Dekartove koordinate: gradivo, sistem, primeri problemov, razprava

Dekartove koordinate se pogosto imenujejo tudi kvadratne koordinate. Izraz iz kartezijske besede se uporablja za spomin na matematika in filozofa iz Francije z imenom Rene Descartes.

Bil je strokovnjak, ki je imel odlično vlogo pri kombiniranju algebre in geometrije.

Rezultati Descartesovega odkritja, kartezične koordinate so zelo vplivale na razvoj analitične geometrije, računa in kartografije.

Začetek osnovne ideje o uporabi tega sistema se je razvil leta 1637 v dveh delih Descartesovega dela.

V svojem Descartesovem diskurzu o metodi je predstavil nov predlog za prikaz stanja ali točke objekta na površini.

Metoda ali metoda je z uporabo dveh osi, ki sta pravokotni ena na drugo.

V svojem naslednjem delu La Géométrie poglablja tudi pojme, ki jih je razvil.

Nato je bil predstavljen drugim koordinatnim sistemom, kot je polarni koordinatni sistem.

Dekartova koordinatna funkcija

V matematiki se za določitev vseh točk v sistemu uporablja kartezične koordinate ravnina z dvema številkama, ki se običajno imenujejo koordinata x in koordinata y točke.

Koordinata x se pogosto imenuje abscisa, koordinata y pa ordinata.

Za razlago koordinat potrebujemo dve usmerjeni črti, ki sta pravokotni drug na drugega [os x in os y]. Pa tudi dolžino enote, ki je na obeh oseh označena.

Pozorno si oglejte spodnjo sliko:

Na zgornji sliki vidimo, da so označene 4 točke. Sem spadajo: [-3,1], [2,3], [-1,5, -2,5] in [0,0]. Točko [0,0] imenujemo tudi izvor.

Iz zgornje slike lahko vidimo tudi, da:

Ker sta osi pravokotni ena na drugo, bo ravnina xy razdeljena na štiri dele, ki se imenujejo kvadranti. To je razvidno iz zgornje slike, označene s točkami [-3,1], točkami [2,3], točkami [-1,5, -2,5].

V skladu z veljavno konvencijo so štirje kvadranti razvrščeni od zgoraj desno [kvadrant I], krožijo v nasprotni smeri urnega kazalca.

V kvadrantu I bosta obe koordinati (x in y) pozitivni.

V kvadrantu II bo koordinata x negativna, koordinata y pa pozitivna.

V kvadrantu III bosta obe koordinati negativni.

Tudi v kvadrantu IV je koordinata x pozitivna, koordinata y pa negativna.

Točka [2,3] je v kvadrantu I, točka [-3,1] je v kvadrantu II in točka [-1,5, -2,5] je v kvadrantu III.

Ali na splošno so štirje kvadranti razvrščeni, začenši zgoraj desno [kvadrant I], krožijo v nasprotni smeri urnega kazalca.

V kvadrantu I bosta koordinati [x in y] pozitivni.

V kvadrantu II bo koordinata x negativna, koordinata y pa pozitivna.

V kvadrantu III bosta obe koordinati negativni, v kvadrantu IV pa x koordinati pozitivni in y negativni [poglej nazaj na zgornjo sliko].

Sistem kartezičnih koordinat v dveh dimenzijah je običajno opredeljen z uporabo dveh osi, ki sta pravokotni drug na drugega.

Kjer sta osi locirani v eni ravnini, in sicer ravnini xy. Vodoravna os bo označena z x, navpična os pa bo označena z y.

Točka stika obeh osi, izvor, bo praviloma označena z 0.

Vsaka os ima tudi dolžino enote in vsaka dolžina bo označena tako, da bo tvorila nekakšno mrežo.

Za opis določene točke v dvodimenzionalnem koordinatnem sistemu zapišemo vrednost x [abscis], čemur sledi vrednost y [ordinate].

Tako bo uporabljena oblika vedno [x, y] in vrstni red ne bo obrnjen.

Dekartov koordinatni sistem se lahko uporablja tudi v višjih dimenzijah.

Na primer: 3 [tri] dimenzije z uporabo treh osi, in sicer osi x, osi y in osi z.

Če je črta v dveh dimenzijah v ravnini xy, bo v tridimenzionalnem koordinatnem sistemu dodana druga os, ki je pogosto označena z.

