En variabel linjär ojämlikhet

En variabel linjär ojämlikhet- En variabel linjär ojämlikhet är en öppen mening som bara har en variabel och har grad 1 och innehåller en relation ( > eller < ).

Titta till exempel på några meningar som den nedan:

1. X> 9
2. 3x - 3 <8
3. 3b > b + 6
4. 5n - 3 < 3n + 2

Några av de öppna meningarna ovan använder bindestreck som , > eller <. Vilket indikerar att meningen är en ojämlikhet.

Var och en av dessa ojämlikheter har bara en variabel, nämligen x, a och n. Denna ojämlikhet kallas en ojämlikhet med en variabel. Variabeln (variabeln) av ovanstående ojämlikhet till kraften hos en eller även kallad grad 1 kallas en linjär ojämlikhet.

En variabel linjär ojämlikhet är en öppen mening som bara har en variabel och grad en och det finns en relation ( eller £).

Den allmänna formen av PtLSV i en variabel kan uttryckas som nedan:

ax + b <0, ax + b> 0 eller ax + b > 0, eller ax + b < 0, med en < 0, a och b är reella tal.

Nedan följer några exempel på PtLSV som använder x-variabeln, inklusive:

1. 3x - 2 <0
2. 3x - 2 <0
3. 5x - 1> 8
4. 3x + 1 > 2x - 4
5. 10 < 2 (x + 1)

Egenskaper för en variabel linjär ojämlikhet

På samma sätt som i en linjär ekvation med en variabel, kan man hitta en lösning på en linjär ojämlikhet med en variabel genom att använda substitutionsmetoden.

Men du kan också göra detta genom att subtrahera, lägga till, multiplicera eller dela båda sidor av ojämlikheten med samma nummer.

Olikhet i matematik är en mening eller ett matematiskt uttalande som visar en jämförelse av storleken på två eller flera objekt.

Som i A

Ojämlikheten A

1. A + C
2. A - C
3. A x C 0 för alla x
4. A x C> B x C, om C <0 för alla x
5. A / C 0 för alla x
6. A / C> B / C, om C <0 för alla x

Du måste notera att vissa av egenskaperna ovan också gäller symbolen ">"eller"<”.

Exempel på PtLSV-frågor och hur man löser dem

Nedan kommer vi att ge ett exempel på ett problem samt hur man löser det och också svaret på ett envariabelt linjärt ojämlikhetsproblem. Här är den fullständiga recensionen.

1. En variabel linjär ojämlikhetsaddition och subtraktion (PtLSV)

Var uppmärksam på ojämlikheten nedan:

x + 3 <8, där x är en variabel från ett heltal.

För:

x = 1, så 1 + 3 <8, är sant
x = 2, så 2 + 3 <8, är sant
x = 3, så 3 + 3 <8, är sant
x = 4, så 4 + 3 <8, är falskt

Att ersätta x med 1,2 och 3 så att ojämlikheten x + 3 <8 är sant kallas en lösning på ojämlikheten.

2. Multiplikation eller delning av en variabel linjär ojämlikhet (PtLSV)

Ta en titt på följande ojämlikheter:

För naturliga x-tal mindre än 10 är lösningen x = 7, x = 8 eller x = 9

Baserat på beskrivningen ovan kan vi dra slutsatsen att:

 "Varje ojämlikhet förblir likvärdig, med tecken på ojämlikheten oförändrad, även om båda sidor multipliceras med samma positiva tal."

Problem exempel:

Tänk nu på följande ojämlikheter:

a. –X> - 5, där x är ett naturligt tal mindre än 8. Ersättningen för x som uppfyller är x = 1, x = 2, x = 3 eller x = 4.

Ett annat sätt att lösa ojämlikhetsproblemet ovan är att multiplicera båda sidor med samma negativa tal.

* –X> –5

–1 (–x)> - 1 (–5), (båda sidorna multipliceras med –1 och ojämlikhetstecknet förblir)

x> 5

Lösningen är med x = 6 eller x = 7.

