Logaritmer: Egenskaper, logaritmiska ekvationer, villkor, skapande, problem

Logaritm är en matematisk operation där denna operation är operationen för den inversa (eller inversa) exponenten eller kraften. Basen eller principen i denna logaritmiska formel är i allmänhet i form av bokstaven a.

Eller det nämns också om denna logaritm är en invers eller invers av den kraft (exponent) som används i bestämma exponenten för ett basnummer.

På engelska kallas logaritmen logaritm.

Så i grund och botten, genom att studera logaritmer, kan vi hitta kraften hos ett tal vars kraft är känd.

Logaritm

När du vet vad en logaritm är, är du också skyldig att känna till den allmänna formen för denna logaritm.

Här är logaritmens allmänna form:

Logaritmens allmänna form:

Om enⁿ = x då ^alogx = n

Information:

a: är grunden, som har följande villkor: a> 0 och en 1.

x: är det nummer som algoritmen letar efter (numerus), villkoren är: x> 1

n: är logaritmens kraft.

Nu är det dags för dig att titta på exempelfrågorna nedan så att du bättre kan förstå beskrivningen ovan:

1. När 3² = 9, sedan i logaritmisk form kommer det att ändras till ³logg 9 = 2
2. När 2³ = 8, i logaritmisk form ändras det till ²logg 8 = 3
3. När 5³ = 125, sedan i logaritmisk form kommer det att ändras till ⁵logg 125 = 3

Hur mår du? Nu börjar jag förstå rätt?

Väl, vanligtvis här, kommer du fortfarande ofta att uppleva förvirring när du bestämmer vilket nummer som är basen och vilket nummer som är siffran.

Logaritm är en matematisk operation där är det inversa av exponenten eller makten.

Logaritmens grundformel: b^c = a skrivs som ^blog a = c (b kallas baslogaritmen).

Är det inte?

Lugna killar, nyckeln som du bara måste komma ihåg är om basnummer Det är bas, ligger högst upp före "logg" -tecknet. Och siffrarankningsresultat det kallas som numerus, ligger längst ner efter ordet "logg". Lätt rätt?

Logaritmiska ekvationer

Logaritmisk ekvationa är en ekvation där variabeln är basen för logaritmen.

Denna logaritm kan också definieras som en matematisk operation som är den inversa (eller inversa) av exponenten eller en kraft.

Exempel siffra 

Här kommer vi att ge några exempel på logaritmiska tal, inklusive följande:

Därefter har logaritmer också några egenskaper som Nödvändig för att du ska förstå, här. Varför obligatoriskt?

Detta beror på att dessa egenskaper senare blir din bestämmelse när det gäller att enkelt arbeta med logaritmiska problem.

Utan att förstå logaritmens egenskaper kommer du inte att kunna arbeta med logaritmproblem, du vet!

Sedan, vad som helst helvetet Vilka egenskaper har logaritmen? Kom igen, notera recensionerna nedan.

Logaritmiska egenskaper

Följande är några av egenskaperna hos logaritmer som du måste förstå, inklusive:

Förutom några av egenskaperna ovan finns det också några egenskaper hos logaritmiska ekvationer, inklusive:

Egenskaper hos logaritmiska ekvationer

Den logaritmiska ekvationen har också några speciella egenskaper, dessa egenskaper är som följer:

1. Logaritmiska egenskaper för multiplikation 

Den logaritmiska egenskapen för multiplikation är ett resultat av tillägget av två andra logaritmer där värdet av de två siffrorna är en faktor för det initiala numeriska värdet.

^aloggar s. q = ^alogga p + ^alogga q

Det finns flera villkor för denna egenskap, nämligen: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

2. Logaritmisk multiplikation

Multiplikation av logaritmer är en egenskap för logaritm a som kan multipliceras med logaritm b om det numeriska värdet för logaritm a är lika med basantalet för logaritm b.

Resultatet av multiplikationen är en ny logaritm med bastalet lika med logaritmen a. Och har samma numeriska värde som logaritm b.

^alogga b x ^blogc = ^alogg c

Det finns flera villkor för detta enda drag, nämligen: a> 0, a \ ne 1.

3. Uppdelningens natur 

Den logaritmiska egenskapen för division är resultatet av att subtrahera två andra logaritmer där värdet av de två siffrorna är en bråkdel eller delning av det ursprungliga logaritmens numeriska värde.