Kjer je os z pravokotna na os x in os y [Z drugimi besedami, os x, os y in os z med seboj so pravokotne ali pravokotne].

Kartezijanske koristi

Z uporabo kartezičnega koordinatnega sistema lahko z uporabo algebarskih enačb opišemo geometrijske oblike, kot so krivulje.

V tej moderni dobi so se kartezične koordinate pogosto uporabljale.

Sledi nekaj prednosti kartezijanskih koordinat, med drugim:

Prvič:

V vsakdanjem življenju pogosto najdemo tlorise in slike zemljevidov.

Kje je funkcija samega zemljevida, da bomo lažje našli lokacijo ali kraj ali regijo.

Podobno, ko želimo nekomu poslati pismo. Ko nekomu pošljemo pismo, moramo vedeti popoln in pravilen ciljni naslov.

To naj bi olajšalo dostavo samega pisma.

Če torej pravilno in v celoti vključimo naslov, bo pismo prispelo hitreje. Zemljevid ima tudi zemljepisno širino in dolžino.

Drugič:

V vsakdanjem življenju je kartezijanska koordinatna ravnina nujno potrebna.

Eden izmed njih je v letalstvu.

Pilot lahko leti s svojim letalom, ne da bi pri tem trčil, lahko pa tudi ve, ali je letalo prispelo na cilj.

To je zato, ker je bilo letalo opremljeno z dovršenimi orodji, kot so radar kot orodje za zaznavanje, kompas kot vodilo in radio kot komunikacijsko orodje.

Zato mora pilot razumeti, kako brati in določiti lokacijo kraja v kartezični koordinatni ravnini.

Tretjič:

Pri pouku družboslovja pogosto srečamo zemljevid province ali celo zemljevid države.

Položaj mesta, gore, jezera, letališča lahko predstavljamo kot položaj. Za lažje branje zemljevida je zemljevid opremljen z vodoravnimi in navpičnimi vodilnimi črtami ali črtami zemljepisne širine in dolžine.

Osnova za izdelavo premice, ki je osnova koordinatne ravnine.

Določanje točke na kartezijanskem koordinatnem sistemu

Zgornja ravnina se imenuje koordinatna ravnina, ki jo tvorita navpična črta Y (os Y) in vodoravna črta X (os X).

Točka se seka med premico Y in premico X, ki se imenuje središče koordinat (točka O).

Te koordinate so znane kot kartezične koordinatne ravnine. Kot je razloženo zgoraj, se kartezijanska koordinatna ravnina uporablja za določanje lokacije točke, izražene v parih števil.

Upoštevajmo točke A, B, C in D v ravnini. Če želite določiti njegov položaj, začnite pri točki O. Nato se pomaknite vodoravno v desno (os X) in nato navzgor (os Y).

Položaj točke na kartezični koordinatni ravnini je zapisan v obliki številskega para (x, y), kjer:

• x se imenuje abscisa in
• y se imenuje ordinata.

V koordinatni ravnini potem:

• Točka A je na koordinatah (1,0), zapisana z A (1,0).
• Točka B je na koordinatah (2,4), zapisana kot B (2,4).
• Točka C je na koordinatah (5,7), zapisana kot C (5,7).
• In točka D je na koordinatah (6,4), zapisanih z D (6,4).

V kartezični koordinatni ravnini jo lahko razširimo tako, da je podobna spodnji sliki:

Kot primer:

• Koordinate točke E so (2,2)
• Koordinate točke F, in sicer (-2,1), dobimo tako, da se vodoravno premaknemo v levo, začenši od točke O za dve enoti in nato navpično navzgor za eno enoto.
• Koordinate točke G, in sicer (-3, -3), dobimo tako, da se vodoravno pomaknemo v levo, začenši od točke O za tri enote, nato navpično navzdol za tri enote.

Vzorčna vprašanja in razprava

1. problem

Ordinata točke A (9, 21) je…

a. -9
b. 9
c. -21
d. 21

Odgovor:

Na splošno pišemo točko = (abscis, ordinata). V zgornjem problemu točka A (9, 21) kaže, če:

Abscis = 9

Ordinata = 21

Pravilen odgovor je D.

