Линије и углови: материјали класе 7, проблеми и дискусија

Линије и углови су један од материјала из математике који ћемо научити у 7. разреду средње школе. Па, овај пут ћемо научити разне ствари повезане са линијама и угловима.

Полазећи од односа две праве, врсте углова, својстава углова, а такође и јединица које се користе за углове.

Прочитајте пажљивије следеће критике.

Линија

Линија је распоред тачака (могу бити бесконачне) које су једна поред друге и поређане по дужини у два правца (десно / лево, горе / доле).

Положај две линије

Паралелна линија

Две паралелне линије односно ако је линија у равни и никада се неће срести или пресећи ако се линија продужи до бесконачности.

Симбол паралелних линија је (//)

За две праве се каже да су паралелне ако су две праве у истој равни или се њихови наставци никада неће пресећи.

Што се тиче неких својстава паралелних линија, између осталог:

• Пролазећи тачку изван праве, може се направити тачно још једна права која је паралелна правој.
• Ако постоји права која пресеца једну од две паралелне праве, онда ће права пресецати другу линију.
• Ако је једна права паралелна другој, тада ће две линије бити паралелне једна другој

Пресецање линија

Две праве ће се назвати пресецањем ако две линије имају тачку пресека или заједничку тачку.

преклапање линија

За две праве се каже да се подударају ако имају најмање две тачке пресека.

На пример: казаљка на сату када показује 12 сати. Тада ће се две казаљке сата поклапати једна с другом.

Цроссинг Линес

За две праве се може рећи да се укрштају ако две праве нису паралелне и не леже у истој равни.

Да бисте разумели различите положаје горњих линија, погледајте слику испод:

Угао

Угао је нешто што настаје сусретом два зрака или две равне линије.

Овај угао је подручје које чини зрак који је ротиран у основи зрака. Углови су означени симболом „“ “.

Дефиниција угла

У математици се угао може дефинисати као подручје настало присуством два зрака чија су полазишта повезана или се подударају.

Угао У геометрији је мера ротације делова линије од једне почетне тачке до друге.

Поред тога, у правилном дводимензионалном облику, угао се такође може дефинисати као простор између два пресека равних линија које се секу. -сц: википедиа

Делови под углом

Углови имају три важна дела, укључујући:

Угаона нога

Ово је линија зрака која чини угао.

Цорнер Поинт

То је почетна тачка или тачка пресека где се линија зрака поклапа.

Цорнер Ареа

Подручје или простор између две краке угла.

За више детаља погледајте следећу слику:

Врсте углова

Да бисмо изразили величину угла, користимо степене (°), минуте (‘), а такође и секунде („), где:

Позиција два реда

Ево положаја два реда, између осталог:

• За две или више правих каже се да су паралелне ако леже у истој равни и никада се неће срести или пресећи ако се линија продужи до бесконачности коначан.
• За две праве се каже да се секу ако леже у истој равни и имају једну тачку пресека.
• За две линије се каже да се подударају једна с другом ако је линија у правој линији, тако да је видљива само једна права линија.
• За две праве се каже да се секу ако нису у истој равни и неће се пресецати ако су продужене.

Однос између углова

Квадратни угао

Ако постоје два угла која се подударају и чине прави угао, онда ће један угао бити комплементарни угао за остале углове тако да се два угла називају комплементарним угловима (допуна).

Ево слике за угаони угао:

Збир два комплементарна угла је 90 °. Један угао је допуна другог угла.

Правим углом

Ако постоје два угла која се међусобно подударају и чине раван угао, онда ће један угао бити комплементарни угао за други угао. Дакле, два угла се могу назвати комплементарним угловима.

Ево слике за равне углове:

Збир два комплементарна угла је 180 °. Један угао је допуна другог угла.

Однос углова када су две линије паралелне

Пресечена другом линијом

Добро погледајте слику испод:

Супротан угао (исте величине)

То је угао који има исти положај и исту величину. На горњој слици су супротни углови:

А = Е.
Б = Ф.
Ц = Г
Д = Х

Насупрот унутрашњим угловима (исте величине)

Да ли је угао који је изнутра и чији је положај један насупрот другом. На горњој слици су супротни унутрашњи углови:

Ц = Е.
Д = Ф.

Супротно спољашњим угловима (исте величине)

Да ли је угао који лежи споља и један насупрот другом, на пример:

А = Г.
Б = Х

Супротни и супротни углови

• Ако се две паралелне праве пресеку другом правом, формирају се четири пара супротних углова који су једнаке величине.
• Ако су две линије пресечене другом линијом, тада су димензије супротних формираних спољних углова исте.
• Ако су две паралелне линије пресечене другом линијом, тада су супротни формирани унутрашњи углови исте величине.
• Ако су две паралелне праве пресечене другом линијом, тада је збир унутрашњих углова 180 °.

