Formule aritmetičnih serij: zaporedja, vzorčna vprašanja in odgovori

June 28, 2021
VMiscellanea

Številčno zaporedje je niz številk, razvrščenih po določenem pravilu / vzorcu, ki je povezan z ",". Če se vrstica "," nadomesti z "+", se pokliče vrstici.. Vsako od teh števil se imenuje izraz zaporedja

Aritmetika ali aritmetika, katere beseda izhaja iz grščine = število, ki prej znana znanost računalništva je najstarejša veja (ali predhodnica) matematike ki se nauči osnovnih operacij števil.

Aritmetično zaporedje

Aritmetično zaporedje je zaporedje števil z določenim vzorcem v obliki seštevkov, ki imajo enako / določeno razliko ali razliko.

Formule aritmetičnega zaporedja

Izrazi so izraženi z naslednjo formulo:

U1, U2, U3,… .Ne
a, a + b, a + 2b, a + 3b,…., a + (n-1) b

Razlika (razlika) se izrazi z b

b = U2 - U1 = U3 - U2 = Un - Un - 1

N-ti člen aritmetičnega zaporedja (Un) je izražen s formulo:

Un = a + (n-1) b

Informacije:

Un = n-ti izraz z n = 1,2,3,…
a = prvi člen → U1 = a
b = razlika / razlika

(1) 3, 7, 11, 15, 19, …
(2) 30, 25, 20, 15, 10,…

Aritmetične sekvence

Informacije:
a = U1 = prvi mandat
b = drugačen
n = veliko izrazov
Un = n-ti izraz

instagram viewer

Primer aritmetičnega zaporedja

Prvi člen aritmetičnega zaporedja je 3 in razlika = 4, 10. člen aritmetičnega zaporedja pa ...
Rešitev:
a = 3
b = 4

Aritmetično zaporedje je podano na naslednji način: 5, 8, 11,…
Ugotovite: vrednost 15. izraza!
Rešitev:

Aritmetično zaporedje Srednje pleme

Če ima aritmetično zaporedje neparno število izrazov (n), pri čemer je prvi člen a in zadnji člen Un, potem je srednji člen Ut zaporedja naslednji:

Upoštevajte, da je razlika med izrazi vedno stalna. Takšno zaporedje se imenuje aritmetično zaporedje. Razlika se imenuje različna plemena ali pa samo različna in jo označujemo s c.

Zaporedje (l) ima razliko, b = 4. To zaporedje se imenuje naraščajoče aritmetično zaporedje, ker se vrednost izrazov poveča.

Zaporedje (2) ima razliko, b = -5. To zaporedje se imenuje padajoče aritmetično zaporedje, ker je vrednost izrazov vedno manjša.

Vrstica U barisan₁, U₂, U₃,... se imenuje aritmetično zaporedje, če je razlika med dvema zaporednima člankoma konstantna. Vrednost Za določitev n-tega člena aritmetičnega zaporedja. Ponovno si oglejte primerno vrstico (l).

3, 7, 11, 15, 19, …

Na primer U1, U2, U3,…. je aritmetično zaporedje torej

U₁ = 3 =+ 4 (0)

U₂ = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)

U₃= 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)
….
U_n = 3 + 4 (n-1)

Na splošno velja, če prvi mandat (U₁) = a in razlika v zaporednih izrazih je b, zato je iz formule Un = 3 + 4 (n - 1) 3 a in 4 b. Zato je mogoče oblikovati n-ti izraz

U_n = a + b (n-1)

Aritmetično zaporedje, ki ima pozitivno razliko, se imenuje naraščajoče aritmetično zaporedje, če pa je razlika negativno, pa padajoče aritmetično zaporedje.

U₁, U₂, U₃, …… .U_n-1, U_n se imenuje aritmetično zaporedje, če je
U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = …. = U_n - U_n-1 = konstanta

Un = a + (n-1) b = bn + (a-b) → Linearna funkcija v n

Primer aritmetičnega zaporedja:

Poiščite 15. člen zaporedja 2, 6, 10, 14,…

Odgovor:

n = 15
b = 6-2 = 10 - 6 = 4
U1 = a = 2

Un = a + (n-1) b
U15 = 2 + (15-1) 4
= 2 + 14.4
= 2 + 56 = 58

Aritmetično zaporedje 3, 8, 13,…

Poiščite 10. člen in formulo za n-ti člen zaporedja!
Kateri izraz ima vrednost 198?