* –X> –5

–1 (–x) till

x <5

Lösningen är x = 1, x = 2, x = 3 eller x = 4.

Baserat på denna lösning visar det sig att ojämlikheten som har samma lösning är:

–X> –5 och –1 (–x)

så, –x> –5 <=> –1 (–x)

b. –4x <–8, där x är ett naturligt tal mindre än 4. En lämplig ersättning för x är x = 2 eller x = 3. Så lösningen är x = 2 eller x = 3.

Baserat på förklaringen ovan kan vi dra slutsatsen att:

"En ojämlikhet när båda sidor multipliceras med samma negativa tal ändras olikhetens tecken"

Exempel:

3. Om historien 

Fråga 1.

Summan av två siffror är inte mer än 120. Om det andra numret är 10 fler än det första numret, bestäm sedan gränsvärdet för det första numret.

Svar:

Av problemet ovan kan vi se att det finns två okända kvantiteter. Det är det första numret och även det andra numret.

Så nästa kommer vi att göra dessa två kvantiteter som en variabel.

Som ett exempel:

Vi ringer det första numret x, medan 

Vi ringer det andra numret y.

Från detta problem vet vi också att det andra numret är "10 fler än det första numret", så följande förhållande gäller:

y = x + 10

I problemet är det också känt att summan av de två siffrorna är "inte mer" än 120.

Meningen "inte mer" är en indikation på att ojämlikheten är mindre än lika (≤). Så, den form av ojämlikhet som passar problemet är att ojämlikheten är mindre än lika med.

Sedan konstruerar vi ojämlikheterna så:

⇒ x + y ≤ 120

Eftersom y = x + 10 blir ojämlikheten:

⇒ x + x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 – 10 ≤ 120 – 10

⇒ 2x ≤ 110

⇒ x ≤ 55

så att, gränsvärdet för det första numret är inte mer än 55.

Berättelse fråga 2.

En modell av en balkram gjord av tråd med en längd (x + 5) cm, bredd (x – 2) cm och höjd x cm.

• Bestäm den matematiska modellen för den erforderliga trådlängdsekvationen i x.
• Om ledningens längd inte är mer än 132 cm, bestäm sedan storleken på strålens maximala värde.

Svar:

Så att det är lättare för oss att förstå problemet ovan, överväg sedan illustrationen av blocket nedan:

• Bestäm den matematiska modellen för problemet ovan.

Till exempel representerar K den totala trådlängden som behövs för att göra balkens ram, då är den totala trådlängden som krävs summan av alla kanter.

Så längden på K är som följer.

K = 4p (längd) + 4l (bredd) + 4t (höjd)

K = 4 (x + 5) + 4 (x – 2) + 4x

K = 4x + 20 + 4x – 8 + 4x

K = 12x + 12

Så vi får den matematiska modellen för berättelseproblem nummer två för trådens totala längd, vilket är K = 12x + 12.

• Bestäm blockets maximala storlek från problemet ovan.

Trådens längd får inte överstiga 132 cm, så vi kan skriva ojämlikhetsmodellen enligt följande:

K ≤ 132

12x + 12 ≤ 132

Sedan löser vi den linjära ojämlikheten för en variabel genom att använda en lösning som följande:

12x + 12 ≤ 132

⇒ 12x ≤ 132 – 12

⇒ 12x ≤ 120

⇒ x ≤ 10

Från lösningen x ≤ 10, då är det maximala värdet på x 10. Således är balkens storlek för längd, bredd och höjd följande:

Längd = x + 5 ⇔ 10 + 5 = 15 cm

Bredd = x – 2 ⇔ 10 – 2 = 8 cm

Höjd = x ⇔ 10 cm

Så vi får maximalt för blocket är (15 × 8 × 10) cm.

Berättelsefrågor 3.

Summan av två siffror är mindre än 80. Det andra numret är tre gånger det första numret.

