ฟังก์ชันอนุพันธ์พีชคณิต: สูตร การประยุกต์ สัญกรณ์ การคูณการหารด้วยสองฟังก์ชัน และปัญหาตัวอย่าง

August 30, 2023
ในนโยบายการเชื่อมโยง ติดต่อ

click fraud protection

สูตรหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

จำไว้ว่าถ้า ฉ(x)x^n , ดังนั้น:

$f'(x)\frac{df (x)}{dx} \frac{dx^n}{dx} nx^n-1$

เพราะ ฉ (x) (คุณ (x))^nu^n , ดังนั้น:

$f'(x) \frac{df (x)}{dx} \frac{du^n}{dx} \cdot \frac{du}{du}$

หรือ

$f'(x) \frac{du^n}{du} \cdot \frac{du}{dx} nu^{n-1} \cdot u'$

ดังนั้นสูตรของอนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ:

$f'(x) nu^(n-1) \cdot คุณ'$

สูตรอนุพันธ์ตรีโกณมิติ

จากนิยามของอนุพันธ์ เราสามารถหาสูตรอนุพันธ์ตรีโกณมิติได้หลายสูตร ดังนี้: (โดยที่ u และ v แต่ละฟังก์ชันของ x) และอื่นๆ อีกมากมาย: y' =

y = บาป x→ y' = cos x
y = cos x → y' = -sin x
y = สีแทน x → y' = วินาที²x
y = เตียง x → y' = -csc²x
y = วินาที x → y'
y = ซีเอสซี x → y' = ซีเอสซี × เปล x
y = บาปⁿxy' = ไม่มีบาป^n-1× cos x
y = cosⁿx → y' = -n cos^n-1× บาป x
y = บาป u → y' = u' เพราะคุณ
y = เพราะคุณ → y' = คุณบาปคุณ
y = tan u → y' = ui วินาที²ยู
y = เปล u → y' = -u' csc²ยู
y = วินาที u → y' = u' วินาที คุณแทนคุณ
y = csc u → y' = u' csc คุณ cot คุณ
y = บาปⁿu → y' = n.u' บาป^n-1เพราะคุณ
y = cosⁿ คุณ → y' = -n.u' เพราะ^n-1. บาปคุณ

การประยุกต์อนุพันธ์

กำหนดความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง

การไล่ระดับสีของแทนเจนต์ (m) ถึงเส้นโค้ง y = f (x) มีสูตรดังนี้:

สมการของแทนเจนต์กับเส้นโค้ง y = f (x) ที่จุดแทนเจนต์ (x_1, y_1) กำหนดเป็น:

$y - y_1 m (x - x_1) \ลูกศรขวา m f'(x_1)$

กำหนดช่วงเวลาของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลง
- เงื่อนไขสำหรับช่วงฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น $\ลูกศรขวา f'(x) 0$
- คำศัพท์สำหรับช่วงฟังก์ชันจากมากไปน้อย $\ลูกศรขวา f'(x) 0$
กำหนดค่าคงที่ของฟังก์ชันและประเภทของฟังก์ชัน

instagram viewer

ถ้าฟังก์ชัน y = f (x) มีความต่อเนื่องและสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ x = a และ f'(x) = 0 ฟังก์ชันจะมีค่าคงที่ที่ x = a ประเภทค่าคงที่ของฟังก์ชัน y = f(x) อาจเป็นค่าที่ส่งคืนขั้นต่ำ ค่าที่ส่งคืนสูงสุด หรือค่าการผันกลับ ค่าคงที่ประเภทนี้สามารถกำหนดได้โดยใช้อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน

- ค่าสูงสุด $\ลูกศรขวา f'(x) 0$ และ $\ลูกศรขวา ฉ$

ถ้า ฉ'(x_1) 0 และ , ดังนั้น คือค่าส่งคืนสูงสุดของฟังก์ชัน y = f(x) และจุด (x_1f(x)) คือจุดเปลี่ยนสูงสุดของเส้นโค้ง y = f(x)

- ค่าต่ำสุด $\ลูกศรขวา f'(x) 0$ และ

ถ้า ฉ'(x_1) 0 และ , ดังนั้น ฉ(x_1) คือค่าส่งคืนขั้นต่ำของฟังก์ชัน ใช่ ฉ (x) และชี้ (x_1f(x)) คือจุดเปลี่ยนต่ำสุดของเส้นโค้ง y = f(x)

