Vektormatematik: Typer, operationer, ortogonala projektioner, notationer, problem

En matematisk vektor är en kvantitet som har en riktning, denna vektor i sig kan avbildas med hjälp av en pil vars riktning pekar mot vektorn. Och längden på linjen kallas vanligtvis vektorstorleken.

Om vektorn börjar vid punkt A och slutar vid punkt B, kan vektorn skrivas med en liten bokstav över vilken det finns en streck eller pil (

eller ). Eller så kan det också göras som på bilden nedan:

Till exempel vektor är en vektor som börjar från punkt A (x₁. y₁) går till punkt B (x₂. y₂) vi kan rita de kartesiska koordinaterna nedan.

Längden på linjen parallellt med x-axeln är v₁ = x₂ - x₁ och längden på linjen parallellt med y-axeln är v₂ = y₂ - y₁ är några vektorkomponenter .

Vektorkomponenter  Vi kan skriva för att uttrycka vektorer algebraiskt, nämligen:

Vektortyp

Det finns flera typer av specialvektorer som finns i matematik, inklusive:

• Positionsvektor
  En vektor vars startpunkt är 0 (0,0) och slutpunkten är A
• Noll vektor
  En vektor vars längd är noll och betecknas med . Nollvektorn har ingen tydlig vektorriktning.
• Enhetsvektor
  En vektor som har en längd på en enhet. Enhetsvektor av det är:
  
• basvektor
  En basvektor är en enhetsvektor som är vinkelrät mot varandra. I ett tvådimensionellt vektorutrymme (R²) har två basvektorer, nämligen och . Medan i tre dimensioner (R³) har tre basvektorer nämligen , , och även .

Olika typer och vektoroperationer

Matematiska vektorer består inte bara av flera typer, utan matematiska vektorer består också av flera slag.

Så i det följande kommer vi att tillhandahålla olika vektorer tillsammans med deras operationer samtidigt, ta en titt på dem:

Vektor i R2 

Längden på ett linjesegment som representerar en vektor betecknas med eller kan också betecknas med symbolen ||

Följande är längden på vektorn, som är som följer:

Längden på själva vektorn är en form som kan relateras till den vinkel som lätt kan bildas av vektorn såväl som den positiva axeln.

Vektordrift på R2 

Vectoraddition och subtraktionsprocess i R2 

Resultant är namnet på resultatet av tillsatsen av två eller flera vektorer.

Tillägget av denna vektor kan också göras algebraiskt och kan också göras genom att lägga till komponenterna som är i samma eller nästa position.

Om:

sedan:

Då kan vi se den grafiska summeringen i exemplet nedan:

Denna vektorsubtraktion behandlas på samma sätt som för addition, inklusive följande, se exemplet nedan:

Egenskaperna i denna vektortillägg är följande, se formeln:

⇒ Vektormultiplikation i R² Med Scalar 

En vektor i sig kan också multipliceras med en skalär eller ett reellt tal som kommer att producera en ny vektor om är en vektor och k är en skalär.

Så att vektormultiplikationen kan betecknas enligt nedan:

Här är några fler detaljer:

• Om k> 0, då vektor kommer att vara i samma riktning som vektorn .
• Om k <0, då vektor kommer att vara i motsatt riktning till vektorn .
• Om k = 0, då vektor är identitetsvektorn .

Grafiskt kan denna multiplikation ändra längden på vektorn och kan ses i tabellen nedan:

Om algebraiskt, vektorprodukt med skalar k kan vi formulera med en formel som den nedan:

Skalarmultiplikation av två vektorer i R²

I den skalära produkten av två vektorer kan den också kallas punktprodukten för två vektorer som vi kan skriva enligt nedan:

Vektor i R³

En vektor belägen i ett tredimensionellt utrymme (x, y, z) där avståndet mellan de två vektorpunkterna är i R³ Du kan ta reda på det genom att utveckla den pythagoreiska formeln.

Om punkten för A (x₂. y₂. z₂) och B (x₂. y₂. z₂) är:

Eller om , så att:

Vektor kan anges i två former, nämligen i kolumnen

eller i raden att vara

Vektorer kan också representeras som linjära kombinationer av basvektorer såsom eller och eller

följande i sin helhet:

Vektordrift på R³

Vektoroperationer på R³ har i allmänhet samma koncept som operationerna på vektorn R² dessutom subtraktion och multiplikation.

Lägga till och subtrahera vektorer i R³

Addition och subtraktion av vektorer i R³ är samma som i vektorn R² nämligen:

Multiplikation av vektorer i R³ med skalär

Om är en vektor och k är en skalär. Då blir vektormultiplikationen:

Den skalära produkten av två vektorer

Förutom formeln på R³, det finns en annan formel för den skalära produkten av två vektorer. Om och sedan är:

Vektor ortogonal projektion

Om vektorn ā projiceras till en vektor hulling och fick ett namn  som bilden nedan:

Är känd:

så:

För att få vektorn:

Vector notation

Som förklarats ovan representeras vektorn här genom att använda bokstäverna som ges linjens riktning ovanför den.

Vektorer kan uttryckas i två dimensioner eller till och med tre dimensioner eller mer. När den uttrycks i tre dimensioner har vektorn en enhetsvektor som uttrycks i termerna i, j och k.

En enhetsvektor är en vektor vars storlek är en enhet och dess riktning är längs huvudaxeln, nämligen:

i är en enhetsvektor i axelns riktning x (abskissa)

j är en enhetsvektor i axelns riktning y (ordinera)

k är en enhetsvektor i axelns riktning z (Ansökan)

med yxa som komponenten x-riktning, och a_y komponenter i y-axelns riktning och a_z är komponenten i z-riktningen.

Vektors skrivform:

i matematik skrivs oftare i form:

med komponenten i form av ett numeriskt index som:

Längden på vektorn (stor, värde) skrivs som ett absolut tecken i algebra

Eller i numeriskt index

Om vektorn definieras av koordinaterna

Då representeras vektorn AB med

Vektarlängd AB

Under tiden för enhetsvektorn för en vektor som uttrycks som

Uttryckt med

Exempel på frågor och diskussion

Problem 1.

Om det är känt att det finns en punkt A (2,4,6), punkt B (6,6,2) och punkt C (p, q, -6). Om punkterna A, B och punkt C står i en rad, ta reda på vad värdet på p + q är!

Svar:

Om punkterna A, B och C är i en linje, så är vektorn och vektor Det kan också vara enkelriktat eller i olika riktningar.

Så det kommer att finnas ett tal m som är en multipel och kan bilda en ekvation som den nedan:

• m. =

Om B ligger mellan punkterna A och C, kommer det att erhållas enligt nedan:

Så du kan få:

Så det kan bestämmas multiplar av m i ekvationen:

Så resultaten vi får är:

Så vi kan dra slutsatser enligt följande:

p + q = 10 + 14 = 24

Fråga 2.

Om det är känt att vektorn vid punkt A och punkt B och vektorn vid punkt C som ligger mellan linjen Ab som visas i figuren nedan. Hitta ekvationen för vektor C.

Svar:

Från bilden ovan kan vi se att:

så:

Således en kort genomgång av vektormatematiken som vi kan förmedla. Förhoppningsvis kan ovanstående granskning av vektormatematik användas som ditt studiematerial.