Унутрашњи угао

То је угао који лежи изнутра, а његов положај лежи на истој страни. Када се саберу, углови који су на истој страни формираће угао од 180 °. Као пример:

Д + Е = 180 °
Ц + Ф = 180 °

Једнострани спољни угао

Да ли је угао који лежи споља, а његов положај лежи на истој страни. Када се саберу, углови који су на истој страни формираће угао од 180 °. Као пример:

Б + Г = 180 °
А + Х = 180 °

Супротни углови (исте величине)

Да ли је угао чији су положаји међусобно супротни, на горњој слици су супротни углови:

А = Ц.
Б = Д.
Е = Г.
Ф = Х

Пар супротних углова настаје када се две праве пресеку тако да две Углови који су супротни тачки пресека називају се супротни углови.
Два супротна угла су једнака.

Јединица угла

У степенима, вредност од 1 степен представља угао који се ротира за 1/360 окрета. Што значи 1 ° = 1/360 обртаја.

Да бисмо одредили угао који је мањи од степени (°), можемо користити симболе минута (‘) и другог (”).

Обратите посебну пажњу на однос степени, минута и секунди у наставку:

1 степен (1 °) = 60 минута (60 ′)

1 минут (1 ′) = 1/60 °

1 минут (1 ′) = 60 секунди (60 ”)

1 степен (1 °) = 3600 секунди (3600 ”)

1 секунда (1 ”) = 1/3600 °

Мера угла у радијанима

1 ° = п / 180 радијана

или

1 радијан = 180 ° / стр

Ако вредност п = 3,14159 тако:

1 ° = п / 180 радијана = 3,14159 / 180 = 0,017453

или

1 радијан = 180 ° / п = 180 ° / 3,14159 = 57,296 °

Примери питања и дискусија

Овде ћемо дати неколико питања везаних за праве и углове, укључујући:

Проблем 1.

Три линије сваки к, л и м у распореду као што је приказано доле.

Права к је паралелна правој л и права м сече праву к и л.

Дакле, одредите:

а) супротни углови
б) супротни углови
в) супротни углови у
г) споља супротни углови
д) унутрашњи углови на једној страни
ђ) једнострани спољни углови
г) равни углови

Одговор:

а) супротни углови су:

А1 са Б1
А4 са Б4
А2 са Б2
Б3 са Б3

б) супротни углови су:

А1 са А3
А2 са А4
Б1 са Б3
Б2 са Б4

ц) унутрашњи супротни углови (супротни унутра), и то:

А3 са Б1
А4 са Б2

г) спољни супротни углови су:

А2 са Б4
А1 са Б3

е) унутрашњи углови су:

А3 са Б2
А4 са Б1

ф) једнострани спољни углови, и то:

А2 са Б3
А1 са Б4

г) равни углови су:

А1 са А2
А1 са А4
А2 са А3
А3 са А4
Б1 са Б2
Б1 са Б4
Б2 са Б3
Б3 са Б4

Питање 2.

Дане су три линије, наиме к, л и м, а такође и углови у околини. к и л су паралелне док права м сече праву к и л.

Ако је П = 125 °, онда одредите осталих седам углова око њега!

Одговор:

Р = П = 125 ° (јер је Р супротно од П)
Т = П = 125 ° (јер Т одговара П)
В = Р = 125 ° (јер је В супротно од Р) ∠К = 180 ° П = 180 ° - 125 ° = 55 ° (јер је К П исправљач)
С = К = 55 ° (јер је С супротно од К)
У = К = 55 ° (јер је У у односу на К)
В = У = 55 ° (јер је В супротно од У)

Задатак 3.

Погледајте доњу слику, ако је ЕФ паралелна са ДГ, а троугао АБЦ је једнакокраки троугао са мером угла Ц 40 °.

Затим наведите:

а) Величина угла ДБЕ
б) Мера угла БЕФ
ц) Угао ЦАГ

Одговор:

а) Величина угла ДБЕ

Први корак је прво пронаћи меру угла АБЦ. АБЦ је једнакокраки троугао тако да је величина АБЦ = БАЦ. Три угла у а троугао ако саберемо је 180 °, дакле, АБЦ = (180 40): 2 = 70 °, па је и БАЦ 70 ° ∠ДБЕ = АБЦ = 70 °, јер су супротни назад.

б) Мера угла БЕФ

БЕФ = АБЦ = 70 ° јер су супротни или БЕФ = ДБЕ = 70 ° јер су супротни.

ц) Угао ЦАГ

ЦАГ = 180 БАЦ = 180 70 = 110 °, јер су ЦАГ и БАЦ равне линије.

Задатак 4. (Пакет УН 2012/2013 54)

Погледајте слику испод!

Величина угаоног исправљача СКР је ...