Odgovor:

Iz aritmetičnega zaporedja 3, 8, 13,... dobimo prvi člen a = 3 in razliko b = 8 - 3 = 5.

U_n = a + (n - 1) b

U₁₀= 3 + (10 – 1)5

= 3 + 9 x 5

= 3 + 45

= 48

U_n = a + (n - 1) b

= 3 + (n - 1) 5

= 3 + 5n - 5

= 5n - 2

Recimo U_n = 198, potem:

U_n = 198

5n - 2 = 198

5n = 200

n = 40

Torej 198 je 40. mandat

Preberite tudi članke, ki so lahko povezani: 54 slik blokovnih mrež skupaj s primeri

Aritmetično napredovanje

Aritmetična vrsta je vsota členov v aritmetičnem zaporedju.

Formula aritmetične serije

Splošna oblika aritmetične vrste je:

a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) +… + (a + (n-1) b)

Število izrazov do n-tega v aritmetičnem zaporedju je formulirano z:

Sn = (2a + (n-1) b) ali Sn = (a + Un)

Kot smo že omenili, je vrsta oblika seštevanja izrazov v zaporedju. Če so U1, U2, U3,... aritmetična zaporedja. U1, U2, U3,… je aritmetična vrsta.

Če želite poiskati vsoto prvih n členov aritmetične vrste, ponovno preglejte nastalo vrsto (l).

3 + 7 + 1l + 15 + 19 +…

Če je vsota prvih n izrazov označena z. Sn potem S iz zgornje serije je:

Upoštevajte vsoto dobljenih prvih 5 izrazov. Število 3 v izračunu izhaja iz prvega izraza, l9 pa je 5. izraz. Vsota n-ih členov je torej

Vstavki v aritmetična zaporedja

Če je med dvema členoma aritmetičnega zaporedja vstavljeno k številk (novih izrazov), da se tvori novo aritmetično zaporedje, potem:

Razlika v aritmetičnem zaporedju po vstavitvi k izrazov se bo spremenila in je oblikovana kot:

Med številkama 20 in 116 je vstavljenih 11 številk, tako da skupaj z dvema prvotnima številkama obstaja aritmetično napredovanje. Torej je število aritmetičnih zaporedij, ki se pojavijo,…

Primeri problemov z aritmetičnimi vrstami

Aritmetična serija 5, 15, 25, 35,…
Kakšna je vsota prvih 10 členov aritmetične vrste?

Odgovor:

n = 10
U1 = a = 5
b = 15 - 5 = 25 - 15 = 10

Sn = (2a + (n-1) b)
S10 = (2. 5 + (10 -1) 10)
= 5 ( 10 + 9.10)
= 5. 100 = 500

Vsota prvih členov v zaporedju 20 + 15 + 10 + …… je… ..

a). -550

b). -250

c). -75

d). -115

c). -250

Rešitev:

a = 20

b = U2-U1

= 15-20

= -5

Sn = n (a + Un)

Un = a + (n - 1) b

U20 = 20 + (20-1) (- 5)

= 20 + (19) (-5)

= 20 – 95

= – 75

S20 =. 20 (20 + (-75))

= 10 (-55)

S20 = - 550

Odgovor: A

2. Vsota prvih 10 izrazov aritmetične vrste: 3 + 5 + 7 + 9 +….. je... ..

a). 105

b). 120

c). 150

d). 155

e). 165

Rešitev:

a = 3

b = U3 - U2 - 1

= U3 - U2

= 7 – 5

= 2

Sn = n (2a + (n-1) b)

= 10 (2 (5) + (10-1)2)

= 5 (6+9) 2

= 120

Odgovor: B

Če je neskončna vsota geometrijske vrste 6 in je razmerje -, potem je prvi člen… ..

