คณิตศาสตร์เวกเตอร์: ประเภท, การดำเนินการ, การฉายภาพมุมฉาก, สัญกรณ์, ปัญหา
เวกเตอร์ทางคณิตศาสตร์คือปริมาณที่มีทิศทาง ซึ่งเวกเตอร์นี้สามารถอธิบายได้โดยใช้ลูกศรซึ่งทิศทางจะชี้ไปที่ทิศทางของเวกเตอร์ และความยาวของเส้นมักจะเรียกว่าขนาดเวกเตอร์
หากเวกเตอร์เริ่มต้นที่จุด A และสิ้นสุดที่จุด B เวกเตอร์สามารถเขียนโดยใช้อักษรตัวพิมพ์เล็กด้านบนซึ่งมีเส้นประหรือลูกศร (

ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ เป็นเวกเตอร์เริ่มต้นจากจุด A(x1. y1) ไปที่จุด B(x2. y2) เราสามารถวาดพิกัดคาร์ทีเซียนด้านล่าง
ความยาวของเส้นตรงขนานกับแกน x คือ v1 = x2 – x1 และความยาวของเส้นตรงที่ขนานกับแกน y คือ v2 = y2 – y1 เป็นองค์ประกอบเวกเตอร์บางส่วน .

ส่วนประกอบเวกเตอร์ เราสามารถเขียนเพื่อแสดงเวกเตอร์เชิงพีชคณิต กล่าวคือ:

สารบัญ
ประเภทเวกเตอร์
มีเวกเตอร์พิเศษหลายประเภทที่มีอยู่ในคณิตศาสตร์ ได้แก่ :
- ตำแหน่งเวกเตอร์
เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นเป็น 0 (0,0) และจุดสิ้นสุดคือ A - Zero Vector
เวกเตอร์ที่มีความยาวเป็นศูนย์และเขียนแทนด้วย. เวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศทางเวกเตอร์ที่ชัดเจน
- เวกเตอร์หน่วย
เวกเตอร์ที่มีความยาวหนึ่งหน่วย เวกเตอร์หน่วยของนั่นคือ:
- เวกเตอร์ฐาน
เวกเตอร์ฐานคือเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกัน ในพื้นที่เวกเตอร์สองมิติ (R2) มีเวกเตอร์ฐานสองตัวคือและ
. ในขณะที่อยู่ในสามมิติ (R3) มีเวกเตอร์ฐานสามตัวคือ
,
, และนอกจากนี้ยังมี
.
ปฏิบัติการประเภทต่าง ๆ และเวกเตอร์
เวกเตอร์ทางคณิตศาสตร์ไม่เพียงประกอบด้วยหลายประเภทเท่านั้น แต่เวกเตอร์ทางคณิตศาสตร์ยังประกอบด้วยหลายประเภทด้วย
ดังนั้น ต่อไปนี้ เราจะจัดเตรียมเวกเตอร์ต่างๆ พร้อมกับการดำเนินการของพวกมันในคราวเดียว พิจารณาให้ดี:
เวกเตอร์ใน R2
ความยาวของส่วนของเส้นตรงที่แสดงเวกเตอร์นั้นแสดงโดยใช้ หรือจะใช้สัญลักษณ์ |. แทนก็ได้
|
ต่อไปนี้คือความยาวของเวกเตอร์ ซึ่งมีดังนี้:

ความยาวของเวกเตอร์เองนั้นเป็นรูปแบบที่สามารถสัมพันธ์กับมุมที่เวกเตอร์และแกนบวกสามารถก่อรูปได้ง่าย

การทำงานของเวกเตอร์บน R2
กระบวนการบวกและการลบเวกเตอร์ใน R2
ผลลัพธ์คือชื่อของผลลัพธ์ของการเพิ่มเวกเตอร์สองตัวหรือมากกว่า
การเพิ่มเวกเตอร์นี้สามารถทำได้ด้วยพีชคณิตและสามารถทำได้โดยการเพิ่มส่วนประกอบที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันหรือตำแหน่งถัดไป
ถ้า:

แล้ว:

จากนั้นเราจะเห็นผลรวมแบบกราฟิกในภาพตัวอย่างด้านล่าง:

การลบเวกเตอร์นี้ได้รับการปฏิบัติเหมือนกับการบวก รวมถึงสิ่งต่อไปนี้ ดูตัวอย่างด้านล่าง:

คุณสมบัติในการบวกเวกเตอร์นี้มีดังต่อไปนี้ โปรดดูสูตร:

⇒ การคูณเวกเตอร์ใน R2 ด้วยสเกลาร์
เวกเตอร์สามารถคูณด้วยสเกลาร์หรือจำนวนจริงได้ ซึ่งจะทำให้เกิดเวกเตอร์ใหม่ if เป็นเวกเตอร์ และ k เป็นสเกลาร์
จึงสามารถแสดงการคูณเวกเตอร์ได้ดังนี้

นี่คือรายละเอียดเพิ่มเติมบางส่วน:
- ถ้า k > 0 แล้วเวกเตอร์
จะเป็นไปในทิศเดียวกับเวกเตอร์
.
- ถ้า k < 0 แล้วเวกเตอร์
จะอยู่ในทิศตรงข้ามกับเวกเตอร์
.
- ถ้า k = 0 แล้วเวกเตอร์
เป็นเวกเตอร์เอกลักษณ์
.
ในทางกราฟ การคูณนี้สามารถเปลี่ยนความยาวของเวกเตอร์ได้ และสามารถเห็นได้ในตารางด้านล่าง:

ถ้าพีชคณิต ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ด้วยสเกลาร์ k เราสามารถกำหนดโดยใช้สูตรดังต่อไปนี้:

การคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวใน R2
ในผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว มันสามารถเรียกว่าผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัว ซึ่งเราสามารถเขียนได้ดังนี้:

