Logaritmi: lastnosti, logaritemske enačbe, pogoji, hribi, problemi

Logaritem je matematična operacija, pri kateri je ta operacija obratna (ali inverzna) eksponenta ali moči. Osnova ali glavnica v tej logaritemski formuli je praviloma v obliki črke a.

Ali pa je omenjena tudi, če je ta logaritem inverzna ali inverzna moč (eksponent), uporabljena v določite eksponent osnovnega števila.

V angleščini se imenuje logaritem logaritem.

Torej v bistvu lahko s preučevanjem logaritmov najdemo moč števila z znanim eksponentom.

Logaritem

Ko veste, kaj je logaritem, potem morate poznati tudi splošno obliko tega logaritma.

Tu je splošna oblika logaritma:

Splošna oblika logaritma:

Čeⁿ = x potem ^alogx = n

Informacije:

a: je osnova, ki ima naslednje pogoje: a> 0 in a 1.

x: je število, ki ga išče algoritem (numerus), pogoji so: x> 1

n: je moč logaritma.

Zdaj je čas, da si ogledate spodnja primera, da boste lahko bolje razumeli zgornji opis:

1. Ko 3² = 9, potem se bo v logaritemski obliki spremenila v ³log 9 = 2
2. Ko 2³ = 8, potem se bo v logaritemski obliki spremenila v ²dnevnik 8 = 3
3. Ko 5³ = 125, potem se bo v logaritemski obliki spremenila v ⁵dnevnik 125 = 3

Kako si Zdaj začenjam razumeti prav?

No, ponavadi tukaj, boste še vedno pogosto zmedeni pri določanju, katero število je osnova in katero število je številka.

Logaritem je matematična operacija, pri kateri je inverzna vrednost eksponenta ali moči.

Osnovna formula logaritma: b^c = a je zapisano kot ^blog a = c (b se imenuje osnovni logaritem).

Ali ni?

Pomirite se, ključ, ki si ga morate zapomniti, je, če osnovna številka je osnova, ki se nahaja na vrhu pred znakom 'log'. In številkorezultat uvrstitve imenuje se kot numerus, na dnu za besedo „dnevnik“. Enostavno prav?

Logaritemske enačbe

Logaritmična enačbaa je enačba, v kateri je spremenljivka osnova logaritma.

Ta logaritem lahko definiramo tudi kot matematično operacijo, ki je inverzna (ali inverzna) eksponenta ali moči.

Primer Številka 

Tukaj bomo navedli nekaj primerov logaritmičnih števil, vključno z naslednjim:

Nato imajo logaritmi tudi nekatere lastnosti, ki Obvezno da boste razumeli, tukaj. Zakaj obvezno?

To je zato, ker bodo te značilnosti kasneje postale vaša določba za enostavno logaritemsko delo.

Brez razumevanja lastnosti logaritmov ne boste mogli reševati težav z logaritmi, ti veš!

Potem pa karkoli pekel Kakšne so lastnosti logaritma? Daj no, upoštevajte spodnja mnenja.

Logaritemske lastnosti

Sledi nekaj lastnosti logaritmov, ki jih morate razumeti, vključno z:

Poleg nekaterih zgornjih lastnosti obstajajo tudi nekatere lastnosti logaritemskih enačb, med drugim:

Lastnosti logaritemskih enačb

Logaritemska enačba ima tudi nekaj posebnih lastnosti, ki so naslednje:

1. Logaritemske lastnosti množenja 

Logaritmična lastnost množenja je rezultat dodajanja dveh drugih logaritmov, pri katerih je vrednost obeh številk faktor začetne številske vrednosti.

^adnevniki str. q = ^alog p + ^alog q

Za to eno lastnost obstaja več pogojev, in sicer: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

2. Logaritmično množenje

Množenje logaritmov je lastnost logaritma a, ki jo lahko pomnožimo z logaritmom b, če je številčna vrednost logaritma a enaka osnovnemu številu logaritmov b.

Rezultat množenja je nov logaritem z osnovno številko, enako logaritmu a. In ima enako številčno vrednost kot logaritem b.

^alog b x ^blogc = ^adnevnik c

Za to eno lastnost obstaja več pogojev, in sicer: a> 0, a \ ne 1.

3. Narava delitve 

Logaritmična lastnost delitve je rezultat odštevanja dveh drugih logaritmov, pri čemer je vrednost obeh številk ulomek ali delitev začetne številske vrednosti logaritma.