a). 2

b). 3

c). 8

d). 10

e). 12

Rešitev:

S =

6 =

6 =

6 =

6 =

6 =

6 x a => 6 x 5 = = 10

Odgovor: D

Neskončna vsota geometrijskih nizov je 6 + 2 + + je... ..

a). 7

b). 6

c). 9

d). 10

e). 18

S =

a = 6

r = = =

S2 = = = 6

S2 = 6 x = = 9

Odgovor: C

Podano aritmetično zaporedje z U4 = 11 in U8 = 23. 15. člen aritmetičnega zaporedja je ...

a). 345

b). 44

c). 49

d). -40

e). -44

Rešitev:

Un = a + (n-1) b

= a + (4-1) b = 11

= a + 36 = 11

U8 = a + (8-1) b = 23

= a + 7b = 23

Izločanje a + 3b = 11

a + 7b = 23

-4b = -12

b = = 3

Snov a + 3b = 11

a + 3 (3) = 11

a + 9 = 11

a = 11 - 9 = 2

U15

Un = a + (n-1) b

U15 = 2 + (15-1) 3

= 2 + (14 x 3) = 44

Odgovor: B

Iz aritmetičnega zaporedja je znano, da sta U2 = 7 in U6 = 19. 8. člen aritmetičnega zaporedja je ...

a). 25

b). 26

c). 28

d). 31

e). 34

Rešitev:

Un = a + (n-1) b

U2 = a + (2-1) b = 7

= a + 1b = 7

U6 = a + (6-1) b = 19

= a + 5b = 19

Izločanje:

a + 1 b = 7

a + 5b = 19

-4b = -12

b = - = 3

Zamenjava:

b = 3

a + 1 b = 7

a + 1 (3) = 7

a + 3 = 7

a = 7 -3 = 4

U8

Un = a + (n-1) b

U8 = 4 + (8-1) 3

= 4 + (7. 3)

= 25

Odgovor: A

Iz aritmetičnega zaporedja je znano, da je U10 = 41 in U5 = 21. U20 zaporedja je... ..

a). 69

b). 73

c). 77

d). 81

e). 83

Rešitev:

Un = a + (n-1) b

U10 = a + (10-1) b = 41

U5 = a + (5-1) b = 21

a + 4b = 21

izločanje:

a + 9b = 41

a + 4b = 21

5b = 20

b = = 4

zamenjava:

b = 4

a + 9b = 41

5 + a + (9,4) = 41

a + 36 = 41

a = 41-36

= 5

U20

Un = a + (n-1) b

U20 = a + (n-1) b

U20 = 5 + (20 + 1) 4

= 5 + (19.4)

= 5 + 76

= 81

Odgovor: d).

Plača zaposlenega se vsak mesec poveča za 5.000,00 Rp, če je prva plača Rp. 100.000… ..

a). Rp. 1.205.000

b). Rp. 1,255.000

c). Rp. 260.000.000

d). Rp. 1.530.000

Rešitev:

Sn = n (2a + (n-1) b

12 (2. 100.000) +(12-1)5000

= 6 (200.000+55.000)

= 6 (225.000) = 1.530.000

Odgovor: d). 1.530.000

Podjetje ima priložnost prodati svojo proizvodnjo 0,65, če proizvede 2.500.000 enot blaga, potem je ocenjeno število neprodanih izdelkov ...

a). 625.000 enot

b). 875.000 enot

c). 1.125.000 enot

d). 1.375.000 enot

e). 1.625.000 enot

Rešitev:

. 2.500.000= 1.625.000

2.500.000 - 1.625.000 = 875.000 enot

Rezultati najbolj prodajanih izdelkov so

Odgovor: B

Podjetje v prvem letu proizvede 5000 enot blaga, v naslednjih letih pa njegova proizvodnja stalno upada na 80 enot na leto. V katerem letu je podjetje proizvedlo 3000 enot blaga?

a). 24

b). 25

c). 26

d). 27

e). 28

Rešitev:

Un = a + (n-1) b

3000 = 5000 + (n-1) (-80)