^alogga p / q: ^alogga p - ^alogga q

Det finns flera villkor för denna egenskap, nämligen: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

4. Omvänt jämförbara egenskaper

Den omvänt proportionella logaritmegenskapen är en egenskap med andra logaritmer som har basnumret och utbytbara siffror.

^alogb = 1 /^blogga in

Det finns flera villkor för detta enda drag, nämligen: a> 0, a \ ne 1.

5. Motsatt skylt 

Den logaritmiska egenskapen för det motsatta tecknet är en egenskap med en logaritm vars tal är en invers bråkdel av det ursprungliga logaritmens numeriska värde.

^alogga p / q = - ^alogga p / q

Det finns flera villkor för denna egenskap, nämligen: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

6. Typ av rang 

Den logaritmiska egenskapen för makter är en egenskap vars numeriska värde är en exponent. Och kan användas som en ny logaritm genom att utfärda kraften till en multiplikator.

^alogg b^sid = s. ^alogg b

Det finns flera förhållanden för denna egenskap, nämligen: a> 0, a \ ne 1, b> 0

7. Kraften hos logaritmiska huvudnummer 

Kraften hos en logaritmisk bas är en egenskap där värdet på basnumret är a exponent (power) som kan användas som en ny logaritm genom att ta bort strömmen till ett nummer delare.

a^sidlogb = 1 / s^alogg b

Det finns flera villkor för detta enda drag, nämligen: a> 0, a \ ne 1.

8. Logaritmiska huvudnummer som är jämförbara med numeriska krafter 

Egenskapen för ett basnummer som är proportionellt mot numerusns kraft är en egenskap vars numeriska värde är a exponent (effekt) för värdet på basnumret som har samma resultatvärde som värdet för siffrans kraft det där.

^alogga in^sid = s

Det finns flera förhållanden för denna egenskap, nämligen: a> 0 och a \ ne 1.

9. Rang 

Kraften hos logaritmer är en av egenskaperna hos tal vars krafter är i form av logaritmer. Resultatet av effektvärdet är det värde där siffran kommer från logaritmen.

a ^alogga m = m

Det finns flera förhållanden för denna egenskap, nämligen: a> 0, a \ ne 1, m> 0.

10. Ändra den logaritmiska basen 

Arten av att ändra basen för denna logaritm kan också brytas ned i en jämförelse av två logaritmer.

^sidlogga q = ^alogga p /^a logga q

Det finns flera villkor för denna egenskap, nämligen: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0

Logaritmisk ekvationsformel

Baserat på beskrivningen ovan är logaritm en matematisk operation som är en omvänd exponent eller kraft.

Ett exempel på logaritmen för den exponentiella formen mellan lian: a^b = c om det uttrycks i logaritmisk notation kommer det att vara ^alogc = b.

Uttalandet är som följer:

• a är bas- eller basnummer.
• b är resultatet eller intervallet av logaritmer.
• c är tal eller domän för logaritmen.

Med anteckningar:

Det är nödvändigt för dig att förstå, innan vi diskuterar vidare om logaritmens formel, om det finns skrift ^alog b betyder detsamma som log_a b.

Formeln för bland annat den logaritmiska ekvationen är:

Logaritmisk ekvationsformel:

Om vi ​​har ^alogf (x) = ^alogga g (x), sedan f (x) = g (x).
Med vissa villkor som: a> 0, a 1, f (x)> 0, g (x)> 0.

Logaritmiska ojämlikheter:

Om vi ​​har logg f (x)> ^alogg (x) då har vi två tillstånd, nämligen:

Först när a> 0 betyder: f (x)> g (x)
För det andra vid tidpunkten 0

Exempel på frågor och diskussion

I det följande ger vi några exempel på frågor samt deras diskussion. Lyssna noga, ja.

Exempel på frågor 1-3

1. ²loggar 4 + ²logg 8 =

2. ²logg 32 =

3. När det är känt ²logg 8 = m och ²log 7 = n, hitta sedan värdet på ¹⁶stockar 14!

Svar:

Problem 1.

Det första steget vi måste göra är att kontrollera basen.

De två ekvationerna i logaritmen ovan har uppenbarligen samma basvärde, vilket är 2.

