Pitagorin izrek: gradivo, formule, primeri problemov, razprava

Pitagorov izrek je matematično pravilo, s pomočjo katerega lahko določimo dolžino ene strani pravokotnega trikotnika.

Kar si morate zapomniti iz tega izreka, je izrek velja samo za pravokotne trikotnike. Zato ga ni mogoče uporabiti za določanje stranic drugega trikotnika, ki niso pravokotni.

Pitagorin izrek je vključen v enega od gradiv osnovnih predmetov matematike, ki ima zelo veliko razširitev in koristi.

Tudi to gradivo se zelo pogosto uporablja in se pogosto pojavlja pri vprašanjih o nacionalnih izpitih.

V bistvu je pitagorejski izrek zelo preprost, saj moramo le izračunati dolžine stranic pravokotnega trikotnika, kjer že poznamo druge stranice.

Če druga stran ni znana, jo lahko vsaj prej poiščemo z drugo metodo.

Za popolno razpravo o pitagorejskem izreku pozorno preberite naslednji pregled.

Lastnosti pitagorejskega teorema

V pitagorejskem izreku obstajata dve lastnosti, med drugim:

1. Samo za pravokotne trikotnike
2. Vsaj dve strani sta lahko vnaprej znani

Druga težava, s katero se pogosto srečamo, je identifikacija pravokotnega trikotnika.

Na kateri strani je hipotenuza, pa tudi na drugi strani. Za to vam bomo dali pravokotni trikotnik in vas vabimo, da razumete vsako komponento pravokotnega trikotnika.

Pred tem pa najprej spoznajmo značilnosti trikotnika, tukaj je celoten pregled.

Značilnosti trikotnika

1. Če je kvadrat hipotenuze = vsota kvadratov druge stranice, potem je trikotnik pravokoten trikotnik.
2. Če je kvadrat hipotenuze
3. Če je kvadrat hipotenuze> vsota kvadratov drugih stranic, je trikotnik nenavaden trikotnik.

Ugotavljanje pravokotnega trikotnika

poimenujte stranice trikotnika, ki si jih želite zapomniti

Če pogledate zgornjo sliko, lahko na vsaki strani najdete tri strani, ki smo jih poimenovali.

Hipotenuza je okrajšana kot (SM), osnovna stran (SA) in pokončna stran (ST).

Na zgornji sliki lahko vidimo, da je hipotenuza neposredno pred pravim kotom trikotnika.

Kvadrati so običajno upodobljeni z majhno škatlo znotraj, kot je prikazano zgoraj s črno puščico.

Hipotenuza je neposredno nasproti pravega kota zgornjega trikotnika. Za osnovno stran in tudi pokončno stran pravzaprav ni preveč problematično, če jo pomotoma prepoznate.

Zakaj morate biti pozorni in razumeti obliko pravokotnika?

Ker, tako da, če za njim najdete pravi trikotnik ali spremenite njegovo ime, ne boste imeli težav.

Zato morate razumeti in prepoznati pravokotni trikotnik.

Na primer, dobro si oglejte spodnjo sliko:

Čeprav smo obrnili pravokotni trikotnik, ste lahko prepoznali hipotenuzo, osnovo in pokončne stranice.

Na zgornji sliki je hipotenuza stran r, osnovna stran je stran str, navpična stran pa je stran q.

Poleg tega je težava, ki je tudi najbolj zavajajoča, napaka pri pomnjenju formule pitagorejskega izreka.

Tu je celoten pregled.

Formula pitagorejskega teorema

Pitagorejska formula je formula, pridobljena iz materiala Pitagorov izrek.

Pitagorov izrek sam, kot je omenjeno zgoraj, je izrek, ki pojasnjuje razmerje med stranicama pravokotnega trikotnika.

Ta izrek je prvi predstavil matematik iz Grčije Pitagora.

Zvok ali izrek pitagorejskega teorema je naslednji:

V pravokotnem trikotniku je kvadrat najdaljše stranice enak vsoti kvadratov stranic.