3000 = 5000 + (80n) + (80)

80n = 5000 - 3000 + 80

80n = 2000 + 80

80n = 2080

n = 2080: 80 = 26

Odgovor: C

Preberite tudi članke, ki so lahko povezani: Formula volumna valja: površina, višina in primeri težav

Lastnik vrta vsak dan pobere svoje pomaranče in zabeleži število izbranih pomaranč. Izkazalo se je, da število pomaranč, pobranih n-ti dan, izpolnjuje formulo Un = 50 + 25n. Število pomaranč, nabranih v prvih 10 dneh, je... ..

a) .2000

b) .1950

c) .1900

d) .1875

e) .1825

Rešitev:

Sn = n (2a + (n-1) b)

S10 = 10 (2,75+ (10-1) 25)

S10 = 5 (150+ (9,25)

S10 = 5 (150 + 225)

S10 = 5 (375)

S10 = 1875 kosov

Odgovor: D

Dvajset delavcev prejema dnevno plačo z rezultati svojega dela, kot sledi: delavec 1 dobi 12.000 Rp, delavec 2 dobi 12.500 Rp, delavec 3 dobi 13.000 Rp in tako naprej, dokler plače ne tvorijo nizov aritmetika. Znesek plače enega srca, ki jo mora pripraviti plačnik, je… ..

a) .Rp. 670.000

b) .Rp. 340.000

c) .Rp. 335.000

d) .Rp. 220.000

e) .Rp. 700.000

Rešitev:

Sn = n (2a + (n-1) b)

S20 =

20 (2.12000+(20-1)500)

= 20 (24000+19)500)

= 10 (24000+9500)

= 10 (33.500)

= 335.000

Odgovor: C

Glede na geometrijsko zaporedje s prvim članom 2 in petim članom = 640 je razmerje… ..

a) .2

b) .8

c) .1

d) .4

Rešitev:

a = 2

Un = a.r ^n-1

640 = 2. r ^s-1

⁼r⁴

256 = r⁴

R^{4 = 256}

R = 4

Odgovor: D

Če je prvi člen geometrijskega zaporedja = 16 in tretji člen = 36, potem je velikost petega člena ...

a) .- 81

b) .- 52

c) .- 46

d) .46

e) .81

Rešitev:

a = 16

U3 = 36

Un = a r ^n-1

U3 = 16.r^3-1

36 = 16.r²

⁼r²

R^{2 =}

r =

r =

r =

U5 = 16 ()^r-1

= 16 ( )⁴

= 16 .

= 81

Odgovor: E

Človek v prvi uri hodi s hitrostjo 8 km / h. Nato se pri drugi uri hitrost prepolovi od prve ure itd. Najdaljša razdalja, ki jo je oseba prepotovala, je ...

a) .4

b) .8

c) .12

d) .14

e) .16

Rešitev:

U1 = 8

U2 = 4

r = = =

S2 =

=

= x

= 16

Odgovor: E

Primer 2.1

1, 2, 3,… so aritmetična zaporedja z razliko, b = 1.
1, 3, 5,... so aritmetična zaporedja z razliko, b = 2.
1, -1, 1, -1,…. ni aritmetično zaporedje, ker

U2 - U1 = -1 - 1 = -2? 2 = 1 - (-1) = U3 - U2

Znano je, da je aritmetično zaporedje z 2. elementom 10 in razlika = 2.

Določite 1., 3. in 4. element zaporedja.

Rešitev:

Ker je b = Un - Un-1 = 2, potem je U2 - U1 = 2. Torej U1 = U2 - 2 = 10 - 2 = 8.

Enako dobljeni U3 - U2 = 2 = b. Torej U3 = U2 + b = 10 + 2 = 12 in

U4 = U3 + b = 12 + 2 = 14.

Zniževanje formule elementov do n Aritmetično zaporedje

Če je U1 = a, U2, U3,…, Un,… aritmetično zaporedje, potem je element

nth zaporedja lahko izpeljemo na naslednji način.

U1 = a

U2 = a + b

U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b

U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b

?

