Vektorska matematika: vrste, operacije, pravokotne projekcije, notacije, problemi

Matematični vektor je količina, ki ima smer, ta vektor je lahko sam prikazan s pomočjo puščice, katere smer bo usmerjena na smer vektorja. Dolžina črte se običajno imenuje vektorska velikost.

Če se vektor začne pri točki A in konča pri točki B, ga lahko zapišemo z malo črko s pomišljajem ali puščico nad njim (

ali ). Lahko pa tudi na način kot na spodnji sliki:

Na primer vektor je vektor, ki se začne od točke A (x₁. y₁) gre v točko B (x₂. y₂) lahko narišemo kartezične koordinate spodaj.

Dolžina črte, vzporedne z osjo x, je v₁ = x₂ - x₁ in dolžina premice, vzporedne z osjo y, je v₂ = y₂ - y₁ so nekatere vektorske komponente .

Vektorske komponente  Za izražanje vektorjev lahko pišemo algebraično, in sicer:

Vrsta vektorja

V matematiki obstaja več vrst posebnih vektorjev, vključno z:

• Vektor položaja
  Vektor, katerega izhodišče je pri 0 (0,0), končno pa pri A
instagram viewer
• Zero Vector
  Vektor, katerega dolžina je nič in je označena z . Ničelni vektor nima jasne smeri vektorja.
• Enota vektor
  Vektor, ki ima dolžino eno enoto. Enota vektorja to je:
  
• osnovni vektor
  Osnovni vektor je vektor enote, ki je pravokoten drug na drugega. V dvodimenzionalnem vektorskem prostoru (R²) ima namreč dva osnovna vektorja in . Medtem ko je v treh dimenzijah (R³) ima namreč tri osnovne vektorje , , in tudi .

Različne vrste, pa tudi vektorske operacije

Matematični vektorji niso sestavljeni samo iz več vrst, temveč so tudi matematični vektorji sestavljeni iz več vrst.

V nadaljevanju bomo hkrati ponudili različne vektorje skupaj z njihovimi operacijami, si jih dobro ogledali:

Vektor v R2 

Dolžina odseka črte, ki predstavlja vektor, je označena z uporabo ali pa ga lahko označimo tudi s simbolom ||

Sledi dolžina vektorja, ki je naslednja:

Dolžina samega vektorja je oblika, ki jo lahko povežemo s kotom, ki ga lahko enostavno oblikuje vektor, pa tudi pozitivna os.

Vektorska operacija na R2 

Postopek seštevanja in odštevanja vektorjev v R2 

Rezultat je ime rezultata seštevanja dveh ali več vektorjev.

Dodajanje samega tega vektorja lahko izvedemo tudi algebraično, lahko pa tudi z dodajanjem komponent, ki so v istem ali naslednjem položaju.

Če:

potem:

Nato lahko na spodnji sliki vidimo sam grafični seštevek:

To vektorsko odštevanje se obravnava enako kot seštevanje, vključno z naslednjim, glej spodnji primer:

Lastnosti tega dodajanja vektorjev so naslednje, prosimo, glejte formulo:

⇒ Množenje vektorjev v R² S Scalarjem 

Tudi sam vektor lahko pomnožimo s skalarjem ali realnim številom, ki bo ustvarilo nov vektor if je vektor in k skalar.

Tako da lahko množenje vektorjev označimo kot spodaj:

Tu je še nekaj podrobnosti:

• Če je k> 0, potem vektor bo v isti smeri kot vektor .
• Če je k <0, potem vektor bo v nasprotni smeri od vektorja .
• Če je k = 0, potem vektor je vektor identitete .