Iz tega izreka lahko naredimo formulo, ki jo lahko opišemo kot spodaj:

Na primer, razmislite o trikotniku s pravim kotom pri B. Če je dolžina hipotenuze (hipotenuze) c in so dolžine njenih komplementarnih stranic (razen hipotenuze) a in b. Nato lahko zgoraj oblikujemo pitagorejski izrek:

Pitagorejska formula

c² = a² + b²

Informacije:

c = hipotenuza
a = višina
b = osnova

Pitagorjeva formula se običajno uporablja za iskanje dolžine hipotenuze pravokotnega trikotnika, kot sledi:

Kvadrat stranice AC = kvadrat stranice AB + kvadrat stranice BC. ali AC² = AB² + BC²

Formula za iskanje stranske dolžine osnove je:

b² = c² - a²

Formula za iskanje stranice ali višine trikotnika je:

a² = c² - b²

Formula za iskanje hipotenuze pravokotnega trikotnika je:

c² = a² + b²

Uporabe pitagorejskega teorema

Poleg tega, da se Pitagorov izrek uporablja pri določanju dolžine neznane stranice trikotnika, se lahko uporablja tudi v več izračunih, vključno z:

1. Določite dolžino diagonale kvadrata
2. Določite diagonalo kocke in tudi kocka

Tukaj bomo razložili vsako uporabo:

1. Določite dolžino diagonale kvadrata

Glede na pravokotnik ABCD, kot je prikazano na spodnji sliki:

Črta AC je diagonalna črta kvadrata. Če so dolžine stranic kvadrata znane, potem lahko dolžino diagonal izračunamo s pomočjo pitagorejskega izreka, kot sledi:

klima² = AB² + Pr²

klima² = AD² + CD²

Primer težav:

Kvadrat ABCD ima dolžino 8 cm in širino 6 cm. Poiščite dolžino diagonale kvadrata.

Odgovor:

Je znan:

• dolžina = p = 8 cm
• širina = L = 6 cm

Na vprašanje:

• diagonala = d =…?

Na podlagi pitagorejskega izreka potem:

d² = p² + L²
d² = 8² + 6²
d² = 64 + 36
d² = 100
d = 100
d = 10 cm

Torej je dolžina diagonale kvadrata v zgornjem problemu 10 cm.

2. Določite diagonalo kocke in tudi kocka 

Glede na blok ABCD.EFGH, kot je prikazano na spodnji sliki:

Črta AG je ena od preslednic diagonal v bloku. Na podlagi pitagorejskega izreka lahko izračunamo dolžino diagonale prostora AG na naslednji način:

AG² = AC² + CG²

Informacije:

AG = diagonala prostora
CG = višina bloka
AC = diagonala osnovne ravnine

Nato upoštevajte osnovo bloka, ki je kvadrat ABCD. Na podlagi pitagorejskega zvoka lahko izračunamo dolžino diagonale AC ravnine po naslednji formuli:

klima² = AB² + Pr²

Informacije:

AB = dolžina bloka
BC = širina bloka

Ker, AC² = AB² + Pr², potem lahko spremenimo formulo za dolžino diagonale prostora AG na:

AG² = AC² + CG²
AG² = AB² + Pr² + CG²
AG² = p² + L² + t²

Torej, formula bo:

d_r² = p² + L² + t²

Informacije:

d_r = diagonala prostora
p = dolžina bloka
L = širina žarka
t = višina bloka

Primer težav:

Blok ima dolžino, širino in višino 12 cm, 9 cm in 8 cm. Določite dolžino ene od diagonal prostora!

Odgovor:

Je znan:

• p = 12 cm
• D = 9 cm
• t = 8 cm

Na vprašanje:

• d_r = … ?

Na podlagi zvoka ali pitagorejskega izreka potem:

d_r² = p² + L² + t²
d_r² = 12² + 9supa> 2 + 8²
d_r² = 144 + 81 + 64
d_r² = 289
d_r = √289
d_r = 17 cm

Torej, dolžina diagonale prostora je 17 cm.

Določanje stranske dolžine pravokotnega trikotnika

Matematično se pitagorejska formula običajno uporablja za določanje stranskih dolžin pravokotnega trikotnika.

Za več podrobnosti si oglejte nekaj vzorčnih vprašanj spodaj.

Primeri pitagorejskih problemov (Pitagora) in njihove rešitve

1. problem

Znano je, da je pravokotni trikotnik ABC s pravim kotom pri B opisan na naslednji način:

Na zgornji sliki določite dolžino hipotenuze AC!

