x, y, z) โดยที่ระยะห่างระหว่างจุดเวกเตอร์ทั้งสองอยู่ใน R³ คุณสามารถค้นหาได้โดยการพัฒนาสูตรพีทาโกรัส

ถ้าจุด A(x₂. y₂. z₂) และ B(x₂. y₂. z₂) คือ:

หรือถ้า , ดังนั้น:

เวกเตอร์ สามารถระบุได้ 2 รูปแบบ คือ ในคอลัมน์

หรืออยู่ในสายที่จะ

เวกเตอร์ยังสามารถแสดงเป็นการรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์ฐานเช่น หรือ และหรือ

อย่างครบถ้วนดังต่อไปนี้

การทำงานของเวกเตอร์บน R³

การทำงานของเวกเตอร์บน R³ โดยทั่วไป มีแนวคิดเดียวกับการดำเนินการกับเวกเตอร์ R² บวก ลบ และคูณ

การบวกและการลบเวกเตอร์ใน R³

การบวกและการลบเวกเตอร์ใน R³ เหมือนกับในเวกเตอร์ R² กล่าวคือ:

การคูณเวกเตอร์ใน R³ ด้วยสเกลาร์

ถ้า เป็นเวกเตอร์ และ k เป็นสเกลาร์ จากนั้นการคูณเวกเตอร์จะกลายเป็น:

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว

นอกจากสูตร R. แล้ว³มีอีกสูตรหนึ่งสำหรับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว ถ้า และ แล้ว คือ:

การฉายภาพเวกเตอร์มุมฉาก

ถ้าเวกเตอร์ ā ถูกฉายเป็นเวกเตอร์ barb และได้ตั้งชื่อว่า  เหมือนภาพด้านล่าง:

เป็นที่รู้จัก:

ดังนั้น:

เพื่อให้ได้เวกเตอร์:

สัญกรณ์เวกเตอร์

ตามที่อธิบายไว้ข้างต้น เวกเตอร์แสดงที่นี่โดยใช้ตัวอักษรที่กำหนดทิศทางของเส้นด้านบน

เวกเตอร์สามารถแสดงเป็นสองมิติหรือสามมิติหรือมากกว่าก็ได้ เมื่อแสดงเป็นสามมิติ เวกเตอร์จะมีเวกเตอร์หน่วยซึ่งแสดงในรูปของ i, j และ k

เวกเตอร์หน่วยคือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับหนึ่งหน่วยและมีทิศทางตามแกนหลัก กล่าวคือ:

ผม เป็นเวกเตอร์หน่วยในทิศทางของแกน x (แอบซิสซ่า)

เจ เป็นเวกเตอร์หน่วยในทิศทางของแกน y (พิกัด)

k เป็นเวกเตอร์หน่วยในทิศทางของแกน z (ใบสมัคร)

กับ ขวาน เป็นองค์ประกอบทิศทาง x และ a_y ส่วนประกอบของทิศทางแกน y และ a_z เป็นองค์ประกอบของทิศทาง z

แบบฟอร์มการเขียนเวกเตอร์:

ในวิชาคณิตศาสตร์มักเขียนในรูปแบบ:

โดยมีองค์ประกอบในรูปแบบดัชนีตัวเลขดังนี้

ความยาวของเวกเตอร์ (ขนาดใหญ่, ค่า) เขียนเป็นเครื่องหมายสัมบูรณ์ในพีชคณิต

หรือในดัชนีตัวเลข

ถ้าเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยพิกัด

จากนั้นเวกเตอร์ AB จะถูกแทนด้วย

ความยาวเวกเตอร์ AB

ในขณะเดียวกัน สำหรับเวกเตอร์หน่วยของเวกเตอร์ซึ่งแสดงเป็น

แสดงด้วย

ตัวอย่างคำถามและการอภิปราย

ปัญหาที่ 1

ถ้าทราบว่ามีจุด A(2,4,6) จุด B(6,6,2) และจุด C(p, q,-6) ถ้าจุด A, B และจุด C อยู่ในเส้นตรง จงหาว่าค่าของ p + q คืออะไร!

ตอบ:

ถ้าจุด A, B และ C อยู่ในเส้นตรง แล้วเวกเตอร์ และเวกเตอร์ นอกจากนี้ยังสามารถเป็นทิศทางเดียวหรือไปในทิศทางที่แตกต่างกัน

ดังนั้นจะมีจำนวน m ซึ่งเป็นผลคูณและสามารถสร้างสมการได้ดังนี้:

• เมตร =

ถ้า B อยู่ระหว่างจุด A และ C จะได้ดังนี้

ดังนั้นคุณจะได้รับ:

จึงสามารถหาค่าทวีคูณของ m ในสมการได้:

ผลลัพธ์ที่เราจะได้รับคือ

เราจึงสรุปได้ดังนี้

p + q = 10 + 14 = 24

คำถามที่ 2

ถ้าทราบว่าเวกเตอร์ที่จุด A และจุด B และเวกเตอร์ที่จุด C ซึ่งอยู่ระหว่างเส้น Ab ดังแสดงในรูปด้านล่าง หาสมการของเวกเตอร์ C

ตอบ:

จากภาพด้านบนเราจะเห็นว่า:

ดังนั้น:

ดังนั้นการทบทวนโดยย่อของคณิตศาสตร์เวกเตอร์ที่เราสามารถถ่ายทอด หวังว่าการทบทวนคณิตศาสตร์เวกเตอร์ข้างต้นสามารถใช้เป็นสื่อการเรียนรู้ของคุณได้