Därför kan vi använda logaritmens andra egenskap för att hitta resultatet.

så att, ²loggar 4 + ²logg 8 = ²logg (4 × 8) = ²loggar 32 = 5. Kom ihåg! Syftet med logaritmen är att hitta kraften.

Så, vad 2 till makten 32? Svaret är ingen ringare än 5. Lätt är det inte?

Fråga 2.

Låt oss gå vidare till fråga nummer 2.

I fråga nummer 2 kan vi inte göra det direkt, för du kommer definitivt att uppleva förvirring när du hittar värdet på kraften på 8 vilket resulterar i 32. Hur då?

Om vi ​​tittar närmare på problemet är 8 resultatet av kraften i 2³ och också 32 vilket är resultatet av kraften i 2⁵.

Därför kan vi ändra den logaritmiska formen till:

⁸logg 32 = ²³logg 2

= 5/3 ²logg 2 (använd fastighetsnummer 6)

= 5/3(1) = 5/3

Problem 3.

Hur mår ni? Har du börjat bli upphetsad än?

Väl, i diskussionen om fråga nummer 3 kommer detta att göra dig ännu mer upphetsad!

Du måste veta att modellen från fråga nummer 3 ofta kommer att förekomma i nationella examensfrågor eller universitetsvalsfrågor du vet.

Vid första anblicken ser det ganska komplicerat ut, ja, men om du redan förstår konceptet kommer detta problem att vara mycket lätt att göra.

Om du hittar en problemmodell som denna kan du hitta dess värde med hjälp av den logaritmiska egenskapen för nummer 4.

Så processen kommer att vara:

²logg 8 = m och ²logg 7 = n, ¹⁶stockar 14?

¹⁶logg 14 = ²logg 14 / ²logg 16

Notera:

För att välja vilken bas kan vi titta direkt på det nummer som oftast förekommer i problemet. Så vi vet att siffran 2 visas två gånger, 8 så mycket som en gång och 7 så mycket som en gång.

Antalet som visas mest är ingen annan än 2, så vi väljer 2 som bas. Jag förstår?

= ²loggar (7 x 2) / ²stockar (8 x 2)

Då vi beskriva siffrorna.

Låt oss försöka ändra det till den form som redan finns i problemet. Vad menar du?

här grabbar, på den kända frågan ²logg 8 och också ²stockar 7. Eftersom siffrorna är både 8 och 7 delar vi 14 i 7 × 2 och 16 i 8 × 2 så att vi kan se slutresultatet.

= ²logg 7 + ²logg 2 / ²logg 8 + ²logg 2 (använd fastighetsnummer 2)

= n + 1 / m + 1

En annan exempelfråga.

Uppgift 1. (EBTANAS '98)

Är känd ³logg 5 = x och ³logg 7 = y. Beräkna värdet av ³stockar 245 ^1/2! (EBTANAS '98)

Svar:

³stockar 245 ^½ = ³stockar (5 x 49) ^½

³stockar 245 ^½ = ³loggar ((5) ^½ x (49) ^½)

³stockar 245 ^½ = ³stockar (5) ^½ + ³loggar (7²) ^½

³stockar 245 ^½ = ½( ³logg 5 + ³loggar 7)

³stockar 245 ^½ = (x + y)

Så värdet av ³stockar 245 ^½ dvs (x + y).

Fråga 2. (UMPTN '97)

Om b = a⁴, är värdena på a och b positiva, då är värdet på ^alog b - ^blogga en ie ???

Svar:

Det är känt om b = a⁴, då kan vi ersätta det i beräkningen för att vara:

^alog b - ^bloga = ^alogga in⁴ - a⁴ logga in

^alog b - ^bloga = 4 (^aloga) - 1/4 ( ^aloggar a)

^alog b - ^bloga = 4 - 1/4

^alog b - ^bloga = 3^3/4

Så värdet av ^alog b - ^blogga in i fråga nummer 2 är 3^3/4.

Problem 3. (UMPTN '97)

Om ^aloggar (1- ³log 1/27) = 2, beräkna sedan värdet på a.