^adnevnik p / q: ^adnevnik p - ^alog q

Za to eno lastnost obstaja več pogojev, in sicer: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

4. Povratno primerljive lastnosti

Lastnost obratno sorazmernega logaritma je lastnost z drugimi logaritmi, ki imajo osnovno številčno vrednost in število zamenljivo.

^alogb = 1 /^blog a

Za to eno lastnost obstaja več pogojev, in sicer: a> 0, a \ ne 1.

5. Nasprotno znamenje 

Logaritmična lastnost nasprotnega predznaka je lastnost z logaritmom, katerega numerus je inverzni del začetne številske vrednosti logaritma.

^alog p / q = - ^adnevnik p / q

Za to eno lastnost obstaja več pogojev, in sicer: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0.

6. Narava moči 

Logaritmična lastnost moči je lastnost, katere številska vrednost je eksponent. In se lahko uporablja kot nov logaritem z oddajanjem moči množitelju.

^adnevnik b^str = p. ^adnevnik b

Za to eno lastnost obstaja več pogojev, in sicer: a> 0, a \ ne 1, b> 0

7. Moč logaritemskih glavnih števil 

Moč logaritemske moči osnovnega števila je lastnost, pri kateri je vrednost osnovnega števila a eksponent (moč), ki ga lahko uporabimo kot nov logaritem tako, da odstranimo potenco na število delilnik.

a^strlogb = 1 / str^adnevnik b

Za to eno lastnost obstaja več pogojev, in sicer: a> 0, a \ ne 1.

8. Logaritemske glavne številke, primerljive s številskimi pooblastili 

Lastnost osnovnega števila, ki je sorazmerno moči števila, je lastnost, katere številska vrednost je a eksponent (moč) vrednosti osnovnega števila, ki ima enako vrednost rezultata kot vrednost moči numerusa to.

^alog a^str = p

Za to eno lastnost obstaja več pogojev, in sicer: a> 0 in a \ ne 1.

9. Uvrstitev 

Moč logaritmov je ena od lastnosti števil, katerih moči so v obliki logaritmov. Rezultat vrednosti moči je vrednost, pri kateri številka prihaja iz logaritma.

a ^alog m = m

Za to eno lastnost obstaja več pogojev, in sicer: a> 0, a \ ne 1, m> 0.

10. Spreminjanje logaritemske osnove 

Naravo spreminjanja osnove tega logaritma lahko razstavimo tudi na primerjavo dveh logaritmov.

^strlog q = ^adnevnik p /^a log q

Za to eno lastnost obstaja več pogojev, in sicer: a> 0, a \ ne 1, p> 0, q> 0

Formula logaritemske enačbe

Na podlagi zgornjega opisa je logaritem matematična operacija, ki je inverzna stopnja ali potenca.

Primer logaritma eksponentne oblike med lian: a^b = c, če je izraženo v logaritemskem zapisu, bo ^alogc = b.

Izjava je naslednja:

• a je osnova ali osnovna številka.
• b je rezultat ali obseg logaritma.
• c je številka ali domena logaritma.

Z opombami:

Preden podrobneje razpravljamo o formuli logaritma, morate razumeti, ali obstaja zapis ^alog b pomeni isto kot log_a b.

Formula za logaritemsko enačbo je med drugim:

Formula logaritemske enačbe:

Če že imamo ^alogf (x) = ^alog g (x), nato f (x) = g (x).
Pri nekaterih pogojih, kot so: a> 0, a 1, f (x)> 0, g (x)> 0.

Logaritemske neenakosti:

Če imamo log f (x)> ^alog g (x), potem imamo dve stanji, in sicer:

Prvič, ko a> 0 pomeni: f (x)> g (x)
Drugič, v času 0

Vzorčna vprašanja in razprava

V nadaljevanju bomo podali nekaj primerov vprašanj in njihovo razpravo. Pozorno poslušajte, ja.

Vzorčna vprašanja 1-3

1. ²dnevniki 4 + ²dnevnik 8 =

2. ²dnevnik 32 =

3. Ko je znano ²log 8 = m in ²log 7 = n, nato poiščite vrednost ¹⁶dnevniki 14!

Odgovor:

1. problem

Prvi korak, ki ga moramo narediti, je preveriti osnova.

Obe enačbi logaritma zgoraj imata očitno enako osnovno vrednost, ki je 2.

Zato lahko za iskanje rezultata uporabimo drugo lastnost logaritma.

tako da, ²dnevniki 4 + ²dnevnik 8 = ²dnevnik (4 × 8) = ²hlodi 32 = 5. Ne pozabite! Namen logaritma je najti moč.