1. 101°
2. 100°
3. 95°
4. 92°

Одговор:

Пажња ** ово питање је једно од трикова, многи мисле ако питање поставља СКР иако је оно што се тражило ПКС.

Да бисте одговорили на ово питање, прво што морате потражити је вредност к.

У овом случају ∠ПКС и ∠СКР је комплементарни угао, па:

∠ПКС + ∠СКР = 180 °(5к) ° + (4к + 9) ° = 180 °9к ° + 9 = 180 °9к ° = 171 °к ° = 19 °

Исправљач ∠СКР = ПКСИсправљач ∠СКР = (5к) °Исправљач ∠СКР = (5.19)°Исправљач ∠СКР = 95° (Одговор Ц)

Питање 5. (УН 2009/2010 пакет 10)

Погледајте следећу слику:

Мера угла број 1 је 95 °, а мера угла број 2 је 110 °. Мера угла број 3 је ...

1. 5°
2. 15°
3. 25°
4. 35°

Одговор:

∠1 = ∠5 = 95 ° (супротни унутрашњи углови)2 + 6 = 180 ° (међусобно поравнати)110° + ∠6 = 180°∠6 = 70°∠5 + ∠6 + ∠3 = 180°95° + 70° + ∠3 = 180°165° + ∠3 = 180°∠3 = 15° (Одговор Б)

Питање 6. (УН 2010/2011 пакет 15)

Погледајте слику испод:

Велики ∠БЦА је….

1. 70°
2. 100°
3. 110°
4. 154°

Одговор:

АБЦ + ЦБД = 180 ° (директно)АБЦ + 112 ° = 180 °АБЦ = 68 °БЦА + АБЦ + БАЦ = 180 °БЦА + 68 ° + 42 ° = 180 °БЦА + 110 = 180 °БЦА = 70 ° (Одговор А)

Питање 7. (УН 2010/2011 пакет 15)

Погледајте слику испод:

Велики ∠П3 је….

1. 37°
2. 74°
3. 106°
4. 148°

Одговор:

П2 = 74° (супротни спољни углови)П2 + П3 = 180 ° (директно)74 ° + П3 = 180 °П3 = 106 ° (Одговор Ц)

Питање 8. (УН 2012/2013 пакет 1)

Погледајте слику испод:

Мера угаоног исправљача КЛН је ...

1. 31°
2. 72°
3. 85°
4. 155°

Одговор:

Да бисте одговорили на ово питање, први корак који морате пронаћи је вредност к.

У том питању ∠КЛН и ∠МЛН је комплементарни угао, па:

∠КЛН + ∠МЛН = 180 °(3к + 15) ° + (2к + 10) ° = 180 °5к ° + 25 ° = 180 °5к ° = 155 °к ° = 31 °

Исправљач ∠КЛН = МЛНИсправљач ∠КЛН = (2к + 10) °Исправљач ∠КЛН = (2.31 + 10)°Исправљач ∠КЛН = 72° (Одговор Б)

Задатак 9. (УН 2012/2013 пакет 2)

Погледајте слику испод:

Велики риболовац ∠СКР је….

1. 9°
2. 32°
3. 48°
4. 58°

Одговор:

Пажња ** и ово питање је ствар замке, па многи људи мисле да ово питање поставља СКР иако је оно што се тражило ПКС.

Да бисте одговорили на ово питање, први корак који морате пронаћи је вредност к.

У том питању ∠СКР и ∠ПКС је прави угао, па:

∠СКР + ∠ПКС = 90 °(3к + 5) ° + (6к + 4) ° = 90 °9к ° + 9 ° = 90 °9к ° = 81 °к ° = 9 °

Угао ∠СКР = ПКСУгао ∠СКР = (6к + 4) °Угао ∠СКР = (6.9 + 4)°Угао ∠СКР = 58° (Одговор Д)

Питање 10. (УН 2012/2013 пакет 5)

Погледајте слику испод:

Одлична пегла ∠АОЦ је….

1. 32°
2. 72°
3. 96°
4. 108°

Одговор:

Да бисте одговорили на питање број 10, први корак који морате пронаћи је вредност к.

У том питању ∠АОЦ и ∠БОЦ је комплементарни угао, па:

∠АОЦ + ∠БОЦ = 180 °(8к - 20) ° + (4к + 8) ° = 180 °12к ° - 12 ° = 180 °12к ° = 192 °к ° = 16 °

Исправљач ∠АОЦ = БОЦИсправљач ∠АОЦ = (4к + 8) °Исправљач ∠АОЦ = (4.16 + 8)°Исправљач ∠АОЦ = 72° (Одговор Б)

То је овај кратки преглед о линијама и угловима који можемо да пренесемо. Надамо се да се горњи преглед линија и углова може користити као ваш студијски материјал.