2. vprašanje

Glede na točki P (3, 2) in Q (15, 13). Relativne koordinate točke Q do P so ...

a. (12, 11)
b. (12, 9)
c. (18, 11)
d. (18, 13)

Odgovor:

Relativne koordinate točke Q do točke P lahko najdemo tako, da odštejemo:

a. Abscisa Q minus abscisa P

b. Ordinata Q minus ordinata P

Tako so relativne koordinate Q glede na P:

(15 – 3, 13 – 2) = (12, 11)

Torej, pravilen odgovor je A.

3. problem

Točke A (3, 2), B (0, 2) in C (-5, 2) so točke, ki jih prečka črta p. Če je premica q premica, vzporedna s črto p, bo črta q ...

a. Vzporedno z osjo x
b. Vzporedno z osjo y
c. Pravokotno na os x
d. Pravokotno na os y

Odgovor:

Da bomo lažje odgovorili na zgornja vprašanja, narišimo v kartezični ravnini:

Na zgornji sliki je razvidno, da je črta p vzporedna z osjo X. Ker je črta q vzporedna s črto p, je tudi črta q vzporedna z osjo x.

Torej, pravilen odgovor je A.

4. problem

Znano je, da sta črti p in q dve ravni črti, ki se ne sekata, čeprav sta bili podaljšani v neskončnost.

Položaja črt p in q sta ...

a. stiskati se
b. Vzporedno
c. Križ
d. Presečišče

Odgovor:

Dve premici, ki se ne sekata, čeprav sta podaljšani, sta dve vzporedni črti.

Torej, pravilen odgovor je B.

5. vprašanje.

Na podlagi spodnje slike lahko ugotovimo, da:

(i) AB je vzporedna z EF.
(ii) križanci BC z GC
(iii) AD sovpada z BC.
(iv) EF se seka z GF.

Iz zgornje izjave je pravilna ...
a. (i) in (ii)
b. (ii) in (iii)
c. (iii) in (iv)
d. (i) in (iv)

Odgovor:

Poglejte sliko žarka zgoraj:

a. AB je vzporedna z EF, potem je (i) res
b. BC se v točki C seka z GC, potem je (ii) napačno
c. AD je vzporeden z BC, potem je (iii) napačen
d. EF se seka z GF v točki F, potem je (iv) res

Torej, pravilen odgovor je D.

6. vprašanje.

Velika

a. Refleks
b. Top
c. komolci
d. Konus

Odgovor:

Kot P meri 113 stopinj, kar pomeni, da je kot P tupi kot.

Tup kot je kot, ki je v območju od 90 stopinj do 180 stopinj.

Torej, pravilen odgovor je B.

7. vprašanje.

Merilo kota na urni kazalki, ko kaže 03.00, je ...

a. 180°
b. 90°
c. 60°
d. 30°

Odgovor:

Ob 03.00 bo kratka roka kazala na številko 3, dolga pa na številko 12, zato je oblikovani kot 90 stopinj.

Torej, pravilen odgovor je B.

Vprašanje 8.

Oglejte si spodnjo sliko!

Pari nasprotnih kotov so ...

a. b. c. d.

Odgovor:

Pogovorimo se eno po eno od zgornjih možnosti:

a. Možnost A je napačna, ker bi morala biti b. Možnost B je napačna, ker bi morala biti c. Možnost C je pravilna, tj. d. Možnost D je napačna, ker bi morala biti

Torej, pravilen odgovor je C.

Problem 9.

Pari nasprotnih notranjih kotov na zgornji sliki so ...

a. 2 in 8
b. 4 in 6
c. 3 in 8
d. 1 in 5

Odgovor:

Pogovorimo se eno po eno od zgornjih možnosti:

a. 2 in 8 sta para nasprotnih notranjih kotov.
b. 4 in 6 sta para nasprotnih zunanjih kotov.
c. 3 in 8 sta para enostranskih notranjih kotov.
d. 1 in 5 sta para nasprotnih kotov.

Torej, pravilen odgovor je A.

Vprašanje 10.

Dopolnilo kota 48 stopinj je ...

a. 42°
b. 52°
c. 68°
d. 138°

Odgovor:

Dopolnilo = 90 - 48 = 42

Torej, pravilen odgovor je A.

Preberite tudi: Številčni vzorec

Tokrat je to kratek pregled kartezijanskih koordinat, ki ga lahko posredujemo. Upamo, da bo zgornji pregled kartezičnih koordinat lahko uporabljen kot vaše študijsko gradivo.