- เปลี่ยนค่า $\ลูกศรขวา f'(x) 0$ และ

ถ้า ฉ'(x_1) 0 และ ฉ''(x_1 0) , ดังนั้น ฉ(x_1) คือค่าการเว้าของฟังก์ชัน y = f(x) และจุด (x_1f(x)) คือจุดเปลี่ยนเว้าของเส้นโค้ง y = f(x)

แก้ปัญหาขีดจำกัดของรูปแบบไม่แน่นอน $\frac{0}{0}$ หรือ $\frac{\infty}{\infty}$

ถ้า $\lim \limits_{x\to a}\frac{f (x)}{g (x)}$ เป็นขอบเขตของรูปแบบไม่แน่นอน $\frac{0}{0}$ หรือ $\frac{\infty}{\infty}$ จากนั้นสารละลายก็สามารถใช้อนุพันธ์ได้ กล่าวคือ f (x) และ g (x) ได้มาตามลำดับ

$\lim\limits_{x\to a}\frac{f (x)}{g (x)} \lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \frac{f'(ก)}{g'(ก)}$

ถ้าอนุพันธ์อันดับหนึ่งมีรูปแบบที่แน่นอน รูปแบบนั้นก็คือคำตอบ แต่ถ้าอนุพันธ์อันดับ 1 ยังคงให้ผลลัพธ์อยู่ในรูปแบบที่ไม่แน่นอน f(x) และ f(x) ตามลำดับจะลดลงอีกครั้งจนกว่าจะได้ผลลัพธ์ของรูปร่างที่แน่นอน วิธีการแก้นี้เรียกว่าทฤษฎีบทโลปิตาล

กำหนดสูตรความเร็วและความเร่ง

หากทราบสูตรหรือสมการสำหรับตำแหน่งของการเคลื่อนที่ของวัตถุเป็นฟังก์ชันของเวลา คือ s = f (t) จะสามารถกำหนดสูตรสำหรับความเร็วและความเร็วได้ กล่าวคือ:

- สูตรความเร็ว $\rightarrow กับ s' f'(t)$
- สูตรเร่งความเร็ว $\rightarrow a s' f$

สัญกรณ์อนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เทียบกับ x ถูกกำหนดโดย:

โดยมีเงื่อนไขว่ามีขีดจำกัดอยู่

เราสามารถแสดงอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชัน y = f (x) ที่ x ได้ดังนี้:

y' = f'x ⇒ ลากรองจ์
⇒ ไลบ์นิซ
ดี_xย = ง_x[f(x)]⇒ ออยเลอร์

จากคำจำกัดความข้างต้น เราสามารถหาสูตรอนุพันธ์ได้หลายสูตรดังนี้

f(x) = k ⇒ f'(x) = 0
f(x) = k x ⇒ f'(x) = k
ฉ(x) = xⁿ ⇒ f'(x) = nx^n-1
f (x) = ku (x) ⇒ f '(x) = ku'(x)
f (x) = u (x) ± v (x) ⇒ f ‘(x) = u'(x) ± v'(x)

โดยที่ k = ค่าคงที่

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้:

ฉ(x) = 5 ⇒ ฉ'(x) = 0
f(x) = 2x ⇒ f'(x) = 2
ฉ(x) = x² ⇒ f'(x) = 2x^2-1= 2x
y = 2x⁴ ⇒ y' = 2 4x^4-1= 8x³
y = 2x⁴ + x² − 2x ⇒ y' = 8x³ +2x−2

ในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่มีรากหรือเศษส่วน ขั้นตอนแรกที่เราต้องทำคือเปลี่ยนฟังก์ชันให้อยู่ในรูปเลขชี้กำลังก่อน

ต่อไปนี้เป็นคุณสมบัติของรากและเลขชี้กำลังที่มักใช้ เช่น:

x^ม. xⁿ = x^ม+น
x^ม/xⁿ = x^{เอ็ม เอ็น}
1/xⁿ = x^-n
√x = x^1/2
ⁿ√xm = x^{เอ็ม เอ็น}

ตัวอย่าง:

ปัญหาที่ 1.