Grafično lahko to množenje spremeni dolžino vektorja in je razvidno iz spodnje tabele:

Če je algebraično, vektorski zmnožek s skalarjem k lahko oblikujemo z uporabo formule, kot je spodaj:

Skalarno množenje dveh vektorjev v R²

V skalarnem produktu dveh vektorjev ga lahko imenujemo tudi pikčasti produkt dveh vektorjev, kar lahko zapišemo kot spodaj:

Vektor v R³

Vektor, ki se nahaja v tridimenzionalnem prostoru (x, y, z), kjer je razdalja med dvema vektorskima točkama v R³ To lahko ugotovite z razvojem pitagorejske formule.

Če je točka A (x₂. y₂. z₂) in B (x₂. y₂. z₂) so:

Ali če , tako da:

Vektor lahko navedemo v dveh oblikah, in sicer v stolpcu

ali v vrstici, ki se

Vektorje lahko predstavimo tudi kot linearne kombinacije osnovnih vektorjev, kot so ali in oz

v celoti:

Vektorska operacija na R³

Vektorske operacije na R³ na splošno imajo enak koncept kot operacije na vektorju R² poleg tega še odštevanje in množenje.

Seštevanje in odštevanje vektorjev v R³

Seštevanje in odštevanje vektorjev v R³ je enako kot v vektorju R² in sicer:

Množenje vektorjev v R³ s skalarjem

Če je vektor in k skalar. Potem množenje vektorjev postane:

Skalarni zmnožek dveh vektorjev

Poleg formule na R³obstaja še ena formula za skalarni zmnožek dveh vektorjev. Če in potem je:

Vektorska pravokotna projekcija

Če je vektor ā projiciran v vektor barb in dobil ime  kot na spodnji sliki:

Je znan:

torej:

Če želite dobiti vektor:

Vektorski zapis

Kot je razloženo zgoraj, je vektor tukaj predstavljen s črkami, ki imajo smer črte nad njim.

Vektorji so lahko izraženi v dveh ali celo treh dimenzijah ali več. Ko je vektor izražen v treh dimenzijah, ima vektor enote, ki je izražen z i, j in k.

Vektor enote je vektor, katerega velikost je ena enota in je njegova smer vzdolž glavne osi, in sicer:

jaz je enotni vektor v smeri osi x (abscisa)

j je enotni vektor v smeri osi y (ordinata)

k je enotni vektor v smeri osi z (prijava)

s a_x kot komponenta smeri x in a_y sestavni deli smeri osi y in a_z je komponenta smeri z.

Obrazec za pisanje vektorjev:

v matematiki je pogosteje zapisano v obliki:

s komponento v obliki številskega indeksa:

Dolžina vektorja (velika, vrednost) je v algebri zapisana kot absolutni znak

Ali v številčnem indeksu

Če je vektor določen s koordinatami

Potem je vektor AB predstavljen z

Dolžina vektorja AB

Medtem je za vektor enote vektorja, ki je izražen kot

Izraženo s

Vzorčna vprašanja in razprava

1. problem

Če je znano, da obstaja točka A (2,4,6), točka B (6,6,2) in točka C (p, q, -6). Če so točke A, B in točke C v vrstici, ugotovite, kakšna je vrednost p + q!

Odgovor:

Če so točke A, B in C v premici, potem je vektor in vektor Lahko je tudi enosmerna ali v različne smeri.

Torej bo število m, ki je večkratnik in lahko tvori enačbo, kot je spodaj:

• m. =

Če se B nahaja med točkama A in C, bo dobljen, kot je prikazano spodaj:

Tako lahko dobite:

Torej lahko v enačbi določimo večkratnike m:

Rezultati, ki jih bomo dobili, so:

Tako lahko sklepamo na naslednji način:

p + q = 10 + 14 = 24

2. vprašanje

Če je znano, da sta vektor v točki A in točki B ter vektor v točki C, ki leži med črto Ab, kot je prikazano na spodnji sliki. Poiščite enačbo vektorja C.

Odgovor:

Iz zgornje slike vidimo, da:

torej:

Tako kratek pregled vektorske matematike, ki ga lahko prenesemo. Upamo, da bo zgornji pregled vektorske matematike uporabljen kot učno gradivo.