Odgovor:

Ker je zgornji trikotnik pravokotnik, se pitagorejska formula uporablja na naslednji način:

AC² = AB² + BC²
AC² = 8² + 6²
AC² = 64 + 36
AC² = 100
AC = 100
AC = 10

Torej je dolžina stranice AC v pravokotnem trikotniku 10 cm.

2. vprašanje

Pravokotni trikotnik KLM s pravim kotom pri L je prikazan spodaj:

Na zgornji sliki določite dolžino stranice KL!

Odgovor:

Ker je zgornji trikotnik pravokotnik, se pitagorejska formula uporablja na naslednji način:

KM² = KL² + LM²
KL² = KM² - LM²
KL² = 13² - 12²
KL² = 169 - 144
KL² = 25
KL = 25
KL = 5

Torej, dolžina stranice KL v zgornjem pravokotnem trikotniku je 5 cm.

3. problem

Znano je, da je pravokotni trikotnik DEF s pravim kotom pri E opisan spodaj:

Na zgornji sliki določite dolžino stranice DE!

Odgovor:

Ker je trikotnik DEF zgoraj pravokoten trikotnik, se pitagorejska formula uporablja na naslednji način:

DF² = DE² + EF²
DE² = DF² - EF²
DE² = 15² - 9²
DE² = 225 - 81
DE² = 144
DE = 144
DE = 12

Torej, dolžina stranice DE v pravokotnem zgornjem trikotniku je 12 cm.

4. problem

Znano je, da je pravokotni trikotnik ABC s pravim kotom pri B. Če je dolžina stranice AB = 16 cm in dolžina stranice BC = 12 cm.

Nato izračunajte dolžino stranice AC v zgornjem trikotniku!

Odgovor:

Iz zgornjih vprašanj lahko narišete pravi trikotnik, kot je ta:

Ker je zgornji trikotnik pravokoten trikotnik, se pitagorejska formula uporablja na naslednji način:

c² = a² + b²
c² = 12² + 16²
c² = 144 + 256
c² = 400
c = 400
c = 20

Torej je dolžina stranice AC v pravokotnem trikotniku ABC v zgornjem problemu 20 cm.

Določanje vrste trikotnika, če poznate dolžino njegove stranice

Poleg tega, da najdemo stranske dolžine pravokotnika, se za določitev vrste trikotnika uporablja tudi pitagorejska formula.

Je trikotnik pravokoten trikotnik, ostri trikotnik ali nejasen trikotnik? Potem, kako določiti vrsto trikotnika s pitagorejsko formulo?

Za določitev vrste trikotnika s pomočjo pitagorejskega izreka moramo kvadrat najdaljše stranice primerjati z vsoto kvadratov stranic.

Kot primer je znano, da ima pravokotni trikotnik dolžino hipotenuze (najdaljše stranice) c. Dolžini kvadratov sta a in b, tako da:

• Če je c²
• Če je c² = a² + b², potem je trikotnik pravokoten trikotnik;
• Če je c²> a² + b², potem je trikotnik nejasen trikotnik.

Za več podrobnosti si oglejte nekaj vzorčnih vprašanj spodaj:

1. problem

Pravokotni trikotnik ABC s pravim kotom pri B. Določite vrsto trikotnika, če je dolžina stranic AB = 8 cm, BC = 15 cm in AC = 20 cm!

Odgovor:

Na primer, a je najdaljša stran, b, c pa drugi dve strani, potem lahko vemo, če:

• c = 20 cm
• b = 8 cm
• a = 15 cm.

c² = 20² = 400
a² + b² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289

Ker,

c²> a² + b²
400 > 289

Torej, trikotnik ABC je nejasen trikotnik.

2. vprašanje

Spodaj določite vrsto trikotnika, če so dolžine stranic 10 cm, 12 cm in 15 cm!

Odgovor:

Na primer, c je najdaljša stran in b, a sta drugi dve strani, potem lahko vemo:

• c = 15 cm
• b = 10 cm
• a = 12 cm.

c² = 15² = 225

a² + b² = 12² + 10² = 144 + 100 = 344

Ker,

c² 225 < 344

Torej, trikotnik je akutni trikotnik.