Un = a + (n-1) b

Torej splošna formula za element n je aritmetično zaporedje z elementom

najprej a in razlika b je:

Un = a + (n-1)b

Primer 2.2

Znano je, da je aritmetično zaporedje z 2. elementom 10 in razlika = 2.

Določite 7. element zaporedja.

Rešitev:

Znano je, da je U2 = 10, b = 2. Z uporabo formule Un = a + (n-1) b,

pridobljeno

U2 = a + (2-1) b

U2 = a + b

a = U2 - b

= 10 – 2

= 8.

U7 = a + (7-1) b

= a + 6 b

= 8 + 6 (2)

= 8 + 12

= 20.

Sedmi element zaporedja je torej 20.

Primer 2.3

Od leta 2000 ima Pak Arman nasad sladkornega trsa. Vrtni dohodek

Konec leta 2000 je sladkorni trs gospoda Armana znašal 6.000.000 IDR. Začetno leto

2001, Pak Arman gnoji plantažo sladkornega trsa z gnojem. Gospod

Arman ocenjuje, da ima konec vsakega leta prihodek od svojih nasadov sladkornega trsa

povečala za 500.000 Rp, -. Kakšen je ocenjeni dohodek nasada sladkornega trsa Pak Arman v letu 2007?

konec leta 2005?

Rešitev:

Na primer:

a = prihodek od nasada sladkornega trsa Pak Arman konec leta 2000.

b = ocenjeno povečanje dohodka nasada sladkornega trsa Pak Arman ob koncu vsakega leta.

P2005 = ocenjeni prihodek od nasada Pak Armana konec leta 2005.

Torej bodo iskani a = Rp 6,000,000, -, b = Rp 500,000, - in P2005.

Ker Pak Arman vsako leto ocenjuje povečanje dohodka od nasadov sladkornega trsa

konec leta je določen, zato je za določitev dohodka g

Arman konec leta 2005 lahko uporabimo formulo za n-ti element

aritmetično zaporedje z

U1 = a = a = IDR 6.000.000, -, b = IDR 500.000.

P2005 = U6 = a + 5b

= 6.000.000 + 5(500.000)

= 6.000.000 + 2.500.000

= 8.500.000.

Torej ocenjeni dohodek plantaže sladkornega trsa gospoda Armana konec leta 2005

znaša 8.500.000 IDR, -

Z uporabo aritmetične vrste lahko oblikujemo zaporedje, ki

povezane s serijo. Takšno zaporedje se imenuje aritmetično zaporedje.

Primer 2.4

Poiščite vsoto prvih 25 izrazov iz niza 3 + 6 + 9 +….

Rešitev:

Serija 3 + 6 + 9 +…. je aritmetična vrsta z a = 3 in b = 3. Avtor

torej z uporabo formule Sn =

1

2

dobimo n [2a + (n -1) b]:

S25 =

1

2

(25) [2(3) + (25 -1)(3)]

=

25

2

[6 + 24(3)]

=

25

2

(6 + 72)

= 25 (39)

= 975.

Torej vsota prvih 25 izrazov iz niza 3 + 6 + 9 +…. je 975.

Primer 2.5

Poiščite vsoto vseh lihih števil med 50 in 100.

Rešitev:

Znano je, da je a = 51, b = 2 in Un = 99.

Najprej najdemo vsoto vseh lihih števil med 50 in 100

najprej najdemo število lihih števil med 50 in 100, torej n

z uporabo formule:

Un = a + (n - 1) b

99 = 51 + (n - 1) (2)

99 = 51 + 2n - 2

99 = 49 + 2n

2n = 99 - 49

n = 25.

Nato z uporabo formule za vsoto prvih n členov aritmetičnega zaporedja,

Sn =

1

2

n [2a + (n -1) b]

pridobljeno:

S25 =

1

2

(25)[2(51) + (25 -1)(2)]

= 25(51 + 24)

= 25(75)

= 1.875.

Vsota vseh lihih števil med 50 in 100 je torej 1.875.

Preberite tudi članke, ki so lahko povezani: Formula stožca: Prostornina, površina, višina in slika