Bestäm gränserna för de två siffrorna.

Svar:

Antag att vi kallar det första numret som x, då är det andra numret lika med 3x.

Summan av dessa två siffror är mindre än 80. Därför är den matematiska modellen följande:

x + 3x <80 ⇔ 4x <80

Lösningen för denna matematiska modell är 4x <80 ⇔ x <20.

Därför är gränsen för det första numret inte mer än 20, medan det andra numret inte är mer än 60.

Berättelsefrågor 4.

Ytan på ett rektangulärt bord har en längd på 16 x cm och en bredd på 10 x cm.

Om området inte är mindre än 40 dm2, bestäm sedan minsta storlek på bordsytan.

Svar:

Längden på bordsytan är:

• (p) = 16x
• bredd (l) = 10 x
• område = L.

Den matematiska modellen för rektangelns yta är som följer:

L = p × l

L = 16x × 10x

L = 160x2

Från problemet anges att området inte är mindre än 40 dm2 = 4000 cm2 så att vi kan skriva ojämlikheten enligt följande:

L = 160x2≥ 4.000

160x2≥ 4.000

Sedan löser vi ojämlikheten med följande lösning:

160x2≥ 4.000

⇒ x2≥ 25

⇒ x ≥ ±5

Därför att storlek kan inte vara negativ, då minimivärdet för x = 5 cm, så vi får:

p = 16x cm = 16 (5) cm = 80 cm

l = 10x cm = 10 (5) cm = 50 cm

Således är den minsta storleken på bordsytan (80 × 50) cm.

Berättelsefrågor 5.

En cykel färdas på en väg med ekvationen s (t) = t2– 10t + 39.

Om x är i meter och t är i sekunder, bestäm tidsintervallet för cykeln att ha rest minst 15 meter.

Svar:

Cykeln kan täcka ett avstånd på minst 15 meter, vilket betyder s (t) ≥ 15.

Så den matematiska modellen är t2– 10t + 39 ≥ 15. Vi kan lösa den här modellen på följande sätt:

t2– 10t + 39 ≥ 15

⇒ t2– 10t + 39 – 15 ≥ 0

⇒ t2– 10t + 24 ≥ 0

⇒ (t – 6) (t – 4) ≥ 0

⇒ t ≤ 4 eller t ≥ 6

Således är tidsintervallet för cykeln att ha täckt ett avstånd på minst 15 meter t ≤ 4 sekunder eller t ≥ 6 sekunder.

Berättelsefrågor 6.

Herr Irvan har en lådbil som transporterar varor med en lastkapacitet på högst 500 kg.

Pak Irvans vikt är 60 kg och han kommer att ha lådor med varor som varje låda väger 20 kg. Sedan:

• Bestäm det maximala antalet lådor som kan transporteras av Mr. Irvan i en transport!
• Om Irvan ska transportera 115 städer, hur många gånger kommer lådorna att kunna transporteras alla?

Svar:

Från problemet får vi flera matematiska modeller enligt följande:

1. Till exempel representerar x antalet städer som en bil kan transportera en väg.
2. Varje låda väger 20 kg, så x lådor väger 20x kg.
3. Den totala vikten en väg är lådans vikt plus Mr Irvan som är 20x + 60.
4. Bilens bärförmåga är inte mer än, då använder vi skylten "≤”.
5. Bärförmågan är inte mer än 500 kg så från bestämmelsen (3) får vi följande ojämlikhetsmodell =
   20x + 60 ≤ 500

• Anger det maximala antalet lådor som kan transporteras på en gång.

Att bestämma antalet kvadrater är detsamma som att bestämma värdet på x, nämligen genom att lösa ojämlikheterna nedan:

20x + 60 ≤ 500

⇒ 20x ≤ 500 – 60

⇒ 20x ≤ 440

⇒ x ≤ 22

Från den här lösningen får vi det maximala värdet på x som är 22. Således kan lådbilen ha max 22 lådor varje gång.