Pitagorejske trojke

Spodaj si oglejte nekaj primerov številk:

3, 4 in 5
6, 8 in 10
5, 12 in 13

Nekatera zgoraj omenjena števila so števila, ki upoštevajo pravila pitagorejske formule.

Ta številka je znana kot pitagorejska trojka. Pitagorejsko trojno število lahko definiramo na naslednji način.

Pitagorejske trojke so pozitivna cela števila, katerih kvadrat največjega števila ima enako vrednost kot vsota kvadratov drugih števil.

Na splošno se pitagorejske trojke delijo na dve vrsti, in sicer na primitivne pitagorejske trojke in neprimitivne pitagorejske trojke.

Primitivni pitagorejski trojčki je pitagorejska trojka, v kateri imajo vsa števila GCF enak 1.

Na primer iz primitivnih pitagorejskih trojnih števil, in sicer: 3, 4 in 5 ter 5, 12, 13.

Medtem ko za Neprimitivne pitagorejske trojke je pitagorejska trojka, pri kateri ima število GCF, ki ni samo enak enoti.

Na primer, in sicer: 6, 8 in 10; 9, 12 in 15; 12, 16 in 20; in tudi 15, 20 in 25.

Vzorec pitagorejske številke (pitagorejska trojka) se uporablja za enostavno reševanje pitagorejskih problemov, naslednji številski vzorec (pitagorejska trojka) je:

a B C
3 – 4 – 5
5 – 12 – 13
6 – 8 – 10
7 – 24 – 25
8 – 15 – 17
9 – 12 – 15
10 – 24 – 26
12 – 16 – 20
12 – 35 – 37
13 – 84 – 85
14 – 48 – 50
15 – 20 – 25
15 – 36 – 39
16 – 30 – 34
17 – 144 – 145
19 – 180 – 181
20 – 21 – 29
20 – 99 – 101

In mnogi drugi.

Informacije:

a = višina trikotnika
b = osnova trikotnika
c = hipotenuza

Kako najti pitagorejske trojke:

Če sta a in b pozitivni celi števili in a> b, potem lahko po naslednji formuli najdemo pitagorejsko trojko:

2ab, a² - b², a² + b²

Za več podrobnosti glejte spodnjo tabelo:

Uporaba pitagorejske formule v vsakdanjih problemih

Pitagorejska formula se pogosto srečuje pri različnih vsakdanjih dejavnostih. V nadaljevanju bomo podali pregled nekaterih aplikacij pitagorejske formule.

Primer težave pri določanju razdalje med stopnicami in steno

Pozorno si oglejte spodnjo sliko:

Znano je, da je lestev naslonjena na steno. Če je dolžina lestve 5 m in višina stene 4 m. Nato izračunajte razdaljo med vznožjem lestve in steno!

Odgovor:

Na primer, razdalja med vznožjem lestve in steno je x, zato lahko za določitev vrednosti x uporabimo pitagorejsko formulo, kot sledi:

Je znan:

• hipotenuza ali c = 5m
• višina ali b = 4m

Na vprašanje:

• osnova ali x?

x² = c² - b²
c² = 5² - 4²
c² = 25 - 16
c² = 9
c = 9
c = 3

Tako je razdalja med vznožjem lestve in steno 3 m.

Primer težave pri določanju razdalje od začetne točke odhoda do končne točke

Pozorno si oglejte spodnjo sliko:

Ladja pluje od pristanišča A do pristanišča B 15 km proti severu. Po prihodu v pristanišče B je ladja odplula nazaj 36 km proti vzhodu. Določite razdaljo med priključkom A in končno točko!

Odgovor:

Iz zgornje težave lahko naredimo sliko z informacijami, ki jih vsebuje spodnja rešitev:

Na vprašanje:

• hipotenuza ali c

Je znan:

• b = 36km
• a = 15km

torej:

Oddaljenost od priključka A do končne točke je:

c² = 15² + 36²
c² = 225 + 1296
c² = 1521
c = 1521
c = 39

Torej, razdalja od pristanišča A do končne točke je 39 km.

Tokrat je to kratek pregled o pitagorejskem izrekanju, ki ga lahko predstavimo. Upamo, da lahko zgornji pregled v zvezi s Pitagorinim teoremom uporabimo kot študijsko gradivo.