เวกเตอร์ใน R3
เวกเตอร์ที่อยู่ในปริภูมิสามมิติ (x, y, z) โดยที่ระยะห่างระหว่างจุดเวกเตอร์ทั้งสองอยู่ใน R3 คุณสามารถค้นหาได้โดยการพัฒนาสูตรพีทาโกรัส
ถ้าจุด A(x2. y2. z2) และ B(x2. y2. z2) คือ:

หรือถ้า , ดังนั้น:

เวกเตอร์ สามารถระบุได้ 2 รูปแบบ คือ ในคอลัมน์
หรืออยู่ในสายที่จะ
เวกเตอร์ยังสามารถแสดงเป็นการรวมกันเชิงเส้นของเวกเตอร์ฐานเช่น หรือ
และหรือ
อย่างครบถ้วนดังต่อไปนี้

การทำงานของเวกเตอร์บน R3
การทำงานของเวกเตอร์บน R3 โดยทั่วไป มีแนวคิดเดียวกับการดำเนินการกับเวกเตอร์ R2 บวก ลบ และคูณ
การบวกและการลบเวกเตอร์ใน R3
การบวกและการลบเวกเตอร์ใน R3 เหมือนกับในเวกเตอร์ R2 กล่าวคือ:

การคูณเวกเตอร์ใน R3 ด้วยสเกลาร์
ถ้า เป็นเวกเตอร์ และ k เป็นสเกลาร์ จากนั้นการคูณเวกเตอร์จะกลายเป็น:

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว
นอกจากสูตร R. แล้ว3มีอีกสูตรหนึ่งสำหรับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว ถ้า และ
แล้ว
คือ:

การฉายภาพเวกเตอร์มุมฉาก
ถ้าเวกเตอร์ ā ถูกฉายเป็นเวกเตอร์ barb และได้ตั้งชื่อว่า เหมือนภาพด้านล่าง:

เป็นที่รู้จัก:

ดังนั้น:

เพื่อให้ได้เวกเตอร์:

สัญกรณ์เวกเตอร์
ตามที่อธิบายไว้ข้างต้น เวกเตอร์แสดงที่นี่โดยใช้ตัวอักษรที่กำหนดทิศทางของเส้นด้านบน
เวกเตอร์สามารถแสดงเป็นสองมิติหรือสามมิติหรือมากกว่าก็ได้ เมื่อแสดงเป็นสามมิติ เวกเตอร์จะมีเวกเตอร์หน่วยซึ่งแสดงในรูปของ i, j และ k
เวกเตอร์หน่วยคือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับหนึ่งหน่วยและมีทิศทางตามแกนหลัก กล่าวคือ:
ผม เป็นเวกเตอร์หน่วยในทิศทางของแกน x (แอบซิสซ่า)
เจ เป็นเวกเตอร์หน่วยในทิศทางของแกน y (พิกัด)
k เป็นเวกเตอร์หน่วยในทิศทางของแกน z (ใบสมัคร)

กับ ขวาน เป็นองค์ประกอบทิศทาง x และ a_y ส่วนประกอบของทิศทางแกน y และ a_z เป็นองค์ประกอบของทิศทาง z
แบบฟอร์มการเขียนเวกเตอร์:

ในวิชาคณิตศาสตร์มักเขียนในรูปแบบ:

โดยมีองค์ประกอบในรูปแบบดัชนีตัวเลขดังนี้

ความยาวของเวกเตอร์ (ขนาดใหญ่, ค่า) เขียนเป็นเครื่องหมายสัมบูรณ์ในพีชคณิต

หรือในดัชนีตัวเลข

ถ้าเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยพิกัด

จากนั้นเวกเตอร์ AB จะถูกแทนด้วย

ความยาวเวกเตอร์ AB

ในขณะเดียวกัน สำหรับเวกเตอร์หน่วยของเวกเตอร์ซึ่งแสดงเป็น

แสดงด้วย

ตัวอย่างคำถามและการอภิปราย
ปัญหาที่ 1
ถ้าทราบว่ามีจุด A(2,4,6) จุด B(6,6,2) และจุด C(p, q,-6) ถ้าจุด A, B และจุด C อยู่ในเส้นตรง จงหาว่าค่าของ p + q คืออะไร!
ตอบ:
ถ้าจุด A, B และ C อยู่ในเส้นตรง แล้วเวกเตอร์ และเวกเตอร์
นอกจากนี้ยังสามารถเป็นทิศทางเดียวหรือไปในทิศทางที่แตกต่างกัน
ดังนั้นจะมีจำนวน m ซึ่งเป็นผลคูณและสามารถสร้างสมการได้ดังนี้:
- เมตร
=
ถ้า B อยู่ระหว่างจุด A และ C จะได้ดังนี้

ดังนั้นคุณจะได้รับ:

จึงสามารถหาค่าทวีคูณของ m ในสมการได้:

ผลลัพธ์ที่เราจะได้รับคือ

เราจึงสรุปได้ดังนี้
p + q = 10 + 14 = 24
คำถามที่ 2
ถ้าทราบว่าเวกเตอร์ที่จุด A และจุด B และเวกเตอร์ที่จุด C ซึ่งอยู่ระหว่างเส้น Ab ดังแสดงในรูปด้านล่าง หาสมการของเวกเตอร์ C

ตอบ:
จากภาพด้านบนเราจะเห็นว่า:

ดังนั้น:

ดังนั้นการทบทวนโดยย่อของคณิตศาสตร์เวกเตอร์ที่เราสามารถถ่ายทอด หวังว่าการทบทวนคณิตศาสตร์เวกเตอร์ข้างต้นสามารถใช้เป็นสื่อการเรียนรู้ของคุณได้