Svar:

Om vi ​​gör värdet 2 till en logaritm där logaritmens basnummer är a blir ^alogga in²= 2, då får vi:

^aloggar (1- ³log 1/27) = 2

^aloggar (1- ³loggar 1/27) = ^alogga in²

Det numeriska värdet på de två logaritmerna kan vara en ekvation, nämligen:

1- ³log 1/27 = a²

³loggar 3 - ³log 1/27 = a²

³loggar 3 - ³logg 3^(-3) = a²

³stockar 3/3^-3 = a²

³logg 3⁴ = a²

4 = a²

Så vi får värdet a = 2.

Problem 4.

Om det är känt att 2log 8 = a och 2log 4 = b. Beräkna sedan värdet på 6log 14

a. 1 /2
b. (1+2) / (2+1)
c. (a + 1) / (b + 2)
d. (1 + a) / (1 + b)

Svar:

För 2 logg 8 = a

= (log 8 / log 2) = a
= logg 8 = en logg 2

För 2 logg 4 = b

= (log 4 / log 2) = b
= logg 4 = b logg 2

Så, 16 log 8 = (log 16) / (log68)
= (log 2.8) / (log 2.4)
= (log 2 + log 8) / (log 2 + log 4)
= (log 2 + a log a) / (log 2 + b log b)
= log2 (1+ a) / log 2 (1+ b)
= (1 + a) / (1 + b)

Så värdet på 6 log 14 i exemplet ovan är (1 + a) / (1 + b). (D)

Fråga 5.

Värdet på (3log 5 - 3 log 15 + 3log 9) är?

a. 2
b. 1
c. 4
d. 5

Svar:

(3log 5 - 3log 15 + 3log 9
= 3loggar (5. 9) / 15
= 3log 45/15
= 3log 3
=1

Så värdet på 3log 5 - 3log 15 + 3log 9 är 1. (B)

Fråga 6.

Beräkna värdet i logaritmproblemet nedan:

1. (2log 4) + (2log 8)
2. (2log 2√2) + (2log 4√2)

Svar:

1. (2log 4 + 2log 8) = (2log 4) x 8 = 2log 3 till kraften 2 = 5

2. (2log 2√2 + 2log 4√2) = (2log 2√2) x (4√2) = 2log 16 = 4

Så värdet på varje logaritmproblem ovan är 5 och 4.

Fråga 7.

Beräkna värdet i logaritmproblemet nedan:

1. 2log 5 x 5log 64
2. 2 loggar 25 x 5 loggar 3 x 3 loggar 32

Svar:

1. (2log 5) x (5log 64) = 2log 64 = 2log 26 = 6

2. (2log 25) x (5log 3) x (3log 32) = (2log 52) x (5log 3) x (3log 25)
= 2. (2log 5) x (5log 3) x 5. (3loggar 2)
= 2 x 5 x (2log 5) x (5log 3) x (3log 2)
= 10 x (2log 2) = 10 x 1 = 10

Så, värdet på frågan ovan är 6 och 10.

Fråga 8.

Beräkna värdet på logg 25 + logg 5 + logg 80 är ...

Svar:

logg 25 + logg 5 + logg 80
= logg (25 x 5 x 80)
= loggar 10000
= logg 104
= 4

Problem 9.

Det är känt att log 3 = 0,332 och log 2 = 0,225. Då är logg 18 i frågan ...

a. 0,889
b. 0,556
c. 0,677
d. 0,876

Svar:

Känd:

• Logg 3 = 0,332
• Logg 2 = 0.225

Frågade:

• logg 18 =….?

Svar:

Loggar 18 = loggar 9. logg 2
Logg 18 = (logg 3.log 3). logg 2
Loggar 18 = 2. (0,332) + (0,225)
Logg 18 = 0,664 + 0,225
Logg 18 = 0,889

Så värdet på logg 18 i frågan ovan är 0,889. (A)

Fråga 10.

Konvertera följande exponenter till logaritmisk form:

1.  24 = 16
2.  58 = 675
3.  27 = 48

Svar:

* Omvandla exponenterna till logaritmisk form enligt följande:

Om värdet av ba = c är värdet för blogg c = a.

1.  24 = 16 → 2log 16 = 4
2.  58 = 675 → 5log 675 = 8
3.  27 = 48 → 2log 48 = 7

Således en kort genomgång den här gången som vi kan förmedla. Förhoppningsvis kan granskningen ovan användas som ditt studiematerial.