ค้นหาอนุพันธ์ของ f (x) = x√x

คำตอบ:

ฉ(x) = x√x = x x^1/2= x^3/2

ฉ(x) = x^3/2 →

ปัญหาที่ 2.

จงหาอนุพันธ์ของ

คำตอบ:

ฟังก์ชันอนุพันธ์พีชคณิต: สูตร การประยุกต์ สัญกรณ์ การคูณการหารด้วยสองฟังก์ชัน และปัญหาตัวอย่าง

อนุพันธ์ของการคูณและการหารของสองฟังก์ชัน

สมมติว่า y = uv แล้วอนุพันธ์ของ y สามารถเขียนได้เป็น:

y' = คุณวี + ยูวี'

สมมติว่า y = u/v แล้วอนุพันธ์ของ y สามารถเขียนได้เป็น:

ตัวอย่างปัญหา

ปัญหาที่ 1.

อนุพันธ์ของ f (x) = (2x + 3)(x² +2) กล่าวคือ:

คำตอบ:

ตัวอย่างเช่น:

ยู = 2x + 3 ⇒ ยู' = 2
วี = x² + 2 ⇒ v' = 2x

f'(x) = คุณ v + คุณ v'
ฉ'(x) = 2(x² + 2) + (2x + 3) 2x
ฉ'(x) = 2x² +4 +4x² +6x
ฉ'(x) = 6x² +6x +4

กฎลูกโซ่

ถ้า y = f (u) โดยที่ u เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาค่าได้เทียบกับ x แล้วอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x สามารถแสดงได้ในรูปแบบ: งยงx=งยงยู×งยูงx

จากแนวคิดกฎลูกโซ่ข้างต้น ดังนั้น สำหรับ y = uⁿจะได้รับ: งยงx=ง(ยูn)งยู×งยูงx

ย′=nยูn−1.ยู′

โดยทั่วไปสามารถระบุได้ดังนี้:

ถ้า f(x) = [u(x)]ⁿ โดยที่ u (x) เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาค่าได้เทียบกับ x แล้ว: ฉ′(x)=n[ยู(x)]n−1.ยู′(x)

จากแนวคิดกฎลูกโซ่ข้างต้น ดังนั้น สำหรับ y = uⁿ, จะได้รับ:

โดยทั่วไปสามารถระบุได้ดังนี้:

ถ้า f (x) = [u (x)]ⁿ โดยที่ u (x) เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาได้จาก x ดังนั้น:

ฉ'(x) = n[u (x)]^n-1. คุณ'(x)

ตัวอย่างปัญหาปัญหาที่ 1.

ค้นหาอนุพันธ์ของ f (x) = (2x + 1)⁴

คำตอบ:

ตัวอย่างเช่น:

คุณ(x) = 2x + 1 ⇒ คุณ'(x) = 2
n = 4
ฉ '(x) = n[u (x)]^n-1. คุณ'(x)
ฉ'(x) = 4(2x + 1)^4-1. 2
ฉ'(x) = 8(2x + 1)³

ปัญหาที่ 2.

ค้นหาอนุพันธ์ของ y = (x²- 3x)⁷

คำตอบ :

y' = 7(x²- 3x)^7-1. (2x - 3)
y' = (14x − 21) (x²- 3x)⁶

ตัวอย่างคำถามและการอภิปราย

ปัญหาที่ 1

อนุพันธ์อันดับหนึ่งของ $ฉ (x) 4 \sqrt{2x^3 - 1}$ เป็น

การอภิปราย 1:

ปัญหานี้อยู่ในรูปแบบ y = อ๋อ^n ซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตร $คุณ 'n \cdot a \cdot คุณ^{n-1} \cdot คุณ'$ . ดังนั้น:

$f (x) 4 \sqrt{2x^3-1} 4(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}$

เพื่อให้อนุพันธ์:

$f'(x) \frac{1}{2} \cdot 4(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 6x^2$

$2(2x^3-1) \cดอท 6x^2$

$12x^2(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{12x^2}{(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{12^2}{\sqrt{2x^3-1}}$

ปัญหาที่ 2

จงหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งของ

$f (x) \frac{6}{\sqrt[3]{\sin (3x-\frac{\pi}{5})}}$

การอภิปราย 2:

เพื่อแก้ไขปัญหานี้ให้ใช้สูตรผสมคือ $f'(x) \frac{u'v-uv'}{v^2}$ และนอกจากนี้ยังมี $คุณ 'n \cdot คุณ' \sin^{n-1}คุณ \cdot \cos คุณ$ . ดังนั้น:

$f (x) \frac{6}{\sqrt[3]{sin (3x-\frac{\pi}{5})}}$

$f (x) \frac{6}{(บาป (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{2}}}$

$f'(x) \frac{0 - 6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3}(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^{- \frac{2}{ 3}} \cdot \cos (3x - \frac{\pi}{5})}{(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^\frac{2}{3}}$

$f'(x) \frac{-6(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{-\frac{2}{3}}.cos (3x-\frac{\pi}{ 5})}{(บาป (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{2}{3}}} \frac{(บาป (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{3}}}{(บาป (3x-\frac{\pi}{5}))^{ -\frac{1}{3}}}$

$f'(x) \frac{-6(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{-1} cos (3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[ 3]{ซิน (3x-\frac{\pi}{5}})}$

$f'(x) \frac{-6cot (3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[3]{sin (3x-\frac{\frac{\pi}{5})}}$

ปัญหา 3

กำหนดค่าสูงสุดของ ฉ (x) x^3 - 6x^2 + 9x ในช่วงเวลา -1 ≤ x ≤ 3

การอภิปราย 3:

โปรดจำไว้ว่าค่าฟังก์ชันสูงสุด f (x) คือ ฉ'(x) 0 และ ดังนั้น:

$ฉ_{สูงสุด}$ ถ้า

และ x_1 1 และ x_2 3

$ฉ_{สูงสุด} ฉ (1) 1^3 - 6.1^2 + 9.1$

$ฉ_{สูงสุด} 4$

ปัญหาที่ 4.

อนุพันธ์ของ f (x) = (x – 1)²(2x + 3) คือ...

คำตอบ:

ตัวอย่างเช่น:

ยู = (x − 1)² ⇒ u' = 2x − 2
v = 2x + 3 ⇒ v' = 2

f'(x) = u'v + uv'
f '(x) = (2x − 2)(2x + 3) + (x − 1)². 2
ฉ'(x) = 4x² + 2x - 6 + 2(x² − 2x + 1)
ฉ'(x) = 4x² + 2x - 6 + 2x² − 4x + 2
ฉ'(x) = 6x² − 2x − 4
f '(x) = (x − 1)(6x + 4) หรือ
f '(x) = (2x − 2)(3x + 2)

ปัญหาที่ 5.

ถ้า f (x) = x² – (1/x) + 1 แล้ว f'(x) =.. .

ก x – x²
บี. x + x²
ค. 2x – x^-2 + 1
ดี. 2x – x² – 1
อี. 2x + x^-2

คำตอบ:

ฉ(x) = x² – (1/x) + 1

= x² – x^-1 + 1

ฉ'(x) = 2x -(-1)x^-1-1

= 2x + x^-2

คำตอบ: E

ดังนั้นการรีวิวจาก เกี่ยวกับความรู้.co.id เกี่ยวกับ อนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต, หวังว่าจะช่วยเพิ่มความเข้าใจและความรู้ของคุณได้ ขอบคุณที่เข้ามาเยี่ยมชมและอย่าลืมอ่านบทความอื่นๆ

ฟังก์ชันอนุพันธ์พีชคณิต: สูตร การประยุกต์ สัญกรณ์ การคูณการหารด้วยสองฟังก์ชัน และปัญหาตัวอย่าง

สูตรหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สูตรอนุพันธ์ตรีโกณมิติ

การประยุกต์อนุพันธ์

กำหนดความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง

กำหนดช่วงเวลาของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลง

กำหนดค่าคงที่ของฟังก์ชันและประเภทของฟังก์ชัน

แก้ปัญหาขีดจำกัดของรูปแบบไม่แน่นอน หรือ

กำหนดสูตรความเร็วและความเร่ง

สัญกรณ์อนุพันธ์

อนุพันธ์ของการคูณและการหารของสองฟังก์ชัน

กฎลูกโซ่

ตัวอย่างคำถามและการอภิปราย

แก้ปัญหาขีดจำกัดของรูปแบบไม่แน่นอน $\frac{0}{0}$ หรือ $\frac{\infty}{\infty}$