Torej, koliko 2 na stopnjo 32? Odgovor je nihče drug kot 5. Enostavno, kajne?

2. vprašanje

Pojdimo na vprašanje številka 2.

Pri vprašanju številka 2 tega ne moremo storiti takoj, ker boste zagotovo naleteli na zmedo pri iskanju vrednosti moči 8, kar ima za posledico 32. Kako potem?

Če težavo pogledamo natančneje, je 8 rezultat moči 2³ in tudi 32, ki je rezultat moči 2⁵.

Zato lahko logaritemsko obliko spremenimo v:

⁸dnevnik 32 = ²³dnevnik 2

= 5/3 ²dnevnik 2 (uporabite lastnost številka 6)

= 5/3(1) = 5/3

3. problem

Kako ste fantje? Ste se že začeli navduševati?

No, v razpravi o vprašanju številka 3 vas bo to še bolj navdušilo!

Vedeti morate, da model iz vprašanja št. 3 pogosto najdemo v vprašanjih o nacionalnem izpitu ali vprašanjih o izbiri univerze ti veš.

Na prvi pogled se zdi precej zapleteno, toda če že razumete koncept, bo to težavo zelo enostavno rešiti.

Če najdete takšen model težave, lahko njegovo vrednost poiščete z uporabo logaritemske lastnosti številke 4.

Torej, postopek bo:

²log 8 = m in ²log 7 = n, ¹⁶dnevniki 14?

¹⁶dnevnik 14 = ²dnevnik 14 / ²dnevnik 16

Opomba:

Če želite izbrati, katero osnovo lahko pogledamo neposredno na številko, ki se najpogosteje pojavlja v problemu. Torej vemo, da se številka 2 pojavi 2-krat, 8 toliko kot 1-krat in 7 toliko kot 1-krat.

Število, ki se zdi največ, je nič drugega kot 2, zato za osnovo izberemo 2. Razumem?

= ²hlodi (7 x 2) / ²hlodi (8 x 2)

Potem pa mi opiši številko.

Poskusimo ga spremeniti v obliko, ki je že v težavi. Kaj misliš?

tukaj fantje, na znano vprašanje ²dnevnik 8 in tudi ²dnevniki 7. Ker sta števili tako 8 kot 7, razbijemo 14 na 7 × 2 in 16 na 8 × 2, da lahko vidimo končni rezultat.

= ²dnevnik 7 + ²dnevnik 2 / ²dnevnik 8 + ²dnevnik 2 (uporabite lastnost številka 2)

= n + 1 / m + 1

Še en primer vprašanja.

Problem 1. (EBTANAS '98)

Je znan ³log 5 = x in ³log 7 = y. Izračunajte vrednost ³hlodi 245 ^1/2! (EBTANAS '98)

Odgovor:

³hlodi 245 ^½ = ³hlodi (5 x 49) ^½

³hlodi 245 ^½ = ³hlodi ((5) ^½ x (49) ^½)

³hlodi 245 ^½ = ³hlodi (5) ^½ + ³hlodi (7²) ^½

³hlodi 245 ^½ = ½( ³dnevnik 5 + ³dnevniki 7)

³hlodi 245 ^½ = (x + y)

Torej, vrednost ³hlodi 245 ^½ tj. (x + y).

2. vprašanje (UMPTN '97)

Če je b = a⁴, vrednosti a in b sta pozitivni, potem je vrednost ^adnevnik b - ^bprijavi a ie ???

Odgovor:

Znano je, če je b = a⁴, potem ga lahko v izračun nadomestimo tako:

^adnevnik b - ^bloga = ^alog a⁴ - a⁴ log a

^adnevnik b - ^bloga = 4 (^aloga) - 1/4 ( ^adnevniki a)

^adnevnik b - ^bloga = 4 - 1/4

^adnevnik b - ^bloga = 3^3/4

Torej, vrednost ^adnevnik b - ^blog a vprašanje številka 2 je 3^3/4.

3. problem (UMPTN '97)

Če ^ahlodi (1- ³log 1/27) = 2, nato izračunajte vrednost a.

Odgovor:

Če vrednost 2 naredimo v logaritmu, kjer je osnovno število logaritma a, postane ^alog a²= 2, potem dobimo:

^ahlodi (1- ³log 1/27) = 2

^ahlodi (1- ³hlodi 1/27) = ^alog a²

Številska vrednost obeh logaritmov je lahko enačba, in sicer:

1- ³log 1/27 = a²

³dnevniki 3 - ³log 1/27 = a²

³dnevniki 3 - ³dnevnik 3^(-3) = a²

³hlodi 3/3^-3 = a²

³dnevnik 3⁴ = a²

4 = a²

Tako dobimo vrednost a = 2.

4. problem

Če je znano, da je 2log 8 = a in 2log 4 = b. Nato izračunajte vrednost 6log 14

a. 1 /2
b. (1+2) / (2+1)
c. (a + 1) / (b + 2)
d. (1 + a) / (1 + b)

Odgovor:

Za 2 log 8 = a

= (dnevnik 8 / dnevnik 2) = a
= dnevnik 8 = dnevnik 2

Za 2 log 4 = b

= (dnevnik 4 / dnevnik 2) = b
= dnevnik 4 = b dnevnik 2

Torej, 16 log 8 = (log 16) / (log68)
= (log 2.8) / (log 2.4)
= (dnevnik 2 + dnevnik 8) / (dnevnik 2 + dnevnik 4)
= (dnevnik 2 + dnevnik a) / (dnevnik 2 + b dnevnik b)
= log2 (1+ a) / log 2 (1+ b)
= (1 + a) / (1 + b)

Torej je vrednost 6 dnevnika 14 v zgornjem primeru problema (1 + a) / (1 + b). (D)

5. vprašanje.

Vrednost (3log 5 - 3 log 15 + 3log 9) je?

a. 2
b. 1
c. 4
d. 5

Odgovor:

(3log 5 - 3log 15 + 3log 9
= 3 dnevniki (5. 9) / 15
= 3log 45/15
= 3log 3
=1

Vrednost 3log 5 - 3log 15 + 3log 9 je 1. (B)

6. vprašanje.

Izračunajte vrednost v spodnjem problemu z logaritmom:

1. (2log 4) + (2log 8)
2. (2log 2√2) + (2log 4√2)

Odgovor:

1. (2log 4 + 2log 8) = (2log 4) x 8 = 2log 3 v moč 2 = 5

2. (2log 2√2 + 2log 4√2) = (2log 2√2) x (4√2) = 2log 16 = 4

Torej, vrednost vsakega problema z logaritmom zgoraj je 5 in 4.

7. vprašanje.

Izračunajte vrednost v spodnjem problemu z logaritmom:

1. 2log 5 x 5log 64
2. 2 hlodi 25 x 5 dnevnikov 3 x 3 dnevniki 32

Odgovor:

1. (2log 5) x (5log 64) = 2log 64 = 2log 26 = 6

2. (2log 25) x (5log 3) x (3log 32) = (2log 52) x (5log 3) x (3log 25)
= 2. (2log 5) x (5log 3) x 5. (3 dnevniki 2)
= 2 x 5 x (2log 5) x (5log 3) x (3log 2)
= 10 x (2log 2) = 10 x 1 = 10

Torej, vrednost zgornjega vprašanja je 6 in 10.

Vprašanje 8.

Izračunajte vrednost dnevnika 25 + log 5 + log 80 je ...

Odgovor:

dnevnik 25 + dnevnik 5 + dnevnik 80
= dnevnik (25 x 5 x 80)
= dnevniki 10000
= dnevnik 104
= 4

Problem 9.

Znano je, da je log 3 = 0,332 in log 2 = 0,225. Potem je dnevnik 18 vprašanja….

a. 0,889
b. 0,556
c. 0,677
d. 0,876

Odgovor:

Znano:

• Dnevnik 3 = 0,332
• Dnevnik 2 = 0,225

Na vprašanje:

• dnevnik 18 =….?

Odgovor:

Dnevniki 18 = dnevniki 9. dnevnik 2
Dnevnik 18 = (dnevnik 3.log 3). dnevnik 2
Dnevniki 18 = 2. (0,332) + (0,225)
Log 18 = 0,664 + 0,225
Log 18 = 0,889

Vrednost dnevnika 18 v zgornjem vprašanju je torej 0,889. (A)

Vprašanje 10.

Pretvorite naslednje eksponente v logaritemsko obliko:

1.  24 = 16
2.  58 = 675
3.  27 = 48

Odgovor:

* Pretvorite eksponente v logaritemsko obliko, kot sledi:

Če je vrednost ba = c, potem je vrednost za blog c = a.

1.  24 = 16 → 2log 16 = 4
2.  58 = 675 → 5log 675 = 8
3.  27 = 48 → 2log 48 = 7

Tako kratek pregled tokrat, ki ga lahko prenesemo. Upamo, da bo zgornji pregled uporabljen kot vaše študijsko gradivo.